第2章 二次函数最值问题复习题 北师大版数学九年级下册专题训练(含解析)

二次函数复习题--最值问题1．已知抛物线，其顶点为，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线：与抛物线第一象限交于点，交轴于点，求的值；（3）若有两个定点，，请在抛物线上找一点，使得的周长最小，并求出周长的最小值．2．已知抛物线（a，b为常数，）与x轴交于点，顶点为D，且过点．(1)求抛物线解析式和点C，D的坐标；(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；②连接BD，当时，求点P的坐标．3．已知：如图，是等腰直角三角形，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，P的速度是，Q的速度是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，解答下列问题：（1）当t为何值时，是直角三角形？（2）问：是否存在某一时刻t，使四边形的面积与面积差最小？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；（3）设的长为，试确定y与t之间的关系式；写出当t分别为何值时，达到最短和最长，并写出的最小值和最大值．4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交双曲线于点抛物线过点B，且与该双曲线交于点D，点D的纵坐标为．（1）求双曲线与抛物线的解析式．（2）若点P为该抛物线上一点，点Q为该双曲线上一点，且P，Q两点的纵坐标都为，求线段的长．（3）若点M沿直线从点A运动到点C，再沿双曲线从点C运动到点D．过点M作轴，交抛物线于点N．设线段的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时m的取值范围．5．在平面直角坐标系中，O为原点，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，点B关于原点的对称点为点C．(1)过A，B，C三点的抛物线的解析式为_______；(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为，当t为何值时，四边形面积最大，并说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，．抛物线过点O，A，B．（1）求该抛物线的解析式；（2）点是线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点E，交抛物线于点F，以为一边，在的右侧作矩形．①若，求矩形面积的最大值；②若，矩形与等腰重叠部分为轴对称图形，求m的取值范围．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．8．如图，抛物线(t＞0)与x轴的交点为B，A(点B在左边)，过线段OA的中点M作MPx轴，交直线(x＞0)于点P.(1)当t＝3时，直线MP于抛物线对称轴之间的距离为______；当直线MP于抛物线对称轴距离为3时，t＝______.(2)把抛物线在直线MP左侧部分的图像(含与直线MP的交点)记为，用t表示最高点的坐标.(3)在(2)的条件下，当t＞4时，图像的最高点与P之间的距离何时有最大值，并求出最大值.9．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，顶点为D，连结AC，BC．（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（2）判断三角形ABC的形状，并说明理由；（3）如图2，点P是该抛物线在第一象限内上的一点．①过点P作y轴的平行线交BC于点E，若CP=CE，求点P的坐标；②连结AP交BC于点F，求的最大值．10．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直角梯形AOCD的顶点A的坐标为（0，），点D的坐标为（1，），点C在x轴的正半轴上，过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C，点P为CD的中点．（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；（2）在y轴右侧的抛物线上是否存在点Q，使以Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切．若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为线段OP上一动点（不与O点重合），过点O、M、D的圆与y轴的正半轴交于点N．求证：OM+ON为定值．（4）在y轴上找一点H，使∠PHD最大．试求出点H的坐标．11．已知：如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2，求出抛物线的“完美三角形”斜边的长；②抛物线与的完美三角形的斜边长的数量关系是______；（2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求的值；（3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为，且的最大值为1，求，的值．12．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即．（1）在上面规定下，抛物线的顶点为，伴随直线为；（2）若顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的左侧）．①若求的值；②如果点是直线BC上方抛物线的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值时，求的值．13．如图1，正方形中，点P为对角线BD上一动点，点E在AD的延长线上，且．(1)填空：PE的长为______；(2)如图2，过点P作于点F，交DC于点H，延长FP交AB于点G，求证：；(3)若点E在直线AD上运动，直线PE与直线CD交于点M，其他条件不变，则PM的长为______；(4)若点P为正方形对角线BD上的动点，则的最小值为______．14．如图，抛物线与轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．15．已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D(1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标；(3)点为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为，当点落在第二象限内，且取得最小值时，求n的值16．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点F的坐标为，求出此时△AFP面积的最大值；(3)如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．17．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“完美三角形”．(1)如图1，已知点A，B在x轴上，点C在y轴上，AB＝3，BC＝6，∠OBC＝30°，试判断△ABC是否是点A，B的“完美三角形”，并说明理由；(2)如图2，已知A（4，0），点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5上，若Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”，求点B的坐标；(3)已知直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点M是线段RS下方抛物线上的一个动点，点N是坐标平面内一点，△RSN为点R，S的“完美三角形”，直接写出M，N两点之间距离的最小值．18．如图，已知抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．(1)请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；(2)连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；(3)若点为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使最大时点的坐标，并请直接写出的最大值．19．正方形ABCD边长为2，点E、F在CB、DC延长线上，且BE=CF，AE与BF延长线交于点G．(1)如图1，求证AE⊥BF；(2)如图2，点M是FG延长线上一点，MG=BG，∠MAD的平分线交BF于点N，连接CN．试探究AN、CN、BN三条线段的数量关系，并证明；(3)如图3，G为BC上一点，过G作GH⊥DG交AB于H点，当BG=____，BH达到最大值，最大值是____．20．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点A（1，0），B（-3，0），与y轴的正半轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，与交于点E，与抛物线交于点F．①连接，当的面积最大时，求此时点F的坐标；②探究是否存在点D使得为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰△ABC底边BC上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，已知直线AB的解析式为y=x+2(1)求该抛物线的解析式；(2)点E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，点M（5，b）是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，当线段EN的长度最大时，求PE+PM的最小值．(3)点H是射线BA上的一个动点，过点D作DH的垂线交射线AC于点G，过点G作OC的垂线交抛物线于点F，直接写出H点坐标为何值时，CG的长为，并写出此时点F的坐标．22．抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于，直线经过，两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点M在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，AC为边的的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．(3)如图2，为直线上方的抛物线上一点，y轴交于点，过点作于点．设，求的最大值；23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，OB=3OA，与y轴交于C点，对称轴是x=1，D为抛物线顶点．(1)求抛物线的表达式和点D的坐标．(2)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．Q是抛物线对称轴上一个点，是否存在以B，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？(4)已知点C和M关于抛物线对称轴对称，点N在直线BC上运动，求的最小值．答案1．解：（1）将点代入得：，解得，；（2）由题意得：解得：或，结合题意可得：顶点而，故，连接并延长至点，使，则是的中垂线，连接交轴于点，由中点公式可得：点，则，则，设为：则，解得：，所以直线的函数表达式为：，故点，在中，，，，过点作与点，设：，则，则，解得：，则，故，即：；（3）作直线，交轴于点，过点作直线交于点，连接，则点，设点，则，则，而，即，而（点位于点时取等号），故的最小值为，而，故周长的最小值为：．2．（1）解：把点，点代入，可得：，解得∴抛物线解析式为，，∴顶点．把代入在，得，∴点．（2）解：由题意可知点P坐标为，①如图，过点P作轴于点H，交直线BC于点E，设直线BC的解析式为，将，点代入，得，解得．∴直线BC的解析式为．∵点P的坐标为，由题意可知，∴点E的坐标为．∴．∴．∵，∴当时，的面积的最大值为．②存在．如图①，当点P在直线BC的上方，且时，则，设直线DB的解析式为，将，点代入，得，解得．∴直线BD的解析式为．∵，∴设直线PC的解析式为．∵，∴．∴．∴直线PC的解析式为．∴．解得，（舍）．当时，．∴点P的坐标为．如图②，当点P在直线BC的下方时，设直线PC与BD交于点M，∵，∴．设，∵，，∴解得．∴点M的坐标为．由点和点可得直线CM的解析式为，由，解得，（舍）．所以点．综上，点P的坐标为或．3．解：（1）由题可得：，，，，．①当时，如图1，，，．，解得：；②当时，如图2，同理可得：，，解得：；综上所述；当为1或时，是直角三角形．（2）分两种情况：①当时，作于，如图3所示：，是等腰直角三角形，，的面积，四边形的面积的面积的面积，四边形的面积的面积，当时，面积差最小，但是，不符合题意；②当时，作于，如图4所示：，是等腰直角三角形，，的面积，四边形的面积的面积的面积，四边形的面积的面积，当时，面积差最小；因此，存在某一时刻，使四边形的面积与面积差最小，；（3）根据题意得：时，存在的值，使最短，；理由如下：如图3所示：，，由勾股定理得：，∴y=，当时，y的最小值，当时，；当时，；综上所述：当时，最短，最小值；当到达时，恰好到达，此时秒，的最大值．4．解：（1）令，则，解得，令，则，所以，点，，时，，所以，点，设双曲线解析式为，则，解得，所以，双曲线解析式为，点的纵坐标为，，解得，点，抛物线过点、，，解得，抛物线的解析式为；（2）当时，，整理得，，解得，，点的坐标为，或，，，解得，点的坐标为，或；（3）①点在上时，，，随的增大而减小，②点在上时，，，时，有最大值为，时，随的增大而减小，③点在上时，，，由图可知，随的增大而减小，综上所述，的最大值是，，，时，随的增大而减小．5．（1）解：联立两直线解析式可得，解得，点坐标为，又点为点关于原点的对称点，点坐标为，直线与轴交于点，点坐标为，设抛物线解析式为，把、、三点坐标代入可得，解得，抛物线解析式为，故答案为：；（2）①当四边形为菱形时，则，直线解析式为，直线解析式为，联立抛物线解析式可得，解得或，点坐标为，或，；②当时，四边形的面积最大．理由如下：如图，过作，垂足为，作轴的垂线，交直线于点，则，线段长固定不变，当最大时，四边形面积最大，又（固定不变），当最大时，也最大，点在抛物线上，点在直线上，点坐标为，点坐标为，，当时，有最大值1，此时有最大值，即四边形的面积最大．6．解：（1）过点A作AD⊥x轴于D∵等腰的斜边在x轴上，，∴OD=DB==4，点B的坐标为（8，0）∴AD==4∴点A的坐标为（4，4）由抛物线过点O，A，B，设抛物线的解析式为将点A的坐标代入，得解得：∴抛物线的解析式为；（2）①设抛物线与直线的右交点为C，联立解得：或∴点C的坐标为（6，3）当0≤m＜6时，如下图所示，∴点E的坐标为（m，），点F的坐标为（m，）∴EF=－=∴S矩形EFGH=FG·EF==∵＜0∴当m=3时，S矩形EFGH有最大值，最大值为；当6≤m≤8时，如下图所示∴点E的坐标为（m，），点F的坐标为（m，）∴EF=－=∴S矩形EFGH=FG·EF==，对应抛物线的开口向上，对称轴为直线m=3，∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大∵6≤m≤8∴当m=8时，S矩形EFGH有最大值，最大值为8；∵＜8∴矩形面积的最大值为8；②（i）当矩形的四个顶点都在抛物线对称轴左侧时，如下图所示，此时，m＋≤4，即m≤，若矩形与等腰重叠部分为轴对称图形，易知此时四边形为正方形∴EF=FG∴=解得：m1=，m2=（不符合前提，舍去）∴此时m=；（ii）当矩形的四个顶点中，E、F在抛物线对称轴左侧、G、H在抛物线对称轴右侧时，如下图所示，此时，m≤4且m＋＞4，即＜m≤4，若矩形与等腰重叠部分为轴对称图形，易知此时抛物线的对称轴直线x=4也是矩形的对称轴∴此时点E的横坐标m=4－FG=；（iii）当矩形的四个顶点都在抛物线对称轴右侧，且H在AB左侧时，如下图所示，矩形与等腰重叠部分为直角梯形，不可能是轴对称图形，不符合题意，舍去；（iiii）当点H落在AB上时，设直线与AB交于点M，∵EH∥OB∴∠EHA=∠OBA=45°∴矩形与等腰重叠部分为等腰直角三角形，即为轴对称图形∴此时符合题意设直线AB的解析式为y=kx＋b将点A、B的坐标代入，得解得：∴直线AB的解析式为y=-x＋8由点E（m，）∴点H的坐标为（m＋，），代入y=-x＋8中，得=-（m＋）＋8解得：m=联立解得：∴点M的坐标为（，）由下图可知：从点H落在AB上到点E与点M重合之前，矩形与等腰重叠部分为等腰直角三角形，即为轴对称图形∴此时符合题意∴≤m＜；（iiiii）当m≥，即点E和点M重合或点E在点M右侧时，如下图所示，矩形与等腰无重叠部分，故不符合题意，舍去；综上：m=或m=或≤m＜．7．解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+2x+3．设直线AC的函数关系式为y＝kx+a（k≠0），将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝x+1．（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点D的坐标为（1，4）．当x＝1时，y＝x+1＝2，∴点B的坐标为（1，2）．设点E的坐标为（x，x+1）．分两种情况考虑（如图1）：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，∴点F的坐标为（x，x+3）．∵点F在抛物线上，∴x+3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝1（舍去），∴点E的坐标为（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，∴点F的坐标为（x，x﹣1）．∵点F在抛物线上，∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，解得：，∴点E的坐标为（）或（，）．综上：满足条件的点E的坐标为（0，1），（）或（，）．（3）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，如图2所示．设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），则点M的坐标为（x，0）．∵点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（2，3），∴AM＝x+1，MN＝2﹣x，PM＝﹣x2+2x+3，CN＝3，AN＝3，∴S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，．∴当x＝时，S△APC取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为（）．8．解：(1)时，=，当y=0时，解得x1=3，x2=-1，∴∴直线MP：∵对称轴∴距离为.=，当y1=0时，解得x1=t，x2=-t-4，∴∴∴直线MP：.对称轴：.∵，∴，∴.(2)直线MP：对称轴：①当，时，∴坐标为②当，时，∴坐标为③当，时，∴坐标为综上所述：0<t<4时，(t-2，2)，t=4时，(2，2)，t>4时，(，)；(3)t>4时，最高点D坐标为P点坐标为∴无最大值9．（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣8）．∵抛物线经过点C（0，4），∴﹣16a=4，解得a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）（x﹣8）=x2+x+4．∵A（﹣2，0）、B（8，0），∴抛物线的对称轴为x=3．∵将x=3代入得：y=，∴抛物线的顶点D坐标为（3，）．（2）三角形ABC是直角三角形，理由如下：∵AB=10，AC=2，BC=4，∴AC2+BC2=AB2．∴∠BCA=90°，所以三角形ABC是直角三角形.(3)①如图1所示：作CM⊥PE，垂足为M．设直线BC的解析式为y=kx+b．∵将B、C的坐标代入得：，解得k=﹣，b=4，∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．设点P（m，﹣m2+m+4），则点E（m，﹣m+4），M（m，4）．∵PC=EC，CM⊥PE，∴PM=EM．∴﹣m2+m+4﹣4=4﹣（﹣m+4），解得：m=0（舍去），m=4．∴P（4，6）．②作PN⊥BC，垂足为N．由①得：PE=﹣m2+2m．∵PE∥y轴，PN⊥BC，∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．∴△PNE∽△BOC．∴=．∴PN=PE=（﹣m2+2m）．由（2）知∠BCA=90°，又∵∠PFN=∠CFA，∴△PFN∽△CAF．∴=﹣m2+m．∴当m=4时，的最大值为．10．解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，），∴设抛物线的解析式为y＝a(x−1)2＋，将（0，0）代入，得a＋＝0，a＝−，∴抛物线的解析式为y＝−(x−1)2＋，即

y＝−x2＋2x，设y＝0，则x＝0或2，∴点C的坐标为（0，2），∵点P为CD的中点，∴；（2）在y轴右侧的抛物线上存在点Q，使以Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切，理由如下：①若⊙Q在直线OP上方，则Q与D点重合，此时Q1(1，)；②若⊙Q在直线OP下方，与y轴、直线OP切于E、F，则QE＝QF，QE⊥y轴，QF⊥OP，∴OQ平分∠EOF，∵∠EOF＝120°，∴∠FOQ＝60°，∵∠POC＝30°，则∠QOC＝30°，设Q(m，−m)，则−m＝−m2＋2m，解得m1＝0（舍去），m2＝，∴Q2(，−)；（3）证明：∵在过点O、M、D的圆中，有∠MOD＝∠NOD，∴，∴MD＝ND，易得OD平分∠AOP，DA⊥y轴，DP⊥OP，∴DA＝DP，可证得△NAD≌△MPD（HL），∴MP＝AN，∴OM＋ON＝OP−MP＋OA＋AN＝OP＋OA＝2OA＝，则OM＋ON＝2，即OM＋ON为定值；（4）作过P、D两点且与y轴相切于点H的圆S，则由圆周角大于圆外角可知，∠PHD最大．设S（x，y），则由HS＝SD＝SP，可得，y＝2±6，∵0＜y＜，∴H（0，2−6）．11．（1）①过点作轴于，∵△AMB为等腰直角三角形，∴∠ABM=45°，∵AB∥x轴，∴∠BMN=∠ABM=45°，∴∠MBN=90°-45°=45°，∴∠BMN=∠MBN，∴MN=BN，设点坐标为，代入抛物线，得，∴，（舍去），∴MN=BN=1，∴∴在Rt△AMB中，∴抛物线的“完美三角形的斜边②∵抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同，∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；故答案为：相等．（2）∵抛物线与抛物线的形状相同，∴抛物线与抛物线的完美三角形”全等，∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为4，∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为4，∴点坐标为或，∴．（3）∵的最大值为－1，∴，∴，∵抛物线的“完美三角形”斜边长为，抛物线的“完美三角形”斜边长为，∴点坐标为，∴代入抛物线，得，∵n＞0∴，∴，∴12．（1）抛物的顶点坐标为(-1，-4)，伴随直线为，即，故答案为：(-1，-4)；；（2）当时，有，解得：，∴点C的坐标为(-1，0)，点D的坐标为(3，0)．抛物线的伴随直线为，即，联立，解得：，，①∵A(1，-4m)，B(2，-3m)，C(-1，0)，∴，，．∵∠CAB=90°，∴，即，解得：，（不合题意，舍去），∴m的值为；②过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，如图所示．设直线BC的解析式为（k≠0），将点B(2，-3m)、C(-1，0)代入，得：，解得：，∴直线AC的解析式为．设点P的坐标为，则点Q的坐标为(，)，∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，∴，∴S=，∴当时，△PBC的面积有最大值，依题意得：，∴．13．（1）解：如图，过点P作于点F，∵点P在正方形对角线BD上，∴∠ADP=45°，∵，，∴，∴，在Rt△中，根据勾股定理得：，（2）证明：∵，，∴∴，如图，作于点I，得到矩形，矩形，∴GI=AD，BG=CI，∴AD=CD=GI，∵GI=CD，∠GIC=∠CDE=90°，∴△HIG≌△DEC（AAS），∴HI=DE，∴CI=CH+HI=CH+DE，∴BG=CH+DE．（3）当点M在CD边上时，过点PN⊥AD于点N，∴PNDM，∴△EDM∽△ENP，∴，由（1）得：，∴，∴；当点在CD延长线上时，作于点O，由（1）知：AO=NO=2，∵，∴，∵，ON=DN，，∴△≌△（ASA），∴，∴，综上：PM的长为或（4）点P为正方形ABCD对角线BD上的动点，∴BD=，∴，∴当时，的最小值为36．14．（1）解：将，代入中，可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）解：存在，理由如下：如图，∵、两点关于抛物线的对称轴对称，∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，∵点是抛物线与轴的交点，∴的坐标为，又∵，∴直线解析式为：，∴点坐标即为，解得：，∴；（3）解：存在，理由如下：如图，设，过点作轴交于点，连接、、，∵，若有最大值，则就最大，∴，∵，又∵，∴，∴，∴，∴当时，最大值为．15．（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：．∴抛物线的解析式为．∴∴抛物线的顶点坐标为，（2）设直线的解析式为．∵将点A和点C的坐标代入得，解得．∴直线的解析式为．如图，设点，∴，∴＝，∴，∴当m时，，，∴P（，）；（3）∵落在第二象限内，H关于y轴的对称点为∴点在第一象限，即n＞0，t＞0．∵抛物线的顶点坐标为（1，4），∴，∵在抛物线上，∴，∴，∵，，∴＝＝＝＝；∴当t时，有最小值，即有最小值，∴，解得或，∵，∴不合题意，舍去，∴n的值为．16．（1）解：∵抛物线与x轴交于点，∴，解得：，∴该抛物线所对应的函数解析式为；（2）如图1，过点P作PQy轴交直线AF于点Q，设直线AF的解析式为，∵，∴，解得：，∴直线AF的解析式为，设，则Q，∴，∴，∵＜0，，∴当t时，△AFP面积的最大值为；（3）设P（m，）（），F（0，n），∵A（3，0），∴OA3，OF|n|，①当APAF，∠PAF90°时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，则∠ADP90°∠AOF，∴∠PAD+∠APD90°，∵∠PAD+∠FAO90°，∴∠APD∠FAO，在△APD和△FAO中，，∴△APD≌△FAO（AAS），∴PDOA，ADOF，∵PD，AD，OA，∴，解得：m0或2，当m0时，P（0，3），AD3，∴OF3，即|n|3，∵点F在y的负半轴上，∴，∴F；当m2时，P（2，3），AD1，∴OF＝1，即|n|1，∵点F在y的负半轴上，∴，∴F（0，）；②当APPF，∠APF90°时，如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G，则∠PDA∠PDO∠PGF90°，∵∠PDO∠PGF∠DOG90°，∴四边形PDOG是矩形，∴∠FPG+∠FPD90°，∵∠APD+∠FPD∠APF90°，∴∠FPG∠APD，在△FPG和△APD中，，∴△FPG≌△APD（AAS），∴PGPD，FGAD，∵PD，AD3﹣m，PGm，∴m，解得：（舍去），，当m＝时，P（，），∴＝，∴F（0，）；综上所述，点F的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．17．（1）解：∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，∴COBC，∵BC＝6，∴CO＝3，又∵AB＝3，∴CO＝AB即△ABC的边AB上的高等于AB，∴△ABC是点A，B的“完美三角形”；（2）分A、B、C为直角顶点讨论：①若C为直角顶点，如答图1，则∠ACB＝90°，作CH⊥AB于H，取AB中点M，根据Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”得AB＝CH，∵M为AB中点，∠ACB＝90°，∴CMAB，CH⊥AB于H有CM≥CH，∴AB≥AB得AB≤0，这和AB为线段矛盾，故C不可能为直角顶点；②若A为直角顶点，如答图2，过A作y轴平行线交直线y＝2x﹣5于C，∵A（4，0），∴C点横坐标＝4，代入y＝2x﹣5得C纵坐标＝3，即AC＝3，∵Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”，∴AB＝3，∴（1，0）或（7，0）；③若B为直角顶点，如答图3，过B作y轴平行线交直线y＝2x﹣5于C，设B（m，0），则C（m，2m﹣5），∴BC＝|2m﹣5|，而A（4，0），故AB＝|4﹣m|，∵Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”，∴BC＝AB，即|2m﹣5|＝|4﹣m|，由2m﹣5＝4﹣m得m＝3，此时（3，0），由2m﹣5＝m﹣4得m＝1，此时（1，0）；综上所述，Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”，（1，0）或（7，0）或（3，0）；（3）由得，，如答图4，∴R（﹣1，1），S（2，4），∴RS＝3，∵△RSN为点R，S的“完美三角形”，∴N到RS的距离为3，令y＝x+2中y＝0可得x＝﹣2，即直线y＝x+2与x轴交点D（﹣2，0），过D作DE⊥RS，在垂线上取DE＝3，（注：点M是线段RS下方抛物线上的一个动点，且M，N两点之间距离的最小值，故E应在D右侧）∵直线y＝x+2与x轴夹角∠ODR＝45°，∴∠ODE＝45°，过E作EFRS交x轴于F，则△DEF是等腰直角三角形，∵DE＝3，∴DF＝6，∴F（4，0），设EF解析式为y＝x+b，将F（4，0）代入可得EF为y＝x﹣4，即N点在直线y＝x﹣4上，且直线y＝x﹣4与y轴交点P（0，﹣4）∵线段RS下方抛物线上的一个动点M到EF距离最近，∴将直线y＝x﹣4平移至与抛物线只有一个交点时，此交点即为M，设此时直线为y＝x+c，由联立方程只有一个交点，得，即，可得c，即直线MN为y＝x，∴直线MN与y轴交点G（0，），过G作GH⊥EF于H，则△GHP是等腰直角三角形，且GP，∴GH，∴M，N两点之间距离的最小值是，故答案为：．18．（1）解：∵，令x=0，则y=3，令y=0，则，解得x=-4或1，∴A（-4，0），B（1，0），C（0，3），∵，∴对称轴为直线x=-；（2）解：如图所示：过N作NQ⊥x轴于点Q，由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN=90°，BM=AB=5，BN=BC，∴M（1，5），∠OBC+∠QBN=90°，∵∠OBC+∠BCO=90°，∴∠BCO=∠QBN，又∵∠BOC=∠NQB=90°，BN=BC，∴△OBC≌△QNB（AAS），∴BQ=OC=3，NQ=OB=1，∴OQ=1+3=4，∴N（4，1）；（3）解：设直线NB的解析式为y=kx+b.∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，∴，解得：，∴直线NB的解析式为：y=x-，当点P，N，B在同一直线上时|NP-BP|=NB=，当点P，N，B不在同一条直线上时|NP-BP|＜NB，∴当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大，即点P为直线NB与抛物线的交点．解方程组：，解得：或，∴当P的坐标为（1，0）或时，|NP-BP|的值最大，此时最大值为．19．（1）解：证明：如图1，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，．（2），证明：如图2，连接，作交于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）如图3，设，，，，，，，，，，，当时，，当，达到最大值，最大值是，故答案为：1，．20．（1）解：将点A（1，0）、B（−3，0）代入y＝，得：，解得：∴二次函数解析式为．（2）①令x=0，代入，得：，∴C（0，3），∵B（-3，0），∴设直线BC的解析式为y=kx+b，代入得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x+3设F（x，），则E（x，x+3）∴FE=-（x+3）=，∴的面积=（）=，∴x=-时，的面积最大，此时F（-，）；②Ⅰ当∠CFE=90°时，如图：∵DFy轴，∴DF⊥x轴，∴∠ODF=∠CFE=90°，∴CFOB，∴点F的纵坐标为3，∴3=﹣﹣2x+3，解得=0（舍去），=﹣2，∴F（﹣2，3），Ⅱ当∠ECF=90°时，过点C作CH⊥EF于H，∵DFy轴，∴DF⊥x轴，∴∠BDE=90°，∵C（0，3），B（﹣3，0），∴OC=OB=3，∴∠OBC=45°，∴∠OEB=∠CEH=45°，∵∠ECF=90°，∴CE=CF，∵CH⊥EF，∴EF=2CH，设D（m，0），则E（m，m+3），F（m，），∴EF=﹣（m+3）=﹣﹣3m，CH=﹣m，∴﹣﹣3m=﹣m，∴=0（舍去），=﹣1，∴点D坐标为（﹣1，0）．∴F（﹣1，4）综上，点F的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．21．（1）∵抛物线的顶点为A，∴.A的横坐标为2，又∵直线AB的解析式为∴当时，，当时，∴点A的坐标为（2，4），B（，0）将（2，4），（，0）代入得：，∴抛物线的解析式为．（2）由（1）得：∵对称轴为直线，B（，0）设E（t，），N（t，）∴当时，EN最大为1∴E（4，3）∵AD是此抛物