数学课程导学六章六节

第六节

直接证明与间接证明1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．要点梳理·基础落实考纲点击一、直接证明知识扫描内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_________，最后推导出所要证明的结论成立.从要_______________出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理等)为止．推理论证证明的结论二、间接证明反证法：假设原命题

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出

，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．不成立矛盾[辨析]如何选择证明的方法？提示(1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法．(2)当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述．(3)当所证结论从正面证明较困难时，可采用反证法，即“正难则反”．1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有A．2个B．3个C．4个

D．5个解析由综合法、分析法和反证法的推理过程可知，①②③④⑤都正确．答案D小题热身2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”，故选B.答案B解析要证明原不等式，需两边平方，化简寻找不等式成立的充分条件，故最合理的方法应为分析法，选B.答案B4．已知a<0，－1<b<0，那么A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a解析依题意得ab>0，ab2<0，a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，故ab>ab2>a.答案D对于定义域为[0，1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．试判断g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由．考点突破·规律总结考点一综合法的应用例1【解析】

g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函数，证明如下，因为x∈[0，1]，所以2x≥1，2x－1≥0，即对任意x∈[0，1]，总有g(x)≥0，满足条件①.g(1)＝21－1＝2－1＝1，满足条件②.当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，g(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，g(x1)＋g(x2)＝2x1－1＋2x2－1，于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)＝2x1·2x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)．由于x1≥0，x2≥0，所以2x1－1≥0，2x2－1≥0，于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]≥0，因此g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，满足条件③，故函数g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函数．[规律方法]综合法证题的思路◎变式训练考点二分析法的应用例2[规律方法]

分析法的特点与思路分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”(或定理、性质或已经证明成立的结论等)．通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．◎变式训练考点三反证法的应用例3[规律方法]

用反证法证明问题时要注意以下三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．3．已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．证明

假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.上述三个式子相加得：◎变式训练a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0.即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.由已知a，b，c是互不相等的非零实数，∴上式“＝”不能同时成立，即(a－