湖南省2022年高考数学考试真题与答案解析

湖南省2022年高考：数学考试真题与答案解析

一、选择题

本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合〃="1五<4},N={x|3xNl},则()

A.{x|0<x<2}B.'x^<x<2>C.{x|3<x<16|D,<x1<x<16>

【答案］D

［解析］M={x［0«x<16},N={x|xN；},故A/nN={xgWx<16"o

2.若i(Jz)=l,则z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

［答案］D

］j

［解析］由题设有l-z=；=］=-i,故z=l+i,故z+T=(l+i)+(l-i)=2。

3.在“8C中，点。在边力8上，BD=2DA.记声=玩，丽=»,则赤=()

A.3成一2万B.一2玩+3万C,3玩+2万D.2玩+3万

［答案］B

［解析］因为点。在边4?上，BD=2DA,所以丽=2e，即而一赤=2(衰—丽)，

^^CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3no

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库

水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为MO.Okn?;水位为海拔157.5m时，相应水面的面积

为180.0km?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上

升到157.5m时，增加的水量约为(4=2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

［解析H衣题意可知棱台的高为9=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积

V.

棱台上底面积s=140.0km2=140xl06m2,下底面积S'=IgO.Okm?=180xl06m2,

K=jA(5+5,+V5^7)=1x9x(140xl06+180xl06+V140xl80xl012)

67993

=3X(320+60V7)X10«(96+18X2.65)X10=1.437X10®1.4xl0(m)o

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

11_12

A.—B.-C.TD.-

63z3

［答案］D

［解析］从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，若两数不互

质，不同的取法有：（2,4）,（2⑹,（2⑻,（3,6）,（4,6）,（4⑻,（6,8）,共7种，故所求概率

21-72

213

6.记函数/（幻=5［蛆+向+//＞0）的最小正周期为7；若与＜7（不，且y=〃x）的图象关

于点序2］中心对称，贝（）

35

C3

A.B.2-2-

［答案］A

.,2）f2乃2万--

［解析］由函数的最小正周期「满足大-＜「＜万，得三＜7;〈万，解得2〈啰＜3,又因为函数图

53CD

（3TTy3冗兀11ri、12,._5

象关于点可，2对称,所以?0+彳=版"，左wZ,且6=2，所以©=€Z，所以0=彳,

\L）24632

571571

/(x)=sin—x+—+2,所以/f=sin一"+——+2=1

24744

故选：A

7.设a=0.1e°」,b=<，c=-ln0.9,贝|J()

y

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<bD.a<c<b

［答案］C

]x

[解桐设〃x)=ln(I+x)-2-1),因为/(加式一』市,

当XG(T,0)时,f'{x}>0(当*e(0,+oo)时，(x)<0,

所以函数/(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)单调递减，在(-L0)上单调递增,

11

O故

所O

所以/(g)</(0)1一0<>

In99-9-Iny=-ln0.9,即b>c,

1919-1I1I

所以/(-6)</(°)=0，所以m而+而<°，故高。|°，所以故。<3

1U1V1v1U1Uy

］(x2—l)eA+1

设g(x)=Xe'+ln(l-x)(0<x<1),贝ljg'(x)=(x+1)e'+--=-~——，

令"(x)=e'，-l)+l,h'(x)=e\x2+2x-\),

当0<x(正-1时，〃(x)<0,函数〃(刈=〃/-1)+1单调递减，

当夜-1<X<1时，/(x)>0,函数〃(x)=e'(x2—l)+l单调递增，

又力(0)=0,

所以当0<%<夜—1时，人(x)<0,

所以当0<x<血-1时,g'(x)>。，函数g(x)=xe，+ln(lT)单调递增,

所以g(0」)>g(0)=0,gpO.le01>-ln0.9,所以

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

3</<373,则该正四棱锥体积的取值范围是()

A.1娉27812764

B.C.D,[18,27]

444

【答案］C

［解析］..•球的体积为36万，所以球的半径尺=3,设正四棱锥的底面边长为2J高为/7,

则/2=2&2+/,32=2/+(3—〃)2,所以6〃=『，2a2=l2-h2

2

rz11,2,2小/\I1f,4I"

所以正四棱锥的体积忆=£5右=鼻'4。xA=-x(/--)x-=-/--

33530oy3o

当3W/W2后时，r>0,当2后</43G时，r<0,

所以当/=2指时，正四棱锥的体积/取最大值，最大值为当，

，-"27,,81

又/=3时，%=彳，/=3r6时，V=—1

27「2764

所以正四棱锥的体积/的最小值为彳，所以该正四棱锥体积的取值范围是工，不

二、多项选择题。

9.已知正方体Z8C0—44G2,贝ij()

A.直线BG与所成的角为90°B.直线8G与所成的角为90°

C.直线8G与平面防QQ所成的角为45。D,直线8G与平面所成的角为45°

【答案】ABD

［解析］如图，连接40、B3,因为"8C,所以直线8G与8c所成的角即为直线8G与

所成的角，因为四边形88CC为正方形，则8c_L8G,故直线8G与04所成的角为90。，A

正确；

连接4C,因为44,平面8C|U平面则48J8G,

因为8cl8G,4Anqc=A,所以BCi1平面48c,又4。u平面A\B、C,所以8G，CA,,

故B正确；

连接4G,设4GnBQ=0,连接8。，因为平面4百。百，C0U平面48cQ,则

C.015,5,

因为GOL8Q,BQ［CB\B=B1,所以£。,平面网0。，所以2£8。为直线8c与平面

MQQ所成的角，

设正方体棱长为1,则。。=孝，BG=6,sin/G8°=胃=g,

所以，直线8G与平面88QO所成的角为30。，故C错误；

因为平面48CQ,所以N£8C为直线8G与平面/8CQ所成的角，易得N£8C=45。，

故D正确.

10.已知函数/(x)=x3—X+1,则()

A./⑸有两个极值点B./a)有三个零点

C•点(0,1)是曲线v=〃x)的对称中心D.直线》=2x是曲线y=〃x)的切线

［答案］AC

(解析］由题，/'(x)=3f—1,令/'(x)>。得x>。或》<一。，令/'(X)得—。<》<。，

所以“X)在(-弓，理)上单调递减，在(-8,-程)，(弓,+«))上单调递增，

所以x=±半是极值点，故A正确；

因/(-当=1+乎>0,/(当=1-乎>0,/(-2)=—5<0,

3939

(⑶

所以，函数/卜)在-8,一不上有一个零点，

当xN平时，J\^>f4>0,即函数/(x)在收上无零点，

综上所述，函数"X)有一个零点，故B错误；

令"》)=/一》，该函数的定义域为R,//(—x)=(—X)，—(―x)=-x3+x=-/z(x),

则〃(x)是奇函数，(0,0)是〃(x)的对称中心，将例x)的图象向上移动一个单位得到/⑶的图象,

所以点（o,1）是曲线y=/a）的对称中心,故c正确；

令/"3=3x2-1=2,可得x=±l,又/⑴=/（-1）=1,

当切点为（LD时，切线方程为歹=2%-1,当切点为（T」）时，切线方程为了=2》+3,D错误.

11.已知。为坐标原点，点”（LD在抛物线。：/=2勿5>0）上，过点8。-1）的直线交C于

P,Q两点，贝U（）

A.C的准线为V=TB.直线与C相切

C.\OP\-\OQ\>\OA\"D.\BP\-\BQ\>\BA\l

［答案］BCD

［解析］将点A的代入抛物线方程得1=2夕，所以抛物线方程为X?=y，故准线方程为V=,A

错误；

MB=T~/=2,所以直线的方程为N=2X—1,

y=2x-l

联立;2一，，，可得X2-2X+1=0,解得X=1,故B正确；

-y

设过8的直线为/,若直线/与了轴重合，则直线/与抛物线。只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为少=履-1,A』，凹），。（》2/2）,

y=Ax-1

联立：2,,,得1一日+1=0,

［X=N

△=F—4>。

x

所以，i+x2=k,所以女〉2或左<—2,乂%=（苞々『=1,

XxX2-1

又|OP|=J必+歹；，1。。1=J1+尺=瓦+月，

所以|OP|•|。。|=，必为（1+乂）（1+必）=xkx2=1^|>2=|OA|2,故C正确；

因为|8尸|=/前|%|,|S2I=V1+^I^I,

所以18Pl.|80|=（1+公）|%%|=1+公>5,而|8"=5,故D正确.

12.已知函数/（X）及其导函数/'（X）的定义域均为R,记g（x）=/'（x）,若g（2+x）

均为偶函数，则()

A./(0)=0B,g]-£|=0C./(-I)=/(4)D.g(T)=g⑵

【答案】BC

[解析]因为g(2+x)均为偶函数，

所以/(|一2x]=/(|+2x]即/(|-x)=/(|+x),g(2+x)=g(2-x),

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),则/(-1)=/(4),故C正确；

3

函数"X),g(x)的图象分别关于直线x=],x=2对称，

又g(x)=/'(x),且函数/(X)可导，

所以g5=0，g(3—x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g(-；)=g(g)=°，g(7)=g(l)=-g(2)，故B正确，D错误；

若函数/(X)满足题设条件，则函数〃x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定了3

的函数值，故A错误.

三、填空题

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.11-三|(》+处的展开式中。6的系数为(用数字作答).

［答案］-28

［解析］因为(l-?)(x+”!=(x+城-?(x+y)8,

所以+的展开式中含X^6的项为C"2y6—2i点》3_/=一28/歹6,

VxJX

11—"x+城的展开式中/V的系数为-28

14.写出与圆f+/=i和(x—»+(y-4=16都相切的一条直线的方程________________.

35725

［答案］"一7+1或N=五》一五或x=T

［解桐圆》2+产=1的圆心为°(0,0),半径为1,圆(x-3)2+3-4)2=16的圆心。1为(3,4),半

径为4,两圆圆心距为J32+42=5,等于两圆半径之和，故两圆外切。如图；

X

433

当切线为/时，因为ea=§,所以号=—7,设方程为卜=一.》+/(,>°)

d=J［=1535

。到/的距离，解得，="所以/的方程为卜=一厂+4，

当切线为力时，设直线方程为H+N+P=O,其中2>0,k<o,

4=17

一

7竺

Vi+F24-一X-

由题意伙+4+p|；解得25

一2424

.Jl+E24

,35725,

当切线为〃时，易知切线方程为》=-1,故答案为：y=+l或卜=五1一五或x=-L

15.若曲线V=(x+a)e'有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是

［答案］（一。,-4）5。,+。）

［解析］：y=（x+a）e',V=（x+l+a）e',

设切点为（七,丁。），贝IJ%=（X。+。）小,切线斜率左=（%+1+a）e",

切线方程为：丁一（%+。）/。=（xo+l+a）e%（x-x。），

.•.切线过原点，，一伉+。）非=（%+1+。）非（-5）,整理得：xl+axa-a=0,

.•・切线有两条，...♦=/+4a＞0,解得。＜-4或。＞0,“的取值范围是（-8,-4）u（0,+“），

16.已知椭圆。：二+与=15＞力＞0）,C的上顶点为4,两个焦点为耳，鸟，离心率为彳.过

ab

々且垂直于N月的直线与C交于。，三两点，0用=6,则"OE的周长是

［答案］13

c1

［解析］.•.椭圆的离心率为e=—=7，.・・。=2。，.•./=/一c2=3c，2,二椭圆的方程为

a2

fv2

Q+g=l,即3x2+4/—12,2=0,不妨设左焦点为耳，右焦点为巴。

如图所示；

7T

AF2^a,O6=c,a=2c,名为正三角形，•.•过百且垂直于/用的

直线与C交于。E两点，OE为线段”工的垂直平分线，，直线QE的斜率为1,斜率倒数

为G,直线OE的方程：x=^y-c,代入椭圆方程短+4/_12°2=0,整理化简得到:

13y2-6y/3cy-9c2=0,

判别式.=（6限）-+4X13X%2=6?X16XC2,

x在=2X6X4X£=6

1313

・•・DE为线段的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,/£=药，/.A/OE的周长等于

△入OE的周长，利用椭圆的定义得到△月周长为

\DF2\+\EF2\+\DE\=\DF2\+\EF2\+\DFl\+\EFi\=\DFl\+\DF2\+\EFi\+\EF2\=2a+2a=4a=13

四、解答题

本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.记S,为数列｛%｝的前〃项和，已知4=1，｛》是公差为1的等差数列.

(1)求曾.｝的通项公式；

111c

(2)证明：―+―+,,,+—<2.

u\u2un

〃(拉+1)

［答案］(1)%二一号」(2)见解析

第(1)解析：

Sf51J

6=1,...£=%=1,.•.3=1,又•.•广是公差为-的等差数列,

.4=1+%一1)=3.s=(〃+2”“

7

,•an3'3，"-3'

当〜时，叫=1^,

整理得：(〃T”,,=(〃+l)a,i,SP—=~7,•••XTXrX-X^X

Un-\H1U1U2Un-2

34n及+1〃(及+1)()〃(〃+1)

=1XJXWX...X--X—；=:),显然对于〃=1也成立，•..{%}的通项公式可=,

23n-2n-\22

第(2)解析：

an〃(77+1)\n〃+U

sin25

18-记"6。的内角4B,c的对边分别为ab,C,已知.二

1+cos25

27a1+h2

(1)若°=/-,求6;(2)求一「的最小值.

JC

［答案］⑴己；⑵4层5.

第(1)解析：

、cosJ_sin25_2sin5cosS_sin5

因为1+sin/1+cos252cos2Bcos5

兀71

即sin5=cosAcos5-sinJsinB-cos(4+8)=-cosC=—而0<8<］,所以8=不；

第(2)解析:

兀兀

由(1)知，sin5=-cosC>0,所以2<C<TI,0<8<5,而sin3=-cosC=sin[C-T

〜JC71.D--A-兀CDa2+b2sin2J+sin2Bcos225+1-cos2B

所以C=5+B,即有，=5-28.所以丁=sdc.=—嬴/一

(2cos~8—1)+1—cos-B2r~/~

-----------------------------=4cos2B+--—―5>2V8-5=4V2-5-

cosBcosB

2,r2

当且仅当COS28=一时取等号，所以一广一的最小值为4V2-5.

2c

19.如图，直三棱柱ZBC-N4G的体积为4,的面积为2近.

4

A

B

(1)求力到平面48c的距离；

(2)设。为4c的中点，44=4B,平面48cL平面"88/,求二面角C的正弦

值.

［答案］(1)V2(2)与

第(1)解析：

在直三棱柱N8C-/蜴G中，设点力到平面48c的距离为h,

则”"-4&C=5s“西,h~3"==5s"sc'=解得〃=&,

所以点R到平面48c的距离为近；

第(2)解析：

取48的中点£连接力£如图，因为=所以NE_L48,

又平面48C_L平面,平面4Ben平面〃=48,

且ZEu平面所以平面48C,

在直三棱柱NBC-481G中，8片J•平面N8C,

由8Cu平面48C,8Cu平面N8C可得/EL8C,BB,1BCt

又ZE,网u平面/网&且相交，所以8C_L平面”8片4,

所以8C,B43与两两垂直，以6为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由(1)得AE=g,所以"4=〃8=2,48=2近，所以8c=2,

则」(0,2,0),4(022)*(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中点。(1,U),

贝IJ丽=(1,1,1),9=(0,2,0),册=(2,0,0),

加•BD=x+y+z=0—

设平面ABD的一个法向量/=(x),z),则——,\，可取加=(1，0，-1),

m-BA=2y=\)

m•BD=a+b+c=0।

设平面8OC的一个法向量1=(。,8c),则流反=2”。，可取〃=(0/I)，

则〃"丽=万环=。斯

8sM1-Il=T

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不

够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患

该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，力表示事件"选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件"选

P(B\A)P(BIA)

到的人患有该疾病”.瓦囱石与瓦瓦万的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的

一项度量指标，记该指标为

(.、、皿P(1M)

(I)证明，P(A\B)P{A|B),

(ii)利用该数据，给出。(川8)，。(川月)的估计值，并利用(i)的结果给出用的估计值.

片=〃(ad—bcY

阳(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),

p(^2>jt)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

［答案］(1)答案见解析(2)(i)证明见解析；(ii}&=6;

第(1)解析：

“2n(ad-bc)2200(40x90-60xlO)2一

由口知K-=-------------------------=---------------------=24

卬二却(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100'

yP(K2>6.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

第(2)解析:

…E、,.p(01)_P(/8)尸(⑷/彳耳)P0

(I)口为~P(B\A)P{B\A)P(Z)P(AB)P(A)P(M)'

P(4B)PjB)P(")P(Q—尸([⑶P(N|g)

所以-p(B)P(AB)P悟)尸(〃耳)所以一P(1|8)P{A15),

(ii)

4010-60--90

由已知产(川8)=而，尸⑷3)=而，又尸⑷8)=丽，尸⑷团=而，

所以火=看黯告*=6

r22

21.已知点"QI)在双曲线C：=-vJ=l(a>l)上，直线/交C于尺。两点，直线4P，/。

aa-1

的斜率之和为0.

（1）求/的斜率；（2）若tan/E40=2收，求△24。的面积.

［答案］（1）-1；（2）华.

y

第（1）解析：

r2vT41

因为点42,1）在双曲线c：r--=1（。＞1）上，所以-y-丁7=1,解得/=2,即双曲线

a~aaa

易知直线/的斜率存在，^l-y=kx+m,。（％,乂）,°（工2，歹2）,

y=kx+m

联立归可得，（1—2左2）》2—4加去一2加2-2=0,

所以，芯+/=-各，中2=桨1，A=16病-+4（2-+2）侬2—1）＞0=/一1+2户＞0.

—12.K—1

v_—］V—］

所以由3户+与「=°可得，15+「=°,

X1一乙X|—Z

即（玉一2）（去2+加-1）+（工2-2）（米］4-/W-1）=0,

即ZkX'X2+（加一1一2左）（玉+X2）-4（W-1）=0,

…2加2+2,,4mk）人/八八

所以2k27+（加一1—2次“一—4（〃?-1）=0,

化简得，8/+44-4+4〃?（左+1）=0,即（左+1）（2"—1+加）=。，

所以左=T或掰=1一2左，

当〃?=1-2左时，直线/:y=去+加=左（》-2）+1过点N（2,l）,与题意不符，舍去,

故人=-1.

第（2）解析：

不妨设直线P4P8的倾斜角为a,〃（&＜£）,因为七0+%=0,所以。+£=兀，

因为tan/尸/0=2后，所以tan（△-。）=2播，即tan2a=-2后，

x/2tan2a-tana-V2=0,解得tana=&,

于是，直线尸/：尸3（X-2）+1,直线P8：%一血（x-2）+l,

了=及（》-2）+1

2,可得，-X2+2（1-2V2）X+10-4V2=0,

联立x

---y-=12

I2'

10-4A/24J2-5

因为方程有一个根为2,所以-六，4=弋一，

10+4夜y-±^

同理可得,Q

3

所以PO：x+N-g=0,|尸。|=修，

点A到直线尸。的距离六=1=芈,故△&Q的面积为，gx半=警.

22.已知函数〃x)=e'-ax和g(x)=依-Inx有相同的最小值.

(1)求。；

(2)证明：存在直线V=b,其与两条曲线y=〃x)和y=g。)共有三个不同的交点，并且从左

到右的三个交点的横坐标成等差数列.

［答案］(1)。=1(2)见解析

第(1)解析：

/(X)=ev-ax的定义域为R,而/'(x)=ex-a,

若a40,则/'(x)〉0,此时/(x)无最小值，故a>0.

g(x)=ax-山x的定义域为(0,+8),而g(刈=。__L=9二1.

XX

当x<lna时，/'(x)<0,故/(x)在(flna)上为减函数，

当x>lna时，/'(x)>0,故/&)在(Ina,+oo)上为增函数，故/(》焉=/(lna)=a—alna.

当0<x<:时，g'(x)<0,故g(x)在(0,：)上为减函数，

当X,时，g'(X)>。，故爪幻在化+/上为增函数，故gd=g］4=l—lnL

a\aJ\a)a

因为/(x)=e'一ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值,

,,1.u—1,.

故1—In—=a-alna,整理得到;一=lna,其中a〉0,

a