中考数学复习之小题狂练（填空题）：锐角三角函数（10题）

第1页（共1页）2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：锐角三角函数（10题）一．填空题（共10小题）1．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为米．2．（2021•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是．3．（2021•黔东南州模拟）在△ABC中，（tanA﹣3）2+|2cosB﹣|＝0，则△ABC为三角形．4．（2021•张家川县模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB＝．5．（2021•商河县校级模拟）若α是锐角，且sinα＝1﹣3m，则m的取值范围是；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是．6．（2021•海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是．7．（2021•荆州模拟）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，已知AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，则点D离地面的高度DE为cm．（结果精确到0.1cm；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）8．（2021•百色）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为米．9．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）．10．（2021•荆州模拟）如图，小华站在长江大堤上的点E处，看见江中有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BE＝0.7米，BE平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡长为5米，点A，B，C，D，F，E在同一平面上，则此时小船C到岸边的距离CA的长是米．（结果保留根号）

2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：锐角三角函数（10题）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为10米．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设上升的高度为x米，∵上山直道的坡度为1：7，∴水平距离为7x米，由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），故答案为：10．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．2．（2021•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】根据在直角三角形中sinB＝，代值计算即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，∴sinB＝＝．故答案为：．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，正弦＝是解题的关键．3．（2021•黔东南州模拟）在△ABC中，（tanA﹣3）2+|2cosB﹣|＝0，则△ABC为直角三角形．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；特殊角的三角函数值．【专题】实数；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【分析】根据非负数的性质和特殊锐角三角函数值可求出∠A、∠B的度数，进而判断三角形的形状．【解答】解：∵（tanA﹣3）2+|2cosB﹣|＝0，∴tanA﹣3＝0，2cosB﹣＝0，即tanA＝，cosB＝，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴△ABC为直角三角形，故答案为：直角．【点评】本题考查非负数的性质、特殊锐角三角函数值以及三角形的内角和，求出∠A、∠B的大小是正确判断的关键．4．（2021•张家川县模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB＝．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】先根据题意设出直角三角形的两直角边，再根据勾股定理求出其斜边，运用三角函数的定义求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，设BC＝x，则AC＝2x，∴AB＝＝x．∴sinB＝＝．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．（2021•商河县校级模拟）若α是锐角，且sinα＝1﹣3m，则m的取值范围是0＜m＜；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是sin41°、cos46°、cos37°、cos21°．【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据锐角的正弦函数的取值范围，易得0＜1﹣3m＜1，求解；由一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，可得sin41°＝cos49°，进而由余弦函数随角增大而减小，比较角的大小，可得答案．【解答】解：α是锐角，且sinα＝1﹣3m，则有0＜1﹣3m＜1，解得0＜m＜；∵sin41°＝cos49°，根据余弦函数随角增大而减小，故有sin41°＜cos46°＜cos37°＜cos21°．∴按由小到大的顺序排列是sin41°、cos46°、cos37°、cos21°．【点评】解决此类问题，关键是熟记并灵活运用特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性．6．（2021•海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是（4，）．【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．只要求出AG、OG，则可求出顶点A的坐标．【解答】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），∴OC＝，OB＝1，∴BC＝＝2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点A的坐标是（4，）．故答案为：（4，）．【点评】此题考查的是解直角三角形，利用点的坐标特点求得AG、OG的长是解决此题关键．7．（2021•荆州模拟）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，已知AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，则点D离地面的高度DE为131.6cm．（结果精确到0.1cm；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】利用等腰三角形的两个底角相等先求出∠B的度数，进而求出∠BDE＝20°，然后在Rt△BDE中，利用20°的余弦值进行计算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠B＝∠C＝70°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝90°﹣∠B＝＝20°，在Rt△BDE中，BD＝140cm，∴DE＝BDcos20°≈140×0.94＝131.6（cm），∴点D离地面的高度DE为：131.6cm，故答案为：131.6．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键．8．（2021•百色）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为20米．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】由三角函数的定义求出OA和OB的长，即可得出答案．【解答】解：在Rt△APO中，OP＝15米，∠APO＝30°，∴OA＝OP•tan30°＝（米），在Rt△POB中，OP＝15米，∠OPB＝60°，∴OB＝（米），∴AB＝OA+OB＝20（米），故答案为：20．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．9．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为25海里（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点P作PC⊥AB，在Rt△APC中由锐角三角函数定义求出PC的长，再在Rt△BPC中由锐角三角函数定义求出PB的长即可．【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝PA•cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案为：25．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及锐角三角函数定义；熟练掌握锐角三角函数定义，求出PC的长是解题的关键．10．（2021•荆州模拟）如图，小华站在长江大堤上的点E处，看见江中有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BE＝0.7米，BE平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡长为5米，点A，B，C，D，F，E在同一平面上，则此时小船C到岸边的距离CA的长是（5.6﹣3.7）米．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AG＝EH即为AC长度．【解答】解：过点B作BG⊥AC于点G，延长DE交CA于点H，得Rt△ABG和矩形BGHG．∵i＝＝，AB＝5米，∴BG＝4米，AG＝3米．∵DE＝1.6米，BE＝0.7米，∴DH＝DE+EH＝1.6+4＝5.6（米），AH＝AG+GH＝3+0.7＝3.7（米）．在Rt△CDH中，∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝5.6米，tan30°＝＝，∴CH＝5.6米．又∵CH＝CA+3.7，即5.6＝CA+3.7，∴CA＝（5.6﹣3.7）（米）．答：CA的长约是（5.6﹣3.7）米，故答案为：（5.6﹣3.7）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

考点卡片1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．2．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．4．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．5．锐角三角函数的增减性（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．6．互余两角三角函数的关系在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．7．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．8．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）9．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高