全国普通高等学校2023届招生统一考试模拟（三）数学试卷（含解析）

绝密★启用前

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

数学(三)

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合A=2)<3},B=<x>1>,则()

A.1x|—l<x<31B.^x|—1<x<41

C.1x|x<41D.|x|-1<x<41

zz

2.已知复数一为纯虚数，且——=1,则z=()

1+i1+i

A.1-iB.1+i

C.-1+i或l-iD.-l-i或1+i

3.已知双曲线一二二1(a>0,b>0)的离心率为2,点M为左顶点，点尸为右焦

ab”

点，过点尸作x轴的垂线交C于48两点，则()

A.45°B.60°C.90°D.120°

的部分图像大致为()

D.

5.北京2022年冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融非常可爱，某教师用吉祥物的小挂件作为奖

品鼓励学生学习，设计奖励方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡

片，上面分别标有编号1,2,3,4,5,6,现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张,

只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖

的概率为（）

6.在四棱锥尸一ABCD中，底面ABCD为正方形，△尸8c为等边三角形，二面角P—5C—

A为30°,则异面直线尸C与A8所成角的余弦值为（）

7.已知aABC中，NBAC=120°,AC=3AB=3,DC=2AD,在线段BQ上取点E,

使得BE=3ED,则cosNAE5=()

Vi4V21V21

A.-----B.-----C.-------D.-----

3777

8.已知函数/（x）为定义在R上的偶函数，当x«O,十功时，/'（x）>2x,/（2）=4,

则不等式灯、（x—1）+2/>%3+》的解集为（）

A.（-1,0）u（3,+oo）B.（—l,l）u（3,+oo）

C.（Y0,-1）5。，3）D.（-1,3）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.随着我国碳减排行动的逐步推进，我国新能源汽车市场快速发展，新能源汽车产销量大

幅上升，2017—2021年全国新能源汽车保有量y（单位：万辆）统计数据如下表所示：

年份2017年2018年2019年2020年2021年

年份代码X12345

保有量y/万153.4260.8380.2492784

辆

由表格中数据可知），关于X的经验回归方程为y=33.64,贝U（）

A.5=150.24

B.预测2023年底我国新能源汽车保有量高于1000万辆

C.2017-2021年全国新能源汽车保有量呈增长趋势

D.2021年新能源汽车保有量的残差（观测值与预测值之差）为71.44

10.已知圆O:x?+y?=1,圆C&:（工一女『+卜一6攵）=4,则（)

A.无论左取何值，圆心G始终在直线丁=岳上

-13一

B.若圆。与圆Cq有公共点，则实数攵的取值范围为

C.若圆。与圆。的公共弦长为半，则4=±1或攵=±|

D.与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公

切线叫做这两个圆的外公切线，当女=±—时，两圆的外公切线长为2&

2

11.已知函数f（x）=2sin（ox+0）-攻（其中0>0,0V夕<扃的图像与x轴相邻两个

交点之间的最小距离为巳，当时;f（x）的图像与x轴的所有交点的横坐标

4\22J

71

之和为一,则（）

3

B.f(x)在区间内单调递增

jr

D./（x）的图像关于直线尤=」对称

12.已知抛物线C:x2=2py（p>0）的焦点为凡斜率为1•的直线4过点F交C于A,B

两点，且点8的横坐标为4,直线4过点B交C于另一点M（异于点4）,交C的准线于点

D,直线AM交准线于点E,准线交y轴于点M则（）

25

A.C的方程为尤2=4），B.|AB|=—

114

C.|BD|<|A£|D.|A©|-|AE|=4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

21

13.已知log^B二一,贝iJ3”-272=.

的展开式中存在常数项，则，7的一个值可以是

15.已知数列｛a“4+J是以2为公比的等比数列，4=1,4=2,记数列｛4｝的前〃项和

为若不等式铝土2>一对任意xe（0,2023］恒成立，则”的最小值为

16.我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如

图），现从某城楼中抽象出一几何体ABCD-EFGH,其中ABCD是边长为4的正方形，EFGH

为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,

且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角的余弦值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在数列｛a“｝中，q=20,an+l=\an-3|

（1）求｛a,,｝的通项公式;

（2）求｛a“｝的前”项和5”.

18.如图，在平面四边形ABCO中，CD1.DB,CD=1,DB=也,DA=2.

(1)若NZM3=60。，求cosNACB；

(2)求A4+BC'AC?的取值范围.

19.近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某城市推出了

两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，通过

设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃

圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：

智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操

作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作.建立垃圾分

类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情,

带动居民积极主动地参与垃圾分类.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了

100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分(满分100分)，将数据分成6

组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100J,并整理得到如下频

率分布直方图：

收率

(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分

类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表)：

(2)估计A小区满意度得分的第80百分位数；

(3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70

分说明居民不太赞成推行此方案.现从8小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推

行方案的人数，求X的分布列及数学期望.

20.如图，在多面体出BCFE中，w，平面ABC,PA//CF//BE,且R4=2CF=43E,

。为力的中点，连接BO,PC,点M,N满足。M=2M8,PN=2NC.

(1)证明：MV〃平面PEF；

(2)若Q4=2AB=23C=4,cosNPEF=^^~,求直线PC与平面PEF所成角的正

65

22

21.己知椭圆。：a+方=1(a>b>0),左顶点为A,上顶点为B,且=过右

焦点尸作直线/,当直线/过点8时，斜率为一6.

(1)求C的方程；

(2)若/交C于尸，Q两点，在/上存在一点“，且。”=尸尸，则在平面内是否存在两个

定点，使得点M到这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不

存在，请说明理由.

22.己知函数/(x)=eAcosx.

(1)求f(x)在区间(0,1］内的极大值；

(2)令函数尸(%)=哼立一：，当a＞乎时，证明：F(X)在区间(0端)内有且仅有

两个零点.

数学(三)

一、选择题

1.D解析：由x(x—2)<3得％2一2%一3<0,解得4={x[T<x<3},由，得

c4-x

-----1>0,即——>0,即(4—x)(x+l)20且x+IWO,解得3=13一1<九44),所

X+lX+1(J

以Au3={x|-1<%44}.故选D项.

2a+历_(a+〃i)(l-i)_Q+Z?b-a.

2.C解析：设2=。+43，〃£R),则————Ii，

l+il+i222

.=0,

7a=-b,z匕匚1、18一。1T

因为复数一为纯虚数，所以1,解得《又=1,所以----二1或

l+i

l+ib-aAa手b,2

"凹=一1,解得。=1或沙=一1,所以z=—l+i或z=l—i.故选C项.

2

3.C解析：由题意得e='=2,即c=2a,又。2=/+〃，所以^2=3/,设点人在工

a

(//\,2

轴上方，则Ac,幺，又一=3。，所以|AR|=3a,\MF\=a+c=3a,因为

kaJa

ZAFM=9Q°,所以NAME=45。，所以NATWB=90°.故选C项.

4.C解析：由题知段)的定义域为R,又/(—x)=,‘*：：)=_署^=_/")，所以於)

cin4

为奇函数，排除A,B项；/(1)=—工一<0,排除D项.故选C项.

5.B解析：若事件4为“第一次抽到卡片中奖”，事件为为“第二次抽到卡片中奖”，则

P(A4)=^=,，P(A)=4=L,故P(4|A)==L故选B项.

\27C；C；15\"C；3v-1'*P(：A')?5

6.A解析：如图，由AB〃C£>,得NPCD为异面直线A8与尸C所成的角或其补角，设E,

尸分别为BC,的中点，连接PE,PF,EF,由底面ABCD为正方形，△P8C为等边三

角形，得PE1BC,FELBC,所以NPEF=30°.设AB=2,则PE=G,由余弦定理得PF=1,

r-4+4-23

又尸F_LA。，FD=\,所以PO=j2,又PC=CD=2,所以COs/PC£)=-------=-.故

2x2x24

选A项.

7.D解析：由题意知/4E8是向量AE与向量5。的夹角，BD=BA+AD=-ABAC,

3

3-11

AE=AB+BE=AB^--BD=-AB+-AC,

444

BDAE=\-AB+-AC\-\-AB+-AC\=-\-AB2--ABAC+-AC\=-,

I3只44J4(33)4

H=卜叫A©S网北A5+*j=]

3

则cosZAEBh严严_“^=@.故选口项.

田辰也7

M4

8.A解析：因为/(x)>2x,所以/(x)-2x>0,构造函数尸(彳)守仁)一丁，当xd(0,+8)时，

F'(x)^f(x)-2x>0,F(x)在区间(0,+8)内单调递增，且尸(2)=0,又於)是定义在R上的偶函

数，所以F(x)是定义在R上的偶函数，所以F(x)在区间(-8,0)内单调递减，且尸(-2)=0.不

等式求x-D+Z^AV+x整理得求》—1)+2?-?—彳>0,即工加>一1)一。-1)2]>0,当x

>0时，/一1)一(%—1)2>0,则x—1>2,解得x>3；当x<0时，fix-1)—(x—1)2<0,则

-2<x-l<0,解得一1Vx<1,又x<0,所以一l<x<0.综上，不等式求尤一独+源》/

+x的解集为(―1,0)口(3,+8).故选A项.

二、选择题

9.BCD解析：由题得嚏=3,亍=414.08,代入可得5=149.24,A项错误；2023年的年

份代码为7,代入y=149.24x—33.64得y=101L04,高于1000万辆，B项正确；C项

显然正确：将x=5,代入y=149.24x—33.64得y=712.56,相应的残差为784-

712.56=71.44,D项正确,故选BCD项.

10.ACD解析：圆心G的坐标为（匕也4），在直线y=6x上，A项正确；若圆。与圆

_______________Q11Q

Q有公共点，则1WQGIW3,所以1WJ3+3公43,解得一一＜k＜一一或一WkW—,

2222

B项错误；将圆。与圆G的方程作差可得公共弦所在直线的方程为

（屈

2米+2百6一4/+3=0,则圆心O到直线的距离d=I2--,则

I44

1公+W133

解得攵=±—或k=±l,C项正确；当攵=±—时,圆。与圆

442

G外切，圆心距为3,半径差为1,则外公切线长为存彳=2及，D项正确.故选ACD

项.

11.AB解析：令式x)=0,则sin(6zx+e)=-^,所以69X+e=(+2攵万，

kQZ或

兀3万c/

----(P+£K7T----°+2攵〃

3万

（ox+（p=----卜2k兀，kGZ,解得x---------,AGZ或X=----------,&GZ,

4COCD

JiTTJIL

所以/U）的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为一，所以——=-,解得①二2,所

2①2①4

以/（x）=2sin（2x+0）—血，所以於）的周期丁=$=乃，当]十楙5时,

2%+0£（一九+夕,乃+0），令./U）=0,即sin（2x+°）=#，又0〈勿〈乃，所以2x+0=?

3-34b」冗①一3几①上兀卬371cp兀271,

或2x+0=—，所以x=-----或工=-------，由-------1-------=一得g=—,所以

48282828236

〃x）=2sin（2x+5]-夜，=l-夜，A项正确；由一看＜工＜看，得

JTTTTT\7T7T\

——＜2x+-＜-,所以危）在区间一一，一内单调递增，B项正确；

662V66/

R=—6—$—近，所以Xx）的图像不关于点（一患，一血）对称，C项错误;

/（展）=6—0*±2—&,所以1x）的图像不关于直线x=展对称，D项错误.故选

AB项.

1_£

12.ABD解析：由题意得尸（0,§}B（4,q,所以怎B=，2=1，以整理得p2+

6p-16=0,又p>0,解得p=2,所以C的方程为f=4y,A项正确；准线方程为产一1,B（4,

4）,F（0,1）,直线人的方程为y=5x+l,与联立解得k一1或产4,所以,

则|AB|=J（4+iy+（4—；）=V，B项正确；设点M

由题意知加W±1且m

W±4,所以直线MA:y—；m+4nr.m+41

，即E\-------I

4m-\\m-l

m+44m-4,4m-4

所|以|NE|同理可得。-----7~，一1|ND|=所以

m-\机+4Jm+4

4m-4m+4

4,D项正确；当m=2时，E(-6,-I),D,所

m+4m-\

以|AE|=之乎，忸=则|8O|>|AE|,C项错误.

故选ABD项.

三、填空题

13.,解析：由log53=-得户总

21og35=log325,则

5x

X3,__3

yX27~2=3喝25x3-1°s，■=25x25^=25Ll

5

14.4（答案不唯一）解析：

n-7r

的展开式的通项公式为1句=c；（板）“'二C：X3,取〃=4,r=\,得

T2=C'4X-'=^-,可得(x-五)［取+")的展开式的常数项为x・g=4,所以〃的一

个值可以是4.

15.9解析:由题知=2,则/％,+1=2X2"T=2",所以氏+0+2=2"]所以&垃=2,

«„

所以数列｛4,1｝是以I为首项，2为公比的等比数列，数列｛/“｝是以2为首项，2为公比

的等比数列，则

1-2,,+12x(1—2"),

),+

^2n+l=(«1+«3++a2n+i)+(a2+a4++a2n=---+―--=2-3，

1~Z1—Z

。=2X2"T=2",那么邑包±2=拜1二1=1一_因为邑用+2>±j_w

n+2

'4a2n4x2"24a2“x

x—1X-]

(0,2023］恒成立，则只需1一击〉I即可，令/(%)=——，则兀V)在区间(0,2023]

XmaxX

2022,12022

上单调递增，所以/(x)cc,所以1.....-y>-----即------<-----,即

a\/max20232"+220232"+22023

2n+2>2023,解得〃29,又nwN*,所以”的最小值为9.

16.与理解析：如图，把此六面体补成正方体，连接AH,AC,

由题可知A”〃BG,

165

所以/AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角，在△AHC中，AH=d学+不=5,

CH=Vl2+42+42=而AC=4血则

c°sNAHC=W+C"=3=25+33^=.

2xAHxCH2x5xv33165

17.解：(1)因为q=20,且20—3义6=2>0,20-3X7=-l<0,

所以当"W7时，an+]=an-3,

此时｛%｝是以20为首项，―3为公差的等差数列，则a“=20—3x(〃一l)=23—3〃；

当"28时，q=&-3|=|2-3|=1,cig=|t?g-3|=|1-3|=2,q。-3|=|2-3|=1,

%=%—3|=|1—3|=2,…，可得数列｛4｝是个摆动数列，则4=3+(7一

23-3几〃<7,

综上,%=3+(一厂

---------,/IriO.

I2

⑵当…

□、l浦…皿,cc1〃-7_n-1__3〃-213〃+133

当〃28,且〃为奇数时，5=5+1x----i-2x----=77H-------=-------

"72222

当〃》8,且〃为偶数时，S”=“+%=3(〃—?+133+]=3〃；32

3—265+(-广

所以S,,

~24

43〃-3〃2

,n<7,

2

综上,S“=,

3〃,65+(-1广

,«>8.

I24

18.解：(1)在AAB。中，因为=D4=2,ZDAB=60°,由余弦定理得

(73)2=22+AB2-2x2xABcos60°,解得AB=1,由+。百=加2,得ABLDB,

此时已△COBgRtAABD,可得NABC=120°.

在△ABC中，AB=\,BC=2,由余弦定理得AC?=『十？2一以2xcosl20°=7,解得

AC=@,所以cosZACB=2-+7一4=地

2x2xj714

IT

(2)设NAQB二仇由题意可知0＜。＜一,

2

在△A8O中，由余弦定理得AB?=2?+(6)--2x2x8cos6=7-4百cos。，在△4CZ)

中，Z.ADC=0+^,由余弦定理得AC?=2?+1?—2x2x1xcos[e+/)=5+4sin。，

所以++=7—4月cos9+5+4sin9+22=16+8sin|。一g),

因为0<e(巴，所以—工<。—生<生，<sinf<9-->|<-,

23362L3)2

所以AB2+BC2+AC2的取值范围是(16-46,20).

19.解：(1)设A小区方案一满意度平均分为则7=(45X0.006+55X0.014+65X0.018

+75X0.032+85X0.020+95X0.010)X10=72.6,

设B小区方案二满意度平均分为y,则>=(45X0.005+55X0.005+65X0.010+75X0.040

+85X0.030+95X0.010)Xl0=76.5,

因为72.6V76.5,

所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.

(2)因为前4组的频率之和为0.06+因为+0.18+0.32=0.7<0.8,

前5组的频率之和为0.06+0.14+0.18+0.32+0.2=0.9>0.8,所以第80百分位数在第5组，

设第80百分位数为x,则0.7+(x—80)X0.020=0.8,解得x=85,所以A小区满意度得分的

第80百分位数为85分.

(3)由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为0.8,低于70分的频率为0.2,现

从B小区内随机抽取5个人，则X〜X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,

p(X=0)=C;

3125

P(X=1)=

32

P(X=2)=C；

625

4128

P(X=3)=C：

5625

4?1_256

p(X=4)=C；

5-625

P"）=喂已黑

X的分布列为

X01234

P

31256256256253125

4

由二项分布知E（X）=5x§=4.

PN'PA

20.(1)证明：连接A尸交PC于点N,因为Q4〃C产，PA=2CF,所以•--=——=2,

N'CCF

又PN=2NC,则点M与点N重合，所以AN=2NF,

同理，连接AE交QB于点M,得AM=2ME,所以MN〃EF,

又MN(Z平面PEF,EFu平面PEF,所以MN//平面PEF.

(2)解：由题意可知PE==V22+32=V13,

EF^\BC2+^CF^=收+4=6,

在△PEF中，

PF2=PE2+EF2-2PExEFxcosZPEF=13+5-2x713x75x^^=12,

（\丫

AC2=PF2-\-PA=8,所以所以以B为坐标原点，BC,

（2）

BA,8E所在的直线分别为居》z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

p

Tx

B

所以P(0,2,4),E(0,0,1),尸(2,0,2),C(2,0,0),PC=(2,—2,-4),EF=(2,0,1),

EFn=2x+z=0,

EP=(0,2,3),设平面PEF的法向量为“=(x,y,z),则不妨取x=l,

EPn=2y+3z=0,

则产3,z=-2,即〃=(1,3,—2),设直线PC与平面PEF所成的角为仇

PC〃_|2xl+(-2)x3+(-4)x(-2)1_4_叵

sin®=cos(PC-n)=PC||〃百+(—2)+(-4)2+3；+(_2)2276x71421

V21

所以直线PC与平面PEF所成角的正弦值为"

21

a2+b2=l,

21.解：(1)由题意知，］)l又解得a=2,b=V3,c=l,所以C的

——=—瓜

22

方程为工+二=1.

43

(2)由题得F(1,0),当直线/的斜率不为0时，设直线/的方程为4叫+1,P(xi，y1)