专题24 与二次函数相关的压轴题-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（全国通用）（解析版）

2/136专题24与二次函数相关的压轴题一、选填题1．（2021·湖北黄石市·中考真题）二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：…012……22…且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】B【分析】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断；②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合当时，对应的函数值，即可表示出m+n的取值范围；③根据点（1，2）与当时，对应的函数值可知方程的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程的负实数根的取值范围；④分类讨论，当在抛物线的右侧时，的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有，求出对应的t即可；当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，求出对应的t即可.【详解】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得：，则a、b互为相反数，∴，故①错误；②∵a、b互为相反数，∴将x=-1与x=2代入解析式得：，则：，∵当时，对应的函数值，∴得：，即：，∴.故②正确；③∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，∴方程的正实数根在1和之间，∵抛物线过点（0，2）与点（1，2），∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线，∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间.故③正确；④∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，∴可以判断抛物线开口向下，∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立，∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时；∵当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，即当时，满足，∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，，∴综上当时，.故④错误.故选：B.【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.2．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）已知函数，则下列说法不正确的个数是（）①若该函数图像与轴只有一个交点，则②方程至少有一个整数根③若，则的函数值都是负数④不存在实数，使得对任意实数都成立A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；对于②：分情况讨论a＝0和a≠0时方程的根即可；对于③：已知条件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情况讨论a＞1或a＜0时的函数值即可；对于④：分情况讨论a＝0和a≠0时函数的最大值是否小于等于0即可．【详解】解：对于①：当a＝0时，函数变为，与只有一个交点，当a≠0时，，∴，故图像与轴只有一个交点时，或，①错误；对于②：当a＝0时，方程变为，有一个整数根为，当a≠0时，方程因式分解得到：，其中有一个根为，故此时方程至少有一个整数根，故②正确；对于③：由已知条件得到a≠0，且a＞1或a＜0当a＞1时，开口向上，对称轴为，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，∵，∴离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0；当a＜0时，开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，∴时，函数取得最大值为，∵a＜0，∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，故③错误；对于④：a＝0时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故a＝0不符合；a≠0时，对于函数，当a＞0时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立；当a＜0时开口向下，此时函数的最大值为，∵a＜0，∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立；故④正确；综上所述，②④正确，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键．3．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】依抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可【详解】①从图像观察，开口朝上，所以，对称轴在轴右侧，所以，图像与轴交点在x轴下方，所以，所以①不正确；②点和点，与轴的负半轴交于点，且设代入,得：，所以②正确；③，设抛物线解析式为：过，所以③正确；④如图：设交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，根据抛物线的对称性，是等腰直角三角形，，，又对称轴由顶点坐标公式可知由题意，解得或者由①知，所以④不正确．综上所述：②③正确共2个故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数（a≠0），a的符号由抛物线的开口决定；b的符号由a及对称轴的位置确定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关键．4．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点，，且过，两点（b，a是实数），若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意列出二次函数的解析式，求出二次函数的最值，利用基本不等式，求出的范围．【详解】由题意，二次函数与x轴交于两点，，且二次项系数为1，则：过，两点，，二次函数的二次项系数为1，对称轴为二次函数图像开口朝上，且点，在对称轴的右侧．又．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，二次函数的配方法求最值，以及基本不等式的运用，（仅当时，等于号成立）能灵活的应用基本不等式是解题的关键．5．（2021·湖南岳阳市·中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1【答案】D【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，解得：；当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，解得：；当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，解得：；当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，解得：；综上可得：的最大值和最小值分别是，．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．6．（2021·四川广元市·中考真题）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】由二次函数解析式，可求与x轴的两个交点A、B，直线表示的图像可看做是直线的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线经过B点时，恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线与函数关于x轴对称的函数图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．【详解】解：由知，当时，即解得：作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点当的函数图像由的图像关于x轴对称得到当时对应的解析式为即，整理得：综上所述或故答案是：A．

【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．7．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，在矩形中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合运动状态分段讨论：当点P在AD上，点Q在BD上时，，，过点P作，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函数表达式；当点P在BD上，点Q在BC上时，，，过点P作，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函数表达式，利用二次函数的性质即可得出结论．【详解】解：当点P在AD上，点Q在BD上时，，，则，过点P作，∵，∴，，∴，，，∴，∴的面积，为开口向上的二次函数；当时，点P与点D重合，点Q与点B重合，此时的面积；当点P在BD上，点Q在BC上时，，，过点P作，则，即，∴的面积，为开口向下的二次函数；故选：D．【点睛】本题考查动态问题的函数图象，根据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行判断是解题的关键．8．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在矩形中，，，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接．设点P的运动路程为x，为y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B．

C．D．【答案】C【分析】分0≤x≤3，3＜x≤4，4＜x≤7三种情况，分别画出图形，列出函数关系式，根据函数图象与性质逐项排除即可求解．【详解】解：如图1，当0≤x≤3时，，∴A选项错误，不合题意；如图2，当3＜x≤4时，作QE⊥AB于E，，∴B选项错误，不合题意；如图3，当4＜x≤7时，，∴选项D错误，不合题意．故选：C【点睛】本题为根据点的运动确定函数图象，考查了分类讨论、列函数解析式，二次函数图象、勾股定理等知识，综合性较强，根据题意分类讨论，列出函数关系式是解题关键．9．（2021·山东威海市·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，ACD都是等边三角形，∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x，作PE⊥AB于E，∴，∴，故D选项不正确；如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H，∴，，∴，故B选项不正确；当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4，∴PQ=x-2，作AG⊥CD于G，∴，∴，故C不正确．故选：A【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键．10．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________．【答案】【分析】根据待定系数法分别求出直线、、、……的解析式，即可求得、P2、P3……的坐标，得出规律，从而求得点Pn的坐标．【详解】解：∵点的坐标为，∴直线的解析式为，∵，∴，∴，设的解析式为，∴，解得，所以直线的解析式为，解，求得，∵，设的解析式为，∴，∴，∴，解求得，设的解析式为，∴，∴，∴，．．．∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图像上点的坐标特征得出规律是解题的关键．11．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为__________．【答案】．【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、三点共线时，的值最小，再通过设直线的解析式并将三点坐标代入，当时，求出a的值，最后将四边形周长与时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．【详解】解：∵，，，，∴，，由平移的性质可知：,∴四边形的周长为；要使其周长最小，则应使的值最小；设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；∴，，将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：，将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，,∴，当B、E、三点共线时，的值最小，

设直线的解析式为：，∴，当时，∴∴，将E点坐标代入解析式可得：，解得：，此时，此时四边形的周长为；当时，，，，，此时四边形的周长为：；∵，∴当时，其周长最小，所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为：；故答案为：．【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．二、解答题1．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为．【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可；（2）设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）∵四边形为正方形，，∴，，∴，∴OB=1，∴，把点B、D坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线，∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，∴，∴由两点距离公式可得，设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：当时，如图所示：∴由两点距离公式可得，即，解得：，∴点F的坐标为或；②当时，如图所示：∴由两点距离公式可得，即，解得：，∴点F的坐标为或；综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）由题意可得如图所示：连接OM、DM，由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，，∴，DM=EM，∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，∴，∴四边形BOMP是平行四边形，∴OM=BP，∴，若使的值为最小，即为最小，∴当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：∵，∴，∴的最小值为，即的最小值为，设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：，∴线段OD的解析式为，∴．【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．2．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连交抛物线于M，连、．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当时，求M点的横坐标；（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作于D，若，求N点的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）将点和点代入解析式，即可求解；（2）由想到将放到直角三角形中，即过点A作交CM的延长线于点E，即可知，再由想到过点E作轴，即可得到，故点E的坐标可求，结合点C坐标可求直线CE解析式，点M是直线CE与抛物线交点，联立解析式即可求解；（3）过点M作L的垂线交于点D，故设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标可表示，且MD的长度也可表示，由可得即可结合两点间距离公式表示出MN，最后由即可求解【详解】解：（1）将点和点代入得，解得：（2）点A作交CM的延长线于点E，过作轴于如下图轴，又即当时，即即设直线CE的解析式为，并将C、E两点代入得解得点M是直线CE与抛物线交点解得（不合题意，舍去）点M的横坐标为（3）设过点M垂直于L的直线交x轴于点H，对称轴交x轴于点Q，M的横坐标为m则对称轴P、Q、N的横坐标为，即当时，点D的纵坐标为4即，即，不符合题意，舍去，当时，解得，由题意知【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想．3．（2021·湖北黄冈市·中考真题）已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G．过点P作于点D，当n为何值时，；（3）如图2，将直线绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线．①______；②当点N关于直线的对称点落在抛物线上时，求点N的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）①；②或．【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式可得点的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后分别求出的长，最后根据全等三角形的性质可得，由此建立方程求解即可得；（3）①先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；②先求出直线的解析式，再与直线的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．【详解】解：（1）将点，代入得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）由题意得：点的坐标为，对于二次函数，当时，，即，设直线的解析式为，将点，代入得：，解得，则直线的解析式为，，，，，，即，解得或（与不符，舍去），故当时，；（3）①如图，设线段的中点为点，过点作轴的垂线，交直线于点，则点的坐标为，点的横坐标为3，设直线的解析式为，将点，代入得：，解得，则直线的解析式为，由平移的性质得：直线的解析式为，当时，，即，，，故答案为：；②由题意得：，则设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立，解得，即直线与直线的交点坐标为，设点的坐标为，则，解得，即，将点代入得：，整理得：，解得或，则点的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．4．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点（1）求证：∠ACB=90°（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求DE+BF的最大值；②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标．【答案】（1）（2）①9；②或．【分析】（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题；（2）①先解出直线BC的解析式，设，接着解出，利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明，再分两种情况讨论以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．【详解】解：（1）令x=0，得令得，（2）①设直线BC的解析式为：，代入，得设即DE+BF的最大值为9；②点G是AC的中点，在中，即为等腰三角形，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，则①又，或经检验：不符合题意，舍去，②，又整理得，，或，同理：不合题意，舍去，综上所述，或．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．（1）求m的值和直线对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．【答案】（1），；（2），，；（3）【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可；（2）做点A关于BC的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线，联立方程组即可求出P；（3）取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，得直线对应的表达式为，即可求出结果；【详解】（1）将代入，化简得，则（舍）或∴，得：，则．设直线对应的函数表达式为，将、代入可得，解得，则直线对应的函数表达式为．（2）如图，过点A作∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线，由（1）得直线BC的解析式为，，∴直线AG的表达式为，联立，解得：（舍），或，∴，由直线AG的表达式可得，∴，，∴直线的表达式为，联立，解得：，，∴，，∴，，．（3）如图，取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，∵，∴AD=CD，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，则，．设，∵，，∴．由，则，即，解之得，．所以，又，可得直线对应的表达式为，设，代入，得，，，又，则．所以．【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．6．（2020·四川中考真题）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF为定值4【分析】（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；（3）设点D（n，﹣n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论．【详解】（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面积为2，即，∴OC=1，∴C（0，1），将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+1；（2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，解得：x1=1+，x2=1﹣，∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），∵矩形PGHQ为正方形，∴PQ=PG，∴1+﹣（1﹣）=m，解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，∵A（﹣1，0），设AD的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴AD的解析式为：y=（﹣）x﹣，当x=2时，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，同理得直线BD的解析式为：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式以及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式确定FN和OK的长，可解决问题．7．（2021·辽宁中考真题）如图，已知点，点，直线过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线经过点A、C、D，连接、．（1）求抛物线的表达式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）E为直线上方的抛物线上一点，且，求点E的坐标；（4）N为线段上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．【答案】（1）；（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，理由见解析；（3）E（，）；（4）运动时间t的最小值为，此时N坐标为（﹣6，）【分析】（1）由点B坐标求出m值，进而求得点C坐标，利用待定系数法求抛物线的表达式即可；（2）由两点间距离公式求得AC2、AB2、BC2，利用勾股定理的逆定理即可做出判断；（3）由（2）中数据可知∠BCA=∠ECA，延长BA至F，使AF=AB，连接CF，则点E为直线CF与抛物线的交点，求出直线CF的解析式，与抛物线联立方程组，解之即可求得点E坐标；（4）过N作MN⊥AC于M，过F作⊥BC交AC于，连接FN，则FN=BN，求得MN=，由点P运动时间t===，当F、N、M三点共线时，t最小，进一步求解即可解答．【详解】解：（1）∵直线过点B交y轴于点C，∴将代入得：﹣4=2×（﹣5）+m，解得：m=6，则C（0，6），将A（﹣8，0）、C（0，6）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，理由为：由题意，AB2=（﹣8+5）2+（0+4）2=25，AC2=（﹣8+0）2+（0﹣6）2=100，BC2=（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2=125，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°；（3）由（2）知AB=5，AC=10，∴tan∠BCA==tan∠ECA，∴∠BCA=∠ECA，延长BA至F，使AF=AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，∴F（﹣11，4），∵∠BAC=∠FAC=90°，AF=AB，AC=AC，∴△FAC≌△BAC，∴∠BCA=∠FCA，∴点E为直线CF与抛物线的交点，设直线CF的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴直线CF的解析式为，联立方程组，解得：或（舍去），故点E坐标为（，）；（4）过N作MN⊥BC于M，过F作⊥BC交AC于，连接FN，则FN=BN，∵AB=5，BC=，∴sin∠BCA=，∴MN=，又CO=6，∴点P运动时间t===≥+6，当F、N、M三点共线时，t最小，∵AC=10，BC=，∴sin∠ABC=，∴=，∴点P运动时间t的最小值为，由直线BC的表达式y=2x+6得点D坐标为（﹣3，0），∵FD=，∴点D与点重合，则点N（即）为直线FD与直线AC的交点，由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为，由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为，联立方程组，解得：，∴此时N坐标为（﹣6，），【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求解函数解析式、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、锐角的三角函数、垂线段最短、轴对称性质、解二元二次方程组、解一元一次方程组、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较难，解答的关键是弄懂题意，找寻相关知识间的关联点，利用待定系数法和数形结合思想进行探究、推理和计算．8．（2021·上海中考真题）已知抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.【详解】解：（1）将两点分别代入，得解得．所以抛物线的解析式是．（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，作于H．∵是等腰直角三角形，∴和也是等腰直角三角形，∴，∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得解得∴直线的解析式为，设，∴，所以．所以．将点代入，得．整理，得．因式分解，得．解得，或（与点P重合，舍去）．当时，．所以点C的坐标是．【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．9．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与x轴的交点分别为H，K（点H在点K的左侧）．点F在线段上运动（不与点A、B重合），过点F作直线轴于点P，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接，是否存在点F，使是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，过点C作于点E，当的周长最大时，过点F作任意直线l，把沿直线l翻折，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）存在或，理由见解析；（3）最大值为，最小值为【分析】（1）根据题意，将代入直线解析式求得点的坐标，将坐标代入二次函数解析式，待定系数法求解析式即可；（2）先证明为等腰直角三角形，分情况讨论①当为斜边时，设，则，根据求得点的坐标；②为斜边时:，根据轴求得点的坐标；（3）是等腰直角三角形，当最大时，的周长最大，求得点的坐标；过点F作任意直线l，把沿直线l翻折，翻折后点C的对应点记为点Q根据题意点在以为圆心，为半径的圆上，根据求得最值【详解】（1）由题意过点则：将，代入，得：解得：（2）存在，理由如下设直线与轴交于点,与轴交于点过点，令,令，是等腰直角三角形是直角三角形设，则轴轴不可能为斜边是等腰直角三角形①当为斜边时：FC即，解得：（与点重合）②当为斜边时:轴轴解得：（与点重合）（3）如图：由（2）可知是等腰直角三角形的周长等于当最大时，的周长最大设()，则，则当时，取得最大值过点F作任意直线l，把沿直线l翻折翻折后点C的对应点记为点Q根据题意点在以为圆心，为半径的圆上，令解得：根据题意，点H在点K的左侧，==【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，勾股定理，图形的旋转，锐角三角函数，等腰三角形性质，圆的性质，二次函数最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．10．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，求直线的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3），此时的最小值为；（4）存在，或．【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；（3）由题意易得点A、B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，然后问题可求解；（4）由题意可设点，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）可得抛物线的解析式为，∵抛物线与y轴的交点为C，∴，设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：，解得：，∴直线的解析式为；（3）由抛物线可得对称轴为直线，由题意可得如图所示：连接BP、BC，∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，∴，∴，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即为所求的P点，∵，∴，∴的最小值为，∵点P在直线BC上，∴把代入得：，∴；（4）存在，理由如下：由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：①当AC为对角线时，如图所示：连接MN，交AC于点D，∵四边形ANCM是平行四边形，∴点D为AC、MN的中点，∴根据中点坐标公式可得：，即，解得：，∴；②当AM为对角线时，同理可得：，即，解得：，∴；③当AN为对角线时，同理可得：，即，解得：，∴；∴综上所述：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．11．（2021·辽宁大连市·中考真题）已知函数，记该函数图像为G．（1）当时，①已知在该函数图像上，求n的值；②当时，求函数G的最大值；（2）当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若时，求m的值；（3）当时，设图像与x轴交于点A，与y轴交与点B，过B做交直线与点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若，求m的值．【答案】（1）①，②函数G的最大值为；（2）；（3）或【分析】（1）由题意易得，①把点代入求解即可；②根据二次函数的性质可进行求解；（2）由题意可得如图所示，然后可得，是等腰直角三角形，则有，进而代入求解即可；（3）由题意可得如图所示，则有，然后可得，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，进而易证，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵，∴，①∵在该函数图像上，∴；②由题意得：当时，函数G的解析式为，当时，函数G的解析式为，∵，当时，则，∴当时，函数G有最大值，即为；当时，则有函数G的最大值为，∵，∴当时，函数G的最大值为；（2）由当时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，可得点Q必定落在的函数图象上，如图所示：∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，化简得：，解得：，∵，∴；（3）①当时，由题意可得如图所示，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，∴，令y=0，则有，解得：，∵，∴，由题意得：，四边形DOEC是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，化简得：，解得：（不符合题意，舍去），∴；②当时，设直线与x轴的交点为E，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示：∴令y=0，则有，解得：，∴，同理可得，∴，化简得：，解得：（舍去）；综上所述：或．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．12．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）如图，抛物线与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，－3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；（3）已知点M是轴上的动点，过点M作的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）点或、点或点；（3）存在，M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）【分析】（1）根据二次函数表达式和已知坐标点代入计算即可，（2）以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，分为两种情况：或，根据平行四边形对边相等且平行求解即可，（3）先根据题意求出A点坐标和顶点坐标，根据B，C，D坐标点得知△BDC是直角三角形，且∠BCD＝，设点M得坐标（），则点G得坐标为，根据相似的性质分情况求解即可．【详解】解：（1）将点B（3，0），C（0，－3）分别代入中，得：，解得，∴抛物线得函数关系为（2）点或、点或点．如图：∵以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，∴或，∵点B（3，0），C（0，－3），当时，则，设对称轴与x轴交于点M，∴，，∴；同理时，；故答案为：；．（3）当时，，解得：，∴A（－1，0）又，∴抛物线得顶点D得坐标为（1，－4）∵C（0，－3）、B（3，0）、D（1，－4）∴，∴∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝设点M得坐标（），则点G得坐标为，根据题意知：∠AMG＝∠BCD＝∴要使以A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，需要满足条件：①当时，此时有：或解得：或＝0，，都不符合，所以时无解．②当时，此时有：或解得：（不符合要求，舍去）或＝0，（不符合要求，舍去），所以M（）或M（0，0）③当m＞3时，此时有：或解得：（不符合要求，舍去）或（不符要求，舍去）所以点M（6，0）或M（，0）答：存在点M，使得A、M、G为顶点得三角形与△BCD相似，点M得坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）．【点睛】此题考查二次函数相关知识，综合性较强，涵盖平行四边形性质和三角形相似及勾股定理，有一定难度．13．（2021·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．（1）求此二次函数的解析式；（2）当时，求二次函数的最大值和最小值；（3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．①求的取值范围；②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围．【答案】（1）；（2）最大值为；最小值为－2；（3）①；②或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点．【分析】（1）利用待定系数法求解．（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．（3）①由求出取值范围，②通过数形结合求解．【详解】解：（1）将，点代入得：，解得，∴．（2）∵，∵抛物线开口向上，对称轴为直线．∴当时，取最小值为－2，∵，∴当时，取最大值．（3）①，当时，，的长度随的增大而减小，当时，，的长度随增大而增大，∴满足题意，解得．②∵，∴，解得，如图，当时，点在最低点，与图象有1交点，增大过程中，，点与点在对称轴右侧，与图象只有1个交点，直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为，∴时，与图象有2个交点，当时，与图象有1个交点，综上所述，或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．14．（2021·山东淄博市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．（1）若，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标；（3）设直线与抛物线交于两点，问是否存在点（在抛物线上）．点（在抛物线的对称轴上），使得以为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）当以为顶点的四边形成为矩形时，点，．【分析】（1）由题意易得，则有，然后把点C的坐标代入求解即可；（2）由（1）可得，，然后可求出线段BC的解析式为，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，设，则有，进而可根据铅垂法进行求解点P的坐标；（3）由题意易得，抛物线的对称轴为，则可得，点F的横坐标为，①当以GB为矩形的对角线时，根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，进而可得，，然后根据相似三角形可求解；②当以GB为矩形的对边时，最后分类求解即可．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，把点C的坐标代入得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）由（1）可得抛物线解析式为，，，设线段BC的解析式为，把点B、C代入得：，解得：，∴线段BC的解析式为，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，如图所示：设，则有，∴，设的面积为S，由铅垂法可得△PCB的面积可以点B、C的水平距离为水平宽，PE为铅垂高，则有：，∴当a=2时，S有最大值，∴点；（3）存在，理由如下：由题意可把点B的坐标代入直线得：，∴，联立抛物线与直线BG的解析式得：，解得：，∴，由抛物线可得对称轴为，∴点F的横坐标为，当以GB为矩形的对角线时，如图所示：∴根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，即为，∴，根据中点坐标公式可知，即，∴，∴，∵，且四边形是矩形，∴点E、F分别落在x轴的两侧才能构成矩形，即，分别作EH⊥x轴于点H，过点G、B作过点F与x轴平行的直线的垂线，分别交于点M、N，如图，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，解得：（负根舍去），∴，；②当以GB为矩形的边时，不存在以点E、F、G、B顶点的四边形为矩形；综上所述：当以为顶点的四边形成为矩形时，点，．【点睛】本题主要考查二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．15．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接，直线与该抛物线交于点E，与交于点D，连接．当时，求线段的长；（3）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）；（2）；（3）存在，M、【分析】（1）分别令x=0、y=0即可求出A，B，C三点的坐标；（2）先求出AC解析式，用m表示出DE坐标，最后根据求出m的值即可；（3）考虑到CM都在y轴上，根据CM为菱形的边和CM为菱形的对角线分两种情况讨论即可．【详解】（1）令x=0得，∴C点坐标（0，-8）令y=0得：解得：∴A（-4,0），B（2,0）（2）设DE交x轴于F，设AC解析式为，代入AC坐标得：，解得∴AC解析式为∵直线与该抛物线交于点E，与交于点D∴∴∵∴∴∴∴解得∴（3）抛物线对称轴为∵点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点∴设当CM菱形的边时，则CM∥PN，CM=CN∴N在对称轴上，即∴∴解得此时M点坐标为当CM为菱形的对角线时，此时NP关于CM对称，即NP关于y轴对称∴∴∵菱形对角线互相垂直平分∴NP中点与CM中点是同一个点∴解得此时M点坐标为综上所述，存在M、使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用相似三角形处理垂直．16．（2021·天津中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S．①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①，t的取值范围是；②．【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由∠BOH=45°得到△OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标；(II)①由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解；②画出不同情况下重叠部分的图形，分和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解．【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H．由点，得．∵，∴．又∠BOH=45°，∴△OBH为等腰直角三角形，∴．∴点B的坐标为．(II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得．∴，．∵，，∴．∴∴．∴．∴．∴．整理后得到：．当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时，当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示：此时，∴t的取值范围是，故答案为：，其中：；②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示：此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形，∴，∴，∴重叠部分面积，∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值，将代入，得到最小值，当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示：此时，和均为等腰直角三角形，∴，，∴重叠部分面积，∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值，将代入，得到最小值，∵，，∴的最小值为，最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论．17．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．（1）抛物线的解析式为；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，符合题意的点坐标为或或【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求抛物线与y轴交点，利用勾股定理求，利用待定系数法求直线的解析式，由，交于点，可得为定值，由，把，记为定值，再求；再利用二次函数的性质可得答案；（3）当点Q在x轴上方抛物线上时，因为PF在x轴上，，点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，当点Q在x轴下方抛物线上时，又四边形为平行四边形，Q与E的纵坐标互为相反数即可．【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于、两点，∴，解得，∴；故答案为；（2）将代得，∴，设直线的解析式为将，，得，解得，，∴，∵，交于点，∴为定值，∵，把，记为定值，过点作轴，垂足为，交于点，设，则，∴，，∴，∵，∴有最大值，此时，将代入中，得；（3）存在，符合题意的点坐标为或或；当点Q在x轴上方抛物线上时，因为PF在x轴上，又∵，∴点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，∴y=，∴，∴解得，∵x=时为E点，∴，Q1()，当点Q在x轴下方抛物线上时，∵PF在x轴上，又∵四边形为平行四边形，∴Q与E的纵坐标互为相反数，所以yQ=，∴，整理得，△=，解得，∴Q2（），Q3（），符合题意的点坐标为或或．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质是解题关键．18．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为．点B为抛物线上一动点，连接，过点B的直线与抛物线交于另一点C．

（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；（3）若点B的横坐标为t，，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当时，点C的横坐标的取值范围．【答案】（1）或；（2）点C的坐标为或；（3）；【分析】（1）设抛物线的解析式为，把点O(0，0)代入即可求解；（2）求得B(0，0)或B(8，8)，分两种情况讨论，①当点B的坐标为(0，0)时，过点B作BC∥AP交抛物线于点C，利用待定系数法求得直线BC的解析式为，解方程组即可求解；②点B的坐标为(8，8)时，作出如图的辅助线，利用三角形函数以及轴对称的性质求得M(，)，同①可求解；（3）作出如图的辅助线，点B的坐标为(t，)，得到AH=，BH=，OH=MN，由AH=，BH=，OH=MN，△ABH△BMN得到M(0，)，求得BC的解析式为：，解方程组求得点C的横坐标为，即可求解．【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为P(2，-1)，∴设抛物线的解析式为，∵抛物线经过原点O，即经过点O(0，0)，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）在中，令，得：，解得或，∴B(0，0)或B(8，8)，①当点B的坐标为(0，0)时，过点B作BC∥AP交抛物线于点C，此时∠ABC=∠OAP，如图：

在中，令，得：，解得：或，∴A(4，0)，设直线AP的解析式为，将A(4，0)，P(2，-1)代入得，解得：，∴直线AP的解析式为，∵BC∥AP，∴设直线BC的解析式为，将B(0，0)代入得，∴直线BC的解析式为，由，得：(此点为点O，舍去)或，∴点C的坐标为(6，3)；②点B的坐标为(8，8)时，过点P作PQ⊥轴于点Q，过点B作BH⊥轴于点H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C，连接AM，如图：

∵A(4，0)，P(2，-1)，∴PQ=1，AQ=2，在Rt△APQ中，，∵A(4，0)，B(8，8)，∴AH=4，BH=8，在Rt△ABH中，，∴∠OAP=∠ABH，∵H关于AB的对称点为M，∴∠ABM=∠ABH，∴∠ABC=∠OAP，即C为满足条件的点，设M(x，y)，∵H关于AB的对称点为M，∴AM=AH=4，BM=BH=8，∴两式相减得：，代入即可解得：(此点为点H，舍去)或，∴M(，)，同理求得BM的解析式为：，解得：(此点为点B，舍去)或，∴点C的坐标为(-1，)；综上，点C的坐标为(6，3)或(-1，)；（3）设BC交y轴于点M，过点B作BH⊥轴于点H，过点M作MN⊥于点N，如图：

∵点B的横坐标为t，∴点B的坐标为(t，)，又A(4，0)，∴AH=，BH=，OH=MN，∵∠ABC=90°，∴∠MBN=90°-∠ABH=∠BAH，且∠N=∠AHB=90°，∴△ABH△BMN，∴，即，∴BN=，∴HN=，∴M(0，)，同理求得BC的解析式为：，由，得，解得(点B的横坐标)，或，∴点C的横坐标为，当时，，∴当时，的最小值是12，此时；∴当时，点C的横坐标的取值范围是．【点睛】本题考查二次函数综合知识，涉及解析式、锐角三角函数、对称变换、两条直线平行、两条直线互相垂直、解含参数的方程等，综合性很强，难度较大，解题的关键是熟练掌握、应用各种综合知识，用含字母的式子表示线段长度及函数解析式．19．（2021·广西贵港市·中考真题）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC．（1）求该抛物线的表达式；（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【答案】（1）；（2）或；（3）或或【分析】（1）先根据对称轴得出，再由点的坐标求出，最后将点的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；（2）分两种情况，Ⅰ、当点在轴上方时，先判断出，进而得出点在直线上，再求出点的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式；Ⅱ、当点在轴下方时，判断出，即可得出结论；（3）先求出点的坐标，进而求出的面积，得出的面积，设，，过作轴的平行线交直线于，得出，进而表示出，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，，，点的坐标为，，抛物线的解析式为，点在抛物线上，，，，抛物线的解析式为；（2）Ⅰ、当点在轴上方时，如图1，记与的交点为点，，，直线垂直平分，点在直线上，点，，直线的解析式为，当时，，点，点点关于对称，，直线的解析式为，即直线的解析式为；Ⅱ、当点在轴下方时，如图2，，，由Ⅰ知，直线的解析式为，直线的解析式为，即直线的解析式为；综上，直线的解析式为或；（3）由（2）知，直线的解析式为①，抛物线的解析式为②，或，，，，，点在轴左侧的抛物线上，设，，过作轴的平行线交直线于，，，，或（舍）或或，或或．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，垂直平分线的性质，坐标系中求三角形面积的方法，求出点的坐标是解本题的关键．20．（2021·四川雅安市·中考真题）已知二次函数．（1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式；（2）在(1)的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）-3≤b≤1．【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，可得MQ=t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；（3）设，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况：或，进而即可求解．【详解】解：（1）把代入，得：，解得：b=1，∴该二次函数的表达式为：；（2）令y=0代入，得：，解得：或，令x=0代入得：y=-3，∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，∴BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∴是等腰直角三角形，∴MQ=BQ=t，∴△BPQ的面积==，∴当t=1时，△BPQ面积的最大值=；（3）抛物线的对称轴为：直线x=-b，开口向上，设，∵对的任意实数x，都使得成立，∴或，∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，∴-3≤b≤1．【点睛】本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出不等式组，是解题的关键．21．（2021·辽宁营口市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，点C为第二象限抛物线上一点，连接，，，其中与x轴交于点E，且．（1）求点C坐标；（2）点为线段上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与的边分别交于M，N两点，将沿直线翻折得到，设四边形的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若，请直接写出所有满足条件的m值．【答案】（1）C(-1，6)；（2）；（3）m=1或【分析】（1）利用待定系数法可得：，直线BC的解析式为：y=-2x+4，联立即可求解；（2）先求出直线AC的解析式为：y=-8x-2，直线AB的解析式为：y=x-2，然后分两种情况：①当0≤m＜2时，不妨设M(m，-2m+4)，N(m，m-2)，②当＜m＜0时，不妨设M(m，-2m+4)，N(m，-8m-2)，分别求出S与m的函数关系式，即可；（3）先求出(2m-2，0)，从而得，然后分3种情况：①当≤m＜2时，，；②当0≤m＜时，，；③当＜m＜0时，，，分别求解，即可．【详解】（1）解：∵抛物线过点，，∴，解得：，∴，设BC交y轴于点F，∵，，∴，即：OF=4，∴F(0，4)，设直线BC的解析式为：y=kx+n，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y=-2x+4，联立，解得：或，∴C(-1，6)；（2）∵C(-1，6)，，∴直线AC的解析式为：y=-8x-2，令y=0，代入y=-8x-2得：-8x-2=0，解得：，∴E(，0)，∵，，∴直线AB的解析式为：y=x-2，①当0≤m＜2时，不妨设M(m，-2m+4)，N(m，m-2)，∴=，∴；②当＜m＜0时，不妨设M(m，-2m+4)，N(m，-8m-2)，∴=，∴，综上所述：；（3）由题意得：点P是B的中点，，，∴(2m-2，0)，∴=，①当≤m＜2时，，，∵，∴=，解得：或（舍去），②当0≤m＜时，，，∵，∴=，解得：或（舍去），③当＜m＜0时，，，∵，∴=，解得：（舍去）或（舍去），综上所述：m=1或时，．【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数与平面几何综合，用函数图像上点的坐标表示出相关线段长，掌握分类讨论的思想方法，是解题的关键．22．（2021·江苏常州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数和二次函数的图像都经过点和点B，过点A作的垂线交x轴于点C．D是线段上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线上一点，且，连接，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以、为邻边作．

（1）填空：________，________；（2）设点D的横坐标是，连接．若，求t的值；（3）过点F作的垂线交线段于点P．若，求的长．【答案】（1），1；（2）；（3）【分析】（1）把分别代入一次函数解析式和二次函数解析式，即可求解；（2）先证明EF=ED，结合D(t，)，F(t，)，可得点E的纵坐标为：，过点A作AM⊥EG，延长GE交x轴于点N，由，从而得，进而即可求解；（3）先推出，由FP∥AC，得，结合，可得DA==，结合DA+OD=5，列出方程，即可求解．【详解】解：（1）把代入得：，解得：，把代入得：，解得：b=1，故答案是：，1；（2）∵在中，，∵，∴=，∴EF=ED，∵设点D的横坐标是，则D(t，)，F(t，)，∴点E的纵坐标为：（）÷2=，联立，解得：或，∴A(4，3)，∴过点A作AM⊥EG，延长GE交x轴于点N，则∠AEM=∠NEC=∠AOC，∴，又∵=，∴，解得：（舍去）或，∴；

（3）当时，则，∵⊥FP，AB⊥AC，∴FP∥AC，∴，∵∠FDQ=∠ODH，∴，又∵DF=-=，∴DQ=，∴DA==，∵DA+OD=5，∴+=5，解得：或（舍去），∴OD==．

【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，根据题意画出图形，添加合适的辅助线，熟练掌握锐角三角函数的定义，平行四边形的性质，是解题的关键．23．（2021·山东东营市·中考真题）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）先利用直线得到点B和点C的坐标，利用待定系数法求解；（2）根据解析式求得点A的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证；（3）设点D的坐标为，将线段DE的长用函数关系式表示为顶点式形式，利用函数的性质得到当时，线段DE的长度最大，得到点D的坐标，再利用轴对称及勾股定理求出答案即可．【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于点B和点C，∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把，分别代入，得，解得，∴抛物线的解析式为．（2）∵抛物线与x轴交于点A，∴，解得，，∴点A的坐标为，∴，，在中，，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴．（3）设点D的坐标为则点E的坐标为∴=∵，∴当时，线段DE的长度最大．此时，点D的坐标为，∵，∴点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时最小．连接CM交直线DE于点F，则，点F的坐标为，∴，∵∴的最小值．．【点睛】此题考查的是二次函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点问题，函数的最值问题，轴对称的性质，勾股定理，证明两个三角形相似，熟练掌握各知识点是解题的关键．24．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E．

（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作于点P，使，以，为邻边作矩形．当矩形的面积是面积的3倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．【答案】（1）（2）（1，）或（3，3）；（3）-＜n＜或＜n＜5．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先求出直线AB的解析式，表示出P，E的坐标，故可表示出PE的长，再根据矩形是面积的3倍，得到方程，故可求解；（3）当∠ABQ为直角时，求出直线BQ的解析式，得到n的值，当∠BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出此时n的值，同理求出当∠BAQ为直角时n的值，故可求解．【详解】（1）把，代入解析式得解得∴抛物线的解析式为（2）对于，令y=0解得x=4或-1∴A（4,0），则=2设直线AB的解析式为y=px+q把A（4，0），代入得，解得∴直线AB的解析式为设P（x，），则E（x，）∴矩形的面积==3解得x=1或3∴P点坐标为（1，）或（3，3）；（3）由可得其对称轴为x=，设Q点坐标为（，n）①当∠ABQ为直角时，如图2-1设BQ交x轴于点H，在Rt△ABO中，tan∠ABO=，∵∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠BHO=90°∴∠BHO=∠ABO∴tan∠BHO=tan∠ABO=可设直线BQ的解析式为y=x+t，代入可得t=3∴直线BQ的解析式为y=x+3当x=时，y=x+3=5故n=5；②当∠BQA为直角时，如图2-2，过点Q作直线MN∥y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，∵∠BQN+∠MQA=90°，∠MQA+∠MAQ=90°，∴∠BQN=∠MAQ∴tan∠BQN=tan∠MAQ即，则解得n=③当∠BAQ为直角时，同理可设直线AQ的解析式为y=x+h代入A（4，0）得h=-∴直线AQ的解析式为y=x-当x=时，y=x-=-故n=-；综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值范围为-＜n＜或＜n＜5．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、矩形的特点及面积公式、解直角三角形的方法及数形结合的特点．25．（2021·海南中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为、点C的坐标为．

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求的面积；（3）如图2，有两动点在的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线按方向向终点B运动，点E沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，的面积等于；②在点运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接得到的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．