高考复习平面向量

第1页（共1页）2024年高考数学复习新题速递之平面向量（2023年12月）一．选择题（共8小题）1．已知向量＝（﹣3，2，5），﹣＝（1，5，﹣1），则||＝（）A．61 B． C．13 D．2．在平面四边形ABCD中，，，，则tan∠BAD的值是（）A．﹣2 B． C．﹣3 D．3．两游艇自某地同时出发，一艇以10km/h的速度向正北方向行驶，另一艇以8km/h的速度向北偏东θ（0°＜θ＜90°）角的方向行驶．若经过30min，两艇相距km，则θ＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°4．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是（）A．（﹣2，﹣2） B．（2，2） C．（0，﹣3） D．（0，3）5．已知向量，且，则（）A． B． C． D．6．已知边长为2的菱形ABCD中，，点E是BC上一点，满足，则＝（）A． B． C． D．﹣37．已知向量，，且，则＝（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）9．在△ABC中，|+|＝|﹣|＝4，•＝4，则（）A．B＝ B．A＝ C．AC＝2 D．△ABC的面积为4（多选）10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A．，，若，则k＝6 B．若且，则 C．若点G是△ABC的重心，则 D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为（多选）11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝2，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．在上的投影向量为﹣（多选）12．已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A．＝ B．在方向上的投影向量为 C．与共线的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则λ＝0三．填空题（共5小题）13．若正三棱锥A﹣BCD的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为．14．已知向量，若与共线，则＝．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝3bc，sinC＝2sinB，则A＝．16．已知，均为单位向量，它们夹角为60°，那么|+2|＝．17．已知向量，若，则m＝．四．解答题（共5小题）18．已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，AD是BC边上的中线，设∠BAD＝α，且α+C＝90°．（1）试判断△ABC的形状；（2）若b＝8，c＝6，试求∠ADC的余弦值．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC中点，设．（1）求B；（2）若△ADC的面积等于，求：a+c的最小值．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，a﹣b＝1，．（1）求c和cosA的值；（2）求cos（2A﹣C）的值．21．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，CB＝2CA＝2．点D，E分别是线段AB，BC上的点，满足．（1）求的取值范围；（2）是否存在实数λ，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若D是线段BC的中点，且，求△ABC的面积．

2024年高考数学复习新题速递之平面向量（2023年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知向量＝（﹣3，2，5），﹣＝（1，5，﹣1），则||＝（）A．61 B． C．13 D．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算．【答案】B【分析】先求出，再结合向量模公式，即可求解．【解答】解：＝（﹣3，2，5），﹣＝（1，5，﹣1），则＝（﹣4，﹣3，6），故．故选：B．【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．2．在平面四边形ABCD中，，，，则tan∠BAD的值是（）A．﹣2 B． C．﹣3 D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】C【分析】由题可得四边形ABCD的对角线垂直且相等，建立平面直角坐标系，设OD＝n，OA＝m，AC＝BD＝r，由平面向量的坐标运算可得，解三角形可得tan∠OAB，tan∠OAD，再由tan∠BAD＝tan（∠OAB+∠OAD）和两角和的正切公式计算即可．【解答】解：因为，，所以四边形ABCD的对角线垂直且相等，所以以两对角线的交点O为坐标原点，BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设OD＝n，OA＝m，AC＝BD＝r，则B（n﹣r，0），D（n，0），A（0，m），C（0，m﹣r），所以，，，因为，所以，解得，所以＝＝＝1，＝＝2，所以tan∠BAD＝tan（∠OAB+∠OAD）＝＝＝﹣3．故选：C．【点评】本题考查平面向量的坐标运算和两角和的正切公式，属于中档题．3．两游艇自某地同时出发，一艇以10km/h的速度向正北方向行驶，另一艇以8km/h的速度向北偏东θ（0°＜θ＜90°）角的方向行驶．若经过30min，两艇相距km，则θ＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】解三角形．【专题】转化思想；转化法；解三角形；逻辑推理．【答案】C【分析】画出图，再利用余弦定理，即可得解．【解答】解：如图，设点A为出发点，点B为10km/h的船30min后到达的点，点C为8km/h的船30min后到达的点，则，则，又因为0°＜θ＜90°，所以θ＝60°．故选：C．【点评】本题考查余弦定理的应用，解题关键是正确掌握余弦定理公式，属于基础题．4．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是（）A．（﹣2，﹣2） B．（2，2） C．（0，﹣3） D．（0，3）【考点】投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】B【分析】根据投影向量的定义，结合坐标运算即可求解．【解答】解：在上的投影向量为＝＝．故选：B．【点评】本题考查投影向量的概念，属于基础题．5．已知向量，且，则（）A． B． C． D．【考点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算，代入化简即可得解．【解答】解：，则，所以，则，即．故选：A．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．6．已知边长为2的菱形ABCD中，，点E是BC上一点，满足，则＝（）A． B． C． D．﹣3【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，得到点的坐标，根据求出，从而利用平面向量数量积公式求出答案．【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，设E（m，n），则，因为，所以，解得，故，则．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积及其运算，属于中档题．7．已知向量，，且，则＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量的概念与向量的模；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．【答案】C【分析】利用向量的数量积运算求出m，再利用向量的求模公式求解．【解答】解：∵，∴++2•＝+﹣2•，∴•＝0，∵，，∴12+4m＝0，m＝﹣3，∴＝（4，﹣3），∴＝＝5．故选：C．【点评】本题考查了向量的数量积，向量的求模公式，属于基础题．8．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．【考点】投影向量；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】平面向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据投影向量的定义计算即可．【解答】解：由于向量，向量，则向量在向量上的投影向量为：，故选：A．【点评】本题考查投影向量的定义，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．在△ABC中，|+|＝|﹣|＝4，•＝4，则（）A．B＝ B．A＝ C．AC＝2 D．△ABC的面积为4【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】综合题；转化思想；分析法；平面向量及应用；逻辑推理．【答案】ABC【分析】由|+|＝|﹣|＝4可知A＝90°，所以有•＝4＝AB2，得到AB＝2，利用直角三角形ABC结合解三角形的知识容易获解．【解答】解：由|+|＝|﹣|两边平方得：＝0，所以，A＝，B正确；所以△ABC是Rt△，所以BC＝4，＝，C正确；所以＝AB2＝4，所以AB＝2，所以tanB＝，B∈（0，），所以B＝，A正确；S△ABC＝AB•AC＝＝，D错误．故选：ABC．【点评】本题考查平面向量数量积的运算以及解三角形的知识，属于中档题．（多选）10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A．，，若，则k＝6 B．若且，则 C．若点G是△ABC的重心，则 D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为【考点】投影向量；命题的真假判断与应用；向量的概念与向量的模；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】CD【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用向量垂直的表示可判断B选项；利用三角形重心的向量性质可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项．【解答】解：对于A选项，已知，，若，则，解得k＝±6，故A错误；对于B选项，若且，则，所以，或，故B错误；对于C选项，若点G是△ABC的重心，设D为BC的中点，，则，整理得，故C正确；对于D选项，若向量，，则向量在向量上的投影向量为＝（﹣），故D正确．故选：CD．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的夹角公式，向量共线和垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．（多选）11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝2，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．在上的投影向量为﹣【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】ACD【分析】由平面向量数量积运算，结合向量的模及投影向量的运算逐一求解即可．【解答】解：对于选项A，＜，，则，即选项A正确；对于选项B，，则，即选项B错误；对于选项C，由，则＝2，即选项C正确；对于选项D，由，则＝，即在上的投影向量为，即选项D正确；故选：ACD．【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的模及投影向量的运算，属基础题．（多选）12．已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A．＝ B．在方向上的投影向量为 C．与共线的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则λ＝0【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】AD【分析】利用平面向量的数量积、模，投影向量及向量共线的充要条件依次对每个选项进行判断．【解答】解：对于A，依题有，，，，故A对；对于B，在方向上的投影向量为，是与同向的单位向量，所以＝，在方向上的投影向量为，故B错；对于C，与同向的单位向量为，与反向的单位向量为，故C错；对于D，，，向量与向量共线，则（1﹣3λ）（1﹣4λ）＝（1+3λ）（1﹣4λ），解得λ＝0，故D对．故选：AD．【点评】本题考查了平面向量的夹角，向量的投影向量以及向量共线的坐标表示，考查了转化思想，属于中档题．三．填空题（共5小题）13．若正三棱锥A﹣BCD的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为8．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】8．【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解．【解答】解：取BC的中点E，连接DE，过A作底面BCD的垂线，垂足为△BCD的中心O，则OD＝，∴AD＝，∵，又∵＝（）﹣（），∴[（）﹣（）]•[（）+（）]＝||2﹣||2＝0∴||＝||，取AB的中点M，CD的中点N，则|2|＝，∴，∴P在线段MN的垂直平分面上，∵M关于点P所在平面的对称点为N，∴＝＝2（||+）＝，当且仅当P在线段AN上时取等号，又||＝，∴的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．14．已知向量，若与共线，则＝．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．【答案】．【分析】根据向量共线求得λ，进而求得．【解答】解：由于与共线，所以，，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝3bc，sinC＝2sinB，则A＝120°．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】已知sinC＝2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC＝2sinB利用正弦定理化简得：c＝2b，代入得a2﹣b2＝3bc＝6b2，即a2＝7b2，∴由余弦定理得：cosA＝＝＝﹣，∵A为三角形的内角，∴A＝120°．故答案为：120°．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．16．已知，均为单位向量，它们夹角为60°，那么|+2|＝．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】因为，均为单位向量，它们夹角为60，所以可求出它们的模以及数量积，欲求|+2|，只需自身平方再开方即可，这样就可出现两向量的模与数量积，把前面所求代入即可．【解答】解：∵，均为单位向量，它们夹角为60°，∴|+2|2＝||2+4||2+4•＝||2+4||2+4||•||•cos60°＝1+4+4×1×1×＝7，∴|+2|＝，故答案为：【点评】本题考查了单位向量，数量积的概念，以及向量的模的求法，属于向量的综合运算．17．已知向量，若，则m＝．【考点】向量的概念与向量的模．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】．【分析】根据模的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题考查了向量的模，向量数量积，属于基础题．四．解答题（共5小题）18．已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，AD是BC边上的中线，设∠BAD＝α，且α+C＝90°．（1）试判断△ABC的形状；（2）若b＝8，c＝6，试求∠ADC的余弦值．【考点】解三角形；三角形的形状判断；余弦定理．【专题】转化思想；转化法；解三角形；逻辑推理．【答案】（1）△ABC的形状是等腰三角形或是直角三角形．（2）﹣．【分析】（1）设∠CAD＝β，由α+C＝90°，得β+B＝90°，由AD是BC边上的中线，得BD＝DC，在△ABD中，在△ACD中，由正弦定理及诱导公式可得，即sin2B＝asn2C，进而可得答案．（2）由（1）可知△ABC的形状是直角三角形，且A＝90°，△ACD中，由余弦定理，即可得出答案．【解答】解：（1）设∠CAD＝β，因为α+C＝90°，所以β+B＝90°，所以sinα＝cosC，sinβ＝cosB，在△ABC中，AD是BC边上的中线，所以BD＝DC，在△ABD中，由正弦定理及诱导公式可得＝＝，在△ACD中，由正弦定理及诱导公式可得＝＝，所以，即sin2B＝asn2C，在△ABC中，B∈（0，），C∈（0，），所以B＝C或B+C＝90°，因此△ABC的形状是等腰三角形或是直角三角形．（2）因为b＝8，c＝6，所以B≠C，由（1）可知△ABC的形状是直角三角形，且A＝90°，所以a2＝b2+c2＝100，所以AD＝BD＝DC＝5，在△ACD中，由余弦定理可得，所以．【点评】本题考查正余弦定理的应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC中点，设．（1）求B；（2）若△ADC的面积等于，求：a+c的最小值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换化简后结合B的取值范围即可求得；（2）由三角形的面积公式可得ac，由基本不等式即可求得a+c的最小值．【解答】解：（1）因为，由正弦定理与诱导公式可得，因为A∈（0，π），所以sinA＞0，所以，所以，即，因为B∈（0，π），所以，所以；（2）因为D为BC中点，所以S△ABC＝2S△ADC，即，所以ac＝4，所以，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以a+c的最小值为4．【点评】本题考查利用正余弦定理和三角恒等变换，三角形的面积公式解三角形，属于中档题．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，a﹣b＝1，．（1）求c和cosA的值；（2）求cos（2A﹣C）的值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理将已知化为角的关系求出角C，再利用三角形面积和a﹣b＝1联立求出a、b边，利用余弦定理求得cosA；（2）由（1）求得sinA，利用二倍角公式求得sin2A、cos2A代入两角差的余弦公式即可．【解答】解：（1）因为，所以由正弦定理得：，因为sinA＞0，所以，即，因为0＜C＜π，所以，所以，即ab＝6，又因为a﹣b＝1，解得a＝3，b＝2，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝7，解得，所以；（2）由（1）得，所以，，所以cos（2A﹣C）＝cos2AcosC+sin2AsinC＝×．【点评】本题考查正、余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式、两角差的余弦公式，属于中档题．21．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，CB＝2CA＝2．点D，E分别是线段AB，BC上的点，满足．（1）求的取值范围；（2）是否存在实数λ，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．【答案】（1）（﹣3，1）；（2）存在，．【分析】（1）由题意得＝﹣3+4λ，结合λ∈（0，1）即可得解；（2）由＝2λ﹣3λ2＝0，求解即可．【解答】解：（1）在直角三角形ABC中，∠A＝90°，CB＝2CA＝2，∴，，＝，∵λ∈（0，1），∴；（2）＝＝＝3λ﹣0﹣3λ2﹣λ＝2λ﹣3λ2，令2λ﹣3λ2＝0，得或λ＝0（舍），∴存在实数，使得．【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若D是线段BC的中点，且，求△ABC的面积．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，再求解角即可；（2）法一，取AC中点E，连接DE，分割图形再用余弦定理即可解决；法二，利用向量构建三边关系求出AB，再算面积即可．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理可得，整理，即，又∵B∈（0，π），则sinB≠0，∴，又A∈（0，π），∴．（2）法一：如图，取AC中点E，连接DE，∵D是线段BC的中点，∴，在△ADE中，，由余弦定理可得，∴，∴．法二：因为D是线段BC的中点，，，即，∴，∴．【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．

考点卡片1．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．向量的概念与向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．向量的模的大小，也就是的长度（或称模），记作||．零向量长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．3．平面向量数量积的含义与物理意义【知识点的认识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做即：＝||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．注意：①表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．4．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．5．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识点的认识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做即：＝||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．注意：①表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．6．投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．向量在向量上的投影向量是．【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求点到平面的距离．7．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．8．平面向量的坐标运算【知识点的认识】平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为＝（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d＝．若＝（m，n），则+＝（x+m，y+n），则﹣＝（x﹣m，y﹣n）；•＝（xm，ny），λ＝（λx，λy）．【解题方法点拨】例：已知平面向量满足：，，且，则向量的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．解：根据题意，设＝（x，y），若，有＝0，则﹣x+2y＝0，①，若，x2+y2＝20，②，联立①②，可得，解可得或，则＝（4，2）或（﹣4，﹣2）；故答案为（4，2）或（﹣4，﹣2）．这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设＝（x，y），根据题意，由，可得﹣x+2y＝0，①，由，可得x2+y2＝20，②，联立①②两式，解可得x、y的值，即可得的坐标．这也是常用的一种方法．【命题方向】这是一个很重要的考点，也是一个比较容易的考点，大家在学习的时候关键是掌握公式的应用，常用的解法一般就是上面例题中的先设未知数，再求未知数．9．平面向量共线（平行）的坐标表示【知识点的认识】平面向量共线（平行）的坐标表示：设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则∥（≠）⇔x1y2﹣x2y1＝0．10．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．11．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离