解析2021届浙江省高三4月份高考模拟（九）数学试卷

绝密★启用前

2021届浙江省高三4月份高考模拟(九)数学

试题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答

案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.已知集合A={x|f-2xW0},B={x|0<log3x<9},C={x\x=2n,n^N],则

(Ac6)cC=()

A.{2}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{2,4}

答案：A

化简集合A、B、C,根据交集的定义计算即可.

解：集合4={刈12-2]<()}={工[0<%<2},

99

B={x|0<log3x<9)=|log31<log3x<log331=1X|1<X<31,

C={x\x=2n,〃£N}={0,2,4,6,.・・},所以Ac3={x|l〈xW2},

则(AcB)cC={2}.

故选：A.

2.复数z满足(z-2i>(l+i)=2(i为虚数单位)，则复数I在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案：D

2

先计算复数z=—；+2兀再求其共飘复数，即可求出共挽复数对应的点，进而可得在复平面内对

1+i

应的点所在的象限.

解：由(z-2i>(l+i)=2得：

.22(1)2(l-z).

z—29i=-----=-------——=------=1—z,

1+Z(l+z)(l-z)2

••z—1+z,z=1—/.

所以复数5在复平面内对应的点为。，-1）,位于第四象限,

故选：D.

2x-y+2>0

3.如果点尸（x,y）在平面区域《尤一2）'+1«0上,则2里的取值范围是（）

x-2

x+y—2<0

-2-2_12

A.-2--B.C.-2-D.

，3，2'33'

答案：A

作出不等式组对应的平面区域，利用上义的几何意义，通过数形结合即可的得到结论.

x-2

解：如图，先作出点P（X，＞）所在的平面区域.

当•表示动点P与定点Q（2,-1）连线的斜率.

x-2

x—2y+l=0x=1

联立《，解得<

x+y-2=0y=it

70+11

于是42E=「7=-2,k=---=—.

1—znr-1-23

因此一24——W—.

九一23

故选：A.

4.条件p：x?—4x—5<0是条件q：/+6%+5>0的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.非充分又非必要条件

答案：A

分别解不等式化简命题，利用充分不必要条件的定义求解即可.

解：p：由丁―4x—5<0，解得：—1<x<5.

q：由了2+61+5>0，解得：x>T或％<—5,

由P=4,而q推不出p,

是q的充分不必要条件，

故选:A.

先判断函数的奇偶性，再考虑xf中刃时，/(x)的取值情况，即可作出选择.

解：•••〃—x)=I，、=一/(同,...函数y(x)为奇函数,排除选项B和C,

e+e

当xf+30时，/比X增长的快，.../(x),。，排除选项D,

故选：A.

6.如图，在矩形A8CO中，AB=1,BC=£，沿30将矩形ABC。折叠，连接AC,所得三

棱锥A—BCD正视图和俯视图如图，则三棱锥A—BCD中AC长为（）

3rVio

A.-B.6D.2

22

答案：C

先由正视图、俯视图及题意还原三棱链,过A作AM1BD于点M,连结MC,把AC放在直角三角形

AMC中解AC.

解:

根据三棱锥A-3CD正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平面ABDL

平面CBD,过A作AM1BD于点M,连结MC,则AM_L平面CBD,

.二△MCA为直角三角形.

过C作CN±BD于点N,

在直角三角形ABD中，AB=1,AD=百，ABD=yjAB2+AD2=2

所以/ABD=60°,ZADB=30°,

则在直角三角形ABM中，AB=1,ZABM=60°,ABM=-,AM=—

22

同理，在直角三角形CBD中，DN^-,CN=—

22

c11,

.\MN=BD-BM-DN=2------=1,

22

CM=\ICN2+MN2

在直角三角形AMC中，AC=JCM?+AM2=］当+（*）2=乎

故选：c

点评：（1）根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何

体地面的直观图；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，

让后再根据三视图进行调整.

（2）立体几何中求线段长度：①、把线段放在特殊三角形中，解三角形；②、用等体积法求线段.

7.己知直线/过第一象限的点（加,〃）和（1,5）,直线/的倾斜角为135°,则，+，的最小值为（）

23

A.4B.9C.-D.一

32

答案：D

由题得根+"=6（机>0,”>0）,再利用基本不等式求解.

解：由题得=tan135"=-l,:.m+n=6（m>0,n>0）,

m-\

rrrl141.14..、1<〃_In4m.3

n6mH6mn6、mn2

当且仅当机=2,〃=4时取等.

所以一1+一4的最小值为士3.

mn2

故选：D

14114

点评：关键点睛：解答本题的关键在于“拼凑”化简一+—=:（一+一）（根+〃），再利用基本不等

mn6mn

式求解.

A.减小B.增大C.先减小后增大D.先增大后减小

答案：B

先利用期望公式求得E⑷,E（『）,然后再利用。⑷=E（^2）-E2（^）求解.

解：因为£1（S）=lx（l-3a）+2x2a=l+a,E（$）=lx（l-3a）+4x2a=l+5a,

所以D（g）=E（j2）_£2@=（］+5a）_（i+a）2=_._|）十；，

当0<a<g时，。（/单调递增.

故选：B.

点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

9.如图，在AABC中，AB=l,BC=2y/2,B=~,将5c绕边AB翻转至AABP，使平面

4

平面ABC,。是的中点，设。是线段％的动点，则当PC与。。所成角取得最小

值时，线段AQ等于（）

A「2八2

&R3\/5亚亚

2553

答案：C

由题意可将三棱锥尸-A8C放在棱长为2的正方体中如图所示，当DQ〃PG时，PC与。。所成

的角取得最小值，利用相似计算得到答案.

解：由题意可将三棱锥尸-ABC放在棱长为2的正方体中如图所示，

延长AO交正方体的棱于点E,连接所，则A,E均为其所在正方体棱上的中点，

过点C作EE的垂线CG,垂足为点G,则4）_1平。石户，所以A£>J_CG,

又因为E〃J_CG,ADQEF=E,所以CGL平面2£产，

则PG为PC在平面PAEF内的投影，

则当DQ//PG时，PC与DQ所成的角取得最小值,

此时由AQHFG,AD/IPF得/XADQ~4FPG,贝I］丝=丝，

~FGFP

4R14石

在RfVFCE中，易得/6=竺之，所以“八ADFG5275.

FP25

故选：C.

点评：本题考查了异面直线夹角的最值，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥放在

棱长为2的正方体中是解题的关键.

10.已知数歹！]｛。“｝满足％=1,4+]—a“>N*),则()

A.cz100>In102B.%；>In100C.«99<In100D.al00<In99

答案：B

根据递推关系<2„)—a>----,可知a_—a_>-----，…,a>——>累加可得

+nn+ln｝n2n-12

_|

凡-4>，+，---l-—(n>2,neTV,),即an>1+—+—H---,令

23AZ23AZ

/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),利用导数研究函数的单调性，再结合对数函数的性质，进行求解.

.・.Q〃>1+』+』+・・・+!(〃£N*).令/(x)=ln(l+x)-x[x>-1),当x>0时，

23nv7

1v,

f'(x)=-------1=一一-<0,故当x>0时，/(x)</(0)=0,即ln(l+x)<x,

1+x1+x

.«+l.(.11„,,*、，n+1,n.2

In-----=ln1+—<—.又ln(〃+1)=ln------bln------(•…+ln—,

n\nJnnn-11

/.>1+-+-+••-+—>In2+In|l+-j+..•+ln|1+-j=ln(/?+l),所以>In100.

23nk2JnJ

故选：B

点评：本题主要考查数列中的不等式问题，考查累加法的应用，不等式的放缩等知识点，考查化归

与转化思想、运算求解能力.

二、双空题

11.已知函数/(x)=sin乃尤+acos万x图象的一条对称轴为％=1，则。=___________,函数/(%)

6

在区间一：二上的值域为____________.

63

答案：&J2]

(1)由题可得=Jl+\2,由此即可解出。；

71)

(2)可得/(x)=2sin7TX+一,即可由xw求出值域.

<3J

解：因为函数/(X)的对称轴为x=2,

由辅助角公式可得f(x)=\Jl+a2sinQrx+6)(tan9=a)，

所以电)

=Jl+片,即sin-+tzcos—=，l+a2,

66

j____

即耳+f〃=Jl+dT,解得a=G.

所以/(x)=sin乃x+6=2sin7TX+—.

I3

117T7t27t1

由XW，一,得乃XHG,所以sin1%光,

7'W2

所以2sin（G+5|en,2],故函数/*）在区间-3：上的值域为[1,2].

故答案为：百；U,2].

点评：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据对称轴结合辅助角公式得出J1+/

继而求出a.

12.若（x+a）（、5一一尸）4的展开式的常数项为2,则。=，所有项系数的绝对值之和

是.

答案：132

（1）先写出（、后一的通项公式，再求使x的次暴为0的/"的值，进而代入求a的值;

（2）将所有项系数的绝对值之和,转化为求（x+a＞（«+—7=）4的各项系数和，再条件利用赋值

法求解.

解：解：（1）•.•（&——尸）4的通项公式为

当r=3和r=2时、

；.（x+a）（五一2）4的展开式的常数项为《X（-l）+a.C：=2,则a=l.

即（x+a＞（4+；）4的各项系数和,

（2）所有项系数的绝对值之和,

令x=l,可得为的各项系数和（l+a＞24=32,

故答案为：1；32.

点评：由题意利用二项展开式的通项公式，求得a的值，再通过给x赋值，可得所有项系数的绝对

值之和.

13.已知△ABC,N84C=120°,3C=26，AD为NB4C的角平分线，贝U

（i）AA6c面积的取值范围为.

AB+4AC

(ii)的最小值为—

AD

答案：倒,6]9

(i)在△MC中，由余弦定理可得结合基本不等式可得|ABHAC|的最大值，再利用三角形面积

公式即可求面积的取值范围；

,AB+4ACc+4。

be-------------=--------

(ii)首先利用久4叱=同.。+久.8可得4。=^—，所以ADbe

b+c-----

b+c

=(c+4"(b+c)整理后利用基本不等式即可求最值

be

解：⑴在AAHC中，由余弦定理可得忸C「=|A6「+|AC「—2|ABHAqcosN8AC,

即12=+|AC「+|钻|卜。|22|反卜|4。|+|钻卜|44,

解得：|ABHAC|«4,当且仅当|A@=|AC|时等号成立.

所以SEBc=]ABHAqcosN3AC4；x4x曰=6,

所以“8C面积的取值范围为伍,6].

(ii)AO为N54C的角平分线，N8AC=120°，

所以ZBAD=NCAD=60，ZADB+ZADC=180。,

所以S«ABC=—bcsinA=—cxA£>sinABAD+—/?xADsinZCAD,

222

即»邛皿He)，所以3名

22

AB+4AC_c+4Z?_(c+4O)(O+c)_4b+5bc+c++c

所以ADbebebecb

b+c

14b-c

>5+2J—x-=5+2x2=9,

4bc

当且仅当一=7，即c=2/?时等号成立.

cb

所以---------的最小值为9,

AD

故答案为：(0,百］;9.

brAR+AAT

点评：关键点点睛：本题解题的关键点是利用面积相等可得4。=上一，所求--------上即可用

b+cAD

Ac,表示，再利用基本不等式可求最值.

14.已知直线/：〃吠+y-2=0与圆(x-l)2+(y-〃2)2=2,若加=2,直线1与圆相交于A,B

两点,贝U|AB|=,若直线1与圆相切，则实数”?=

答案：3毁2±73

(1)利用直线与相交的弦长公式，求解；(2)利用圆心到直线的距离4=尸，列式求解m的值.

解：(1)当机=2时，直线/:2x+y—2=0,圆(x—iy+(y—2)2=2,

|2|2L

圆心(1,2)到直线2x+y_2=0的距离d=&7=穴，

\AB\=2y/R2-d2=：

,、\iTi-\-m—2|I―

(2)若直线直线1与圆相切，则圆心(1,m)到直线如+W一2=0的距离d=i—=J2,

Vm2+1

得m2—4m+1=0,解得：m=2±>/3.

故答案为：3等；2±6

三、填空题

11Q

15.己知。>。，b>0,Mab=1,则1----1-----的最小值为_________.

2a2ba+b

答案：4

根据已知条件，将所求的式子化为孚+一1,利用基本不等式即可求解.

2a+b

A力八i八,.11SabahS

触：a>0力>0,；.a+b>0,cib=1,---1----1----------1----1-----

2cl2ba+b2a2ba+b

=巴心+_啰_»2、隹。二=4,当且仅当a+b=4时取等号，

2a+bv2a+h

结合出?=1,解得a=2-G,b=2+J5，或”=2+后/=2-百时，等号成立.

故答案为：4

点评：本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

16.电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有一种.(用

数字作答)

答案：24

不同的放映次序即为4个不同元素的全排列，故可得不同次序的总数.

解：不同的放映次序即为4个不同元素的全排列即为A：=24,

故答案为：24.

17.AABC中，(3/lB+2XC)BC=0,且对于feR,|初一出C|最小值为：||,则

ZBAC=.

.71

答案：一

4

利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简卜通+2WC)•耳d=o,可得到

5b2-5c2=a2,化简阿T网,并利用二次函数求最值，求出|丽一网2的最小值，且使最

小值等3于6二,可得/,=-8/,,进,而得9出,〃==/,最后利用余弦定理即可得解.

2555

解：^\AB\=c,\Bc\=a,\AC\=b,

(3AB+2AC\BC

=(3AB+2AC)(AC-AB)

=2b2-3c2+ACAB

=2b2-3c2+becosABAC

=2j2+f

2

v(3AB+2AC)BC=0,2b1-3c2+b~=0,A5b2-5c2=a2,

\BA-tBc[

=c24-t2a2—23?cosB

2

crv--crt+c2

5

、2

(2

t一一4-C2—a2

I5

725

|丽—f豆4的最小值为02—2〃，

.“2」。2=旦2,解得."2=2"

252555

也

2

4

7T

故答案为：一

4

点评：本题考查了向量的减法运算和数量积，余弦定理以及二次函数求最值问题，考查学生的运算

求解能力，属于综合题，难度较大.利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简

(3AB+2^C)-5C=0,得出三角形三边的关系是解题的关键.

四、解答题

18.在AABC中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足•2tan8_=1

tanA+tanBc

(1)求角A；

(2)若a=7,b=5,求AABC的面积.

答案：(1)—；(2)10>/3.

(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosA=g,结合4e(0，71),可

得A的值.

(2)由已知利用余弦定理可得一5c-24=0,解方程可得c的值，进而根据三角形的面积公式

即可计算得解.

2‘in3

解：(1)由-•=」及正弦定理可知:cos3sinB

tanA+tan3csinAsin3sinC

cosAcosB

~2sinBcosAcos8_sin3

所'cosBsin(A+B)sinC1

所以2cosA=l,BPcosA=-,

2

又Aw(O,7i),

7C

所以A=一.

3

⑵由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得49=25+/一5。,

所以。2-5。-24=0,

所以c=8（c=-3舍去）,

/=io"

从而S^ABC—bcsinA=—x5x8x

22

19.在三棱台砂中，AB=BC=2DE,NDAB=NEBA=60,平面ABE。，平面

ABC,BC工BE.

（1）求证：平面ABED，平面BCFE；

（2）求直线。F与平面A3尸所成角的正弦值.

答案：（1）证明见解析；（2）叵.

14

（1）过E作即，钻于〃，由面面垂直得平面A8C,从而有EH上BC,再结合已知

BC±BE,可得线面垂直后得线线垂直；

（2）将三棱台ABC-。跖补体成三棱锥尸-ABC,以3为原点建立空间直角坐标系（如图），设

AB=2,得出各点坐标，求出平面A5尸的法向量，由空间向量法求得线面角的正弦值.

解：解：（1）过E作E”_LAB于”，因为面A8EO,面ABC,面ABEDc面ABC=BC,

所以E〃_L平面ABC,而BCu平面ABC,所以

又BCtBE,BECEH=E,BE,EHu平面ABED,

所以BCL面ABE。，又BCu平面BCFE

所以平面ABEDJ_平面BCFE;

（2）将三棱台ABC—OEP补体成三棱锥P—ABC,则分别是PAPRPC的中点,

△PA6是正三角形，设4?=2,

以B为原点建立空间直角坐标系（如图）,

P（0,l,V3）,A（0,2,0）,C（2,0,0），。除

邛5周

DF=（1,-1,O）,BZ4=（O,2,0）,BF11叵

22J

设平面AB厂的法向量为〃=（%,y,z,

y=0

n-AB=0

由，,有4173，令z=2得〃=卜6,。,2）.

n-FB=0X+2-V+TZ-

―"匹|=叵

\n\-\DF\14

B

点评：方法点睛：本题考查证明面面垂直，求直线与平面所成的角.求线面角的常用方法

(1)定义法，作出直线在平面内的射影(主要过直线上一点作平面的垂线)，由直线与射影的夹角

得出直线与平面所成的角(注意证明)，然后解三角形得结论；

(2)空间向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面的法向量

夹角余弦值的绝对值得线面角的正弦值.

20.设｛4｝是等比数列，公比大于0,也｝是等差数列，(〃wN*).已知q=1,%=出+2,

4=4+么，%=仇+24.

(I)求｛4｝和他J的通项公式;

(H)设数列｛g｝满足。=。2=1，%=..，其中ZeN*

%=3

(i)求数列｛%,但"-1)｝的通项公式；

(■、

3”

(ii)若<，一#一八)£N)的前n项和(，求

C+2)J/=i

n

答案：(I)an=2-',bn=n；(II)(i)3x6'i—3"；(ii)

3”8〃6叫49〃一2x3〃

T3n++------+---------

i=]3〃+2

(I)设等比数列｛《,｝的公比为4,等差数列｛2｝的公差为d,进而根据已知条件计算得4=2,

d=l,故=2"一，bn=n.

l,3k<n<3M,

h&-1)=b.(4-1)=3x6"T一3"，进而得

(II)根据题意得q,=<2k-',n=3k'%y

%〃X2"T2"2"T23n1

,再根据裂项求和得7；=———-

++++n+2〃+13"3〃+22

3"3f"侬(q—1)+伪)=3之"伪(qT)+3以"=fn4卜3,T)+3£"4

/=1i=\i=li=li=li=l

旬3X6，T3X(1-6〃)3X(1-3)(1+3")X3〃_6叫9尸"-2、3”

,故

台，)台1-61-32102

3"8"

a+z%=------F

Z=13〃+2102

解：（I）设等比数列｛与｝的公比为q.由q=1,4=4+2,

可得q2-q-2=0.因为q>0,可得4=2,

故4=2"-'

设等差数列｛0｝的公差为d,由4=%+久，可得4+34=4.

由%=〃+2匕6，可得3乙+13d=16,

从而4=1,d=1,

故勿=〃.

M1

所以数列｛%｝的通项公式为an=2-,数列｛bn｝的通项公式为a=〃.

(II)

1,3*<〃<3印

⑴%=,

2k-',n=3k

%Cy-1)=%(4-1)

=3"(2"T-1)=3X6"T_3"

〃

叫〃X2"T2

(ii)

(〃+1)(〃+2)(〃+1)(〃+2)n+2n+\

f21428423n

T3n----------1-----------1----------F

3〃3243543〃+23〃+1

1

3〃+22

3“3“3"3"

=力"(q-1)+止之4(6T)+f4

Z=1Z=1Z=1X=1

〃3"

=1>3,卜3'-1)+/

/=1i=\

3x(6--1)3x(3"—1)(1+3"卜3"6向+93?"—2x3"

=--------------1-------=-----1-------

522102

(注：写成

3"3"nn

i=\i=\i=\Z=1

H+,

0+3")x3"3x(1—3")3x(1—6")6+932"—2x3"加可、

=-2------------乙--------------------L-I---------2------------L-------------------1--------------------------力、口J・)

21-31-6102

3"8"6"+,+49"-2x3"

-----------1---------------F

i=l3〃+210

点评：本题第二问题解题的关键在于根据题意得

3"3"3"3"n3"

立£(4(c,T)+4)=力,(£一1)+,的=卜3,-1)+*,

i=\i=\i=\i=li=\i=\

fn(3-)+32"=3+3J2X3"

考查运算求解能力，是中档题.

i=l/=1

21.已知抛物线。：^=2勿(2>0)的焦点为尸，过F作直线交抛物线C于A,B两点，过A,B分

别作抛物线C的切线，两条切线交于点P.

(1)若P的坐标为(—1,4),求直线的斜率；

(2)若P始终不在椭圆4f+y2=i的内部(不包括边界)，求A/WP外接圆面积的最小值.

答案：(1)-(2)%.

2

2

(1)设AB:x=阳+,与抛物线方程联立，得至ijX+%=2Pm,yxy2=-p,分别求在点AB

处的切线方程，并且切线的交点，利用户(-L4),求解参数和直线的斜率；

2

(2)由(1)可知k*2=〃—=T，得到APLBP,并表示ZXABP外接圆的半径，并且

「I代入椭圆得到'2+'2”221，综合求得"BP外接圆的半径的最小值.

解：(1)记A(x，y),8(々，必)，

y2=2Px

设AB:x-my+-^,由，p可得方程y?-2/wzy-p2=o,

x-my+—

2

2

由韦达定理可知yt+y2=2pm,yty2=-p,

设抛物线在A处的切线x=f(y—M)+M，

y2=2px

2

可得y-Ipty+2ptyx-2pxx=0,

x=f(y-M)+x

22

故△=4pr-8pty1+8〃X]=0即pr-2pty}+y；-o,

故，=%,故尸4:丁一切=旦。一芭)，同理尸8:、一当=且(九一%2)，

PM>2

联立解得#一4〃加],结合题意解得加=2,p=4,故g=J_=L

<2)m2

2

(2)由(1)知两条切线的斜率之积为4公=」一=