2.2 二次函数的图象与性质 第3课时 北师大版九年级数学下册同步练习(含解析)

第3课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质基础过关全练知识点6二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质1.(2022河南辉县二模)抛物线y=-x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是()A.(2,11),x=2B.(2,3),x=2C.(-2,11),x=-2D.(-2,3),x=22.(2022四川成都模拟)关于二次函数y=-x2-2x+5,下列说法正确的是()A.y有最小值B.图象的对称轴为直线x=1C.当x<0时,y的值随x值的增大而增大D.图象是由y=-x2的图象向左平移1个单位长度,再向上平移6个单位长度得到的3.(2022辽宁沈阳沈北新区一模)将二次函数y=3x2-6x+5转化成顶点式为.

4.已知二次函数y=2x2+4x-6.(1)将二次函数的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式;(2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.5.已知二次函数y=-x2+2x+3.(1)求函数图象的顶点坐标,并画出这个函数的图象;(2)根据图象,直接写出:①当函数值y为正数时,自变量x的取值范围;②当-2<x<2时,函数值y的取值范围.6.(2020广东肇庆怀集期末)如图,已知二次函数y=-12x2+4x+c的图象经过点A(2,0)(1)求c的值;(2)若二次函数的图象与y轴交于点B,且该二次函数的图象的对称轴与x轴交于点C,连接BA,BC,求△ABC的面积.知识点7抛物线y=ax2+bx+c与系数a、b、c的关系7.(2022贵州黔东南州中考)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=-cx在同一坐标系内的大致图象为()ABCD8.(2022江苏南京金陵中学一模)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是()A.b<0,c>0B.b>0,c>0C.b>0,c<0D.b<0,c<09.【数形结合思想】(2022云南泸西期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b<0;③a-b+c>0;④9a+3b+c<0.其中正确的是()A.①③④B.①②③C.①③D.②③能力提升全练10.(2022山东青岛中考,8,)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,对称轴为直线x=-1,且经过点(-3,0),则下列结论正确的是()A.b>0B.c<0C.a+b+c>0D.3a+c=011.(2022浙江宁波中考,9,)点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上.若y1<y2,则m的取值范围为()A.m>2B.m>32C.m<1D.32<12.(2022陕西西安高新一中月考,9,)如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2与正方形有公共点,则实数a的取值范围是()A.19≤a≤3B.19≤13.(2022广西玉林中考,11,)小嘉说:将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法:①向右平移2个单位长度;②向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度;③向下平移4个单位长度;④沿x轴翻折,再向上平移4个单位长度.你认为小嘉说的方法中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个14.(2022浙江宁波鄞州模拟,9,)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.给出下列结论:①abc>0;②a-b+c>0;③m为任意实数,则a+b>am2+bm;④3a+c<0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2,则x1+A.1个B.2个C.3个D.4个15.(2022贵州黔东南州中考,18,)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2+2x-1先绕原点旋转180°,再向下平移5个单位,所得到的抛物线的顶点坐标是.

16.(2022湖北荆州中考,16,)规定:两个函数y1,y2的图象关于y轴对称,则称这两个函数互为“Y函数”.例如:函数y1=2x+2与y2=-2x+2的图象关于y轴对称,则这两个函数互为“Y函数”.若函数y=kx2+2(k-1)x+k-3(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,则其“Y函数”的解析式为.

17.(2021浙江嘉兴中考,23,)已知二次函数y=-x2+6x-5.(1)求该二次函数图象的顶点坐标.(2)当1≤x≤4时,函数的最大值和最小值分别为多少?(3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t的值.素养探究全练18.【几何直观】【新独家原创】如图,正三角形ABC的边长为6,P为AB上一点(P不与A,B重合),过点P作PQ⊥AB,交AC或BC于Q,设AP=x,△APQ的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为()ABCD19.【几何直观】(2022河北中考)如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧.(1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值;(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P',C'.平移该胶片,使C'所在抛物线对应的函数解析式恰为y=-x2+6x-9.求点P'移动的最短路程.

答案全解全析基础过关全练1.A∵y=-x2+4x+7=-(x-2)2+11,∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,11).2.DA.∵a=-1<0,∴抛物线开口向下,函数有最大值,因此该选项错误;B.∵y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,∴二次函数y=-x2-2x+5的图象的对称轴为直线x=-1,因此该选项错误;C.∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,∴当x<-1时,y的值随x值的增大而增大,因此该选项错误;D.∵y=-x2的图象向左平移1个单位长度,再向上平移6个单位长度可得到y=-(x+1)2+6的图象,∴二次函数y=-x2-2x+5的图象是由y=-x2的图象向左平移1个单位长度,再向上平移6个单位长度得到的,因此该选项正确.故选D.3.y=3(x-1)2+2解析y=3x2-6x+5=3(x2-2x)+5=3(x2-2x+1-1)+5=3(x-1)2+2,故答案为y=3(x-1)2+2.4.解析(1)y=2x2+4x-6=2(x2+2x+1)-8=2(x+1)2-8.(2)由(1)知,该抛物线的解析式是y=2(x+1)2-8,∵a=2>0,∴二次函数图象的开口方向向上.对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,-8).5.解析(1)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴函数图象的顶点坐标为(1,4).函数的图象如图所示.(2)根据图象可知:①当函数值y为正数时,-1<x<3.②当-2<x<2时,函数值y的取值范围是-5<y≤4.6.解析(1)把A(2,0)代入y=-12x2+4x+c,得c=-6(2)由(1)可知该二次函数为y=-12x2+4x-6由y=-12x2+4x-6得点B的坐标为(0,-6),∴OB=6∵抛物线的对称轴为直线x=-42×∴点C的坐标为(4,0),∴OC=4,∴AC=OC-OA=4-2=2,∴△ABC的面积为12AC7.C∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线的对称轴在y轴左侧,∴b>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴直线y=ax+b经过第一、二、三象限,反比例函数y=-cx的图象经过第一、三象限,故选8.A∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴在y轴左侧,∴b<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,故选A.9.C∵抛物线的开口向上,∴a>0,∵-b2a>0,∴∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①正确;∵对称轴为直线x=1,∴-b2a=1,即b=-2a,∴2a+b=0,故②根据图象知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故③正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴x=3与x=-1时的函数值相等,又∵x=-1时,y>0,∴x=3时,y=9a+3b+c>0,故④错误.∴正确的结论是①③.故选C.能力提升全练10.D∵抛物线开口向下,∴a<0,∵对称轴为直线x=-1,∴-b2∴b=2a,∴b<0,故选项A错误;∵抛物线与x轴的一个交点为(-3,0),对称轴为直线x=-1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),又∵抛物线开口向下,∴抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,故选项B错误;∵抛物线过点(1,0),∴a+b+c=0,故选项C错误;∵b=2a,且a+b+c=0,∴3a+c=0,故选项D正确.故选D.11.B∵点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上,∴y1=(m-1-1)2+n=(m-2)2+n,y2=(m-1)2+n,∵y1<y2,∴(m-2)2+n<(m-1)2+n,∴(m-2)2-(m-1)2<0,即-2m+3<0,∴m>32,故选12.A当抛物线经过(1,3)时,a=3,当抛物线经过(3,1)时,a=19,∴19≤故选A.13.D①向右平移2个单位长度,则平移后的抛物线的解析式为y=(x-2)2,当x=2时,y=0,所以平移后的抛物线过点(2,0),故①符合题意;②向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,则平移后的抛物线的解析式为y=(x-1)2-1,当x=2时,y=0,所以平移后的抛物线过点(2,0),故②符合题意;③向下平移4个单位长度,则平移后的抛物线的解析式为y=x2-4,当x=2时,y=0,所以平移后的抛物线过点(2,0),故③符合题意;④沿x轴翻折,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=-x2+4,当x=2时,y=0,所以翻折、平移后的抛物线过点(2,0),故④符合题意.故选D.14.B∵图象开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴在y轴右侧,∴a<0,c>0,-b2a>0,∴b>0,∴abc<0,故①错误;∵对称轴是直线x=1,且抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左边,∴抛物线与x轴的另一个交点在(-1,0)的右边,∴当x=-1时,y=a-b+c<0,故②错误;∵对称轴是直线x=1,图象开口向下,∴x=1时,函数有最大值,是a+b+∴a+b+c≥am2+bm+c,即a+b≥am2+bm,故③错误;∵-b2a=1,∴b=-2由②得a-b+c<0,∴3a+c<0,故④正确;∵ax12+bx∴ax12+bx1-ax22-bx2=0,∴a(x1+x2)(x1-x∴(x1-x2)[a(x1+x2)+b]=0,∵x1≠x2,∴a(x1+x2)+b=0,∴x1+x2=-ba∵b=-2a,∴x1+x2=--2aa=2,故⑤正确.15.(1,-3)解析将抛物线y=x2+2x-1绕原点旋转180°后所得抛物线的解析式为-y=(-x)2+2(-x)-1,即y=-x2+2x+1,再将抛物线y=-x2+2x+1向下平移5个单位得抛物线y=-x2+2x+1-5=-x2+2x-4=-(x-1)2-3,∴所得到的抛物线的顶点坐标是(1,-3).故答案为(1,-3).16.y=2x-3或y=-x2+4x-4解析∵函数y=kx2+2(k-1)x+k-3(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,∴函数y=kx2+2(k-1)x+k-3(k为常数)的图象与x轴也只有一个交点,当k=0时,函数解析式为y=-2x-3,它的“Y函数”解析式为y=2x-3,它们的图象与x轴只有一个交点;当k≠0时,此函数是二次函数,∵它们的图象与x轴都只有一个交点,∴它们的顶点均在x轴上,∴4k(k-3)-[2∴原函数的解析式为y=-x2-4x-4=-(x+2)2,∴它的“Y函数”的解析式为y=-(x-2)2=-x2+4x-4.综上,函数y=kx2+2(k-1)x+k-3(k为常数)的“Y函数”的解析式为y=2x-3或y=-x2+4x-4.故答案为y=2x-3或y=-x2+4x-4.17.解析(1)∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,∴顶点坐标为(3,4).(2)∵a=-1<0,∴抛物线开口向下,∵顶点坐标为(3,4),∴当x=3时,y最大值=4,∵当1≤x≤3时,y随着x的增大而增大,∴当x=1时,y最小值=0,∵当3<x≤4时,y随着x的增大而减小,∴当x=4时,y最小值=3.∴当1≤x≤4时,函数的最大值为4,最小值为0.(3)当t≤x≤t+3时,对t进行分类讨论,①当t+3<3,即t<0时,y随着x的增大而增大,当x=t+3时,m=-(t+3)2+6(t+3)-5=-t2+4,当x=t时,n=-t2+6t-5,∴m-n=-t2+4-(-t2+6t-5)=-6t+9,∴-6t+9=3,解得t=1(不合题意,舍去).②当0≤t<3时,顶点的横坐标在取值范围内,∴m=4,当0≤t≤32时,n=-t2+6t∴m-n=4-(-t2+6t-5)=t2-6t+9,∴t2-6t+9=3,解得t1=3-3,t2=3+3(不合题意,舍去);当32<t<3时,n=-t2+4,∴m-n=4-(-t