衡水某中学高三文数八模考试试卷

衡水一中高三文数八模考试试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、选择题(共11题，共55分)

π

1、已知函数f(x)=2sitι(ωx+φ)(0<φ<2)与y轴的交点为(0,1),且图象上两对称轴之间的最小

π

距离为2,则使f(%+t)-∕(-χ+1)=°成立的Itl的最小值为()

π

A.6

π

B.ɜ

0.

2TT

D.T

【考点】

【答案】A

1

【解析】由题意：函数千(X)与y轴的交点为(0,D,可得：1=2sinQ,sinφ=2,

nπ

,

∙.O<Φ<2,.∙.Φ=6j

两对称轴之间的最小距离为可得周期T=n,解得：ω=2.

所以：f(×)=2sin(2×+),

⅛f(×+t)-f(-x+t)=0,

可得：函数图象关于χ=t对称.求ItI的最小值即可是求对称轴的最小值，

n

Vf(x)=2sin(2x+)的对称轴方程为：2x+=2+kπ(k∈Z),

可得：X=时最小，

故答案为:A.

由题意函数与y轴的交点为(0,1),可得sinφ的值，解出φ,根据两对称轴的最小距离得出周期，

解得ω,从而得到f(x)的解析式，由f(x+t)-f(-χ+t)=0,可得函数关于x=t对称，可得最小值.

5

2、在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在X轴上，实轴长为8,离心率为1,则它的渐近

线的方程为()

4

A7=土尹

B.)'=±

9

Cy=±16x

3

+4x

d.y=

【考点】

【答案】D

b5c3

【解析】渐近线的方程为=土？，而彳=Na=8=>α=4,b=3因此渐近线的方程为Y=±4x,

选D.根据实轴长得出a=4,由离心率得到c=5,从而解得b=3,不难得出渐近线的方程.

o

3、已知三棱锥S—48C外接球的表面积为32",∆ABC=90t三棱锥的三视图如图所示，则其侧视图

的面积的最大值为（）

∣.1—∙∣.4—1二

正（主刑用1H（左）网图

-------h（：

B

A.4

B.4也

C.8

D.4r

【考点】

【答案】A

【解析】由外接球的表面积，可知三棱锥外接球半径r=2也；据三视图可得SCJ.平面力BC,取S4的

中点°,可证为外接球的球心，且为外接球的直径且S'=城，所以SC=4.侧视图的高为，侧视图的

底等于底面△力BC的斜边4C上的高，设为α,则求侧视图的面积的最大值转化为求的最大值，当中点,

与BD与的垂足重合时，α=2有最大值，即三棱锥的侧视图的面积的最大值为B'4X2=4.

故答案为：A.

根据外接球的表面积得出外接球半径，由三视图不难得出SCjL面ABC,取SA的中点0,可证0为外接

球的球心，则SA为外接球直径，根据勾股定理得出SC,设底面ABC的斜边AC的高为a,则求出a的最大

值即可得到侧视图面积的最大值.

4、如图，函数f(x)的图象为折线.SC,则不等式f(x)≥xe'的解集是()

A,[-3>°]

B.[-3-l]

C.[-3,2]

D.[-∞^l]

【考点】

【答案】B

【解析】构造函数g(χ)=χe∖9⅛)=(χ+1)滔故。(吗,(一8,-1)1,(-1,+∞)↑

9(%)的图像可以画在以上坐标系中，由图像知只要保证f(χ)在上方即可；f(χ)=g(χ)在(°，+8)

上有交点(IQ),故得到答案为：[一31]。

所以答案是：Bo

【考点精析】根据题目的已知条件，利用简单复合函数的导数的相关知识可以得到问题的答案，需要

掌握复合函数求导：均和“∙g(x),称则〉可以表示成为X的函数,即>=∕S<x))为一个复合函数

y=∕,(⅛<χ))≡^(χ),

5、如图所示，长方体'B'"-"1'1CIDl中，AB=AD=I,AAI=低面对角线BlDI上存在一点P使得

名尸+尸■短，则的最小值为()

D.2

【考点】

【答案】A

【解析】把对角面及面"1BIDl展开，使矩形BDDIB1,直角三角形0141口1在一个平面上，则

&P+PB的最小值为41B,在三角形4/也中，

ππ3πK

∆A1BiB=乙4]BIDl+LD1B1B=4+彳=丁/iBl=1，8/=W由余弦定理得

A∖B=^jl2+(√5^)2-2×1×^∑cos-γ=在

故答案为：A将对角面BDl及面AIBIDl展开，使矩形BDDIB1,直角三角形DIAIBl在一个平面上,

在三角形A1B1B中使用余弦定理可求得A1B的大小.

包

6、若Z=1+2i,则7—1()

A.1

B.-1

C.i

D.-i

【考点】

【答案】C

4i4i.

-~=(1+2ι)(l-2i)-l=1

【解析】"-I,所以答案是：C.

7、在△4BC中，三个内角”，B,C的对边分别为α,匕，c,若的面积为S,且4S=(α+旷］，

则Sina+G等于()

A.1

*

B.~~2^

£

e.ɪ

D.^2^

【考点】

【答案】C

ɪ..M+b2-C2

［解析］a

^=2bsιnC,cosC=2ab

222

,-,2S=absinC,a+b-c=2abcosC，

代入已知等式得：4S=(α+h)2-c2=fi2+b2-c2+2ab,即

2absinC=2abcosC+2abJ

<ab≠0,.∙.SEC=C°SC+1,

22

•"∙sinC+cosC=91

∙∙.(COSC+I)2+COS2C=1,解得：CoSC=-I(不合题意,舍去)，cosC=0,

■■si∩C-1j

,nJ2

则Sln(I+G=T(SmC+cosC)=y

所以答案是：C.

【考点精析】关于本题考查的余弦定理的定义，需要了解余弦定

2332123

理：ɑ?=b+c-IbcccsA；⅛3=c+α-2cacos5;c=β+6-ZaicosC才能得出正确答案.

8、规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的

三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，

称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的°=89I,则输出的八为()

∕¾⅜⅛√

［结'束）

A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】

【答案】C

【解析】由题意知：输入的Q=891,则程序运行如下：

当几=1时，m=981,t=189,a=792,

当几=2时，m=972,t=279,a=693,

当几=3时，m=963,t=369,a=594,

当rɪ=4时，m=954,t=459,α=495,

此时程序结束，输出，故答案为：c.

读程序框图，模拟运行可得输出结果.

9、等比数列｛斯｝中，5=2/8=4,函数f(%)=%(AaI)(X_。2)…(工一。8),贝/(0)=()

96

A.2

9

B.?Z

12

C.92

15

D.9Z

【考点】I【考点】

【答案】A

110.2

3logι3

2>1>3(7)>0>I

【解析】V2,.a<b<cι故答案为：A由指数，对数的运算，即可得出

相互的大小关系.

11、4力BC的外接圆的圆心为。，半径为1,2'。=/B+4C,且|。*=MB],则向量S在向量CB

方向上的投影为()

1

A.2

3

B.~2

1

C.^2

3

D.2

【考点】

【答案】D

4

【解析】由题意可得：GB—4°)+G4C-∕°)=0,即：OB+OC=O1OB=-OC

即外接圆的圆心°为边BC的中点，则△ABc是以BC为斜边的直角三角形

结合|。*=MBl=I有=*∣C*=口

则向量CA在向量CB方向上的投影为C'∣c°sj="XT=2,

故答案为：D.

由题意可得°B+°C=°,即外接圆的圆心。为BC的中点，AABC是以BC为斜边的直角三角形,

从而得到NACB,不难得出答案.

二、填空题(共4题，共20分)

_2nπ$2021_

12、已知数歹/册｝的通项公式为°n="'OS彳，前八项和为S”，则砺=.

【考点】

【答案】1011

【解析】根据题意得到，将n赋值分别得到°】=°,fl2=-4,。3=°，。4=16

=°，。6=-36以7=0,∏g=64ɑə=θ,ɑɪŋ=—100,a”=0,π∣2=144

将四个数看成是一组，每一组的和分别为：12,28,44……..

可知每四组的和为等差数列，公差为16.前2021项公525组，再加最后一项为0.故前2021项和为

505×504

(505×12÷^~2—×16)÷2020=1011.

故答案为：1011.

根据an的通项公式，将n赋值可得到a1,a2,a3•••,将四个数看成是一组，每一组的和分别

为：12,28,44……,不难求出S2020,S2021,即可得出其比值大小.

12

13、已知抛物线与圆C：(xT)2+6-2)2=7-2(τ>0)有公共点P,若抛物线在点处的切线与

圆C也相切，则r=.

【考点】

【答案】√2

【解析】设点P(xθ,4χ0),则由χ2=4y,求导y'=2χ,

.∙.抛物线在P点处的切线的斜率为k=xθ,

圆(×-1)2+(y-2)2=r2(r>0)的圆心的坐标为C(1,2),

也

ΛkPC=∙ro-l,

.∖kPC∙k=∙xO=-1,解得：xθ=2

.,.P(2,1),

∙,∙f—IPC|―,

设公共点P的坐标为(xo,×02),对抛物线求导，表示出在P点处的斜率K,由于抛物线在P点处的

切线与圆C也相切，则KPC∙K=T,可求得xθ=2,将P点坐标代入圆C的方程可得r的大小.

14、我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25

人，现在需要各班按男、女生分层抽取20%的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是.

【考点】

【答案】11

【解析】甲班有男生30人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男生分层抽取20%的学生，故

有30X20%+25X20%=6+5=11

所以答案是：11.

【考点精析】根据题目的已知条件，利用分层抽样的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握先将总

体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次

中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本.

y≤X

{x+y≤1

15、已知实数x，y满足y≥-l,则目标函数Z=2x-y的最大值为.

【考点】

【答案】5

y≤x

（x+y≤l

【解析】由约束条件y≥-ι作出可行域如图,

化目标函数z=2x-y为y=2x-z,由图可知，当直线y=2x-z过A时，

直线在y轴上的截距最小，Z有最大值为5.

所以答案是：5.

【考点精析】掌握二元一次不等式（组）所表示的平面区域是解答本题的根本，需要知道不等式组表

示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部.

三、解答题（共7题，共35分）

16、交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）

统一为。元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联

系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：

某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同

型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（I）求一辆普通6

座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率；（口）某二手车销售商专门销售

这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损

5000元，一辆非事故车盈利IOooO元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：

①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰

好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利

的平均值.

【考点】

15+5_1

【答案】解：（I）一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为：P=』一

（H）①由统计数据可知，该销售商店内的三辆该品牌的车龄已满三年的二手车有一辆事故车，设为

b1,另外两辆非事故车设为a1,a2,从三辆车中挑选两辆为（a1,a2）,（a1,b1）（a2,b1）,

2

总共3种情况，其中两辆车恰好有一辆为事故车的概率为手.

②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车

80辆，所以一辆车盈利平均值为由K-5000）×40+10000X80]=5000元

【解析】（1）利用等可能事件概率计算公式，求出一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保

费的频率，（2）①根据统计数据，将三辆该品牌的车龄已满三年的二手车有一辆为事故车，设为b1,另

外两辆非事故车设为a1,a2,使用列举法即可得出两辆车恰好有一辆为事故车的概率，②由统计数据

可知，购进120辆车，有事故车40辆，非事故车80辆，由此即可求出一辆车盈利的平均值.

17、已知/O）=归一。2|+∣χ+2α+3∣.

⑴证明：f(%)≥2■,

(2)若，(一R<3,求实数。的取值范围.

【考点】

【答案】

22

(1)证明：因为f(x)=∖x-a∖+∣x+2α+3∣≥∣x÷2α+3-x÷α∣ι

而IX+2a+3—%+∖=∣a2+2a+3∣=(a+1)~+2≥2,

所以f(x)之2.

93

∕,(-⅛33a+2a+3,a≥一不

a2+2+∣2a+2∣=(23

(i—2a,aV-彳.

(2)解:因为

33

{a≥一不{a<一彳，

所以Q“+2a+3V3,或a?—2aV3,

解得一l<a<0,所以0的取值范围是（一1，°）

【解析】（1）根据绝对值不等式Ial+Ibl≥lɑ-川即可证明，（2）表示出一分,脱掉绝对值，用分

段函数表示，即可解出a的取值范围.

18、如图，底面为等腰梯形的四棱锥ETBCD中，E4_L平面/!BCD,F为”的中点，ABlICD,

AB=2CDy/-ABC=I

⑴证明：DF〃平面EBq

(2)若4E=GB=2,求三棱锥E-BCF的体积

【考点】

【答案】

(1)证明：取EB的中点G,连接FG,CGt因为F为E4的中点，

所以FG=

1

又因为8=2叫CD,

所以四边形DFGC是平行四边形，

所以DF//CG,又DF,平面EBC,CGU平面，

所以DF〃平面.

1

(2)解：等腰梯形"SCD中，作CH_148于“，则8"=2,在Rt/BHC中，乙力BC=60°,则

CH=^taneoo=ɪ,即点C到的距离日=号，又E/_L平面，CHU平面，所以CH_LE71,

又AB∩EA=A.∙.CHɪ平面4BE

111FF

二三棱锥E-BCF的体积I/E-BCF=vC-BEF=3's∆BEF'=3'⅛×ɪ×2)'T=6^

【解析】⑴取EB的中点G,连接FG,CG,由中位线性质不难得到DFGC为平行四边形，故DF

//CG,又DFa平面EBC,CGU平面EBC,所以平面.(2)等腰梯形ABCD中，作CHLAB

于H,求出点B到CD的距离，即可求出三棱锥B-CDE的体积.

19、已知函数O=αsm(产)cα>0)在同一半周期内的图象过点。，p,Q,其中为坐标原点，为

函数f(χ)图象的最高点，为函数的图象与X轴的正半轴的交点，△°PQ为等腰直角三角形.

（1）求α的值；

n3

（2）将绕原点按逆时针方向旋转角"（°"二α<彳），得到△。履fl,若点pl’恰好落在曲线y=7

（X>0）上（如图所示），试判断点Q,是否也落在曲线（）上，并说明理由.

【考点】

【答案】

T2"8

（1）解：因为函数/（'）=。565'"）（。>°）的最小正周期3,所以函数T（X）的半周

期为4,

所以QQI=4,即有Q坐标为（4,0）,

又因为P为函数图象的最高点，所以点的坐标为（2，«）.

|。Ql

又因为△°PQ为等腰直角三角形，所以°=亍=2

,=3

（2）解：点Q不落在曲线Y（X>0）上，理由如下：

由⑴知，∣°Pl=2涡，

所以点的坐标分别为（2而。s（α+g）,2依皿α+》），（4cosα,4sina）.

因为点在曲线（）上，所以3=8c”（α+%in（α+》=4sin（2a+；）=4cos2α,即

3π.c"

cos2a=T-O<α<ɔ.sιn2a=ɪ

3又乙、所ct以llY.

又48Sa∙4sina=8sin2α=8X92"≠3所以点不落在曲线（）上

【解析】（1）根据函数f（×）的解析式可得出其最小正周期为8,即半周期为4,故Q点的坐标为（4,0）,

P为最高点，解等腰直角三角形后可得P点坐标为（2,2）；（2）由（1）知，OP,OQ的大小，设出P',

Q'的坐标，根据点P'在曲线上得出等式，由三角恒等变换可sin2α,将Q'的坐标代入曲线方程,

明显不满足.

20、在直角坐标系中，以原点为极点，X轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线1的

极坐标方程为P0°s("+，)=3,曲线C的极坐标方程为P=4acosθ(a>0)

(D设亡为参数，若"=-2α+/，求直线的参数方程；

(2)已知直线与曲线交于PQ设M(O,一2病，且∣PQ∣2=∣MP∣∣MQ∣,求实数。的值.

【考点】

【答案】

(1)解：直线]的极坐标方程为PC°s("+手)=3

1cF.C1J3-

所以疥OSe一至PSIne=3,即产一Ty=ɜ

因为t为参数，若丫=-2我+/，代入上式得X=%,

X=鸟

{2^t

所以直线的参数方程为y=-26+/(为参数)

(2)解：由p=4αcosd(α>°),得p2=4αpcosJ(α>0)

由X=ρcosθ,y=psinJ代入，得/+)心=4αx(α>0)

将直线的参数方程与C的直角坐标方程联立

得F—20(1+ɑ)t+12=0(*)

Δ=[2Λ∣∕3(1+a)]2-4×12=(1+Q)"—4>0

G+=2-∖∕3(l+a),t[b=12

9

设点PQ分别对应参数仆工2恰为上述方程的根

则IMPl=t[,∣MQ∣=t》|PQ|=11一切,

由题设得LT2产=Gb,

则有[2弗"(1+a)]2—60=0,得a=∙∖∣5-1或a=—Λ∕5^-1

因为a>°,所以.

pcos(θ+7)=34-：

【解析】(1)直线I的极坐标方程为13),利用互化公式可得直角坐标方程：2A

设t为参数，即可得出直线I的参数方程，(I(2)设圆。与X轴的负半轴的交点为力，过点作两条斜

率分别为灯上2的直线交圆于B,C两点，且k也=-3,试证明直线BC恒过一定点，并求出该定点的坐

标.

【考点】

【答案】

15

(1)解：由题意知，圆心°到直线3%―4y+15=°的距离”=Fm=3=r,

所以圆°:χ2+3,2=9.

又圆心到直线1：y=_2x+5的距离C]_涓+]',

所以IMNl=2户W=4

(2)解：易知外-3,0),设B(M,力)。。2必)，则直线'Bj=勺(》+3),

kχ3

y=2(+)

由χ2+y2=9,得(好+I)X2+6kγX+9k：-9=0

9好一9-3kj+3

所以一年+1,即“一好+1,

3-3桶6kl

所以'Q+IM+1.

U-LL

由Ai⅛i=-3得人2-为将F代替上面的好，

3kj-27-18⅛ι

同理可得"好+9'好+9),

6勺叫

对+1+吊+94k1

BC-3-3g3及-27_3-好

6/4kɪ3-3好

从而直线"y跖+1一或X"飞+J.

4k1,3-3年9-3桶、

即‘-3-；2ki+l^l^2(ki+l)),

4λl3

化简得y=用("+»

所以直线BC恒过一定点，该定点为(一手°).

【解析】G)由圆心到直线的距离等于半径，求得尸3,根据弦长的计算得出MN,(2)设出B,C两点坐

标，得出直线AB方程，与圆的方程联立，边长出直线BC的方程，化简得出Be恒过定点.

22、已知函数f(x)=ke'-X2(其中kWR,e是自然对数的底数)

(1)若k=2,当x∈(O,+8)时，试比较/(X)与2的大小;

xx1

(2)若函数有两个极值点X"2(4<2)ι求k的取