2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第七章7-5　正态分布

7.5正态分布A级必备知识基础练1.某厂生产的零件外径X~N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件,测得其外径分别为9.9cm,9.3cm,则可认为()A.上午生产情况正常,下午生产情况异常B.上午生产情况异常,下午生产情况正常C.上午、下午生产情况均正常D.上午、下午生产情况均异常2.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ≤4)=0.9,则P(2≤ξ≤1)=()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.63.已知X~N(0,1),则X在区间(∞,2)内取值的概率为()A.0.9545 B.0.0455C.0.9773 D.0.022754.某工厂生产了10000根钢管,其钢管内径(单位:mm)近似服从正态分布N(20,σ2)(σ>0),工作人员通过抽样的方式统计出,钢管内径高于20.05mm的占钢管总数的150,则这批钢管中,内径在19.95mm到20mm之间的钢管数约为(A.4200 B.4500C.4800 D.52005.已知X~N(4,σ2),且P(2≤X≤6)≈0.6827,则σ=,P(|X2|≤4)=.

6.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为.

7.已知某地外来务工人员年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.(1)写出此地外来务工人员年均收入的密度函数解析式;(2)求此地外来务工人员年均收入在8000~8500元的人数所占的百分比.8.设X~N(4,1),证明P(2≤X≤6)=2P(2≤X≤4).B级关键能力提升练9.若随机变量X的正态分布密度函数为f(x)=12πe-x22,X在(2,1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1A.p1>p2 B.p1<p2C.p1=p2 D.不确定10.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(1≤ξ≤0)=()A.12+p B.1pC.12p D.1211.在某市2022年3月份的高三线上质量检测考试中,学生的数学成绩X服从正态分布X~N(98,100).已知参加本次考试的全市学生有9455人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第()A.1500名 B.1700名 C.4500名 D.8000名12.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),其正态曲线在(∞,80]上单调递增,在[80,+∞)上单调递减,且P(72≤X≤88)≈0.6827,则()A.μ=80B.σ=4C.P(X>64)=0.97725D.P(64<X<72)=0.135913.(多选题)下列说法中正确的是()A.设随机变量X服从二项分布X~B6,12,则P(X=3)=516B.已知随机变量X服从正态分布X~N(2,σ2)且P(X≤4)=0.9,则P(0≤X≤2)=0.4C.已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,则P(X>2)的值为1+D.E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=2D(X)+314.已知某正态分布的概率密度函数为f(x)=12π·e-(x-1)22,x∈(∞,+∞),则函数f(15.(2022云南昭通期末)某照明单元按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则照明单元正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(2000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该照明单元的使用寿命超过2000小时的概率为.

16.某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).(1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;(2)如果钢管的直径X在60.6mm~69.4mm之间为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数Y的分布列和数学期望.(精确到0.01)(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)C级学科素养创新练17.(2022山东泰安模拟)随着时代发展和社会进步,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本,整理得到如表频数分布表:笔试成绩X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数51025302010由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中,μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值代替),则μ=.若σ=12.9,据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9分的人数(结果四舍五入精确到个位)为.

参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.7.5正态分布1.A因测量值X为随机变量,又X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,记I=[μ3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],则9.9∈I,9.3∉I.故选A.2.C由题意可知正态曲线关于x=1对称,P(ξ>4)=1P(ξ≤4)=0.1,根据对称性可知,P(ξ<2)=P(ξ>4)=0.1,故P(2≤ξ≤1)=0.5P(ξ<2)=0.50.1=0.4.3.D由题知对应的正态曲线的对称轴为x=0,所以P(X<2)=0.512P(2≤X≤2)≈0.512×0.9545=0.0224.C∵P(X<19.95)=P(X>20.05)=150∴P(19.95≤X≤20.05)=1250∴P(19.95≤X≤20)=2450故这批钢管内径在19.95mm到20mm之间的钢管数约为10000×1225=45.20.84∵X~N(4,σ2),∴μ=4.∵P(2≤X≤6)≈0.6827,∴∴σ=2.∴P(|X2|≤4)=P(2≤X≤6)=P(2≤X≤2)+P(2≤X≤6)=12[P(2≤X≤10)P(2≤X≤6)]+P(2≤X≤6)=12P(2≤X≤10)+12P(2≤X≤6)≈12×0.9973+12×0.6.10由题意知,P(ξ>110)=1-2P(故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.7.解设此地外来务工人员年均收入X~N(μ,σ2),结合题图可知,μ=8000,σ=500.(1)此地外来务工人员年均收入的密度函数解析式为f(x)=15002πe-(2)∵P(7500≤X≤8500)=P(8000500≤X≤8000+500)≈0.6827,∴P(8000≤X≤8500)=12P(7500≤X≤8500)≈0.34135=34.135%故此地外来务工人员年均收入在8000~8500元的人数所占的百分比为34.135%.8.证明因为μ=4,所以正态曲线关于直线x=4对称,所以P(2≤x≤4)=P(4≤X≤6).又因为P(2≤X≤6)=P(2≤X≤4)+P(4≤X≤6),所以P(2≤X≤6)=2P(2≤X≤4).9.C由题意知μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.10.D由已知得P(1≤ξ≤0)=12P(1≤ξ≤1)=12[12P(ξ>1)]=111.A因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X>108)=12[1P(88≤X≤108)]=12[1P(μσ≤X≤μ+σ)]≈12×(10.6827)=0.15865.所以0.15865×945512.ACD因为正态曲线在(∞,80]上单调递增,在[80,+∞)上单调递减,所以正态曲线关于直线x=80对称,所以μ=80;因为P(72≤X≤88)≈0.6827,结合P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,可知σ=8;因为P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,且P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈12×(10.9545)=12×0.0455=所以P(X>64)=0.97725;因为P(X<72)=12(1P(72≤X≤88))≈12×(10.6827)=0所以P(64<X<72)=P(X>64)P(X>72)=0.97725(10.15865)=0.1359.13.AB∵随机变量X服从二项分布X~B6,12,则P(X=3)=C63123×1123=516,故∵随机变量X服从正态分布X~N(2,σ2),∴正态曲线的对称轴是x=2.∵P(X≤4)=0.9,∴P(2≤X≤4)=0.4,∴P(0≤X≤2)=P(2≤X≤4)=0.4,故B正确;已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,则P(X>2)=12[1P(|X|≤2)]=1-a2,E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=4D(X),故D错误.14.x=10.1359由正态分布的概率密度函数知μ=1,σ=1,所以总体分布密度曲线关于直线x=1对称,且在x=1处取得最大值.根据正态分布密度曲线的特点可知x=1为f(x)的极大值点.由X~N(1,1)知P(2<X≤3)=12[P(1≤X≤3)P(0≤X≤2)]=12[P(12×1≤X≤1+2×1)P(11≤X≤1+1)]≈12×(0.95450.6827)=015.38设元件1,2,3的使用寿命超过2000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=则该照明单元的使用寿命超过2000的事件为(AB+AB+AB)故该照明单元的使用寿命超过2000小时的概率为P=12×116.解(1)由题得μ=65,σ=2.2,μ3σ=58.4,μ+3σ=71.6,而73∈(μ+3σ,+∞),∴P(X>71.6)=1-P(58.4≤X≤71.6(2)因为μ=65,σ=2.2,μ2σ=60.6,μ+2σ=69.4,由题意可知钢管直