专题四几何证明专题

第三部分

专题探究专题四

几何证明专题【例1】如图Z4-1，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE相交于点H，若AE=CE，求证：△AEH≌△CEB.考点突破

考点一

证明三角形全等

1.如图Z4-2，点D，F，E分别在△ABC的三边上，∠1=∠2=∠3，DE=DF，求证:△ADE≌△CFD.变式诊断

【例2】如图Z4-3,△ABC内部一点O到两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC.求证：AB=AC.考点突破

考点二

证明线段相等

2.如图Z4-4,AB=AC，BD=CD，DE垂直AB的延长线于点E，DF垂直于AC的延长线于点F，求证：DE=DF.变式诊断

【例3】如图Z4-5，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，E是线段AD上的点，且AD=BD，DE=DC.求证：∠BED=∠C.

考点突破

考点三

证明角相等

3.如图Z4-6，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF⊥BD于点F.求证：∠BEF=∠DEF.变式诊断证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD.∴∠ABD=∠EDB.∴EB=ED.又∵EF⊥BD，∴∠BEF=∠DEF.【例4】如图Z4-7,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线.（1）如图Z4-7①，若AD=BD，求∠A的度数；（2）如图Z4-7②，在（1）的条件下，作DE⊥AB于点E，连接EC.求证：△EBC是等边三角形.考点突破

考点四

证明等腰或等边三角形（1）解：∵AD=BD，∴∠A=∠DBA.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBA=∠DBC.∴∠A=∠DBA=∠DBC.∵∠ACB=90°，∴∠A+∠DBA+∠DBC=90°.∴∠A=30°.

4.如图Z4-8，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延长AC至点E，使CE=AC.（1）求证：DE=DB；（2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由.变式诊断

（2）解：△ABE是等边三角形.理由如下：∵BC是线段AE的垂直平分线，∴BA=BE,即△ABE是等腰三角形.又∵∠CAB=60°，∴△ABE是等边三角形.【例5】如图Z4-9，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为点A，B，试说明线段AD，AB，BE之间的数量关系，并证明.考点突破

考点五

证明线段的和、差、倍关系

5.如图Z4-10,在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：BE+CF=EF.变式诊断证明：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC.∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC.∴∠EDB=∠EBD.∴DE=BE.同理，CF=DF.∴EF=DE+DF=BE+CF，即BE+CF=EF.6.如图Z4-11，AB=CD，BC=DA，点E，F在AC上，且AE=CF.试证明：△BCF≌△DAE.

7.如图Z4-12，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F.求证：DE=BF.证明：∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2.∵DE⊥AC，∠ABC=90°,∴DE=BD.可证△BCD≌△ECD（AAS）,∴∠3=∠4.∵BF∥DE，∴∠4=∠5.∴∠3=∠5.∴BD=BF.∴DE=BF.8.如图Z4-13，若△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD+CD=AD.

9.如图Z4-14，在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ.判断△A