第2章光的衍射

第二章光的衍射

Chap.2DiffractionofLight§2.1惠更斯-菲涅耳原理（0.5课时）§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射（1.5课时）§2.3夫琅禾费单缝衍射*（1.5课时）§2.4夫琅禾费圆孔衍射（0.5课时）§2.5平面衍射光栅*（2课时）§2.6晶体对X射线的衍射§2复习课（1课时）§2.1惠更斯-菲涅耳原理一、光的衍射现象水波的衍射声波的衍射（隔墙有耳）

机械波的衍射现象手影月食

光波的直线传播现象

明显衍射的条件：障碍物的线度与波长可以比拟。圆孔的衍射图样圆屏的衍射图样

光的衍射定义光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强不均匀分布的现象，称为光的衍射。二、惠更斯原理1.相关概念（1）波面（波阵面）：振动相位相同的点所构成的面称为波面（波阵面）。（2）波线（波射线）：表示波的传播方向的射线称为波线（波射线）。在各向同性介质中，波线总是与波面垂直。（3）平面波与球面波：波面为平面的波称为平面波；波面为球面的波称为球面波。2.惠更斯原理

任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发出球面次波；在以后的任何时刻，所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。球面波平面波O次波源次波波面t+Dt

时刻波面t时刻波面

Δt成功之处直线传播规律反射、折射规律双折射现象较好的解释光的不足之处不能解释干涉、衍射现象导致倒退波的存在惠更斯原理

波面S上每个面元dS都可看成新的波源，它们均发出次波，空间某一点P的振动是所有这些次波在该点的相干叠加。三、惠更斯—菲涅耳原理dS

发出的各次波的相位和振幅符合下列假设：1.S为等相位面，设初相为零，即φ0=02.dS发出的次波为球面波，在P点引起的振动振幅与r成反比3.P点的振动振幅与dS成正比，与倾角θ有关

·

PdE

(P)rQdSS(波面)n·4.次波在P点的相位由光程Δ=nr决定（φ=-

2πΔ/λ）

=0，

K=Kmax

K(

)

90o，K=0波面上振幅的分布函数A(Q)

dS发出次波的波动方程为由以上4条假设知：惠-菲原理的数学表达式

·

PdE

(P)rQdSS(波面)n·1.菲涅耳衍射（近场衍射）2.夫琅禾费衍射（远场衍射）r0

和R中至少有一个是有限值。r0

和R皆为无限大。*SPr0RB光源障碍物观察屏四、衍射的分类§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射一、菲涅耳半波带

相邻波带的对应部分所发出的次波到达P点时的光程差为

/2；亦即它们同时到达P点时的相位差为。二、合振幅的计算球冠的面积为对ΔOBkP应用余弦定理可得结论：各个波带所发次波传到P点时振幅ak随k的增大而缓慢减小；相位逐个相差。a1a3a5

ak

a4a2Ak

k是偶数a1a3a5

ak

Ak

a6

a4a2

k是奇数P点的合振幅k为奇数取“+”；k为偶数取“-”

应用惠更斯-菲涅耳原理来计算从点光源发出的光传播到任一点P时的振幅，只要把球面波波面相对于P分成若干个半波带，将第一个带和最末一个（第k个）带所发出的次波的振幅相加（k为奇数）或相减（k为偶数）即可。三、圆孔的菲涅耳衍射1.实验装置2.P点的光强首先考虑通过圆孔的波面S含有k个完整的菲涅耳半波带在ΔABP中：·RSOPRhB0r0rkBAλ·在ΔOAB中：·RSOPRhB0r0rkBAλ·讨论：

对P点，若波面S恰好分成k个半波带时：k

为偶数最小k

为奇数最大

对P点，若波面S中还含有不完整的半波带时：光强介于最大和最小之间

观察屏在对称轴上移动时，屏上的光强发生交替变化，在某些点较强，某些点较弱。（1）当入射光的波长λ及圆孔的位置R和大小Rh给定时，k取决于观察点P的位置r0。（2）确定观察点P（即r0一定），改变圆孔的位置R或大小Rh，P点的光强发生强弱变化。（4）若不用光阑（Rh→∞）：

无遮蔽的整个波面对P点的作用等于第一个波带在该点作用的一半。

光的直线传播是Rh>>λ时的极限情况。（3）若对确定的P点，圆孔仅够分成一个半波带（6）要发生衍射，光源O的线度要足够小。（5）如果平行光入射，即R→∞四、圆屏的菲涅耳衍射·OB0P

圆屏遮蔽了前k个半波带，从k+1个半波带到最后的半波带（a∞→0）在P点叠加，合振幅为：

不管圆屏的大小和位置怎样，圆屏几何影子的中心永远有光到达。1.实验装置2.P点的光强讨论：

若圆屏足够小，仅遮蔽中心半波带的一部分，则光可完全绕过它，除在圆屏“几何影子”的中心有亮点（泊松亮斑）外，光屏上没有任何影子；圆屏衍射图样：以P为中心，在其周围有一组明暗交替的衍射环。

圆屏的面积越小，被遮蔽的半波带数目k就越少，ak+1就越大，P点的光越强；改变圆屏与光源间或圆屏与光屏间距离时，k随之改变，因而将影响P点的光强；五、波带片即奇数带和偶数带的贡献相互抵消

如果把所有偶数带（或奇数带）挡住，只剩下奇数带（或偶数带），P点振幅将大大加强。挡住偶数带：挡住奇数带：

在任何情况下，合成振动的振幅均为相应的各半波带在观察点所产生的振动振幅之和，这种光学元件叫做波带片。波带片六、直线传播和衍射的关系2.如果波面完全不被遮蔽，所有次波在任何观察点叠加的结果就形成光的直线传播；如果波面被部分遮蔽，这部分所发出的次波就不能到达观察点，叠加时由于缺少了这部分次波的参加，便发生衍射现象。至于衍射现象是否显著，与障碍物的线度及观察距离有关。3.衍射现象是光的波动性最基本的表现，光沿直线传播不过是衍射现象的极限表现。1.光的传播总是按照惠更斯-菲涅耳原理进行；§2.3夫琅禾费单缝衍射一、实验装置bf1f'2

单狭缝衍射图样的特点是在中央有一条特别明亮的亮条纹，两侧排列着一些强度较小的亮条纹。相邻的亮条纹之间有一条暗条纹。如以相邻暗条纹之间的间隔作为亮条纹的宽度，则两侧的亮条纹是等宽的，而中央亮条纹的宽度为其他亮条纹的两倍。

二、衍射图样分析（菲涅耳半波带法）夫琅禾费单缝衍射衍射角菲涅耳半波带衍射角为0最小值（暗纹）次最大（明纹）中央最大值（明纹）1.条纹的位置（θ）衍射图样特点总结：θ很小时2.条纹角宽度（条纹到透镜中心所张的角度）中央明纹其他明纹3.条纹线宽度（条纹间距Δy）中央明纹其他明纹

中央明条纹的角宽度等于其他明条纹角宽度的2倍。中央明条纹的宽度等于其他明纹宽度的2倍。中央明纹的半角宽度4.白光衍射图样5.缝宽对衍射图样的影响只显出一条亮线——线光源的几何像∴几何光学是波动光学在b>>

时的极限情形。衍射反比律不同形状障碍物产生的衍射图样

将B’B分成一组（N个）平行于缝长的等宽窄带，每个窄带都可看作发射次波的波源，它们发出的次波振幅近似相等，设为a。相邻两窄带发出的次波到达P点的光程差为三、强度的计算（振幅矢量法）

对于衍射角为θ的衍射线，单缝两边缘衍射线到P点的光程差δ=bsinθ，对应的相位差

相应的相位差P点光强为：式中，即中央最大值处的光强。

强度公式的讨论令由中央最大位置，与P0点对应由（1）中央最大值位置：（2）最小值位置：由最小值位置（3）次最大值位置：

y1

=tanuu0

2

-

-2

y0·

y2=u-2.46

·-1.43

·+1.43

··+2.46

解得:相应:前几个次最大的位置及相对光强次最大序号1234次最大位置相对强度（4）强度分布曲线

各级最大值不相等，中央最大值的光强最大，次最大都远小于中央最大值，并随着级数的增大而很快的减小。[例题2.1]波长为λ=632.8nm的氦氖激光垂直地投射到缝宽b=0.0209mm的狭缝上。现有一焦距f’=50cm的凸透镜置于狭缝后面，试求：（1）由中央亮条纹的中心到第一级暗纹的角距离为多少？（2）在透镜的焦平面上所现察到的中央亮条纹的线宽度是多少？解：（1）（2）§2.4夫琅禾费圆孔衍射一、实验装置与衍射图样f

f'

衍射图样是一组同心的明暗相间的圆环。第一暗环为范围的中央亮斑的光强占整个入射光束光强的84%，这个中央光斑称为艾里斑。艾里斑二、艾里斑半角宽度艾里斑半角宽度：艾里斑线半经：

λ愈大或D愈小，衍射现象愈显著；当λ/D<<1时，衍射现象可忽略。§2.5平面衍射光栅

基本概念d反射光栅d透射光栅

a是不透光（或不反光）部分的宽度，b是透光（或反光）部分的宽度。d=a+b

3.光栅常量2.分类1.光栅

任何具有空间周期性的衍射屏都叫做衍射光栅。由大量等宽等间距的平行狭缝或反射面构成的光学元件。▲一、实验装置衍射角▲二、衍射图样夫琅禾费单缝衍射衍射角夫琅禾费单缝衍射衍射角衍射角sin

0I单I0单-2-112(

/a)单缝衍射光强曲线IN2I0单048-4-8sin

(

/d)单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线光栅的衍射图样是单缝衍射和多缝干涉的总效果。主最大（主明纹）（j=0,1,2…）--光栅方程P点为主明纹时1.主最大（主明纹）位置A衍射角

衍射图样分析（振幅矢量法）2.最小值位置

由同频率、同方向振动合成的矢量多边形法则衍射角3.次最大（次明纹）相邻主最大之间有N-1个最小值和N-2个次最大。IN2I0单048-4-8sin

(

/d)单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线N=4相邻主最大之间有N-1个最小值。

光栅衍射的特点是：在黑暗的背景上呈现一系列分得很开的细窄亮线。

实验观察到衍射图样的强度分布具有如下特征：（1）与单缝衍射图样相比，多缝衍射的图样中出现一系列新的强度最大值和最小值。其中那些较强的亮线叫做主最大，较弱的亮线叫做次最大。（2）相邻主最大之间有N-1条暗纹和N-2个次最大。（3）主最大的位置与缝数N无关，但它们的宽度随N的增大而减小，其强度正比于N2。（4）强度分布中保留了单缝衍射因子，那就是曲线的包迹（即外部“轮廓”）与单缝衍射强度曲线形式一样。双缝三缝四缝五缝▲三、光强分布衍射角衍射角光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。单缝衍射因子：决定各主最大的相对强度缝间干涉因子：决定各级主最大位置干涉因子的分布曲线光栅衍射强度的分布曲线N=6单缝衍射因子对干涉主最大起调制作用。单缝衍射最小值位置（各缝重叠）多缝干涉主最大位置0多缝干涉最小位置▲四、双缝衍射如果在光栅中令N=2，则双缝间的干涉因子(2-28)式变为

是一种被单缝衍射调制的双缝干涉条纹。

衍射因子干涉因子sin

0I0-2

/b-

/b

/b2

/b单缝衍射光强曲线双缝干涉光强曲线双缝衍射光强曲线▲五、干涉和衍射的区别和联系

从根本上讲，干涉和衍射两者的本质都是波的相干叠加的结果，只是参与相干叠加的对象有所区别，干涉是有限几束光的叠加，而衍射则是无穷多次波的相干叠加。其次，出现的干涉和衍射图样都是明暗相间的条纹，但在光强分布（函数）上有间距均匀与相对集中的不同。最后，在处理问题的方法上，从物理角度来看，考虑叠加时的中心问题都是相位差；从数学角度来看，相干叠加的矢量图由干涉的折线过渡到衍射的连续弧线，由有限项求和过渡到积分运算。总之，干涉和衍射是本质上统一，但在形成条件、分布规律以及数学处理方法上略有不同而又紧密关联的同一类现象。▲六、光栅方程

1.平行光垂直入射

θ为衍射角，均取正值。当θ与θ0在法线同侧时[图(a)]，上式左边括号中取加号；在法线异侧时取减号[图(b)]。

2.平行光斜入射（θ0）光栅平面光栅平面法线▲七、谱线的半角宽度

主最大附加第一最小值

从主最大的中心到其一侧的附加第一最小值之间的角距离就是每一谱线的半角宽度（）▲八、谱线的缺级

如果衍射角既满足光栅方程的主最大条件，又满足单缝衍射的最小值条件，这些主最大将消失。光栅方程只是主最大的必要条件。干涉因子的分布曲线光栅衍射强度的分布曲线N=6d=4b▲九、光栅光谱

波长不同的同级谱线（主最大）集合起来构成的一组谱线称为光栅光谱。

一级光谱

二级光谱

三级光谱▲零级单缝衍射j级光栅衍射十、闪耀光栅[例题2.3]已知平面透射光栅狭缝的宽度b=1.582×10-3mm，若以波长λ=632.8nm的氦氖激光垂直入射在这个光栅上，发现第四级缺级，会聚透镜的焦距为f2’=1.5m。试求：（1）屏幕上第一级亮条纹与第二级亮条纹的距离；（2）屏幕上所呈现的全部亮条纹数。解：（1）（2）看不到第二章光的衍射复习课1.了解光的衍射现象、衍射的条件及分类，理解惠更斯-菲涅耳原理；2.理解菲涅耳半波带理论及菲涅耳圆孔和圆屏衍射，了解波带片；3.掌握夫琅和费单缝衍射的实验装置、光强分布及衍射图样的特点；4.了解夫琅和费圆孔衍射，掌握艾里斑半角宽度公式；5.掌握平面衍射光栅的实验装置、光强分布及光栅方程，理解谱线的缺级、光栅光谱。一、基本要求二、基本内容1.惠更斯—菲涅耳原理（2）菲涅耳半波带

任意相邻波带所发出的次波到达空间一点P时的光程差为

/2；亦即它们同时到达P点时的相位差为，这样的波带叫做菲涅耳半波带。

·

PdE

(P)rQdSS(波面)n·（1）数学表达式2.菲涅耳衍射（近场衍射）（1）圆孔的菲涅耳衍射

若不用光阑（Rh→∞）：

若对确定的P点，圆孔仅够分成一个半波带（2）圆屏的菲涅耳衍射泊松亮斑3.夫琅禾费衍射（远场衍射）最小值（暗纹）次最大（明纹）中央最大值（明纹）

条纹的位置（θ）

条纹角宽度（条纹到透镜中心所张的角度）中央明纹其他明纹中央明纹的半角宽度（1）夫琅禾费单缝衍射

条纹线宽度（Δy）中央明纹其他明纹（2）夫琅禾