人教版-2021年中考数学复习题4 韦达定理应用探讨

【2021年中考攻略】专题4:韦达定理应用探讨

韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研

数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幕，带来了代数学理论研究的

重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二

次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之

父”。

hc

韦达定理说的是:设一元二次方程ax2+bx+c=O（awO）有二实数根X],x2,则X]+x2=-1,x,-x2=-o

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a,b,c的关系。其逆命题:如果rX?满

hc

足X]+x?=——,x,-x2=-,那么X|,X?是一元二次方程ax2+bx+c=0（aH0）的两个根也成立。

韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式A=b2-4acNO。

韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数

学工作室将其应用归纳为:①不解方程求方程的两根和与两根积；②求对称代数式的值；③构造，一元二

次方程；④求方程中待定系数的值；⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。下面通过近年全

国各地中考的实例探讨其应用。

一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两

根积。

典型例题：

例1:（2021湖北武汉3分）若xi、X2是一元二次方程x2—3x+2=0的两根，则xdx2的值是【】

A.-2B.2C.3D.1

【答案】C„

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得K+X2=3。故选C。

例2:（2001湖北武汉3分）若xi、X2是一元二次方程xq4x+3=0的两个根，则x「X2的值是

[1

A.4.B.3.C.—4.D.-3.

【答案】Bo

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得X「X2=±=三=3。故选B。

a1

例3:（2021山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为-4的是【

A.X2+2X-4=0B.x2-4x+4=0C.x2+4x+10=0D.x2+4x-5=0

【答案】D。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为-4,必须方程根的

判别式△=b2-4ac20,且*+x2=-P=-4。据此逐一作出判断：

A.X2+2X-4=0:A=b"-4ac=20>0,xi+xa=--=-2,所以本选项不合题意；

a

J2

B.x-4x+4=0:A=b-4ac=0,xi+x2=--=4,所以本选项不合题意；

a

C.x2+4x+10=0:A=b2-4ac=-28<0,方程无实数根，所以本选项不合题意;

D.X2+4X-5=0:b2-4ac=36>0,,Xi+X2=--=-4,所以本选项符号题意。

a

故选Do

例4:（2021广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1,那么它的另一个实数

根是【】

A.-2B.0C.1D.2

【答案】Ao

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】设方程的另一个实数根为x,则根据一元二次方程根与系数的关系，得x+l=-l,解得小一2。

故选Ao

练习题：

1.（2007重庆市3分）已知一元二次方程2x2—3x—1=0的两根为x1、X2,则二▲。

2.（2005浙江湖州3分）已知一元二次方程x?+12x—7=0的两个根为X1、X2,则a+x?的值是【】

A.-12B.12C.-7D.7

3.（2021广西来宾3分）已知一元二次方程x2+mx-2=0的两个实数根分别为小、x2,则X1•x?二▲.

4.（2021湖北咸宁3分）若关于x的方程一一2%+m=0的一个根为-1,则另一个根为【】

A,-3B.-1C.1D.3

5.（2021云南昆明3分）若xi,X2是一元二次方程2x?-7x+4=0的两根，则x1+x2与小小的值分别是【】

A.-7-2B>-72C、7—2D>7-2

2222

二、求对称代数式的值:应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。所

谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变(f(x,y)=f(y,X)),则称这个代数式为完

全对称式，如x?+y2,工+1等。扩展后，可以视x-y中x与—y对称。

xy

典型例题：

例1:(2021四川攀枝花3分)已知一元二次方程:x，-3x-1=0的两个根分别是xi、xz,则x&z+xix/的值为

[1

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】A。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】由一元二次方程:--3x-1=0的两个根分别是xi、也，

根据一元二次方程根与系数的关系得，xi+xz=3,XM=-1,

22

/.X]X2+XIX2=XIX2(XI+X2)=(-1)•3=—3«故选A。

例2:(2021山东莱芜3分)已知m、n是方程x?+2啦x+l=0的两根，则代数式折不不菰的值为【】

A.9B.±3C.3D.5

【答案】Co

【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】,.'m>n是方程x2+27x+1=0的两根，，m+n=-2夜，mn=lo

AVm2+n2+3mn=^(m+n)2+mn=^-2\/2j+1=J8+1=®=3。故选C。

例3:(2021江苏南通3分)设m、n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根，则小旺短+产▲.

【答案】4o

【考点】求代数式的值，•元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】n是一元二次方程x?+3x—7=0的两个根，

AmJ+3m—7=0,即nr+3m=7；m+n=—3。

mJ+4m+n=(m"+3m)+(m+n)=7—3=4。

例4:(2021湖北鄂州3分)设Xi、X2是一元二次方程x2+5x—3=0的两个实根，且2X](x；+6x2-3)+a=4,

则a二▲.

【答案】10。

【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。

【分析】,**xi>X2是一元二次方程x+5x—3=0的两个实根，.•・X2‘+5x2—3=0,XiX2=_3<>

又<2X](x；+6x2—3)+a=4,即2X](x：+5x2—3+Xz)+a=4,EP2X1(0+x2)+a=4o

A2XjX2+a=4,即2(—3)+a=4,解得a=10。

练习题：

1.(2021湖南张家界3分)已知m和n是方程2x2-5x-3=0的两根，则—.

mn

2.(2021四川泸州3分)设X”xz是一元二次方程(-3x-1=0的两个实数根，则x：+x22+4x山？的

值为▲

3.（2021山东日照4分）已知刈、也是方程2x2+14x76=0的两实数根，那么乜+上的值为▲.

X|x2

4.（2021黑龙江绥化3分）设a,b是方程x?+x—2021=0的两个不相等的实数根，则I+2a+b的值为

▲

5.（2021黑龙江大庆4分）若方程x2-x-l=0的两实根为a、b,求工+J•的值.

ab

6.（2021湖北荆州、荆门3分）关于x的方程ax2-（3a+l）x+2（a+l）=0有两个不相等的实根'、x2,

且有XI-X|X2+x2=1-a,则a的值是【】

A.1B.-1C.1或一1D.2

7.（2021贵州黔东南4分）若a、b是一元二次方程x?-201lx+1=（）的两根，则！+‘的值为【】

ab

A、2010B、2021C、」一D、」一

20102011

8.（2021江苏苏州3分）已知a、b是一元二次方程x?-2x-1=0的两个实数根，则代数式

（a-b）（a+b-2）+ab的值等于▲.

2

9.（2021山东德州4分）若X”X2是方程x+x-1=0的两个根，则x5+x/二▲.

10.（2021广西玉林、防城港6分）已知：x「X2是一元二次方程x2—4x+l=0的两个实数根.求:

（X]+X,）24-（-----1---）的值.

X|x2

三、构造一元二次方程:如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两

个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。

典型例题：

'22

例1:(2021湖北随州4分)设a?+2a—1=0,b4-2b2-1=0,且1—ab'WO,则m+b-3a+l=

IaJ

▲.

【答案】-32.

【考点】韦达定理的应用，求代数式的值.

【分析】由aFa-JO得[-[-1=0.

由b4-2b2-l=0^ib2|2-2b2-l=0,

Ab2为一元二次方程z2+2z-l=0的两根.

a

由韦达定理，得-+b2=2,--b2=-l.

aa

.(ab2+b2-3a+l^|1a.b21”

IaJIaaJ

【点评】本题的关键是构造一元二次方程z?+2z-1=0,利用韦达定理求解；难点是将a2+2a-l=0变

/1>27

形成----1=0；易错点是忽视条件l-ab2#0,而把凡一产看作方程z2+2z-l=0的两根来求解.

⑴a

例2:(2021四川内江12分)如果方程尤2+px+q=0的两个根是X1,%,那么毛+/二一〃,%./=/请根

据以上结论，解决下列问题：

(1)已知关于龙的方程/+如+〃=0,(〃。0),求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两

根的倒数；

Z71)

(2)已知a、b满足a?一154一5=0,62一156一5=0,求一+上的值；

ba

(3)已知。、b、。满足a+7?+。=(),々仄?=16求正数。的最小值。

【答案】解：(1)设关于X的方程/+m+〃=0,(〃。0)的两根为七，々，则有.：

Xi+x2=-m,xrx2=n，且由已知所求方程的两根为-'-，,

11_X]+%2_~m11_1_1

♦•I==f*==o

x.x0x,x2nx,x2xxx2n

.•.所求方程为/-Hx+'=O,即小2+/"+]=0(〃/0)。

nn

(2)Va.b满足/—15。—5=(),。2一15人一5=o,

，“、b是方程x?-15x-5=0的两根。；.。+匕=15,次?=-5。

,aba2+b2(a+bf-2ab(a+Z>)2152

baababab-5

(3)Va+h+c=0.abc=16且c>0:.a+b=-c,ab=—。

c

二a、b是一元二次方程x2-(-c)x+—=0(c>0)的两个根，

c

代筒，得CX:2+C2X+16=0(C>0)O

2233

又•••此方程必有实数根，...此方程的ANO,BP(C)-4-C-16>0,C(C-4)>0O

又：c〉()AC3-43>0.Ac>4o

正数c的最小值为4。.

【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。

1111I

【分析】(1)设方程无2+3+〃=0,(〃/0)的两根为项，为,得出一+一=一，-----=_,再根据

Xix2nX]x2n

这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。

(2)根据。、b满足。2-15。—5=0，〃一15人一5=0,得出a、b是一元二次方程f—15X—5=0的

两个根，由。+8=15,。8=一5,即可求出色+^的值。

ha

(3)根据a+/?+c=0,aZ?c=16,得出a+A=-c,a〃=L,“、b是一元二次方程ex?+。—+16=0的

c

两个根，再根据△2(),即可求出。的最小值。

例3:(2021四川宜宾8分)某市政府为落实“保障性住房政策，2021年已投入3亿元资金用于保障性住房

建设，并规划投入资金逐年增加，到2021年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设.

(1)求到2021年底，这两年中投入资金的平均年增长率(只需列出方程)：

⑵设(1)中方程的两根分别为x“X2,且mx『-4nA'+mx；的值为⑵求m的值.

【答案】解：(1)设到2021年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x,

根据题意得:3+3(x+1)+3(x+l)2=10.5。

(2)由(1)得，x，3x-0.5=0,

由一元二次方程根与系数的关系得，x)+x2=-3,x)x2=-0.5«

2+22

又,.,mxi2-4mxiX2mx2=12即m[(x)+x2)-2xiXz]-4m%凶=12,

QPm[9+l]-4mJ(-0.5)=12,即m'+5m-6=0,解得，m=-6m=1(>

【考点】一元二次方程的应用，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】(D方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：

2021年、2021年和2021某市用于保障房建设资金总量=10.5亿元，

把相关数值代入求得合适的解即可。

(2)由(1)得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得关于m的一元二次方程，解之即得m的

值。

例4:(2021贵州黔西南14分)问题：已知方程x?+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方

程根的2倍。

解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=X

2

把x=2代入已知方程，得—1=0

化简，得：y?+2y—4=0

故所求方程为y2+2y-4=0

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程(要

求:把所求方程化成一般,形式)

(1)已知方程X2+X-2=0,求一个一元二次方程，「使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：

(2)己知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=O(a#O)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它

的根分别是已知方程的倒数。

【答案】解：⑴]—y—2=00

(2)设所求方程的根为y,则y=L(xW0),于是x=L(yW0)。

xy

ifiA2i

把x=—代入方程ax^+bx+cu。，得2,—+b・—+c=0,

ylyJy

去分母，得a+by+cyJ。。

若c=0,有ax'bxuO,可得有一个解为x=0,与已知不符，不符合题意。

.,.c^Oo

，所求方程为cy'by+a=0(cWO)。

【考点】一元二次方程的应用。

【分析】（】）设所求方程的根为y,则丫=一x所以x=—y.

把x=-y代入己知方程，得y2-y-2=0。

（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y,再表示出x,代入原方程，整理即得出所求的方程。

练习题：

1.（2004辽宁沈阳2分）请你写出一个二次项系数为1,两实数根之和为3的一元二次方程：▲.

2.（2005山东临沂3分）请写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为2且其两根互为倒数▲.

3.（2002浙江杭州10分）已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为P、q,且满足关系式

p+q（p+l）=5,试求这个一元二次方程.

[pq+pq=6

4.（2007江苏淮安3分）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：▲.

四、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母

系数的值。

典型例题：

例1:（2021湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实

数根xi,xz满足X1X2-2xi-2x2-5=0,那么a的值为【】

A.3B.-3C.13D.-13

【答案】B。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】刈是关于x的一元二次方程x，4x+a=0的两个不相等实数根，

/.Xi+X2=-4,XiX2=ao

/.XiX2ff-2xi-2x2-5=XIX2_2（xi+x2）-5=a-2X（-4）-5=0,即a+3=0,

解得，a=-3o故选Bo

2

例2:（2021湖南株洲3分）已知关于x的一元二次方程x-bx+c=0的两根分别为XFI,X2=-2,则b与c

的值分别为【】

A.b=-1,c=2B.b=Lc=-2C.b=Lc=2D.b=-1,c=-2

【答案】Do

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】•・,关于x的一元二次方程xJbx+c=0的两根分别为X2=-2,

.'.Xi+x2=b=l+（-2）=-1,xi#X2=c=lX（-2）=-2o

b=-1,c=-2O故选D。

例3:（2021内蒙古呼和浩特3分）已知：xi,X2是一元二次方程x?+2ax+b=0的两根,且x】+x2=3,xix2=l,则

a、b的值分别是【】

33

A.a=-3,b=lB.a,—3,b=lC.a=—,b=-1D.a=—,b—1

22

【答案】Do

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

:

【分析】Vxi,X2是,元二次方程x"+2ax+b=0的两根，，xi+x2=-2a,xix2=b,

3

VXI+X2=3,XIX=L-2a=3,b=l,解得a=——，b=l故选D。

22o

例4:（2021内蒙古包头3分）关于x的一元二次方程x2—mx+5（m-5）=0的两个正实数根分别为xl,x2,

且2xi+xz=7,则m的值是【】

A.2B.6C.2或6D.7

【答案】B。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程。

【分析】•••方程x2-mx+5（m-5）=0有两个正实数根，

X]+x2=m>0

/•一/、=>m>5。

X]-x2=5（m-5）>0

又-/2XI+X2=7,Xi=7-mo

将xi=7—m代入方程x?-mx+5（m-5）=0,得（7-m『-m（7-m）+5（m-5）=0。

解得m=2或m=6o

m>5,/.m=6o故选B。

例5:（2021山东威海3分）若关于x的方程x?+（a-l）x+a2=0的两根互为倒数，则a二▲.

【答案】-1。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，倒数。

【分析】•..关于X的方程x?+（a-l）x+a2=0的两根互为倒数，.•.设两根为X和L。

X

'1,

x+-=1—a

则根据一元二次方程根与系数的关系，得X。

12

x•—=a-

x

由x•—=a2Ma=±1o

x

但当a=l时，x+'=l—a无意义。

X

♦♦a二1o

例6:(2021湖北孝感12分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+l=0.

(1)求证:无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)若xi、X2是原方程的两根，且|XI—X21=2立，求m的值和此时方程的两根.

【答案】解：(1)证明：由关于x的一元二次方程x°+(m+3)x+m+l=0得

△=(m+3)2—4(m+1)=(m+1)2+4,

・・•无论m取何值，(m+l)2+4恒大于0,

・・・原方程总有两个不相等的实数根。

e

(2)Vxi,X2是原方程的两根，，Xi+x2=—(m+3),xix2=m+lo

V|Xi—X2I=2&»A(xi—X2)2=8,B[J(XI+X2)~—4XIX2=8O

/•[—(m+3)]2—4(m+1)=8,即m2+2m—3=0o

解得：nii二一3,niz=lo

当m=-3时，原方程化为:x?—2=0,解得3产血,x2=—V2,

当m=l时，原方程化为:x°+4x+2=0,解得:xi=-2+夜，X2=-2一垃。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】(D根据关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+l=0的根的判别式△」?一4ac的符号来判定该

方程的根的情况。

⑵根据根与系数的关系求得xdx2和XJX2,由已知条件|XLX/=2应平方后可以得到关于*+

制和XJX2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方

程。

例7:(2021湖南怀化10分)已知Xl，X2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根.

(1)是否存在实数a,使-X|+X|X2=4+X2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；

(2)求使(X1+l)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.

【答案】解：(1)成立。

:X1,X2是一元二次方程(a-6)x?+2ax+a=0的两个实数根，

・・・由根与系数的关系可知，X|X?=—L,X]+X2=-3-;

;一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0有两个实数根，

/.△=4a2—4(a—6)*a^0,且a-6#0,解得,a20,且a¥6。

a2a

由一X[+X[X2=4+X2得X]X2=4+X]+X2,即——=4——---o

a-6a-6

解得，a=24>0,且a-6W0。

・•・存在实数a,使-X]+乂科2=4+X2成立，a的值是24。

a2a

(2)(X]+1)52+1)=XX+X]+x+1=----------------+1=---------，

122a—6a—6a—6

・•・当(X]+1)(X2+1)为负整数时，a-6>0,且a—6是6的约数。

・・・a-6=6,a-6=3,a-6=2,a—6=1。Aa=12,9,8,7。

・・.使(X]+1)(X2+1)为负整数的实数a的整数值有⑵9,8,7o

【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程。

【分析】根据根与系数的关系求得XJ2=「一，X|+x,=-乌-；根据一元二次方程的根的判别式求得a

a-6a-6

的取值范围。

(1)将已知等式变形为X1X2=4+(X2+X),即-_=4-乌通过解该关于a的方程即可求得a的

a-6a-6

值；

(2)根据限制性条件“(xi+l)(xz+l)为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数

值。

2

例8:(2021四川南充8分)关于的一元二次方程x+2x+k+l=0的实数解是Xi和x2.

(1)求k的取值范围；

(2)如果xi+xz-xix2<-1且k为整数，求k的值.

【答案】解：(1厂.•方程有实数根，...△=2J4(k+l)20,解得kWO。

，k的取值范围是kWO。

(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得xi+x,=-2,x1X2=k+l,

/•xi+xz-X1X2--2-(k+1)o

由-2-(k+1)<-1,解得k>-2。

又由（DkWO,-2<kW0。

；k为整数，，k的值为-1和0。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式组。

【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac20,从而求出实数k的取值范围。

（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得X,+X2=-2,x,x2=k+l.再代入所给不等式即可求得k

的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值。

例9:

练习题：

1.（2021湖南株洲3分）孔明同学在解一元二次方程3x+c=0时，正确解得〜=1,X2=2,则c的

值为▲.

2.（2021湖北孝感10分）已知关于x的方程x2-2（k-l）x+k2=0有两个实数根X”x2>

（D求k的取值范围；

（2）若|X|+X21=X]-x2-1,求k的值。

3.（2021湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程x?—（m—3）x—m2=0。

（1）证明:方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为X”整，且|x"=I|-2,求m的值及方程的根。

2

4.（2021四川南充8分）关于x的一元二次方程x+3x+m-l=0的两个实数根分别为x,,x2o

（1）求m的取值范围；

（2）若2（X1+X2）+xiX2+10=0.求m的值。

5.（2021四川达州3分）已知关于x的方程x?-mx+n=0的两个根是0和-3,则m二▲,n二▲。

6.（2021四川泸州2分）已知关于x的方程x2+（2k+l）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,则k的值为

▲O

7.（2021四川乐山10分）题甲：已知关于x的方程乂2+2缶一1次+@2—7@—4=0的两根为k、x2,且满

足x「X2—3x「3x2—2=0.求（l+1+一）•士史的值。

a2-4a

8.（2006北京市。7分）已知：关于x的方程mx?-14x-7=0有两个实数根X1和x2,关于y的方程

y?—2（n—l）y+n--2n=0有两个实数根yi和y2,且一2Wyi<y?W4.当

2

--------+2Qyl-y2）+14=0

X1+x2X）-x2

时，求m的取值范围。

9.（2006四川凉山6分）已知d+a'x+bR的两个实数根为xi、x2：1、y?是方程，+5ay+7=0的两个实数根，

且Xi—yi=xz—yz=2.求a、b的值。

五、在平面几何中的应用：在平面几何中，①两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；②勾股定

理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。

典型例题：

例1：（2012山东济南3分）已知◎01和。的半径是一元二次方程x?—5x+6=0的两根，若圆心距。1。2=5,

则。。1和。。2的位置关系是1】

A.外离B.外切C.相交D.内切

【答案】B.

【考点】一元二次方程根与系数的关系，圆与扇的位置关系.

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可知圆心距=两圆半径之和，再根据圆与扇的位置关系作出

判断，根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于

两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两

圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）.因此，

和002的半径是一元二次方程x2—5x+6=0的两根，，两根之和=5=两圆半径之和.

又：圆心距。1。2=5，...两圆外切.故选B.

例2:（2003江苏镇江6分）已知,，如图,RtZkABC中,ZACB=90°,AB=5,两直角边A&、BC的长是关于x

的方程x2-（m+5）x+6m=0的两个实数根。

⑴求m的值及AC、BC的长（BOAC）

（2）在线段BC的延长线上是否存在点D,使得以I）、A、C为顶点的三角形与AABC相似？若存在，求出CD

的长：若不存在，请说明理由。

【答案】解：⑴设方程x2-（m+5）x+6m=0的两个根分别是讣x?。

/.Xi+x2=m+5,xi*X2=6nio

222

/.x,+x2=(Xj+xj-2x^2=(m+5)-2-6m。

;m△ABC中，ZACB=90°,AB=5,

222

X,+x2=ABo

222

(m+5)-2-6m=5,in—m=0。Am=0或m=2o

当m二0时，原方程的解分别为XLO,X2=5,但三角形的边长不能为0,所以mW）舍去;

当m=2时，原方程为♦一方+1为0,其解为Xi=3,X2=4,所以两直"角边AC=3,BO4。

/.m=2,AC=3,BC=4o

（2）存在。

已知AC=3,BCM,AB=5,欲使以△ADC为顶

点的三角形与4ABC相似,

ABACBC

贝miIIJ-----=-----=

AD,CD,AC

349

贝IJCD一。

CD^~34

欲使以2c为顶点的三角形与AABC相似，则——=一二=，。

AD2CD,AC

.,.BC=CD2=4«

综上所述，在线段BC的延长线上是存在点D,使得以D、A、C为顶点的三角形与aABC

相似，CD的长为29或4。

4

【考点】相似三角形的判定，根与系数的的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）先利用根与系数的关系与勾股定理求出m的值，再代入m的值求出AC、BC的长。

（2）根据相似三角形的性质来解答此题，利用相似比即可求出CD的长。

练习题：

1.（2021山东潍坊3分）己知两圆半径n、m分别是方程x2—7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7,则两圆

的位置关系是【J.

A.相交B.内切C.外切D.外离

2.（2006四川广安8分）已知：AABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0

的两个实数根，第三边BC的长为5.试问：k取何值时，AABC是以BC为斜边的直角三角形？

3.(2002江苏无锡9分)已知：如图，。。的半径为r,CE切。。于C,且与弦AB的延长线交于点E,CD1AB

于D.如果CE=2BE,且AC、BC的长是关于x的方程x?-3(r-2)x+r?-4=0的两个实数根.

求：(1)AC、BC的长;(2)CD的长.

4.(2002湖南益阳10分)巳知：如图，在aABC中，ZB=90°,0是AB上一点，以0为圆心，0B为半径的

半圆交AB于点E,与AC切于点D.当AD?+AE2=5时，AD、AE(AD>AE)是关于x的方程x?-(m-1)x+m

—2=0(m/0)的两个根.

⑴求实数m的值；

(2)证明:CD的长度是无理方程万-x=l的一个根；

⑶以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且

对称轴平行于y轴的抛物线的解析式.

5.(2010湖南株洲3分)两圆的圆心距d=5,它们的半径分别是一元二次方程x2-5x+4=0的两个根，这两

圆的位置关系是▲

七、在二次函数中的应用：--元二次方程ax^+bx+cSWO)可以看作二次函数yuaxP+bx+cEWO)当

y=0时的情形，因此若干二次函数y=ax2+bx+c(a^0)的图象与x轴交点的综合问题都可以用韦达定理

解题。

典型例题：

例1:(2021天津市3分)若关于x的一元二次.方程(x—2)(x—3)=m有实数根xbx2,且xHxz,有下列结论:

①xi=2,X2=3；②m>」；

4

③二次函数y=(x—xi)(x—x-2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).

其中，正确结论的个数是【】

(A)0(B)l(C)2(D)3

【答案】C.

【考点】抛物线与X轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.

【分析】①.二一元二次方程实数根分别为X】、出,

.'.xi=2,X2=3,只有在m=0时才能成立，故结论①错误.

②一元二次方程(X—2)(X—3)=m化为一般形式得：X2—5x+6—m=0,

,二方■程有两个不相等的实效根Xi、.,.A=b2-4ac=(-5)2—4(6—m)=4m+1>0>

解得：tn>.故结论②正确.

4

③'.'一元二次方程N—5x+6—m=0实数根分别为xi、出,.'.XI+X2=5,XIX2=6—m.

二，欠函数产(X—xj)(X—xj)+m=^—(xi+xj)x+X1X2+m=2?—5x+(6—m)+m

=x2-5x+6=(x-2)(x—3).

令y=0,即(x—2)(x—3)=0,解得：x=2或3.

...抛物线与x轴的交点为(2,0)或(3,0),故结论③正确.

综上所述，正确的结论有2个，②③.故选C.

例2:(2021甘肃兰州10分)若xi、xz是关于一元二次方程ax2+bx+c(a^0)的两个根，则方程的两个根Xi、

bc

X2和系数a、b、c有如下关系:XI+X2=-9,X.-X2=-.把它称为一元二次方程根与系数关系定理.如果