计算机控制理论基础42

计算机控制系统

第4章计算机控制系统的理论基础

第四章计算机控制理论基础

［第四章计算机控制理论基础

引言离散控制系统基础

4.1采样信号的采样与保持

4.2Z变换

4.3计算机控制系统的数学描述

£4_计算机控制系统的分析

2

时域q描述系统动态模型的数学

表达式称为动态数学模型。

数学模型的表达形式可以

是微分方程、差分方程、

传递函数和状态方程等，

也可以用信号流图或模拟

图符号表示。分析和研究

拉氏域或控制系统的动态特性，就

复频域是分析和研究系统数学模

型的特性。对微分方程，

可得到系统输出随时间变

拉氏变换和拉氏反变换化的规律。当微分方程的

阶次较高时，微分方程的

代

微求解就变得十分困难，因此，

数

分常采用拉氏变换的方法，将

方

方7

程

程微分方程转换成代数方程，

求解代数方程后，再通过反

拉氏变换得到微分方程的

解。

OO

时域函数/⑺的拉氏变换定义为："S)=f(t)e-stdt

7

0

用符号表示为F(s)=9[/Q)]

数S称为拉氏算子。由于指数函数e-st应有意义，因此S

学

定的单位是1/时间，即频率；由于s是复数，因此，s

义表示复频域变量。时域函数经拉氏变换变换后得到

拉氏函数。拉氏反变换定义为：

1r(J+jco

f^=—\F(s)estds

2%J。-加

用符号表示为/(%)二夕UF(S)]

q连续控制系统采用拉氏变换将微分方程转换成代数方程，并

经拉氏反变换得到时域解，同样，离散控制系统采用Z变换

将差分方程转换成以Z为变量的代数方程，求解后经Z反变

换得到时域解。

连系离系

续统散统

微分方一代数方差分方一代数方

程程I程程I

拉氏变换和z变换关系传递函Z传递函

引言；Z变换的导出

抽样信号的拉氏变换T离散信号的Z变换

p(t)-------------

‘九G)/QT»G-仃)

OOOO

广⑴=/⑺•3T⑺=")£即-U)=£/(U项—U)

对/*⑺取拉氏变换〃~〃~

F\s)=L[f\t)]=L£f(nTRt—nT)

〃=­8

oooo

尸(S)=Ef(nT)L[^t-nT)]=£/(5)*"

〃二—OOfl=­OO

其中S=(7+jco

引入复变量z=e",为连续变量，将/(〃T)表示为/1(〃)

oo

-*(5)1…"=尸(Z)

n=-8

对任一信号f(〃)的(双边)z变换式为

OO

F⑺=工以几)

〃二—OO

oo

/(z)=£/5)z一〃

几二—8

Z的正募

+/(0)z°+%L4力4z1

z的负得

一_______二

的哥级4^

]级数的系数是f㈤:

飞勺"指出/⑹的位封

O—00<n<—1z的正赛级数构成左边序列

oo<n<ooz的负氟级数构成右边序歹4

O若双边序列取单边z变换，或对因果信号(有起因序

列)几20存在的序列取z变换

OO

X(z)=£x(〃)z，单边Z变换

H=0

这种变换也称为双边Z变换，与此相应的单边Z变换的定义如下:

OO

b(z)=£/S)z-〃(1-56)

n=0

这种单边Z变换的求和限是从零到无穷，因此对于因果序列，

用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。单边Z变换只有在少

数几种情况下与双边Z变换有所区别。比如，需要考虑序列的

起始条件，其他特性则都和双边Z变换相同

1.年换

如果用拉氏变换来分析采样系统，则系统的输出必

然是S的超越函数，求其拉氏反变换是一件十分麻烦的

事。经过数学家们的努力，寻找了一种Z变换法，在这

种变换下，使原来的S超越方程变成了一个以Z为算子的

代数方程，这一方法的引入使采样系统的分析在理论上

有了大的发展。Z变换与拉氏变换有类似之处。拉氏变

换的每一种运算规则都有一个相应的Z变换应用。通过

这种类比，对理解和掌握z变换是有益的。

由前面得，采样信号得数学表达式为:

+oo

/⑺二立⑺曲-⑺

n=Q

对上式两边取拉氏变换，令尸*(。=4/*(3则

4-004-004-00

F*G)=£〃/*«)]=^f(nm^t-nT)]=[以匕可

n=Qn=Qn=Q

1

令z=e",解得s=]lnz,则

4-00

尸⑶=尸(双」般=£/(“)”

Tn=0

+00

定义：尸⑵=4产(切=5*(31=£/(⑺1

几点说明：

1、Z变换定义是关于z的赛级数。只有当级数

收敛时，才称为采样函数的Z变换。

2、Z变换是针对采样函数八。而言。即是说Z变

换由采样函数决定，它只对采样点有意义，反

映的是采样时刻的信息，对非采样时刻不关心。

故Z变换与采样函数是——对应的O

/*a)=g*⑴

/⑶=G(z)<8J>

/Q)=g«)

上述关系说明：一个采样函数/⑺对应一个z变换，

一个Z变换对应一个采样函数，但是由于一个采样函

数/*（。可对应无穷多的连续函数，因为采样函数只是

考查得一些离散点的值。如下图所示：

3、Z变换的物理意义表现在延迟性上。

+oo

F(z)=£f(n7)r=f(O)z°+/(7>T+/(27欠一2+Lf(g+L

tr=O

上式中，通项/(⑺1,由/(⑺决定幅值，二〃决

定时刻，称z-为位移(延迟)算子,n为位移量。

因此，F(Z)包含采样的量值和时间两个信息。

2.Z变换的收敛域(ROC):

Z变换存在着收敛的问题。

1.并非任何信号的Z变换都存在。

2.并非Z平面上的任何复数都能使X(z)收敛。Z平

面上那些能使X(z)收敛的点的集合，就构成了X(z)

的ROC。

3.Z变换的ROC,一般是Z平面上以原点为中心的

环形区域。

OO

级数收敛

n=0

级数收敛的判定：

OO

E\an\<°°

n=-8

1）比值判别法

）<1,收敛

夕>1,发散

2）根值判别法

2=1,其他方法

nTg>11

例：求xS)=Q%S)的Z变换的收敛域。

OOOOOO

解:x（z）=£〃■=£（〃k）〃=£（与

n=Qn=0n=0Z

（1）lim

几Tg

/?<1=>|z|>\a\

（2）lim<az~1n=az

〃f8V

"<i=H>同

4收敛区域：对于所有的序列或所有的z

值，z变换并不总是收敛的。对于任意给定的序

列，使z变换收敛的z值集合称作收敛区域：

4{Z：/⑵存在}=收敛区域。

4注意：z变换收敛域的概念很重要，不同

的序列可能有相同的z变换表达式，但是收敛域

却不同。所以应该特别注意，只有当z变换的表

达式与收敛域都相同时，才能判定两个序列相

等。

例：求序列E)=Q"”的Z变换，其中。1<1。

OO—1oo

解:-nn\-n

x(z)=二£「zz

n=-8n=—8n=0

oooo

a〃zn+,乙\a_nz-n

n=\n=01

第一部分的收敛域为I〃ZIV1,即lzl<

IaI

第二部分的收敛域为©Tl<1,

已知卬<1,所以

az11-a2

X(z)=---H----T=--------TT\a\<\zl<

i-az1-az(l-az)(l~az)IaI

例x(n)=u(n)

oo

X(z)=£z-〃=|z|>l

n=0

例X(M)=-anu(-n-V)

—1oo

x(z)=-£屋Z-〃=-£〃2"

〃=-oon=l

几类序列的收敛域

(1)有限长序列：在有限区间内，有非零的有限值

的序列元(〃)

"2

n

X(z)=£x(n)z~<n<n2

n=n1

々<0,%〉0收敛域为除了。和8的整个z平面。

fjlm[z]II

n0<|z|<oo

>Re[z]另，思考：

n}<0,n2<0

nx>0,n2>0

(2)右边序列：只在/区间内，有非零的有限值

的序列兄(〃)

CXD

X(z)="nx<n<oo

(3)左边序列：只在区间内，有非零的有限值

的序列45)叼

n

X(z)=£x(n)z~-oo<n<«2

oo

m=-n8n=m

X(z)=£x(Tn)z"

圆内为岭域

m=—n2n=-n2若4>0

lim弗(f)z”|<1

72—>00

lim)l<卜「二I

〃78

lim^/|x(-n)|

〃一>8YI

(4)双边序列：在一8<〃WOO区间内，有非零

的有限值的序列X(力

OO

X(z)=Xx(n)z~n<n<oo

-1OO

x(z)=£x(n)z~n+£x(n)z~njlm[z]

n=-8n=0

圆内收敛圆外收敛

&2>4|时，有环状收敛域求］

R0<冬|时，没有收敛域

(\Y右边序列

例：⑴x{n}=I—u(n)

OO1n-nA1V1z

X(z)=£(-)・z

3z,-r

n=01)7z—

Q4」

“3

1

z>—

3

或|小1=

z

例(2)=-(f)HW(-Z2-l)lim^yj<l

=|z|<g=4

n=-m8,、-

=N")-mH?=1<0

m=l=z=0包括在内。

oo

=1-£(3z/

m=0

=1—!—r

z

n

记(4)，⑺唱

小结:

1)Z变换存在着收敛的问题，不是任何信号都存

在Z变换，也不是任何复数Z都能使X⑵收敛。

2)仅仅由XQ)的表达式不能唯一地确定一个信

号，只有X(z)连同相应的ROC一道，才能与信

号x(〃)建立---对应的关系。

3)Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心

的环形区域。

4)如果xS)=X%5)，则其ROC是各个入⑺的

ROC的公共区员。若没有公共区域则表明x(〃)

的Z变换不存在。

5)当X(z)是有理函数时，其ROC的边界总是

由X(z)的极点所在的圆周界定的。

’7度换的特点及零极点

1.同一个z变换函数，收敛域不同，对应的序列不同;

2.常用序列的z变换是一个有理分式，可表示为：

AY⑺小二P(Z)

。⑵

其中，P(z)、Q(z)分别是Z的实数系数多项式；

3.P(z)=O的根是X⑵的零点(分单阶零点和多阶零点);

Q⑵二。的根是X(z)的极点(分单阶极点和多阶极点);

4.在极点处z变换不存在，因此收敛域中没有极点,

收敛域一般为同心圆环，用极点限定其边界。

:、典型信号的Z变换

1.单位脉冲函数：

设咐=时,所以有

OO

E(z)=^e(kT)z~k=1^°=1

k=Q

2.单位阶跃信号：

设e«)=1(0,则

OO

k

£(Z)=£e(kT)z~=1+[T+z—2+z—3+・・・

k=0

E(z)=—1―7(Iz1>1)

l-zZ-l

3.单位理想脉冲后列：

设e⑺=不(。=£演一左T),贝！j

k=Q

oo

石。）二£4（左T）戌"=1+zT+Z-2+Z-3+・・・

k=0阶跃信号采样后

1

一[T与单位理想脉冲

1-z串是一样的，而Z

==,（Izl>1）变换是对采样点

z-1上的信息有效，

只要/⑺相同，

E(z)就相同。

4.单位斜坡信号:

OO

设e«)=t,则E⑺=£kT葭

ook=a

£1=黄？

k=0<1

上式两边对Z求导数，并将和式与导数交

换,得OO[

S(Li)?

两边同乘(-2)，得单位斜坡信号的Z变换

OOrri

(Iz1>1)

5.指数函数：

设e⑺=e3（"为实常数），则

OO

七TJ1（/z_\）=乙\、e-akT戌—k=i1+।e_QTz_1+>e-2aTz-2+.e-3aTz—3+>•••

左二o

、—]一Z

石（z）--aT-1--aT

1-ezz-e

6.正弦信号:

设e«)=sin03因为

sin(ot——(ejd>7-e-*“

2j

所以

E(z)=£!©的—eW)z~k

M2j

IIII

2

422凌换性质

1.线性定理

孔

C

/⑺==1/1(O+C2/2(0+L+c/⑺

Z=1

几

(4-18)

F(z)=y(z)=(z)+C2F2(Z)+L+g匕(Z)

脉冲序列线性组合的鹰换，等于其凌换的线性组合

Z[x(〃)]=X(z)Rx_<1zl<Rx+

设Z[y(n)]=Y(z)R)_<1zl<Ry+

则+》乂几)]=QX(Z)+〃Y(z)R_<\z\<R+

其中H_=max[R.，4」，R+=min[Rx+,Ry+],即线性组

合后的收敛域为各个序列z变换的公共收敛域，如果这

些组合中某些零点和极点相互抵消，则收敛域可能扩大。

2.实数位移定理

又称平移定理，实数位移的含义，是指整

个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周

期，向左平移为超前，向右平移为迟后。

Z[f(t-kT)]=z-kF(z)

Z[f(t+kT)]=?F(Z)-?£于(nT)1

n=0

证明根据彼换定义有

oooo

Z[f(t-kT)]=£于(nT-kT)z-n=z-k£/[(H-左)7味(〃的

n=0n=0

OO

令E—k,则有Z[f(t-kT)]=z-k£f(rnT)z-m

m=-k

由于z变换的单边性，m<0f(rnT)=O,所以上

式可写为oo

Z[f(t-kT)]=z-k^f(mT)z-m

m=0

再令龙=打，定理得证。

⑴滞后定理（右移定理）

设Z[f(t)]=Z[f(k7)]=F(z)且k<O，a)=F(kT)=O

贝I]：Z[f(t-kT)]=z-kF(z)

证：按Z变换的定义展开，注意到零初始条件

Z"("TTT)]=E；/("TT7V从〃“项开始展开

=f(O)z~k+f(T)z~(k+1)+f(2T)zAk+2)+L

=口"用)

含义：f(kT-nT)是滞后于采样信号f(kT)

n个采样周期的采样信号，

乙〃代表滞后〃拍开始采样。

例1：求有纯滞后的单位阶跃函数的Z变换。

w(f-T)w(/-4T)

ZMf)]=Z-ZM⑺]=z--=—=7

Z[i/a-4T)]=z-4Z[w(0]

例2求/出《，二；23L

的Z变换。

解：是序列Qk滞后一拍的采样函数。

11

Z[ak-x]=z-xZ[ak]=z-x

\-azxz-a

思考：〃左：=；'>的Z变换。

0k-0,1

(2)超前定理(左移定理)

Z"Q+⑺]=?F(z)-？代4)11

例3Z[f(kT+3T)]=z3F(z)-z3Yl^n^n

=Z3F(Z)-z3f(0)-z7(n-n2T)

在零初始条件下L=Z"(U+U)]=z*(z)

加+KT)是超前于/(〃T)k拍的采样信号，

淤代表超前左拍。该定理还表明F(z)经过一个

淤超前环节，相当于时间特性向前移动k步。只

有数学含义，而无工程意义。

证：按z变换的定义展开，注意到零初始条件

OC

Z[y«+左7)]=即y(〃T+左7)[一女=/邛5+左)比一人

n=Q

kmkm

if(n+k)T]=zY/(mT)z-=z\»(mT)U

iv=k\_m=0tn=O

k—1

=zkF(z)-zk^f(m7)z-m

f/F=O

3初值定理

/(0)二!则(左乃二|W)

4终值定理

若Z[f(kT)]=F⑵，且(z-l)F(z)的全部极点

都在单位圆内，则

f(oo)=lim/(左T)=lim(z—1)/(z)

女一>8Z—>1

证:；，之仔旅7)]=濠

K_U

Z"(左T+T)]=£；//T+T)z-%

两式相减:Z[f(kT+T)]-Z[f(kT)]

左边：zF(z)-zf(O)~F(z)=Q—1)尸Q)-zf(O)I

两边取极限

右边：理£M/T+T)T(⑺]/.

=EL"(0+T)T(⑺]=/(8)一〃°)[

左边二鸣(z-1)/⑶-〃0)

./(g)=lim//7)=li仪z—1)尸(z)

••k―)0°z-

例卢胡=心丁匚当酋I(">0)

解/3)=lim(z-1)F⑶=lim[l--7^—-1r]=1

"ZTIE1-ez

・・・F⑵是f(t)=l-e-at的Z变换，显然

lim(l-e^)=l

，一＞8

例设Z变换函数为E(z)------------,°，921-------

xE一刈八a-l)(z2-0,416z+0,208)

解：由终值定理得

0.792z2

e(oo)=lim(z-1)♦

z-A(Z-1)(Z2-0.416Z+0.208)

2

「0.792z

=hm------------------------=1

2

ZTz-0.416z+0.208

注意C-1）K⑶终值存在的条件

（i）y⑵的极点位于单位圆内，收敛半径小于1,有终值;

例:“〃”（〃），卜|<1,终值为o

（2）若极点位于单位圆上，只能位于z=l,并且是一

阶极点.

例:—,终值为1

注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件只有

第一条。

终值定理对求稳态误差非常有用。

弘铮霖■解？m院9函眸游密苓、W铲超6"2卬

5迭值定理K4

设g(kT)=£y(iT)(刖k项之和)

z=0

Z[y(江)]=y(z)

G(z)=Z[g(Z:T)]=Z[fy(zT)]=^-y(z)

则

z=0Z-]

可由z变换的定义证明

例：已知:

K~\1k=\2….

oc

g(kT)=£y(iT)=k

i=Q

求：G(z)=Z[g(左T)]

解：y(kT)是滞后一拍的单位阶跃续列

y(z)=Z1y(S]=「_]

1-z

G⑶-1-yU)=--7TT■

1-z(l—z)

（落乘M后的Z受海.

若Z[y（kT）]=Y（z）

则Z[ak-y{kT）]=Y{axz）

证：Z[a‘-y（左T）]=£：=0）＜左丁）〃七-^^^|

=£；旬丁（⑺（4-为）-，=丫（。-为）・

(7)复数位移定理：

若函数e(t)是可以Laplace变换，其z变换为E(z),则有:

；：；zQe(山石(产)1(7-35)

证明：由z变换定义

2[6电7。)]=£6皿〃%(〃/氏一〃=fe(〃T)(z*a)T

〃=072=0

."士"

令：Zi=ze

・・・z[eme«)]=fe(〃T)Z]f=X(Zi)=E(z*'T)

77=0

含义：采样信号e*(t)乘以指数序列e±anT的z变换，等

于在e*(t)的z变换表达式E(z)中以z*”取代原算子2。

例:求te-at的Z变换

TV

QZ[d=

(1-r1)2

由复数平移定理：

T(zeaTyl

[te-at]=F(zeaT)=

Z(l-Ue^r1)2

同理可求Z[e，sin放]

复数位移定理是仿照拉氏变换的复数位移定理导出

的，其含意是函数e*(t)乘以指数序列的彼换，就等于

在e*(t)的凌换表达F[z]中用26皿丁取代原算子Zo

E姿:飞奉乩;;属务二…：,：.：•漆:焚殳肉.♦大筵河社■：J，々；F二:、二M个

例利用复数位移定理计算函数。一/in。t

的凌换。

解：由z变换表查得sin的Z变换为

rr・1zsinoff

Z[smcot]=--------------------

z2-2zcosfi?T+1

由复数定理，得

)「”,..ze"sinoff

Z[esm(ot]=――丁-------------------------------------------------

-2zcaTcosiyr+1

ze~aTsinOJT

3一2”cosW+e*

8、卷积和定理

4-00

设：c(kT)=^g[(k-n)T]r(nT)

n=Q

式中：〃=0,l,2L为正整数，当n为负数时

c{nT)=g(nT)=r(nT)=0

则有：C(z)=G(z)^(z)

式中：C(z)=Z[c(nT)]

G(z)=Z[g(nT)]

H(z)=Z[r(U)]

时域卷积定理

已知G(z)=z[g(Q]

R(z)=z[r(k)](即<:<九)一**

则z[g⑹*«O]=G(z)R(z)

收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分

即max(7?xl,/?A1)<|z|<min(7?x2,Rh2)

描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中

两序列Z变换的乘积。

注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵

消，则收敛域可能扩大。

KZ）的收敛域为及2）、收敛域的公共部分。若有

极点被抵消，收敛域可扩大。

证

OO

C(z)=Z[g⑹*r⑹]=£[g=)*r(左)k一出

k=0

OOOO

二E£r(〃)g(Z-〃)2一人

k=0n=0

OOOO

£“几)£g(左一〃L令k-n=m,则上式可为:

77=0\_k=—o°

OOocococ

=£「5)£8(帆)2一("+〃)=£小)2一〃£且(加)2一机二A(z)G(z)

n=0m=—nn=0m=0

max[7?x_,RhJ<lzl<min[&+，&+]

在线性时不变系统中，如果输入为rO),系统的

单位脉冲响应为g(乃，则输出C(吩是TU)与gU)的

卷积；利用卷积定理，通过求出4(0和。(力，然后

求出乘积A(z)C(z)的级变换，从而可得。(0。这个

定理得到广泛应用。

例设x(〃)=Q〃N(n),h(n)=b〃u(n)-abn-1w(n-l)

求y(几)=%(〃)*h(n)o

解

X(z)=Z[x(n)]=---\z\>\a\

z-a

H(z)=Z[h(n)]----------="_-\z\>\b\

z-az-bz-b

所以7

y(z)=X(z)H(z)=^-\z\>b

z-b

其Z反变换为

y(〃)=x(〃)*九⑺

=z-[y(z)]

=bnu(jT)

显然，在ZN处，X(z)的极

点被H(z)的零点所抵消，

如果固〈㈤，则丫⑵的收敛

Y(Z)的零极点及收敛域

域比XQ)与“⑶收敛域的重

叠部分要大，如图所示。

例

x(n)=anu(n\h(n)=/?"〃(〃),，求y(几)=x(〃)*/z(〃)°

解：

x(z)=±U>H)5⑵=WM>w)

2

・・・y(z)=X(z)・“(z)=-_三_-

(z-Q)(Z—b)

，力m(z)

收敛域:|z|>max(6z,Z?)收敛域

---------~~X-^——

0abRe(z)

由F(z)求y(/7)

1(azbzy

QY(z)=

a-b\^z-az-b

・・・

y(n)=­i—a-anu(n)—b-bnu

a-b

1J_b〃+，)u(n)

a-b

9.Z域微分定理

若e⑺的Z变换为反z）,则

⑶

证明：由于E⑺=2（汁）厂

k=0

将上式两边对Z求导数，得

00

,A£（z）=A;r£＞（左T）二

dzdzk=。

变换导数与和式的次序

00

Aood

丁£(z)=(仃)丁尸=£e(左T)(一女)2一1

dzk=odzk=a

=~^[(kT)e(kT)]z-k

Tk=o

—1

=-£_Z[ze(r)]

所以

ZUe«)]=—Tz；£(z)

dz

例利用Z域微分定理求单位斜坡函数仅1(。

的Z变换。

证明：只要对阶跃函数的Z变换求导数再

乘上-Tz,即

dz

Z[?xl(z)]=-Tz—(-----)

dzz-1

-1Tz

=-rz(^TF=(T7F

10.Z域尺度定理

若已知e(t)的Z变换为E(z)

则Z[〃％«)]=£(三)，〃为常数

a

证明：因为

OO

z[ake(t)]=Y^ake(kT)z~k

k=0

OO

=fe(kT)(±)T=E(±)

例试求Ccos。的Z变换。

解：由z变换表

z(z-cosfi?T)

Z[COSa)t]=Z2-2ZCOS°T+1

—-COS6WT)

Bp

ZIPcoscot}-----------------------------

(―)2-2—coscoT+1

BP

1一4/cosoT

cosd)T+伊

常见函数的Z变换表如下

f(t)

尸(s)尸（z）

11

1z

1(0sz-1

t1及

S2(z-I)2

12

—t1T2-(z+1)

2

S32(z-

________1________

ak(at,T)z

5-(1/T)Inaz-a

1z

八一at

es+az-e~aT

1-at1.(1-e-〃)z

1-es(s+a)(z-1)(N-e")

•二♦刀

KA

4.2.3求Z变换的方法

▲按定义计算（无穷级数求和）

▲部分分式法

▲留数计算法

1、级数求和法(seriessumming)

⑴展开采样函数(expanding)

+00

f⑺=»格凶-nT)=f(0项)+他M-T)+

n=0

f(2T)S(t-2T)+L+f(nT)S(t-nT)+L

⑵求拉氏变换(transforming)

TsnTs

F(5)=f(O)+f(T)e-+于QT)产+L+f^nT)e-+L

⑶令z=eTs

F(z)=f(0)+f(T)r1+/(2T)z-2+L+f(nT)z-n+L

⑷然后按级数的性质写出级数的和函数

例1求单位阶跃函数/⑺=1⑺的Z变换

解：因f5T)=1

4-00+oo

故『Q)=»(明凶-g=工凶-明

n=0n=Q

二勤+小一为+丽—2T)+L+6(t-nT)+L

求拉氏变换得

/⑸=1+e~Ts+e~2Ts+L+e-nTs+L

令z=eTs

17

尸⑵=1+/+尸+L+1+L=丁丁士邛＜1)

例2求/(%)=

解：因f(nT)=e-anT

+00+00

/*«)=»(〃⑥的—〃7)

77=0n=Q

=3(t)+1您0—T)+6%T的—2T)+L+e-anT6(t-nT)+L

1

jj/\[।—ciT—Ts.-2aT-QTs.T.-naT—nTs.T

r(s)=\+ee+ee+L+ee+L

TsaTx2aT2naTn

令z=eF(z)=1+e~zT+e~z~+L+e~z~+L

]—aT—1

尸（z）=Z<D

1-e—ciTz—1

例4-2求的z变换。

解八)=/(*=尸,根据式(4-14),可得

2aT2naTn

F(z)=1+尸/+e~z~+L+e~z~+L

则两边同乘得

e—ciTz—1r二(/z)\=e—uTz—1+।e—2QTz—2+1TL+1e—nciTz—n+.TL

两式相减，可以求得

1z

尸⑶---

1-e—ciT—1

例3求彳“与”7函数（4为常数）的Z变换。

解：根据Z变换定义有

OO

F⑺=ff(kT)"k

k=0

=1+azi+a?z+L+〃'z+L

_1_z

|z|>a

1-az"1z-a

遨铲；：.：..；：：吟及※三寸谬匚』:；:…森工

1.按定义计算y（z）=£y（ZT）z-"

I注意〃的延迟含义。

例：用定义法求下列函数序列的麽换

\ak左为偶数

/（左）=4

解：\bk左为奇数

OO、

尸⑶=工于（2=1+反T+/z-2+b3z-3+〃4「+L

k=0

=(l+a2z-2+a4z-4+L)+^-'+b3z-3+L)

公比：a2z~2；b2z2

自己完成

设T为F(s)的重极点，则

▼U.▼.P▼・▼r

成5)二-J-T----------%T]+L——+——+L+—

(S-p>(s—P])'(s—Pl)(S—2+1)(S—%：

其中系数%=[(s_pi)'尸(s)]|

ls=P]

*=；[($-P1)'/(S)]|

ds*=PI

rj

1d~rz、r、/

Cj=(、…山」(521)/(S)]

,(r-j)!dzJL=P1

则的Z变换为

；r「；

/⑵=fzi,C+£zC[]

(s-pj]£f

j=l

例已知函数尸(s)=7一，求尸⑶

s(s+a)

解：尸⑶有两个单极点P]=。、P2=

则4=1、4=-1,

厂/、a1

展开为部分分式之和尸⑸二右不

s+a

所以

尸⑶―Z—一ZF

z-1z-e

/I-ciT\-1

(1-e)z

1-(1+6-a)/+e"]

例1已知F(s)=

解：F(s)=—―=i—―

s(s+a)ss+a

查表得

s-Jz-1*—s+a

得__z______z_zQ_g"")

Z-1z-e-aT—(z-1)(Z-产

用部分分式法求Z变换时，系数求法一般采用以下两

种方法：

1、凑(适用于展开项数不多的场合)

2、留数法(适用于任何场合)

例4-4求的Z变换。

解求尺S）并将其展开为部分分式

S+COS—JCDS+JCD

"([_2jl—ejmzT_2j]_//以z-i.

(sm69T)z-1_zsinoff

1-(2coscoT}z~x+z-2z2-2ZCOS69T+1

例求解F(s)=例A(s+a)2］的Z变换

aa

^1।2।3

尸($)二六（S+Q）2~

is|=J-

a

iS（S+〃）2》卜二。/

a.=#（$+矶=-〃T

1

F（S）

S（S+Q）2s+a

F（Z）-十―

Z［（］-e-叫”"6一叫）2+/引（〃/］+6一"0）］

Q2（Z—1）（Z—"叫）2

,.嚅5

将y（s）展成部分分式，逐项查表.

例6：已知函数L[y(t)]=Y(s)=^^求丫⑵

sIa

解Y(s)=—^—=-------2-------

52+a2(s+ja)(s—ja)

11

-----------------1-------------

j2(s+ja)j2(s-ja)

Y(z)=——+——

J2(z-/皿)J2(z-〃")

zsinaT

z~—2ZCOSQT+1

例求F(z)=Z[sincot]

scocos__i_1

---------1-------1-------1------

co2j222j~~J,27

解：L[sin(vt]=

s2+co2s2+co2s+j①S-jco

因为匚[—g一j(±*

_S±jco

CD11______11

所以尸(z)=z

s2+。22j]—"%T+.j]_〃乙一]

z-1sinoff_z-1sinafT

1一”师方一产二+二2-i一271cos①T+72

例求球(t)=$访\^的2变^4欧拉^^^纂,.

./协一«一川

smax=

1zZ2j

有Z[sina]=—[--------------]

）

2jZ-ejaT°Z-e「明

Z-e~j^+eja）TQ

万亿-1/明）（Z-〃明）

/叫_27叫

二Z2j

…+,山•初

zi_2e+eZ+1

2

ZsinoT。

Z2—2cosoir^,Z+1

例已知"S）=S（S+I）2（S+3）求其相应采样函数的Z变换方⑶

解：用尸（s）直接查Z变换表查不到，所以必须先进行部分分式分解。该式可分

解为

尸（s）=

(5+1)25+1SS+3

其中

c2=(s+iys2-I二一

展(S+1)2(S+3)LI2

rd「「、2〜s+213

G(s+i)

ds[gS(S+1)2°(S+3)IL=_4_

s+22

c-s^-

3S(S+1)92(S+3)3

s=0

s+21

C=(5+3)淳----j---------------------

4京(s+iy(s+3)12

s=-3

将诸常数代入部分分式中，有

»、11312111

对照Z变换表，查得

T

/(z)=-4Tze-72

2%-e")2

-2Tze-r-3z2+3ze-r2ziz

--+R+7?^

3、留数计算法

设连续函数f(t)的拉普拉斯变换F(S)及全部极点已

知,则可用留数计算法求Z变换

nn

b(z)=Z"*«)]=£resF(p)Z

p：T

i=lz—ei=l

当F(S)具有一阶极点S=P］时，其留数为

z

)

R[=lim(s-pi/(s)p：T

—Pi

当F(S)具有q阶重复极点时，其留数为