高考数学大一轮复习 8.2 空间点、线、面的位置关系精练-人教版高三数学试题

8.2空间点、线、面的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点空间点、线、面的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题3.理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论2013天津,17证明异面直线垂直求二面角的正弦值★★☆2012天津,17求异面直线所成角的正切值证面面垂直、求线面角的正弦值2008天津,5直线、平面位置关系的判定充分条件分析解读1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明异面或共面问题.2.会证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为载体,求异面直线所成的角,分值约为5分,属于中档题.破考点【考点集训】考点空间点、线、面的位置关系1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交C.异面D.平行答案D2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A.4B.5C.6D.7答案C3.如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有()A.①③B.②③C.②④D.②③④答案C4.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD所成角的余弦值为()A.13B.23C.3答案C5.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为.

答案45°炼技法【方法集训】方法1点、线、面位置关系的判断方法1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案B2.如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.(1)求AH∶HD;(2)求证:EH、FG、BD三线共点.解析(1)∵AEEB=CF又∵EF⊂面EFGH,面EFGH∩面ACD=GH,∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH,∴AHHD=CG∴AH∶HD=3∶1.(2)证明:∵EF∥GH,且EFAC=13,GHAC∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交.设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂面ABD,∴P∈面ABD,同理,P∈面BCD,而面ABD∩面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.3.如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.证明证法一:∵A、C、E不共线,∴它们确定一个平面α,又A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α,∴l3⊂α,同理,l4⊂α,故l1,l2,l3,l4四条直线共面.证法二:∵点A、C、E不共线,∴它们确定一个平面α,又∵A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又∵F、D、E不共线,∴它们确定一个平面β.又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,∴l3⊂β,l4⊂β.而不共线的三点B、C、D可确定一个平面,又B、C、D既在α内又在β内,故平面α与平面β重合.∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.评析证法一与证法二是证明共面问题常用的方法,证法一是先确定一个平面α,后证明其他的直线也在这个平面内,从而使问题得证;证法二是寻找了两个平面α与β使得四条直线在α内或在β内,然后再证明α与β重合,从而使问题得证.证明本题也可用反证法.方法2异面直线所成角的求法4.已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=43,则异面直线PA与MN所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°答案A5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为()A.52B.23C.2答案C过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2008天津,5,5分)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是()A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β答案C2.(2013天津,17,13分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE;(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26解析解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).(1)证明:易得B1C1于是B1C1·CE=0,所以B1(2)B1设平面B1CE的法向量m=(x,y,z),则m·B1不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).由(1)知B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故B1C1于是cos<m,B1C1>=m·B从而sin<m,B1C1所以二面角B1-CE-C1的正弦值为217(3)AE=(0,1,0),EC1=(1,1,1).设EM=λEC1=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有AM=AE+EM=(λ,λ+1,λ).可取AB=(0,0,2)为平面ADD设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则sinθ=|cos<AM,AB>|=|=2λλ2于是λ3λ2解得λ=13,所以AM=2解法二:(1)证明:因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E=5,B1C1=2,EC1=3,从而B1E2=B1C12+EC12,所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,又CC1,C1E⊂平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE⊂平面CC1E,故B(2)过B1作B1G⊥CE于点G,连接C1G.由(1)知B1C1⊥CE,故CE⊥平面B1C1G,得CE⊥C1G,所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在△CC1E中,由CE=C1E=3,CC1=2,可得C1G=263.在Rt△B1C1G中,B1G=423,所以sin∠B1GC1=217,即二面角B1-CE-C(3)连接D1E,过点M作MH⊥ED1于点H,可得MH⊥平面ADD1A1,连接AH,AM,则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x,从而在Rt△AHM中,有MH=26x,AH=346x.在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=2,得EH=2MH=13x.在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos135°,得1718x2=1+19x2+23x,整理得5x2-2评析本题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角,直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.3.(2012天津,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=23,PD=CD=2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)证明平面PDC⊥平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.解析(1)在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且AD∥BC,故∠PAD(或其补角)为异面直线PA与BC所成的角.又因为AD⊥PD,所以tan∠PAD=PDAD所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明:由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD,又由于AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC,而AD⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)在平面PDC内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.在△PDC中,PD=CD=2,PC=23,故∠PCD=30°.在Rt△PEC中,PE=PCsin30°=3.由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC.在Rt△PCB中,PB=PC2+B在Rt△PEB中,sin∠PBE=PEPB=39所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3913评析本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标Ⅱ文,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22B.32C.5答案C2.(2016浙江文,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n答案C3.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.()A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m答案A4.(2015广东文,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案D5.(2014广东文,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D6.(2015四川文,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF⊥平面BEG.解析(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,故BCHE为平行四边形.所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理,BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.又EG⊥FH,DH∩FH=H,所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.同理,DF⊥BG.又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.评析本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力.7.(2014课标Ⅱ文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=34解析(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)V=13·PA·S△ABD=16PA·AB·AD=由V=34,可得AB=3作AH⊥PB交PB于H.由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH,又BC∩BP=B,故AH⊥平面PBC.又AH=PA·ABPB所以A到平面PBC的距离为313评析本题考查直线和平面平行、垂直的判定方法以及空间距离的计算,考查了空间想象能力.C组教师专用题组(2014陕西文,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.解析(1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD的体积V=13×12×2×2×1=(2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2019届天津七校联考期中,4)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥βB.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥βC.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥βD.若m∥n,m∥α,则n∥α答案C2.(2018天津杨村一中热身训练,4)已知命题p:“直线l垂直于平面α内的无数条直线”的充要条件是“l⊥α”;命题q:若平面α⊥平面β,直线a⊄β,则“a⊥α”是“a平行于β”的充分不必要条件,则正确命题是()A.p∧qB.(¬p)∧qC.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)答案B3.(2018天津南开中学第三次月考,5)若m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中真命题是()A.若m⊥β,m∥α,则α⊥βB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥βC.若m⊂β,α⊥β,则m⊥αD.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ答案A4.(2019届天津七校联考期中,8)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为线段A1B上的动点,则下列结论正确的有()①三棱锥M-DCC1的体积为定值;②DC1⊥D1M;③∠AMD1的最大值为90°;④AM+MD1的最小值为2.A.①②B.①②③C.③④D.①②④答案A二、填空题(每小题5分,共5分)5.(2019届天津新华中学期中,10)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是.

①若α,β垂直于同一平面,则α与β平行②若m,n平行于同一平面,则m与n平行③若α,β不平行···,则在α内不存在④若m,n不平行···,则m与n不可能答案④三、解答题(共75分)6.(2017天津南开中学第五次月考,17)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=12AA1,D是棱AA1的中点,DC1(1)证明:DC1⊥BC;(2)求二面角A1-BD-C1的大小.解析(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点,故DC=DC1.又AC=12AA1,所以DC12+DC2=CC12,所以DC1⊥DC.而DC1(2)由(1)知BC⊥DC1,且BC⊥CC1,且DC1∩CC1=C1,则BC⊥平面ACC1,所以CA,CB,CC1两两相互垂直.以C为坐标原点,CA为x轴的正方向,CB为y轴的正方向,CC1为z轴的正方向,|由题意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2),则A1D=(0,0,-1),BD=(1,-1,1),设n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,则n·BD=0同理,设m=(a,b,c)是平面C1BD的法向量,则m·BD=0,m·D又易知二面角A1-BD-C1为锐二面角,故二面角A1-BD-C1的大小为30°.7.(2017天津南开一模,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PB,PA⊥PB,F为CP上的点,且BF⊥平面PAC.(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(2)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在一点G,使GF∥平面PAB?若存在,求PG的长;若不存在,说明理由.解析(1)证明:∵BF⊥平面PAC,PA⊂平面PAC,∴BF⊥PA,又PA⊥PB,PB∩BF=B,∴PA⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,∴PA⊥BC,又∵底面ABCD是正方形,∴AB⊥BC,又PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∵BC⊂平面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD.(2)作PE⊥AB,垂足为E,连接EC,由(1)知平面PAB⊥平面ABCD,又平面PAB∩平面ABCD=AB,∴PE⊥平面ABCD,则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成角.∵PA=PB,PA⊥PB,AB=2,∴PE=1,PB=2,∴在Rt△PBC中,由勾股定理得PC=6,∴在Rt△PEC中,sin∠PCE=PEPC=6∴直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为66(3)作FG∥CD,交PD于G,∵FG∥CD,AB∥CD,∴FG∥AB.又∵FG⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴FG∥平面PAB,∵BF⊥平面PAC,PC⊂平面PAC,∴BF⊥PC.∴在Rt△PBC中,易得BF=23在Rt△PBF中,由勾股定理可得PF=63又∵PC=PD,∴PG=63即棱PD上存在一点G,使GF∥平面PAB,且PG=63解题分析本题考查线面、面面垂直的判定定理,考查线面角,考查线面平行,属于中档题.8.(2017天津南开二模,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1,E是BC的中点.(1)求证:AE⊥B1C;(2)求异面直线AE与A1C所成角的大小;(3)若G为C1C的中点,求二面角C-AG-E的正切值.解析(1)证明:∵BB1⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,∴AE⊥BB1,由AB=AC,E为BC的中点得AE⊥BC,∵BC∩BB1=B,∴AE⊥平面BB1C1C,又B1C⊂平面BB1C1C,∴AE⊥B1C.(2)取B1C1的中点E1,连接A1E1,E1C,则AE∥A1E1,∴∠E1A1C或其补角是异面直线AE与A1C所成的角.设AC=AB=AA1=2,则由∠BAC=90°,可得A1E1=AE=2,A1C=22,E1C1=EC=12BC=2∴E1C=E1C1在△E1A1C中,由余弦定理的推论得cos∠E1A1C=2+8-62×∴异面直线AE与A1C所成角的大小为π3(3)设P是AC的中点,过点P作PQ⊥AG于Q,连接EP,EQ,则EP∥AB,EP⊥AC,又∵平面ABC⊥平面ACC1A1,且平面ACC1A1∩平面ABC=AC,EP⊂平面ABC,∴EP⊥平面ACC1A1,而PQ⊥AG,∴由三垂线定理得EQ⊥AG.∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角,设EP=1,则AP=1,PQCG=APAG,PQ=15,得tan∠PQE=PE所以二面角C-AG-E的正切值是5.解题分析本题是与二面角有关的立体几何综合题,主要考查了异面直线的夹角,线线垂直的判定,二面角等知识点,难度适中,熟练掌握线面垂直,线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角与二面角的定义,是解答本题的关键.9.(2018天津实验中学热身训练,17)如图,在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=2,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:EF∥A1D1;(2)证明:BA1⊥平面B1C1EF;(3)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值.解析(1)证明:因为C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,A1D1⊂平面ADD1A1,所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA=EF,所以C1B1∥EF,所以A1D1∥EF.(2)证明:因为BB1⊥平面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1,BB1∩B1A1=B1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,又BA1⊂平面ABB1A1,所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,所以tan∠A1B1F=tan∠AA1B=22,即∠A1B1F=∠AA1故BA1⊥B1F,又B1F∩B1C1=B1,所以BA1⊥平面B1C1EF.(3)设BA1与B1F的交点为H,连接C1H.由(2)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.在矩形AA1B1B中,AB=2,AA1=2,易得BH=46在Rt△BHC1中,BC1=25,BH=46,所以sin∠BC1H=BHBC所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是301510.(2018天津河西二模,17)如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,AB=1,AD=2,四边形ABEF为正方形,平面ABEF⊥平面ABCD,P为DF的中点,AN⊥CF,垂足为N.(1)求证:AN⊥平面CDF;(2)求异面直线BF与PC所成角的正切值;(3)求三棱锥B-CEF的体积.解析(1)证明:∵四边形ABEF为正方形,∴AB⊥AF,∵四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,∴CD⊥AC,AB∥CD,∴CD⊥AF,∵AF∩AC=A,∴CD⊥平面ACF,∵AN⊂平面AFC,∴CD⊥AN,∵AN⊥CF,CF∩CD=C,∴AN⊥平面CDF.(2)连接BD交AC于点O,连接AP、PO.∵四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,AB=1,AD=2,∴AC=AD2-CD2=∵平面ABEF⊥平面ABCD,∴AF⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,∴AF⊥AD,∵四边形ABEF为正方形,AB=1,∴AF=AB=1,∵P为DF的中点,∴AP=12由(1)知CD⊥平面ACF,∴CD⊥CF,又P为DF的中点,∴CP=12∴AP=C