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文档简介

§6.6子空间的交与和一、子空间的交二、子空间的和三、子空间交与和的有关性质也为V的子空间，设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合

一、子空间的交1、定义任取

则有

同时有

故为V的子空间.

事实上，

称之为V1与V2的交空间.显然有,2、推广

多个子空间的交为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称为的交空间.

二、子空间的和1、定义其中，则有

设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合

也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.任取设

事实上，显然有,2、推广

多个子空间的和

为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称为的和空间.

V的两子空间的并集未必为V的子空间.例如

注意：皆为R3的子空间，但是它们的并集

并不是R3的子空间.因为它对R3的运算不封闭，如但是三、子空间的交与和的有关性质2、设为线性空间V的子空间，则以下三

1、设

为线性空间V的子空间

1）若则

2）若则

条件等价:3、为线性空间V中两组向量，则4、维数公式

（定理7）设为线性空间V的两个子空间，则或注：从维数公式中可以看到，子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小.

例如，在R3中，设子空间其中，但，则，由此还可得到，推论：设为

n

维线性空间V的两个子空间，若，则必含非零的公共向量.即中必含有非零向量.证：由维数公式有又是V的子空间，∴若则故中含有非零向量.①

与②的解空间，则就是齐次线性方程组③

例1、在中，用分别表示齐次线性方程组③

的解空间.

证：设方程组①,②,③分别为

即

设W为③的解空间，任取，有从而

反之，任

取，则有

从而

故例2、在中，设1）求

的维数的与一组基；

2）求

的维数的与一组基.

例3、在中，令

求及易知，皆为

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