华师一附中2024届高三《圆锥曲线小题》补充作业23 试卷含答案

华师一附中2024届《圆锥曲线小题》补充作业23试卷一、单选题1．已知、为双曲线的左、右焦点，为双曲线的渐近线上一点，满足，（为坐标原点），则该双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．2．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（

）A．B． C．2D．3．过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条4．如图所示，是双曲线的左、右焦点，的右支上存在一点满足与双曲线左支的交点满足，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．5．设双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且在线段的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（

）A． B． C． D．7．线段是圆的一条直径，离心率为的双曲线以A，B为焦点，若P是圆与双曲线的一个公共点，则（

）A． B． C． D．8．已知斜率为的直线与椭圆相交于两点，与轴，轴分别交于两点，若恰好是线段的两个三等分点，则的值不可能为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知双曲线的左右焦点分别为，且，点是双曲线第一象限内的动点，的平分线交轴于点垂直于交于，则以下正确的是（

）A．当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为B．当时，点的坐标为C．当时，三角形的面积D．若则10．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的离心率是B．线段长度的取值范围是C．面积的最大值是D．的周长存在最大值11．已知抛物线，点，过M作抛物线的两条切线，其中A，B为切点，直线与y轴交于点P，则下列结论正确的有（

）A．点P的坐标为B．C．的面积的最大值为D．的取值范围是12．已知椭圆的左右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（

）A．若直线的斜率为，直线的斜率，则B．若有且仅有两个不同的实数使得为等腰直角三角形，则C．取值范围为D．周长的最大值为813．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上一点满足为直角三角形，且，则椭圆方程可能为（

）A． B． C． D．14．已知抛物线是该抛物线上两点，为坐标原点，为焦点，则下列结论正确的是（

）A．若直线过点，则B．若，则线段的中点到准线的距离为1C．若，则的最小值为D．若，则15．如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（

）A．B．若，则C．若，则的最小值为2 D．16．已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则（

）A．、在直线上 B．双曲线的离心率C．内切圆半径最小值是 D．的取值范围是17．已知抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于点，连接并延长交抛物线的准线于点，且，则（

）A． B． C． D．18．已知点，点P是双曲线C：左支上的动点，为其右焦点，N是圆D：的动点，直线交双曲线右支于Q（O为坐标原点），则（

）A．B．过点M作与双曲线C仅有一个公共点的直线恰有2条C．的最小值为D．若的内切圆E与圆D外切，则圆E的半径为19．已知抛物线：的焦点为，直线过焦点分别交抛物线于点、、、，其中位于轴同侧，且经过点，记，的斜率分别为，，则下列正确的有（

）A．B．过定点C．D．的最小值为20．已知抛物线C：过点，焦点为F，准线与x轴交于点T，直线l过焦点F且与抛物线C交于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线C的切线，两切线相交于点H，则下列结论正确的是（

）A．B．抛物线C的准线过点HC．D．当取最小值时，21．已知点F为椭圆C：，的左焦点，过原点O的直线l交椭圆于P，Q两点，点M是椭圆上异于P，Q的一点，直线MP，MQ的斜率分别为，，椭圆的离心率为e，若，，则（

）A． B． C． D．22．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（

）A．平分B．C．延长交直线于点，则三点共线D．23．已知F为椭圆C：的左焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（

）A． B．的最小值为2C．直线BE的斜率为 D．为钝角三、填空题24．已知椭圆和双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是.25．设抛物线的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点.若,且的面积为，则.26．如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆：（）的上､下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为.27．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P是双曲线右支上的一点，与y轴交于点A，的内切圆在边上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是.28．已知，分别是双曲线的左右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A（A在第二象限），射线与双曲线的另一条渐近线相交于点，满足，则双曲线的离心率为．华师一附中2024届《圆锥曲线小题》补充作业23答案1．A【分析】设，根据求出，再在中，利用余弦定理得到关于的齐次方程，结合即可求得双曲线的离心率.【详解】由题可知，，，根据对称性，不妨设P为渐近线上一点，坐标为，，因为，所以，则，故，故，在中，，由余弦定理得，即，即，则，即，即，即，即，所以.故选：A.2．D【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从而进一步解出答案.【详解】依题意得,以线段为直径的圆的方程为,双曲线的一条渐近线的方程为.由以及解得或不妨取,则.因为,所以,又,所以,所以,所以该双曲线的离心率.故选：D.3．D【分析】利用直线与双曲线联立组成的方程组仅有一组解，即可求得满足条件的直线共有4条.【详解】当过点的直线斜率不存在时，其方程为，直线与双曲线有且仅有一个公共点，满足要求；当过点的直线斜率存在时，其方程可设为，由，整理得当时，方程可化为，方程仅有一根，直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意；当时，方程可化为，方程仅有一根，直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意；当时，若方程仅有一组解，则，解之得此时方程为，整理得，则此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意综上，满足条件的直线共有4条故选：D4．D【分析】利用正弦定理及已知可得，令，由双曲线定义及，应用勾股定理列方程求得，进而求离心率.【详解】中，中，所以，，又，则，又，所以，令，则，，而，由，则，，可得，即.故选：D5．D【分析】依题意作图，根据双曲线的几何性质和双曲线的定义，列方程即可求解.【详解】依题意，如图：设M，N的中点为P，连接，则点P在以原点为圆心，半径为c的圆上，并且有，；直线l的方程为，令，，由双曲线的性质可得，解得，在中，，在中，，解得，由于，，解得；故选：D.6．B【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据等面积法可得，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，故，又，则，由余弦定理知：，所以，而，因为的内切圆的半径，故，所以，则，由，即，所以，整理得且，所以，，当且仅当时等号成立，所以目标式最小值为.故选：B7．D【分析】首先通过计算得到圆的半径为，则由题意得到，通过离心率计算出值，再利用双曲线定义得到与直径所对圆周角为直角得到，则有，，最终得到和值.【详解】∵圆的半径，线段是圆的一条直径，离心率为的双曲线以A，B为焦点，∴双曲线的焦距，∵P是圆与双曲线的一个公共点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题难点在于所考查的是非标准双曲线，但是实际上并没有超纲，我们通过双曲线的定义得到，再结合点在圆上得到，然后利用完全平方式之间的转化得到，最终，求出其之和为，所以其本质上还是双曲线定义的灵活运用.8．D【分析】根据题意求得，结合求得的范围．【详解】解：如图，设．∵分别是线段的两个三等分点，∴，，则，得，，利用点差法，由两式相减得，整理得到，即，得，得，∵，∴，∴，∴，∴或，故的值不可能为．故选：D．【点睛】本题解题的难点是求得，掌握点差法及理解并非只有弦中点时才考虑使用，进而累积解题经验．9．ABD【分析】对A：根据点到直线的距离，结合已知条件求得，即可求得离心率；对B：根据角平分线定理，结合的长度，即可容易求得的坐标；对C：根据双曲线的定义，结合已知条件，即可求得焦点三角形的面积；对D：做辅助线，构造全等三角形，求得，再根据与渐近线之间的关系，建立的不等式，即可求得的范围.【详解】对A：易知点的坐标为，又双曲线的一条渐近线为，根据题意可得，又，故，则，则双曲线的离心率为，故A正确；对B：因为，点为双曲线上一点，由其定义可得：，由角平分线定理可得：，即，又，故，又的坐标为，故点的坐标为，B正确；对C：由题可知，又，则，故，则△的面积，故C错误；对D：延长交于点，连接，如下所示：易知△△，即，由，可得，则，故可得；又点在第一象限，故直线的斜率必小于渐近线的斜率，不妨设渐近线的倾斜角为，由，可得，则，即，整理得，又，则，解得，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率，焦点三角形面积，以及双曲线中参数范围的求解；其中D选项中，充分挖掘几何关系，建立的不等式，是解决问题的关键，属难题.10．AC【分析】求得椭圆的离心率判断选项A；求得线段长度的取值范围判断选项B；求得面积的最大值判断选项C；根据表达式结合参数范围判断的周长是否存在最大值.【详解】由题意得半圆的方程为，设半椭圆的方程为，又，则，则半椭圆的方程为则椭圆的离心率，故选项A判断正确；直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则线段长度的取值范围是.故选项B判断错误；不妨设则由，可得；由，可得；则（当且仅当时等号成立）故选项C判断正确；的周长为则在上单调递减，则的周长不存在最大值.故选项D判断错误.故选：AC11．AC【分析】利用导数求出两点处的切线方程，联立过点的切线方程和抛物线的方程，结合根与系数的关系表示出，从而可判断AB，由弦长公式和点到直线的距离公式表示出的面积，根据函数性质可判断C，结合韦达定理和换元法可判断D.【详解】由题意，设，由，可得，所以点处的切线的斜率为，点处的切线的斜率为，很显然，过点的直线斜率存在，设过点的切线方程为，联立方程组，可得，由，可得，又由，则，所以不垂直，所以B不正确；由，所以的直线方程为，即，将代入直线的方程，可得，由知，方程成立，所以点在直线上，所以A正确；由点在直线上，可设直线的方程为，则点到的距离为，且，所以，因为，可得，所以的最大值为，所以C正确；由，所以，由，可得，所以，因为，可得，又由，设，可得，即，解得或，又因为，所以的取值范围是，所以D不正确.故选：AC.【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．12．BCD【分析】设出的坐标，根据斜率、等腰直角三角形、向量数量积、三角形的周长、椭圆的定义知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设，不妨设在轴的上方，，A选项，,，A选项错误.B选项，若等腰三角形中，，根据椭圆的对称性可知，只能是上下顶点，由，但只有一个值，不符合题意.若，，则，，依题意，两边平方并化简得，解得（负根舍去）.当时，同理可求得，此时.综上所述，若有且仅有两个不同的实数使得为等腰直角三角形，则，B选项正确.C选项，，由于，所以，，所以取值范围为，C选项正确.D选项，设直线与轴相交于点，则的周长为,其中，当且仅当重合时等号成立，所以的周长的最大值为，D选项正确.故选：BCD【点睛】本小题是考查椭圆有关知识的多选题，每个选项都可以作为一个独立的小问.四个选项都涉及到的坐标，这是贯穿整个题目的.在研究斜率、向量数量积时，可利用坐标运算来进行求解，在求周长的最值时，可利用定义法去转化.13．AC【分析】分类讨论为直角顶点、为直角顶点与为直角顶点三种情况，利用三角形面积公式或勾股定理，结合椭圆的定义即可求得结果.【详解】因为为直角三角形，所以当为直角顶点时，则，由解得，所以；由对称性可知当为直角顶点时，结论相同，即；当为直角顶点，则，即，由，得，即，则；对于A，由得，则，所以，满足其中一种情况，故A正确；对于B，由得，则，所以，，两种情况都不满足，故B错误；对于C，由得，则，满足，又，，故是方程的两根，由可知方程有两个不等实根，即存在，故C正确；对于D，由得，则，满足，又，，故是方程的两根，由可知方程无实根，即不存在，故D错误.故选：AC.14．BCD【分析】对A选项设，与抛物线联立利用韦达定理即可判断，对B选项利用抛物线定义和梯形中位线即可判断，对C选项，利用抛物线定义和基本不等式即可得到最值，对D选项，设直线的方程为，联立抛物线方程得到一元二次方程，根据韦达定理两根之积求出值，即求出直线所过定点，再结合面积表达式和基本不等式即可求出最值.【详解】设直线的方程为，联立得，A错误.，则，线段的中点到准线的距离为B正确.过焦点，即，由A选项可得，当且仅当，且，即时等号成立，C正确.，,相乘得，联立上式解得，设直线的方程为，联立，得，直线过定点，则，当且仅当时等号成立，正确.故选：BCD.15．ACD【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A；由余弦定理计算判断B，C；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D作答.【详解】依题意，，解得，A不正确；令，由余弦定理得：，当时，，即，因此，B正确；当时，，即，有，而，则有，解得，C不正确；，，于是得，解得，而，因此，D不正确.故选：ACD16．ABC【分析】对A：根据双曲线的定义结合内切圆的性质整理分析；对B：根据题意结合角平分线的定义分析运算；对C：联立方程，利用韦达定理求，再根据内切圆性质可得，代入运算分析；对D：根据题意用表示，再结合的单调性求的取值范围.【详解】对A：过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，则，∵，则，又∵，则，∴，即在直线上，同理可得：在直线上，A正确；对B：∵，则，∴，又∵，则，即，∴，故离心率为，B正确；对C：∵，则，∴，双曲线的渐近线方程为，则直线的倾斜角，设直线方程为，，联立方程，消去x得：，∴，则，设内切圆半径为，其周长，根据的面积可得：，则，C正确；对D：由题意不妨设，，∵，则，令，∴，，，又∵在上单调递增，∴，D错误；故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解决本题关键是利用双曲线的定义以及三角形内切圆的相关性质，结合图形分析得出相应关系，运算整理.17．BCD【分析】由在准线上，得点横坐标，不妨设在第一象限，可得点纵坐标，由此得直线方程，从而求得点坐标，再求得点坐标，得出轴可判断A，由计算出值判断B，利用坐标可得判断C，由相似形得面积比判断D．【详解】，在准线上，，∴，不妨设在第一象限，则，，即，又，∴，所以直线方程为，由得，是此方程的一个解，因此另一解满足，，即，，，于是方程为，从而，∴，，A错；，，B正确；，∴，C正确；，，D正确．故选：BCD．【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦性质：是抛物线的焦点弦，则，，则（1），；（2）；（3）以为直径的圆与抛物线的准线相切；（4）；（5）的延长线与准线交于点，则轴．18．ACD【分析】根据双曲线焦半径的结论可知A正确，由点和双曲线的位置关系可以确定与双曲线有一个公共点的直线条数不止2条，根据双曲线定义和的位置关系可判断C，最后根据焦点三角形的内切圆圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为可求其半径.【详解】如下图所示：由双曲线方程和圆方程可知，，所以左焦点为，右焦点；对于A，由于在双曲线左支上，根据焦半径公式可知，故A正确；对于B，由过点的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为，则直线的方程为，联立直线和双曲线的方程得：；①当时，即，该方程为一元一次方程，仅有一个实数根，所以直线和双曲线仅有一个公共点，此时直线与双曲线的渐近线平行，即此时有两条直线与双曲线相交，且仅有一个交点，符合题意；②当时，该方程为一元二次方程，由直线与双曲线有一个公共点可知，该方程仅有一个实数根，所以，整理得，即，此时直线为双曲线的切线，分别为，所以过点可作两条切线；综上可知，过点可作与双曲线有一个公共点的直线共有4条，所以B错误；对于C，由双曲线定义可知，，，当且仅当三点共线时等号成立；，当且仅当三点共线时等号成立；所以，，即C正确；对于D，如图所示，分别设的内切圆与三边切点为，又因为，所以，又因为在轴上，，，不妨设,由，得，即；所以即为双曲线的左端点，又因为，所以圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为，设，则圆的半径为，由于圆与圆外切，所以，，解得；所以D正确.故选：ACD.19．AB【分析】根据直线与抛物线的关系，利用韦达定理求解.【详解】设的直线方程为，联立整理得，由韦达定理得,故A正确；设的直线方程为，联立整理得，由韦达定理得设的直线方程为，联立整理得，由韦达定理得由A选项的结论得，同A选项推理过程可知，所以，所以解得，即的直线方程为，所以过定点，故B正确；由以上得，所以，又因为，所以C错误；由以上知，设的直线方程为，联立整理得，由韦达定理得所以，因为，所以当时有最小值为，此时垂直于轴,与AD斜率存在矛盾，所以D错误.故选:AB.20．ABD【分析】根据题意将抛物线方程求出，写出直线l方程，联立找出交点坐标的关系，表示出两切线斜率即可证明A，联立两切线方程即可求出两切线的交点坐标，即可证明B，分别求出的正切值找出两角的关系即可判断C，用两点距离公式即可求出何时为最小值，继而找到的值.【详解】将点代入可得，抛物线方程为：，焦点为，准线方程为.设，，由可得或，故或，所以或，即.故过点P切线斜率为，过点Q切线斜率为.设直线l方程为，联立方程，得，根据韦达定理：，故两切线互相垂直，，A正确.设过点P切线方程为：设过点Q切线方程为：两式相减得所以，得代入①式因为，故，所以两切线得交点过抛物线准线，故B正确；由题意可知，所以，即，直线l：随着m的值改变时也会随之发生改变，因此也会随着改变，故不是定值，C错误设，，当且仅当时等号成立，此时，D正确故选：ABD【点睛】结论点睛：①抛物线焦点弦两点的切线互相垂直；②抛物线焦点弦两点切线的交点在抛物线准线上；③抛物线交点弦两点与准线和x轴的交点的连线，两线与x轴形成的夹角（焦点在y轴上则是与y轴形成的夹角）相等.以上结论考生可将解析中的抛物线方程换成一般抛物线方程，按照解析步骤即可证明.21．BD【分析】设出右焦点，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理得到关系，则离心率可求，设出坐标，利用点差法可求得的表示，结合关系可求解出的值.【详解】连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得,所以,则.由余弦定理可得，化简得，故，所以（负舍）设，则，所以，又，相减可得．因为，所以，，所以.故选：BD.【点睛】解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线(不与焦点所在轴重合)与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形.22．ACD【分析】对于A，根据题意求得，，从而证得，结合平面几何的知识易得平分；对于B，直接代入即可得到；对于C，结合题意求得，由的纵坐标相同得三点共线；对于D，由选项A可知.【详解】根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，所以，故直线为，即，依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，对于A，，，故，所以，又因为轴，轴，所以，故，所以，则平分，故A正确；对于B，因为，故，故B错误；对于C，易得的方程为，联立，故，又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；对于D，由选项A知，故D正确.故选：ACD..23．AC【分析】对于A，利用椭圆与的对称性可证得四边形为平行四边形，进而得到；对于B，利用A中的结论及基本不等式“1”的妙用即可得到的最小值；对于C，由题意设各点的坐标，再由两点斜率公式即可得到；对于D，先由各点坐标结合椭圆方程可得到，从而可证得，由此可知.【详解】由椭圆C：得，则，，，对于A，设将圆C的右焦点为，如图，连接，，由椭圆与的对称性可知，则四边形为平行四边形，故，故A正确；.对于B，，当且仅当，且，即时，等号成立，故的最小值为，故