趣味数学课件

趣味数学

只有喜欢数学，热爱数学，才能真正学好数学，运用好数学。那么，怎样才能喜欢数学、

热爱数学呢？

1.培养学习数学的兴趣。

人们常说兴趣是最好的老师，学习数学也是这样•那么，怎样才能培养自己学习数学的

兴趣呢？其实方法很多，其中之•就是寻找生活中的数学问题，真正体验到生活中处处有数

学。

例如，妈妈让你到商店去买5个面包，在陈列面包的柜台里，放着如下图所示这样一

些不同种类的袋装面包，你可以怎样买呢？

可以有5种不同的买法，分别是:

（1）买一袋，5只装的一袋。

（2）买两袋，可以有两种买法。

a.一袋1只，一袋4只。

b.一袋2只，一袋3只。

（3）买三袋，可以有两种买法。

a.2只装的买两袋，三只装的买一袋。

b.3只装的买一袋，I只装的买两袋.

(4)买四袋，2只装的买一袋，1只装的买三袋。

(5)买五袋，1只装的五袋。

同学们，这就是我们II常生活中经常遇到的问题，是不是很有趣啊。在日常生活中，这

样的问题有许许多多，只要你仔细观察、认真思考，就能用我们学到的数学知识解决这类问

题。体会到数学的有用性，你就会对数学充满深深的热爱，如果你总是怀着一种愉悦的心情

学习数学，你就会乐此不疲、乐在其中。

2.掌握“分段”学习方法。

分段实现大目标，这是日本马拉松选手山田本一给人的启示。在1984年的东京国际马

拉松邀清赛和1986年意大利国际马拉松邀请赛中，日本选手山田本一均夺得世界冠军。当

记者请他谈谈经验时，性情木讷、不善言谈的山田本一的回答像谜：用智慧战胜对手。10

年后，这个谜才被揭开。山田本一在他的一本自传中说：每次比赛之前，我都要乘车把比赛

的路线仔细看上一遍，并把沿途比较醒目的标志画下来。比如第一个标志是银行，第二个标

志是棵大树，第三个标志是一座红房子……这样一直画到赛程的终点。比赛开始后，我就奋

力向第一个目标冲去。等到达第一个目标后，我又奋力冲向第二个目标……四十多公里的赛

程，就被我分解成这么几个小目标轻松地跑完了。起初，我并不懂这个道理，我把我的目标

定在四十多公里外终点线上的那面旗帜上，结果我跑了十几公里就疲惫不堪了。我被前面那

段遥远的路程给吓倒了。

在学习数学的过程中也应该采取“分段”学习的方法。其实你们每天需要学习的数学内容

并不多，例如第十一册教材第一课，只要掌握分数乘以整数的意义、计算法则，并能运用这

些知识解答实际问题就可以了，这是多么简单的事情啊。日日积累、月月积累、年年积累就

积累了许多数学基础知识与基本技能，在运用这些知识与技能解决实际问题的时候，你们的

实践能力也会得到提高。

同学们，请你尝试一下运用以上的方法学习数学，你一定能更加喜欢数学、热爱数学.

猴子抬西瓜

小猴子从300米远的地方往回抬一个大西瓜，需要2个小猴子一起抬，现在由3个小

猴子轮流参加抬，请你算一下，每个小猴子抬西瓜平均走了多少米？

青蛙捉虫子

大小两只青蛙比赛捉虫子，大青蛙比小青蛙捉得多。如果小青蛙把捉的虫子给大青蛙3

只，则大青蛙捉的就是小青蛙的3倍。如果大青蛇把捉的虫子给小青蛙15只，则大小青蛙

捉的虫子一样多。你知道大小青蛙各捉了多少只虫子吗？

答案是：

1.每个小猴子抬西瓜平均走了200米。

2个小猴子抬着走300米，共要走300x2=600（米）。3个小猴子轮流抬，平均每

个小猴子抬西瓜走了300x20+3=200（米）。

2.大青蛙捉了51只虫子，小青蛙捉了21只虫子。

大青蛙比小青蛙多捉虫子15+15=30（只），如果小青蛙把捉的虫子给大青蛙3只，

则大青蛙比小青蛙多虫子30+3x2=36（只），这时大青蛙捉的虫子是小青蛙的3倍，所

以1倍就是（30+3x2）+（3-1）=18（只），小青蛙捉虫子18+3=21（）,大青蛙捉虫

子21+15x2=51（只）。

怎样分析应用题

有的同学一看到应用题就害怕，不知从哪儿下手分析,下面谈谈分析应用题的一些基本方法。

首先要学好简单应用题，这是解答应用题的基本功。因为复合应用题都是由几个简单应

用题组成的。

怎样分析复合应用题呢？由于思维过程不同，分为综合法和分析法两种。综合法是从已

知条件出发，逐步推出要解决的问题；分析法是从问题出发，逐步追溯到已知条件。例如：

红叶服装厂计划做660套衣服，已经做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，

平均每天做多少套？

用分析法分析：要求平均每天做多少套，就必须知道剩下多少套（未知）和剩下的要几

天做完（已知）；要求剩下多少套就必须知道计划做多少套（已知）和已经做了多少套（未

知）；要求己经做了多少套就必须知道平均每天做多少套（已知）和做了几天（己知）。这

样一步一步找出新的问题中的数量关系，直到新的问题所要求的数量关系都成为己知条件为

止。

用综合法分析：题中告诉我们，已经做了5天，平均每天做75套，我们能求出5天做

的套数；已知计划做660套和5天做的套数，我们能求出剩下的套数；已知剩下的套数和

剩卜做的天数，我们能求出剩下平均每天做的套数。根据题中给的已知条件，一步步找到需

要解答的问题。

分析应用题时两种方法经常是互相配合，灵活运用。用综合法分析要随时照顾要求的问

题，注意已知条件和问题的关系；用分析法分析要随时照顾已知条件，注意问题和已知条件

的关系。不论用什么方法分析应用题，都要认真审题，理解题意，通过分析已知条件和问题

间的数量关系，找出中间问题（也叫关键问题），最后求得应用题的正确解答。

找“等量关系”的几种方法

列方程解应用题的关键是确定等量关系。那么，解题时应如何寻找等量关系呢？下面告诉同

学们儿种常用的方法。

1.从题中反映的基本数量关系确定等量关系。

任何一道应用题，都可以根据条件和问题写出一个基本数量关系式，这个基本数量关系

式就是题中的等量关系。

如“商店原来有一些饺子粉，又运来12袋，每袋5千克，卖出7袋以后，还剩40千克。

这个商店原来有多少千克饺子粉？”根据题目叙述顺序我们很容易写出：原有的重量+运来

的重量一卖出的重量=剩下的重量。

2.紧扣几何形体周长、面积和体积公式确定等量关系。

同学们在学习几何知识时，已经掌握了平面图形的周长和面积的计算公式以及立体图形

的表面积和体积的计算公式。这些公式，是等量关系的具体化。

如“•个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？”我们可以

根据三角形面积计算公式直接列出方程。

3.根据常见的数量关系确定等量关系。

在三年级的时候，同学们已经学习了乘、除法应用题中常见的数量关系。如，单价x数

量=总价，单产量x数量=总产量，速度x时间=路程，工效x时间=工作总量等。这些常见

的基本数量关系，就是等量关系。

4.抓住关键句子确定等量关系。

好多应用题都有体现数量关系的句子。解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语

句的含义，就能确定等量关系。

如，根据“合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人”可知：舞蹈队的人数x3+15=合唱队

的人数。根据“果园里桃树和杏树一共有180棵”可知：桃树的棵数+杏树的棵树=180棵。

5.借助线段图确定等量关系。

线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化。对于较复杂的题目，同

学们可借助线段图找等量关系。

如"有两袋大米，甲袋大米的重量是乙袋的1.2倍。如果再往乙袋里装5千克大米，两

袋就•样重了。原来两袋大米各有多少千克？”

根据题意，可以画出下面的线段图。

5千克

乙袋：I*二■—।--J

L4脩

甲袋；f-----------KN---------1

从图中很容易得出：甲袋重量一乙袋重量=5千克。

6.抓住“不变量”确定等量关系。

适合用正、反比例解答的应用题，我们可以根据题中的“比值•定”和“积一定”找等量关

系。

当然，确定等量关系的方法不只以上几种，同学们在学习时要注意总结，力争找到更多

更好的方法。

列式要重视思路

解应用题时，既要重视在理解题意基础上去列式，更应注意列式的思维过程。

请看列式的思路。

一、思路不同、列式不同

有些应用题，因为解题的思路不同，所以出现不同的列式，而得出相同的结果。

如，一块钢坯重150千克，先截下30千克做40个同样的零件，照这样计算，余下的

钢坯可以做这样的零件多少个？

1.先求出余下的重量，再除以每个零件的重量。

列式为：(150—30)*(30-40)=160(个)

2.先求出余下的重量是截下的几倍，然后再求可做多少个零件。

列式为：40x((150-30)+30)=160(个)

3.先求出总重量是截下的几倍，再求出可做多少个零件。

列式为：40x(150-30)-40=160(个)

4.先求出每千克钢坯可做多少个零件，再求余下可做多少个零件。

40+30x150-40=160(个)

5.先求每千克钢坯可做零件的个数，然后再求出余下的钢坯可做多少个零件。

(40-30)x(150-30)=160(个)

二、思路相同、列式不同

有些应用题，虽然思路相同，但列式不同。

1

如，光明机械厂去年计划生产机床1800台，实际头2个月就生产了计划的§,照这样

计算，可提前几个月完成任务？

解题思路都是用计划用的时间一实际用的时间=提前时间。

列式为：

I

(1)12-180-(1800x5+2)=2(个月)

(2)12-1-(5+2)=2(个月)

(3)12-2-5=2(个月)

1

(I)种是•般应用题解法。1800x5+2是实际每月生产机床的台数，1800除以实际每

月生产的台数就是实际用的时间，计划用的时间减去实际用的时间，就是提前的时间。

1

(2)种是用“工程问题”的解法。把计划生产的总台数看作单位“1”，(5+2)是实际工

1

效，1+(5-2)=10是实际用的时间，12—10=2(个月)，即是提前的时间。

(3)种是分数应用题的解法。把实际完成计划任务所用的时间看作单位“1”。2个月完

J

成了全部工作量的，则实际完成全部工作的时间为2+5=10(个月)，再用计划用的时间

减去实际用的时间就是提前的时间。即12—10=2(个月)

以上几种列式总体的解题思路都是用计划用的时间-实际用的时间=提前时间。但在具

体解答中，从不同角度去分析，得出不同的解法，也就出现了不同的列式。

三、列式相同、思路不同

在解应用题时，有时虽然是同•种列式方法，但是解题思路却是不同的。

如，从果品公司买来7200千克水果，用2辆载重为1200千克的汽车来运，几次可以

运完？

（1）因为每辆汽车每次运1200千克，假设7200千克水果用一辆汽车来运，要运几次？

实际用2辆汽车运，几次可以运完？所以可以先求用一辆汽车运要运几次，再求用2辆汽

车运要运几次。

歹U式为：7200+1200+2=3（次）

（2）因为每辆汽车每次运1200千克，假设7200千克水果要一次运完，需要几辆汽车？

实际只用2辆汽车运，要运几次呢？所以可先求出一次运完要用几辆汽车，再求2辆车几

次可以运完。

列式也是：7200+1200+2=3（次）

通过以上的几个例子可以看出，列式时可能出现几种情况：思路不同，列式不同；思路

相同，列式不同；列式相同，思路不同。所以解题时，要把解题和训练思维有机给合起来。

要在解题时，常想想：我根据题意是怎样列式的，列式的思考过程是什么？是怎样分析题中

数量关系的，分析的角度一样吗？久而久之，通过解答应用题，起到训练思考力的作用，从

而不断提高我们的思维水平。

做计算题也要认真审题

解答应用题的时候，我们都非常重视审题这个环节，因为不认真审题，就不能正确地理解题

意、分析数量关系，解题也就无从入手了。而在做计算题的时候，往往认为数目和运算符号

都是明摆着的，不审题也照样可以计算。其实，做计算题的时候同样也是需要认真审题的。

通过审题，可以看清数目的特点，运算之间的关系，既能确定运算顺序，又能进一步思考：

是否可以应用运算定律或运算性质，使计算方法更加合理、灵活，计算更加简便呢？审题，

可以培养我们的观察能力，发展我们的思维能力，提高我们的计算能力。

现在，让我们通过计算下面的题，进一步认识审题是多么的重要啊！

J115

(2+3)+5x5有的同学说这道题的计算结果是£，你同意吗？先让我们一起来审

题：这是一道含小括号的三步计算式题，按运算顺序的规定，应该先算小括号里的，再算小

I15

括号外的。小括号里二+3,和是小括号外的乘法与除法属同一级运算，计算时应该

11151511I

从左往右依次进行。正确的计算过程是：(J+?)+5xM=f+5xM=fxMxW=而。

15

计算的最后结果应该是30,而不是f。从表面上看，造成错误的原因是计算时违反了运算

工

顺序，实际上呢，是有的同学被5x5正好可以约分这一组合形式吸引所致。如果我们在计

算之前能够认真审题的话，那么，这样的错误是完全可以避免的，你说对吗？

又如15x78+45x74,这是一道“求两积之和”的三步式题，粗看，数目和和运算之间没

有明显的特点，按运算顺序应该先分别计算出15x78、45x74的积，然后将两个积相加，

它们的和便是计算的最后结果。如果我们在审题时，充分利用自己头脑中的数字知识，就能

看到数目间的倍数关系，并能想到将原来的算式转化成为符合应用乘法分配律进行简算的可

能性。依据“两个数相乘，一个因数扩大几倍，另一个因数缩小同样的倍数，积不变”的性质,

将15扩大3倍为45,78缩小3倍为26,使15x78转化成为45*26。计算过程是：15x78

+45x74=(15x3)x(78-3)+45x74=45x26+45x74=45、(26+74)=45x100=4500。

由此可见，认真审题，有时可以将题目进行合理地“改造”，使计算简便。

认真审题，既是一个良好的学习习惯，也是项重要的学习能力。习惯和能力都需要有

意识地去培养，让我们在做计算题的过程中，自觉地增强审题意识，锻炼审题能力吧！

计算方法与运算定律的联系

同学们掌握了整数四则的计算方法，又学习了加法和乘法的几个运算定律后，你想过没有，

已掌握的计算方法和这些运算定律之间有什么联系？

加法和乘法的运算定律是很重要的基础知识，它们不仅是加法、乘法的简便运算的重要

依据，也是加法、乘法的口算和笔算的重要依据。理解运算定律和计算方法之间的联系，能

帮助我们牢固地掌握这些基础知识。

我们知道，多位数乘法的计算方法是：先用乘数每一位上的数去乘被乘数，用乘数哪

位上的数去乘，乘得的数的末位就要和那一位对齐，然后把几次乘得的数加起来。这个计算

方法是根据乘法分配律得出的。

例如,342x23

=342x(20+3)

=342x20+342x3

=6840+1026

=7866

写成竖式，就是:

342

x23

3026.....342x3

684.......342x20

7866

两种算法的算理相同。

我们还知道，因数末尾有o和乘法的简便算法是：先把o前面的数相乘，最后看因数

末尾一共有几个0,就在乘得数的末尾添写几个0。这个简便算法是根据乘法交换律和乘法

结合律得出的。

例如，5800x60,应用乘法交换律和乘法结合律计算是：

5800x60

=(58*100)x(6x10)

=(58x6)x(100*10)

=348x1000

=348000

写成竖式，就是：

5800

x60

333

得数348000=348x1000,其中348=58x6,1000=100x10,

两种算法的算理相同。

想-想：多位数加法的计算方法与加法交换律、结合律有什么联系？你能举例说明吗？

乘、除法的简单估算

估算是数学的一个重要内容。虽然目前它还只作为选学的内容，但它在日常生活中的

应用已越来越广泛。学一点简单的估算知识，不仅可以提高我们的计算能力，还可以培养我

们思维的灵活性。

目前在我们数学课本中安排的简单估算，主要是乘、除法的简单估算。内容包括：乘

数是一位数的乘法估算与除数是一位数的除法估算;乘数是两位数的乘法估算与除数是两位

数的除法估算。

乘数是一位数的乘法估算与除数是一位数的除法估算，既有相同的地方，也有不同的

地方。

相同的地方是：都要用四舍五入法求出被乘数或被除数的近似数，再用这个近似数去

乘以或除以一位数。

不同的地方是：求近似数时，乘数是一位数的乘法估算，只要把被乘数的最高位后面

的尾数省略。除数是一位数的除法估算，则要分两种情况来处理：如果被除数的最高位上的

数够除，就把最高位后面的尾数省略；如果被除数的最高位上的数比除数小，就把前两位后

面的尾数省略。

这就是说，当被除数最高位上的数够除时，求被除数的近似数的方法与求被乘数的近

似数的方法相同；当被除数最高位上的数比除数小时，求被除数的近似数的方法与求被乘数

的近似数的方法不同。我们可以把它们的共同点和不同点整理成下表。

求被乘数或被除数的近似数的方

举例

法

3186x3*9000

用一位数乘

3000

把最高位后面的尾数省略

3186+3F000

被除数最高位上的数够除

3000

用一位数除

3186-4^800

被除数最高位上的数比除数

把前两位后面的尾数省略

小

3200

乘数是两位数的乘法估算的方法与乘数是一位数的估算基本相同，所不同的是被乘数

和乘数都要先取近似数，然后再用两个近似数相乘。例如，

3186x38=120000

300040

除数是两位数的除法估算的方法也与除数是一位数的估算基本相同，所不同的是被除

数和除数都要先取近似数，然后再求两个近似数的商。除数都省略十位后面的尾数。被除数

最高位上的数如果比除数十位上的数大，就把最高位后面的尾数省略；如果比除数十位上的

数小，就把前两位后面的尾数省略。

例如，3186+28句003186+42=80

1111

300040320040

先从简单情况考虑

著名数学家华罗庚爷爷指出，善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方,

是学好数学的一个诀窍。这段话给我们以深刻的启示：当我们遇到一道难题束手无策时，不

妨采用“退”的方法先退到一种简单的情况进行考虑，然后通过判断、推理，进而使问题得到

解决。举一个简单的例子：

22

例1.修一段公路，第一天修全路的上多2千米，第二天修余下的二少1千米，还剩

下20千米没有修完。求公路的全长。

我们可以退一步，先从简单的情况考虑：要是第二天修了剩下的」，那么该剩下19千

2

米，因此，除了第一天修的公路，还剩下19+二=38（千米）。再继续想，要是第一天只

11

修了公路全长的2,那么剩下的是38+2=40（千米），所以公路全长是40+3=80（千

米）。

具体地说来，先从简单情况考虑可以分为从一般退到特殊，从抽象退到具体，从整体退

到部分等。

例2.一只轮船往返于甲、乙两个码头之间一次。问：静水中航行所花时间长，还是流

水中航行所花时间长，还是所花时间一样长？

这样的问题，一时很难作出回答。我们可以先从简单情况考虑，退到•种非常特殊的情

况：即假定船速等于水速，那么问题就迎刃而解了。由于船速等于水速，因此轮船在逆水航

行时将停止不前。这就是说，轮船无论花费多少时间，也无法在这样的流水中完成两个码头

之间的往返航行。而在静水中航行的话，往返一次所花的时间总是"往"（或“返”）时的2倍。

因此，在流水中航行所花的时间长。

接着看一下从抽象退到具体。

2

例3.某实验小学四年级的男生人数比女生多二，问女生人数比男生少几分之几？

这道题比较抽象，而且由于“标准量”、“比较量”的前后变化，增加了题目的难度。但是

如果我们先从简单情况考虑，把它从抽象形退到具体，问题还是不难解决的。

我们不妨假设四年级女生人数为4人，（其实只要所设的女生人数是4的倍数即可）

11

根据题意，四年级男生人数为4x（1+4）=5（人），所以（5-4）+5=5,即女生人数

比男生少五分之一。

最后讲一下从整体退到部分。

例4.计算：

_L+_L_+_L++—1—

版22X3>4...9X100

这道题用常规方法（通分后再相加）是行不通的。我们可以先从简单情况考虑，考查前

几项的结果（即所求算式的一部分的结果）；

----=-J,I-------

t*221x22«33.

U22x33x4

据此，可得原题结果为I。。。

先从简单情况考虑，是我们解数学题的•个好方法，希望同学们能好好掌握。

怎样解答行程问题

有这样一道应用题：“一辆汽车从A地开往B地，每小时行48千米，行了5小时到达B地。

A、B两地相距多少千米？”我相信，同学们都能很快地列式解答，即48x5=240（千米），

从而求得A、B两地相距240千米。但遇到较复杂的行程问题，往往会觉得无从下手。其

实，只要是行程问题，不管怎么复杂，都可以根据“路程=速度x时间”这一基本数量关系来

解答。下面我们起来解答几道题目。

例：两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50

千米，5小时相遇。求A、B两地间的距离。

分析：求两地间的路程，就是两车原来相隔路程，也就是求两车在5小时里所走路程

的和。根据"路程=速度x时间”，可以先算出每小时两车一共行多少千米，再与相遇时间相

乘，就可求得两地相距多少千米。

(48+50)、5=490(千米)

答：A、B两地间相距是490千米。

现在我们就以这道题为基础来进行改编练习。

1.把原题的“5小时相遇”这一条件改为“5小时后还相距15千米”，问题不变。

我们可以按原题进行分析，所不同的是：这里两车没有相遇，还相距15千米。这样，

两地间的路程就不仅仅是两车5小时里所走的路程和了，还必须加上没有走的15千米。可

这样列式解答。

(48+50)X5+15

=490+15

=505(千米)

答：A、B两地间相距505千米。

2.把原题的“两辆汽车同时从A、B两地相向开出”改为“甲、乙两辆汽车分别从A、B

两地出发相向而行，甲车先行1小时"'，其它条件和问题不变。

分析：这一题与原题的解题思路还是一样的，不同的是原题两车是同时从两地出发，而

这题是不“同时”了。要求A、B两地间的路程，就是求甲、乙两车所行的路程和。这样可以

充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来。等式是，

48x(1+5)=288(千米)

50x5=250（千米）

288+250=538（千米）

也可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程。算式

是，

（48+50）、5=490（千米）

490+48=538（千米）

答：A、B两地间相距538千米。

到这里，我们已经对原题作了两次改编，原题是同时从两地出发，最后相遇的。经过第

一次改编使它成为一道同时从两地出发，最后不相遇的应用题，经过第二次改编它又成了一

道不同时从两地出发，最后相遇的应用题。但不管怎样变，我们都没有离开最基本的数量关

系“路程=速度x时间”来思考和解答，真可谓“万变不离其宗”

3.把原题进行第三次改编，使它成为•道既不“同时”又不相遇的相向运动应用题。

两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行三小时后动车从B地出发，5小时

后两车还相距15千米。甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米。求A、B两地间相

距多少千米？

根据前几题的分析，可列式解答如下：

（48+50）X5=49O（千米）

490+48+15=553(千米)

答：A、B两地间相距553千米。

此题已经解答完毕，我相信聪明的你一定能把它的解题思路讲给同学听

水流速度与航行时间

我们知道，船艇顺水行驶的速度=船速+水速，逆水行驶的速度=船速一水速。如果

船艇在两地间往返一次，行驶的总时间是不是与水流的速度没有关系呢？先看下面的例子。

一只轮船在静水中每小时可以航行20千米，现在在相距200千米的甲、乙两港间行

驶，如果水流每小时.2千米，往返一次需要几小时？如果水流速度是每小时.5千米、10千

米呢？

200+(20+2)+200+(20-2)

200200

=石十丁

20

=2099(时)

20

答:如果水流每小时2千米,往返一次需要2099时。

200+(20+5)+200-(20-5)

200200

=1T+~\5

1

=213(时)

200-(20+10)+200-(20-10)

200200

=元+记

-h

=263(时)

12

答：如果水流每小时5千米、10千米，往返一次分别需要213小时和263小时。

这就是说，水流速度越快，往返航行一次所需时间越多。这是为什么呢？

假设船速每小时是a千米，水速是每小时是b(b<a)千米，两地间的距离是S千米,

往返一次航行的时间是t小时，对照上面的解答思路，可以得到如下的等式：

t=S+(a+b)+S+(a—b)

SS

=a+A+a-b

2Sa

2Sa

2Si

容易看出，在。'一一中，s（路程）和a（船速）都是定值，b（水速）越大，分母

2sx

a?—b2的值就会越小，。'一中的值（值返一次的航行时间）就会越大。这样，上面的结论

得到证明。

一只海轮在静水中每小时可以航行50千米，现在相距4000千米的甲、乙两港间行驶，如

果水流每小时5千米，往返一次（水流速不变）需要几小时？如果水流速度是每小时10千

米、20千米呢？

海轮顺水行驶的速度=船速+水速，逆水行驶的速度=船速一水速。根据题意可知海轮

往返的路程一样。

4000+（50+5）+4000+（50-5）

800,800

--T--

=II9

161—

=99（忖）

16151

答：如果水流每小时5千米，往返一次需要劣时。

4000-（50+10）+4000-（50-10）

4000,4000

------T-------

=6040

166-

=3（时）

4000-(50+20)+4000-(50-20)

4000工4000

--------Hr---------

7030

=21（时）

166-180—

答：如果水流每小时5千米、10千米，往返一次分别需要3小时和21小时。

证明结论：有以上条件忖，水流速度越快，往返航行一次所需时间越多。

假设船速每小时是A千米，水速是每小时是B（BVA）千米，两地间的距离是S千米,

往返一次航行的时间是t小时，对照上面的解答思路，可以得到如F的等式：

t=S+(a+b)+S+(a—b)

ss

=A¥Bi~A-B

2sA

=注意：（A+仍x（/_切—A，

2sA

在4'+6’中，S（路程）和A（船速）都是定值，B（水速）越大，分母A2—B2的

2sA

值就会越小，的值（值返一次的航行时间）就会越大.

题多解

有些题目，如果从不同的角度去分析，就会得到不同的解题方法，也就是说从多个角度去想

就会有多种解法。这样做可以使思维更开阔，也能从中找到最佳的解题方法。下面的题目就

可以用三种方法来解。

例某建筑工地，第一天用6辆汽车运沙子，共运96吨，第二天用同样的汽车12辆运

沙子，第二天比第一天多运多少吨？

解法一：先求一辆汽车一天运沙子的吨数，再求12辆汽车一天运沙子的吨数，减去第

一天运的吨数，就得到第二天比第一天多运的吨数。

6+6x12-96=96（吨）

解法二：先求出12辆是6辆的多少倍，再求12辆汽车每天运的吨数，最后减去6辆

汽车每天运的吨数。

96x（12+6）-96=96（吨）

解法三：先求一辆汽车一天运的吨数，再求第二天比第一天多几辆车，这多的几辆所运

的沙子就是第二天比第一天多运的。

96+6x（12-6）=96（吨）

答：第二天比第一天多运48吨。

你认为哪种算法最好？

我们来看一道题，它可以有五种解法，甚至更多，看完后，请你想一想还有没有别的解

法？

例某饭店买回一桶豆油，连桶称共有210千克，用去一半后，连桶称还有120千克，

油桶重多少千克？

解法一：把120千克扩大2倍，得到--桶豆油的重量和两只桶重，从中去掉210千克

（这是一桶豆油与一只桶的重量和），即得桶重。

120x2-210=30（千克）

解法二：先求出半桶豆油的重量，再从120千克中去掠这半桶豆油的重量，也可得桶

重。

120-（210-120）=30（千克）

解法三：先求出两只桶和两桶油的重量，再求出两只油桶和一桶油的重量，这样可求出

一桶油的重量，然后可求出桶重。

210-（210x2-120x2）=30（千克）

解法四：基本上与解法三相同，也可以说是它的简便算法，但算理稍有不同。

210-（210—120）x2=30（千克）

解法五：先求出半只桶重，再求出整个油桶的重量。

（120-210-2）x2=30（千克）

答:油桶重30千克。

我们再来看一道题：李师傅要加工3080个零件，他用4天加工了280个零件。照这样

计算，加工剩下的零件还需要多少天？

解法一：先求每天加工多少个零件和还剩下多少个零件，再求需要加工多少天。

(3080-280)+(280+4)=40(天)

解法二：先求每天加工多少个零件，再求加工这批零件一共需要多少天，最后求还需要

加工多少天。

3080+(280+4)-4=40(天)

解法三：先求这批零件的总数是他4天加工零件的多少倍，再求加工这批零件一共需

要多少天，最后求还需要加工多少天。

4x(3080-280)-4=40(天)

解法四：先求还要加工多少个零件，然后求还加工的零件数是4天加工零件数的多少

倍，最后求还需要加工多少天。

4x[(3080-280)+28]=40(天)

答：加工剩下的零件还需要40天。

希望你也常动脑筋用多种方法解一道题，以提高解题能力。

怎样解选择题

一般来说，选择题可供选择的答案比判断题更多，而且各种内容几乎都能以选择题的形式

出现。所以选择题在练习或测验中出现得比较多，也比较灵活。常有同学面对选择题，感到

无从下手，不知道该怎样去选择正确的答案。这里介绍几种比较常用的方法。

1.直接解答。

就是根据题目，先自己作出解答，再把你得到的答案与供选择的几个答案对照，从中确

定哪个是正确的。

例1.选择正确的答案，在括号里填入字母。

（I）一个长方体长a米，宽b米，高h米。如果长、宽不变，高增加3米，那么体积

比原来增加（）立方米。

A.3abB.3abhC.（3+h）abD.48

（2）一根木料锯成4段要12分，照这样计算，锯成8段一共需要（）分。

A.12B.24C.28D.48

想：（I）由题意，长方体的长、宽不变，则底面积仍是ab平方米，高增加3米，增加

部分的体积是3ab立方米（如下图，单位：米）。所以应选A。

(2)一根木料锯成4段只要锯3次，锯成8段只要锯7次，由此可列出算式算出正确

答案。

12-(4-I)x(8-1)=28(分)

所以应选C。

2.筛选排除。

就是逐一分析每个备选答案，排除不符合题意的答案，这样剩下的就是正确答案。

例2.选择正确答案，在括号里填上字母。

(I)下列分数中，不能化成有限小数的是()。

112.2.

A.5B.8C.24D.27

(2)两个数互质，这两个数一定()。

A.都是质数B.一个是质数，一个是合数

C.无公约数D.只有公约数1

想：（1）判断一个分数能否化成有限小数，当这个分数不是最简分数时，必须先约分

33

成最简分数，再来检查分母的质因数，是否只含有2或5。由此逐一分析四个答案，$、8

31_3_£

和24=E都能化成有限小数，剩下27=:不能化成有限小数，所以应选D。

（2）分析四个答案，C肯定是错的，因为任何两个自然数都有公约数。A和B是两个数互

质可能出现的两种情况，除此之外还有两个数都是合数，或一个是1,另一个是其他自然数

等情况。筛选结果排除了三个答案，只有D才是正确的。事实上互质数的意义就是公约数

只有1的两个数。

3.代入检验。

就是把供选择的几个答案分别代入题目检验，符合题意的就是正确答案。

例3.选择正确答案，在括号里填上字母。

（I）在一个比例中，两个外项分别是4和5,一个内项是25,另一个内项是（）。

A.12.5B.10C.8D.2

（2）把18:24的前项减少6,要使比值不变，后项应当（）。

A.减少6B.增加6c.减少8D.不变

想：（1）本题可以用解比例的知识直接求出答案，也可以根据比例的基本性质把每个答

案逐一代入。

4“5=2.5x()

经检验，8能使等式成立，所以应选C。

（2）本题直接推算出答案，思考难度较大。可以把各答案分别代入已知比中，通过化

23

简检验哪个答案能使比值不变。如：（18-6）:（24-6）=12:18=?，而,18:24=4,答

案A不合题意，请你自己把其他三个答案逐一代入检验，筛选出正确答案。

不难看出，这种方法也可以说是筛选排除，只不过是用上了代入检验的方法来筛选排除。

在实际解选择题时，不论采用哪种方法，都应当既注意分析题目，又注意看清答案。

练一练：

选择正确的答案，在括号里填上字母。

（I）对一批种子做发芽试验，第一次取200粒，有150粒发芽；第二次取50粒，全

部发芽。这批种子的发芽率是（）。

A.50%B.75%C.80%D.100%

13

（2）下面算式中得数大于行的是（）。

13£13£13f13£

A.nx7B.C.17^17D.

（3）一个分数的分子和分母都加上2,所得分数与原分数比较，（）。

A.原分数小B.原分数大C.大小相等D.三种情况都有可能

答案：

(1)C：(2)D；(3)Do

怎样解判断题

为了帮助同学们真正理解所学的数学知识，锻炼思维能力，老师常常会出一些判断题，让大

家练习。测验时，也常有判断题。

判断题只有两种答案，对或者错，似乎很容易。但很多判断题看上去似是而非，常使一

些同学感到捉摸不定。

例如，"正方体的底面积和表面积成正比例，对吗？”有的同学看到“底面积"和“表面积”,

联想到积•定，两个量成反比例，于是认为这句话是错的。也有的同学联想到正方形的边长

和面积，正方体的棱长和体积都不成比例，因此也认为这句话错了。其实，这两种猜测都误

解了。

我们知道，判断两个量是否成正比例，要看这两个量的比值是否•定，而正方体是由6

个面积相等的正方形围成的，因此

正方体的表面积：底面积=6(一定)

这就可以判定上面那句话是对的。

可见，要正确解答判断题，首先必须把有关知识弄清楚，其次还有必要掌握一定的解题

方法。这里，举例说明几种比较常用的解答判断题的方法。

1.分析推理。

即根据有关的数学知识，通过分析推理，作出判断。

例1.判断正误，在（）里填上"寸域“X"。

（1）1,3TO-].3?0?（）

（2）一个长方体和一个圆锥体的底面积相等，高也相等，这个长方体的体积是圆锥体

积的3倍。（）

想：（1）根据循环小数循环节的简便记法可知

1.3沁亍

1.37G7-1.375707.......

它们是不相等的。所以本题在括号里填“X”。

（2）由长方体、圆锥体的体积公式V=sh与V=3sh,可以看出，当长方体和圆锥体

等底等高时，长方体的体积是圆锥体的3倍。所以本题在括号里填“小。

2.计算求解。

即根据题目的条件，通过计算等过程，求出正确答案，再作判断。

例2.判断正误，在()里填上"寸或"X"。

(1)2000年的上半年有181天。()

(2)在没有余数的除法里，被除教+除数+商=1。()

想：(I)2000年是闰年，二月份有29天，上半年共31x3+30x2+29=182(天)

说明本题应在括号里填“X”。

(2)被除数+除数=商，商+商=1。说明本题应在括号里填“寸

3.寻找反例。

即从反面思考，看看是否存在与题目所说相反的情况。如有，只要找出一个相反的例子,

就能断定原题是错的。

例3.判断正误,在()里填上"小或"x”。

1,

(1)a是整数，a的倒数是二。()

(2)任何两个自然数相乘的积都是合数。()

(3)等腰三角形的底角只能是锐角。()

想：(1)因为整数包括。，而。是没有倒数的，所以本题括号内应填“X”。

(2)因为1也是自然数，I和任何质数相乘的积是质数，所以本题括号内应慎“X”。

（3）如果等腰三角形的底角不是锐角，那么不是直角就是钝角。但等腰三角形的两个

底角相等，而一个三角形是不可能有两个直角或两个钝角的。（想一想，这是为什么？）所

以本题括号内应填

4.假设验证。

有些判断题，如果直接判断有困难，有时可以假设一个或几个具体的数，验证结论是否

成立，再作出判断。

例4.判断正误，在（）里填上“寸或力”。

2

（1）如果甲数的20%与乙数的；相等，那么甲数小于乙数。（）

（2）a、b、c三个自然数，a+b=0.1,b是c的约数，那么a、b、c的最小公倍数是

Co（）

想：（I）假设甲数是10,根据题意就能求出乙数是

1

10x20%+；=8

10>8,说明本题括号内应填“X”。

（2）假设a是1,由a+b=0.1,则b是10,再根据b是c的约数，假设c是20,那

么20,10,I的最小公倍数是20。所以本题括号内应填“才。

上面两题也可以不用假设法，直接根据题意分析推理，当然思考的难度更大。

在实际解答判断题时，究竟选用哪种方法，要根据题目的具体特点来决定。有些题目可

以用不同的方法来判断，又有些题目可以把某两种方法结合起来判断。

练一练：

判断正误,在()里填上W”或“X”。

(1)三个角都是60°的三角形是等腰三角形。()

(2)方程6x+7=67和4x=40的解相同。()

(3)在一个整数的末尾添上0,它的值都会扩大10倍。()

(4)如果甲数比乙数多10%,那么动数比甲数少。()

x

(5)一项工程，单独完成甲队要10天，乙队要15天。现在两队合做，x天完成，则10

X

+15=1。()

答案：

(1)Y；(2)5(3)x；(4)&(5)〃

细致观察巧用特例

有些难题，看似高不可攀，但只要我们勇于探索，细致观察，假以特例，就能出奇制胜，

顺利解决问题。

例1.今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、

母、雏各几何？

这就是著名的百鸡问题。这道题的意思是：五个钱可买一只大公鸡，三个钱可买一只大

母鸡，一个钱可买三只小鸡，今用100个钱，正好买了100只鸡。问其中大公鸡、大母

鸡、小鸡各几只？

［分析与解］怎样用小学知识解答呢？我们细心观察题目发现：4只大公鸡和3只小鸡

共值21个钱，而7只大母鸡也值21个钱。这就是