高考数学一轮复习 考点规范练3 基本不等式及其应用（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

考点规范练3基本不等式及其应用一、基础巩固1.下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14>lgB.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4A.72 B.4 C.92 D3.已知a>0,b>0,a+b=1a+1b,则1aA.4 B.22 C.8 D.164.已知不等式2x+m+8x-1>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,则实数mA.m>-10 B.m<-10 C.m>-8 D.m<-85.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()A.43 B.53 C.2 D6.若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4) D.(-4,2)7.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1A.2 B.32 C.1 D.8.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是.

9.已知a>0,b>0,且2a+b=1,求证:2+1a1+2b二、能力提升10.已知不等式2x2-axy+y2≥0对任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是()A.a≤22 B.a≥22 C.a≤113 D.a≤11.(2018天津,文13)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为12.已知实数x,y满足x>y>0,且x+y=1,求4x+313.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x.当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10000x-1450.每件商品售价为0.05万元.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?三、高考预测14.已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当cab取最小值时,a+b-c的最大值为(A.2 B.34 C.38 D

考点规范练3基本不等式及其应用1.C解析因为x>0,所以x2+14≥2·x·12所以lgx2+14≥lg当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,有1x2+12.C解析由题意,得1a+4b=1当且仅当a+b=2,ba=故1a+43.B解析由a>0,b>0,a+b=1a+1b则1a+2b≥21当且仅当1a=2b,即a=22故选B.4.A解析原不等式可化为-m<2x+8x令f(x)=2x+8x-1(x>1),则f(x)=2(x-1)+8x-1+2≥22(x-1)·8x-1+2=10,即当2(5.C解析由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立).则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.6.D解析因为x>0,y>0,2x+所以x+2y=(x+2y)2x+1y=2当且仅当4yx=xy,即由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.7.C解析由ax=by=3,得1x又a>1,b>1,所以ab≤a+b当且仅当a=b时等号成立.所以lg(ab)≤lg3,从而1x+1y≤lg38.263解析∵x>1,∴logx9+log27x=2lg3lgx+lgx∴logx9+log27x的最小值为269.证明2+=4+ba3+4ab=16+16a因为a>0,b>0,所以16ab+3ba当且仅当16ab=3ba,即所以2+1a1+2b=16+1610.A解析因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2xy2-a·xy令t=xy,则不等式变为2t2-at+1≥0由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈13即2t2-at+1≥0在t∈13,由2t2-at+1≥0可得a≤2t2+1t,即a又2t+1t≥22t·1当且仅当2t=1t,即t=22时等号成立,所以2t+1t取得最小值22,所以有a≤211.14解析∵a-3b+6=∴a-3b=-6.∵a,b∈R,∴2a>0,18b>∴2a+18b≥22a-当且仅当2a=18b,即a=-3,b=12.解∵x>y>0,x+y=1,∴4x+3y+1x-y=2当且仅当2(即x=56,y=16∴4x+3y13.解(1)因为每件商品售价为0.05万元,所以x千件商品的销售额为(0.05×1000x)万元.依题意得,当0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-13x2-10x-250=-13x2+40当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-10000x+1450-250=1200-x则L(x)=-(2)当0<x<80时,L(x)=-13(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950当x≥80时,L(x)=1200-x+10000x≤1200-2x·10000x=1200-200=1000,当且仅当x=10000x,即因为950<1000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为1000万元.14.C解析由正