复变函数课件6-习题

复变函数课件6-习题复数与复变函数复变函数的极限与连续性导数与微分积分与全纯函数幂级数与泰勒级数复变函数的积分公式与全纯函数的空间复数与复变函数01由实部和虚部构成的数，表示为$z=a+bi$，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。复数复平面，实轴和虚轴构成的二维平面，每一个复数在复平面上对应一个点。复数的几何意义复数的概念表示复数的大小，定义为$sqrt{a^2+b^2}$。复数的模共轭复数复数的四则运算实部相同，虚部相反的复数，表示为$z^*=a-bi$。加法、减法、乘法和除法。030201复数的几何意义定义域函数值单值函数多值函数复变函数的概念01020304函数自变量的取值范围。函数因变量的取值。在定义域内对应唯一一个函数值的函数。在定义域内对应多个函数值的函数。复变函数的极限与连续性02复变函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数值的趋近方式。极限的定义与实数函数的极限性质类似，包括极限的唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。极限的性质当自变量趋于无穷远时，复变函数也可能有极限。无穷远点的极限复变函数的极限连续性的性质包括零点定理、介值定理等。连续函数的图像性质连续函数的图像是处处连续的曲线。连续性的定义如果复变函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。复变函数的连续性

复变函数的可微性可微性的定义如果复变函数在某一点处的导数存在，则函数在该点可微。可微的性质包括导数的线性性质、导数的几何意义等。可微函数的图像性质可微函数的图像是处处光滑的曲线。导数与微分03导数是函数在某一点的变化率的量度，表示函数在该点附近的小范围内变化的情况。导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则、链式法则等，这些性质在研究函数的单调性、极值等问题时具有重要的作用。导数的定义与性质导数的性质导数的定义切线斜率导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率。如果函数在某一点的导数大于零，则函数在该点附近单调递增；如果导数小于零，则函数在该点附近单调递减。单调性导数的符号决定了函数的单调性。如果函数在某区间内可导，且导数大于零，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间内单调递减。导数的几何意义高阶导数的定义高阶导数是函数的一阶导数的导数，表示函数在某一点附近更精细的变化情况。高阶导数的应用高阶导数在研究函数的极值、拐点、泰勒展开等问题时具有重要的作用。同时，高阶导数还可以用于求解一些复杂的微分方程。高阶导数积分与全纯函数04复变函数的积分定义为对复平面上的曲线进行分割，并求各小段上的线段函数值的乘积加上被积函数的常数部分。定义复变函数的积分具有线性性质、可加性、积分区间可加性等基本性质。性质积分的定义与性质柯西积分公式内容柯西积分公式是复变函数中的一个重要公式，它表示一个全纯函数的积分与其内部点处的值之间的关系。应用柯西积分公式在解决全纯函数的值和性质的问题中具有广泛的应用，如求解全纯函数的值、证明全纯函数的性质等。全纯函数是指在其定义域内处处解析的复变函数。定义全纯函数具有一些重要的性质，如具有导数、可微分、可微分的极限存在等。全纯函数在复分析中具有广泛的应用，如求解全纯函数的值、证明全纯函数的性质等。性质全纯函数的概念幂级数与泰勒级数05幂级数是一种无穷级数，其中每一项都是一个非零常数与一个幂的乘积。幂级数的定义幂级数在复平面上的收敛域是一个或多个开圆盘。收敛性幂级数在复平面上的收敛点集是它的定义域，且在收敛域内是连续的。性质幂级数的概念与性质展开式泰勒级数的每一项都可以表示为一个函数的幂的无穷和。泰勒级数的定义泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它在复平面上的收敛域是全域。性质泰勒级数在全域内是连续的，且可以用来逼近任何复平面上的连续函数。泰勒级数的概念与性质洛朗兹级数是泰勒级数的一种扩展，它允许在复平面上有多个奇点。洛朗兹级数的定义洛朗兹级数的奇点是使得级数发散的点，这些点通常位于复平面的边界上。奇点洛朗兹级数可以用来逼近复平面上的连续函数，特别是那些在某些点上具有奇性的函数。应用洛朗兹级数复变函数的积分公式与全纯函数的空间06柯西积分公式与解析函数的性质如果函数f(z)在简单闭曲线C的内部是解析的，那么对于C内的任意一点z，函数f(z)沿C的线积分等于f(z0)的值乘以2πi，其中z0是C上的任意一点。柯西积分公式如果函数f(z)在某个区域D内是解析的，那么f(z)在D内是连续可微的，且其导数不为零。解析函数的性质全纯函数的积分公式如果函数f(z)在区域D内是全纯的，那么对于D内的任意一条简单闭曲线C，有∫zf'(z)/f(z)dz=2πi*C_n，其中C_n表示C的法向量。全纯空间的概念全纯空间是指由全纯函数构成的线性空间，具有一些特殊的性质，如全纯函数的线性组合、数乘和复合运算都是全纯的。全纯函数的积分公式与全纯空间的概念解析函数的边界性质如