解答题（中档题）-四川省凉山州五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编（共20题）

05解答题-四川省凉山州五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编

一、全等三角形的判定与性质（共1小题）

1.（2021•凉山州）如图，在四边形4时中，NADC=/B=9G：过点，作〃上1四于£,若DE=BE.

（1）求证：DA=DC-,

（2）连接然交比,于点凡若//〃£=30°,AD=6,求好的长.

二、三角形综合题（共1小题）

2.（2020•凉山州）如图，点只。分别是等边△♦比边四、比上的动点（端点除外），点R点0以相

同的速度，同时从点4、点△出发.

（1）如图1,连接力0、CP.求证：△ABgXCAP：

（2）如图1,当点只0分别在血、边上运动时，40、h相交于点材，NQ必的大小是否变化？若变化，

请说明理由；若不变，求出它的度数；

（3）如图2,当点P、Q在AB、的延长线上运动时，直线/。、"相交于机/Q/的大小是否变化？若

变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.

图1图2

三、菱形的判定与性质（共1小题）

3.（2022•凉山州）在Rta?18C中，/刈£90°,。是比的中点，6是的中点，过点4作"'〃比•交

四的延长线于点长

（1）求证：四边形AM*'是菱形；

（2）若48=8,菱形/两的面积为40.求"1的长.

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E

BD

四、正方形的性质（共1小题）

4.（2019•凉山州）如图，正方形48（力的对角线4C、即相交于点。，£是必上一点，连接龙.过点/

作4ALL8E,垂足为M,4〃与外相交于点片求证：OE=OE

五、三角形的外接圆与外心（共1小题）

5.（2020•凉山州）如图，。。的半径为凡其内接锐角三角形/8C中，N4、ZB、NC所对的边分别是

a、b、c.

(1)求证：一5—=—旦—=―^—=27?；

sin/Asin/Bsin/C

(2)若N4=60°,N£45°,BC=AM，利用(1)的结论求M的长和sin/6的值.

六、切线的判定与性质（共4小题）

6.（2021•凉山州）如图，在Rt^/ia1中，NQ90°,超平分N的C交比1于点区点〃在四上，DEL

AE,。。是口△/龙的外接圆，交"于点尸.

（1）求证：比'是。。的切线；

（2）若。。的半径为5,AC=8,求.SAB附

7.（2020•凉山州）如图，四是半圆4g的直径，。是半圆上的一点，A9平分/的。交半圆于点〃过点

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〃作DHLAC与47的延长线交于点II.

(1)求证：ZW是半圆的切线；

(2)若DH=2近,sin/的4近_,求半圆的直径.

3

8.(2019•凉山州)如图，点〃是以为直径的。。上一点，过点6作。。的切线，交/〃的延长线于点

C,£,是比的中点，连接应•并延长与16的延长线交于点凡

(1)求证：如是。。的切线；

(2)若OB=BF,EF=4,求的长.

9.(2018•凉山州)已知：△45C内接于4?是。。的直径，作用，熊于〃，交BC千F,延长密交

直线,欣7于〃，且NJO=N8,求证：

(1)，必是00的切线；

(2)不是等腰三角形.

七、圆的综合题(共1小题)

10.(2022•凉山州)如图，已知半径为5的。"经过x轴上一点C,与y轴交于1、6两点，连接4伏〃;

4c平分N3也AO^CO=<o.

(1)判断。"与x轴的位置关系，并说明理由；

(2)求48的长；

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（3）连接6V并延长交于点。，连接切，求直线切的解析式.

八、翻折变换（折叠问题）（共1小题）

11.（2018•凉山州）在口/腼中，£、尸分别是40、%上的点，将平行四边形/版沿访所在直线翻折,

使点6与点〃重合，且点/落在点H处.

（1）求证：EgfXCFD：

（2）连接应；若NEBF=60°,EF=3,求四边形的面积.

12.（2019•凉山州）如图，AABD=ABCD=^°,DB①分乙ADC,过点B作BM〃CD交的于M.连接

交加于北

（1）求证：BI^=A1ACD；

(2)若5=6,AD=8,求g的长.

D

十、相似三角形的应用（共1小题）

13.（2020•凉山州）如图，一块材料的形状是锐角三角形49C,边BC=120mm,高AD=8Qmm,把它加工成

正方形零件，使正方形的一边在8c上，其余两个顶点分别在被AC1.,这个正方形零件的边长是多少？

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十一、解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）

14.（2022•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，

塔尖恰好落在坡面上的点8处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现

场进行处理，在6处测得以与水平线的夹角为45°,塔基力所在斜坡与水平线的夹角为30°,4、6两点

间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）.

十二、解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

15.（2021•凉山州）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸

大树4?的高度，他在点。处测得大树顶端A的仰角为45°,再从C点出发沿斜坡走201米到达斜坡上D

点，在点〃处测得树顶端/的仰角为30°,若斜坡小'的坡比为了=1：3（点反a8在同一水平线上）.

（1）求王刚同学从点。到点〃的过程中上升的高度；

（2）求大树18的高度（结果保留根号）.

十三、折线统计图（共1小题）

16.（2018•凉山州）西昌市教科知局从2013年起每年对全市所有中学生进行“我最喜欢的阳光大课间活

动”抽样调查（被调查学生每人只能选一项），并将抽样调查的数据绘制成图1、图2两幅统计图，根据统

计图提供的信息解答下列问题：

（1）年抽取的调查人数最少；年抽取的调查人数中男生、女生人数相等；

（2）求图2中“短跑”在扇形图中所占的圆心角a的度数；

（3）2017年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有多少人？

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（4）如果2017年全市共有3.4万名中学生，请你估计我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约

有多少人?

年抽取的学生中我最

每年抽取调竟学生中男、2017

喜欢的阳光大课间”活动情

女学生人数折线图

况扇形统计图

国2

卜四、列表法与树状图法（共4小题）

17.（2022•凉山州）为丰富校园文化生活,发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展.某中学团委组

建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、

舞蹈、书法中选择其中1个社团.某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两

幅不完整的统计图.请根据统计图提供的信息完成下列各题：

（1）该班的总人数为人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；

（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团.如果该班班主

任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美

术社团、1人参加演讲社团的概率.

18.（2021•凉山州）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为

了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办

公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》.为贯彻《通知》

精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所

示的两幅不完整的统计图（其中4表示''一等奖”，6表示“二等奖”，C表示“三等奖”，〃表示“优秀奖”）.

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获奖情况条形统计图获奖情况扇形统计图

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

(1)获奖总人数为人，杆=;

(2)请将条形统计图补充完整；

(3)学校将从获得一等奖的4名同学(其中有一名男生，三名女生)中随机抽取两名参加全市的比赛，

请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.

19.(2020•凉山州)某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20

个班的作品进行评比.在第一批评比中，随机抽取/、8、G〃四个班的征集作品，对其数量进行统计后，

绘制如图两幅不完整的统计图.

(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示。班的扇形的圆心角的度数

为;

(2)补全条形统计图；

(3)第一批评比中，/班〃班各有一件、8班。班各有两件作品获得一等奖.现要在获得一等奖的作品中

随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率.

20.(2019•凉山州)某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下

两幅不完整的统计图.请结合图中相关数据解答下列问题:

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获奖情况条形统计图获奖情况扇形统讨图

X18

16

X

X14

2

X1

0

X1

8

6

4

2

0

(1)参加此次诗词大会预选赛的同学共有人；

(2)在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为；

(3)将条形统计图补充完整；

(4)若获得一等奖的同学中有上来自七年级，工来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等

42

奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一

名七年级和一名九年级同学的概率.

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参考答案与试题解析

一、全等三角形的判定与性质(共1小题)

1.(2021•凉山州)如图，在四边形/功力中，NADC=NB=9Q",过点〃作〃反1股于反若应=质

(1)求证：DA=DC；

(2)连接力。交应于点凡若//应=30°,AD=6f求ZF的长.

【解答】（1）证明：忤DG工BC,交回的延长线于点G,如右图所示,

*：DE1AB,NB=90°,DGLBC,

：.ADEB=AB=ZBGD=90°,

・・・四边形DEBG是矩形,

又‘：DE=BE,

，四边形是正方形，

:.DG=BE,NEDG=90°,

:.DG=DE,/EDC+/CDG=9C,

VZADC=90°,

:./EDC+/ADE=9G0,

:"ADE=4CDG,

在△力鹿和△0%中，

<ZADE=ZCDG

<DE=DG，

ZAED=ZCGD

・•・△力加丝△W6（力弘），

:・DA=DC,・

（2）•・•//庞=30°,AD=6,ZDEA=90°,

・../!夕=3,DE=4\/AD2-AE2=V62-32=3^3，

由（1）知，XADE^/XCDG,四边形龙滋是正方形，

:.DG=DE=&M，AE=CG=3fBE=DG=BG=3M，

：.BC=BG-CG=3愿-3,力月=力4座=3+3%，

■:FELAB,BCLAB,

：.FE//CB,

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:、XAEFSMABC,

•・•—AE二EF…，

ABBC

即§二一EF,

、3+3V3--3V3-3，

解得EF=6-3次，

：.DF=DE-EF=?>^Z-(6-3«)=3百-6+3禽=6«-6,

即加的长是6M-6.

二、三角形综合题(共1小题)

2.(2020•凉山州)如图，点只。分别是等边△4?。边18、比1上的动点(端点除外)，点八点0以相同

的速度，同时从点4点6出发.

(1)如图1,连接力。、CP.求证：XABgXCAP：

(2)如图1,当点只。分别在力氏8c边上运动时，AQ.(T相交于点M,/Q依的大小是否变化？若变化，

请说明理由；若不变，求出它的度数；

(3)如图2,当点只0在/反6c的延长线上运动时，直线四、b相交于MNQ必的大小是否变化？若

变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.

：.ZABQ=ZCAP=Q0°,AB=CA,

又；点20运动速度相同，

：.AP=BQ,

在△力60与中，

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AB=CA

-ZABQ=ZCAP.

AP=BQ

：./\ABQ^/\CAP(SIS)；

(2)点八0在47、比1边上运动的过程中，NQ必不变.

理由：'：XABgXCAP,

：.ABAQ=/LACP,

；/Q%是的外角，

，ZQMC=//华/例C=/BA/NMAC=ABAC

'：ZBAC=^°,

.../Q%=60°；

(3)如图2,点A0在运动到终点后继续在射线4员式1上运动时，/Q必不变

理由：同理可得，XAIig/XCAP,

：.ABAQ=ZACP,

；NQ4是△"!/的外角，

:./QMC=NBASNAPM,

：.ZQMC=ZACP^ZAnf=1800-ZPAC=180a-60°=120°,

即若点只0在运动到终点后继续在射线/山、以上运动，NQ心的度数为120°.

图2

三、菱形的判定与性质(共1小题)

3.(2022•凉山州)在比中，N班C=90°,，是比的中点，6是的中点，过点力作力汽〃比1交

。1的延长线于点F.

(1)求证：四边形力颇是菱形；

(2)若48=8,菱形/〃外的面积为40.求4c的长.

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E

BD

【解答】(1)证明：尸〃8C,

：.ZAFC=ZFCD,/FAE=/CDE,

•••点6是4〃的中点，

：.AE=DE,

:NA眶XCDE(.AAS),

：.AF=CD,

••,点〃是欧的中点，

：.BD=CD,

：.AF=BD,

二四边形加涉是平行四边形，

为890°,〃是重的中点，

：.AD^BD^^BC,

2

二四边形/期'是菱形；

(2)解：：四边形｛戚是菱形，

菱形力谢的面积=2△板的面积，

；点〃是回的中点，

的面积的面积，

...菱形/〃协的面积=△/回的面积=40,

.•1*〃■=40,

2

；.JLX8TC=40,

2

：.AC=\0,

.•JC的长为10.

四、正方形的性质(共1小题)

4.(2019•凉山州)如图，正方形4宽9的对角线4G仍相交于点。，£是"上一点，连接功过点/作

AMVBE,垂足为M4”与劭相交于点?求证：OE=OF.

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D

【解答】证明：•・,四边形力比》是正方形.

:./BOE=/A0F=9G,OB=OA.

又•：AMLBE,

：.乙M4+/MAE=90°=NAF8/MAE,

:・/MEA=NAFO.

:NO的/\AOFQAAS）.

：.OE=OF.

五、三角形的外接圆与外心（共1小题）

5.（2020•凉山州）如图，。。的半径为尤其内接锐角三角形/回中，ZANC所对的边分别是无

b、c.

(1)求证：——J—=——匚一=——J—=2R；

sinNAsin/Bsin/C

(2)若//=60°,/C=45°,BC=WQ,利用(1)的结论求46的长和sinN6的值.

【解答】（1）证明：作直径应；连接四，如图所示:

则N8绥=90°,NE=/A,

sin/4=sinN6=^C=g-,

BE2R

/---2_=2^,

sin/A

同理：_且一:2凡一-2ft

sin/Bsin/C

.•----=_L_=_J_=2R；

sinZ^Asin/Bsin/C

(2)解：由(1)得：吗=_BC一

sinZCsinZA

即卷.=_3*=2匕

sin45sin60

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4yX冬如

:"B=---/=-----=4近，2Q^^=8,

V3V3

2~2~

过8作BHLAC于H,

•：NAHB=4BHC=90°,

：.AH=AB”os6G°

:.AC=AmCH=2（V2+V6）.

.=”=起-2（祀岷）_加岷

…2R84

六、切线的判定与性质（共4小题）

6.（2021•凉山州）如图，在中，/。=90°,〃平分/以。交比■于点反点〃在4?上，〃反L四,

。。是麻△4丹•的外接圆，交〃'于点尸.

（1）求证：8c是（D。的切线；

（2）若。。的半径为5,AC=8,求S&BDE.

【解答】解：（1）连接OE,

'：ZC=9Q°,

...N2+N/£C=90°,

又<OA=OE,

J.Zl^ZOEA,

VZ1=Z2,

ZAEC+ZOEA=W°,

即OEVBC,

；.比是。。的切线；

（2）过点E作EMLAB,垂足为M,

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VZ1=Z2,ZC=ZAED=90°,

：.[\ACE^/\AED,

.AC=AE

"AEAD'

即&_=里

AE10

.•./£=4遥，

由勾股定理得，

CE=A/AE2-AC2=4=EM,

DE='卜/一届=2遥‘

■:/DEB=N\,NB=/B,

:.MBDESMBEA,

.BD_DE^l

,■EAT

设BD=x,则缈=2x,

在Rt△皮应中，由勾股定理得,

。片+跳2=ok

即52+(2A-)2=(5+x),

解得x=独，

3

，宓糜=工陟例/

2

"义4

7.(2020•凉山州)如图，4?是半圆/阳的直径，。是半圆上的一点，"平分/以。交半圆于点。，过点

〃作DHLAC与/C的延长线交于点H.

(1)求证：ZW是半圆的切线;

sin/班占立

(2)若DH=2匹,,求半圆的直径.

3

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H

D

AOB

【解答】(1)证明：连接初，

♦：OA=OD,

:.NDAO=/AI)O,

■:ADN分乙BAC,

：.ZCA/)=ZOA/)f

：.Z.CAD=AADO,

：.AH//OD,

DHLAC,

：.ODLDH,

・・・加是半圆的切线；

(2)解：连接以交0D于E,

•・•四是半圆4加的直径，

/.ZACB=90°,

♦：AD平分/BAC,

：.4CAD=40AD,

•,.CD=BD.

:.ODLBC,

：.AH=AHCE=ZDEC=90°,

・・・四边形6W是矩形，

:.CE=DH=2娓,4DEC=9Q0,

:.OD工BC,

:.BC=2CE=4娓,

•.♦sinNH4C=^=正，

AB3

：.AB=12f

方法二：(1)连接阳，作物1L/3于乱

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H

•.3〃平分/胡G0A=OD,

：.AHAD=ADAO=AODA,

•：DHLAC,

.•.N〃=90°,NHA*NHDA=9G°,

AZODA+Z//DA=Z6!W/=90°,

.•.z®是半圆是切线；

(2)作〃归"力反

平分/胡乙DHLAC,

:.DM=DH=2辰,

'：ZOAD=ZODA=/HAD,

：.0D//AH,

：.ADOH=ZHAB,

.'.sinZBAC=^^-,

3

...sinNNQQ型=遮，

OD3

：.0D=6,49=12,

半圆的直径为12.

即半圆的直径为12.

8.(2019•凉山州)如图，点〃是以及?为直径的O。上一点，过点6作。。的切线，交4〃的延长线于点C,

£是比1的中点，连接膜并延长与D的延长线交于点片

(1)求证：〃尸是。。的切线；

(2)若OB=BF,EF=4,求的长.

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【解答】解：(1)如图，连接切，BD,

丁力夕为。。的直径，

:・4ADB=/BDC=9G0,

在Rt△故。中，YBE=EC,

:.DE=EC=BE,

AZ1=Z3,

:该是。。的切线，

.♦.N3+N4=90°,

・・・N1+N4=9O°,

又・・・/2=N4,

AZ1+Z2=9O°,

・••班为。。的切线；

(2)VOB=BF,

：.0F=20D,

・・・N尸=30°,

•・,/碗=90°,

:.BE=LEF=2,

2

:.DE=BE=2,

:・DF=6,

•・•/A30。,/眦=90°,

：.ZFOD=60°,

•：OD=OA,

:・NA=ZADO=/乙BOD=3G,

:・/A=/F,

：.AD=DF=6.

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9.(2018•凉山州)已知：△力欧内接于。0,4,是。。的直径，作瓦工4?于，，交BC于F,延长曲'交直

线,“C于〃，且NMCA=NB,求证：

(1)比是。。的切线;

(2)△〃0、是等腰三角形.

【解答】证明：(1)连接0。，如图,

・・・朋是。。的直径，

：.ZACB=90°,

即N2+N3=90°,

・：0B=0C,

AZ5=Z3,

而N1=N8

AZ1=Z3,

.\Z1+Z2=9O°,

即N0C¥=9O°,

：.0C1CM,

・1/是。。的切线；

(2)•:EGA_AB,

：./吩/BFH=9G°,

而N为7/=N4,

・・・N4+N6=90°,

:M为切线，

：.0C1CD,

第19页共32页

.,.Z5+Z3=90°,

而/3=N6,

；.N4=N5,

'是等腰三角形.

七、圆的综合题(共1小题)

10.(2022•凉山州)如图，已知半径为5的。也经过x轴上一点G与y轴交于4、8两点，连接4G

/C平分/力弘AO^CO=&.

(1)判断。"与x轴的位置关系，并说明理由；

(2)求四的长;

(3)连接5犷并延长交。也于点。，连接切，求直线切的解析式.

【解答】解：(1)猜测。，"与x轴相切，理由如下:

如图，连接〃伙

•.3C平分/%M,

：.AOAC=ACAM,

又,：MgAM,

：.ZCAM=ZAa/,

：.ZOAC^ZACM,

J.OA//MC,

•.•如_Lx轴,

轴，

第20页共32页

：是半径，

••.◎"与入轴相切.

(2)如图，过点材作物Uy轴于点,V,

:.AN=BN=LB,

2

VAMCO=ZAOC=Z^=90°,

四边形物W心是矩形，

：.NM=OC,MC=ON=^>,

设40=m,则0C=6-m,

JA—5-///,

在中，由勾股定理可知，4犷=力9+"也

/.52=(5-加)J+(6-加2,

解得勿=2或〃/=9(舍去)，

・"川=3,

：.AB=6.

(3)如图，连接便与"交于点反

・・,劭是直径，

：・NBAD=9。。,

・・・/〃〃x轴，

:.AD1MC,

由勾股定理可得力旧8,

：.D(8,-2).

由(2)可得。(4,0),

设直线口的解析式为：尸kx+b,

(1

.•.件+b=0,解得k—

I8k+b=_2b=2

，直线"的解析式为：尸-工仃2.

2

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八、翻折变换（折叠问题）（共1小题）

11.（2018•凉山州）在。中，E、尸分别是力〃、比•上的点，将平行四边形40沿用所在直线翻折,

使点，与点〃重合，且点力落在点H处.

（1）求证：△/ED^/XCFD-,

（2）连接应；若NEBF=60°,炉=3,求四边形跖必的面积.

【解答】（1）证明：由翻折可知：

AB=A'D,NABC=NA'DF,2EFB=NEFD

•；四边形/腼是平行四边形

:.AB=CD,4ABC=/ADC

：.ZADC=ZA'DF

：.AFDC=AA'DE

•：AB=A'D,AB=CD

：./!'D=CD

'：AD//BC

:.NDEF=NEFB

•:NEFB=NEFD

：.£DEF=£EFD

：.ED^DF

ED^/XCFD

（2）解：'：AD//BC,A'B//DF

...四边形反双）为平行四边形

由⑴DE=DF

二四边形幽力为菱形

,/NEBF=6Q°

...△戚为等边三角形，

,:EF=3

:.BE=BF=3

过点6作EHLBC干点、H

第22页共32页

A'

.,.四边形母；定的面积为：sin60°BE・BF=N看义ax&二生导-

九、相似三角形的判定与性质（共1小题）

12.（2019•凉山州）如图，4ABD=/BCL=90°,DB平外/ADC,过点6作阴〃⑦交4〃于〃连接C"

交DB于N.

（1）求证：Bl}=AiACD；

【解答】证明：(1),:DB4分4ADC,

:.NADB=NCDB,且NABD=NBCD=9G,

：./\ABD^/\BCD

.ADBD

**BD=CD

:.BF=A»CD

(2)BM//CD

：.4MBD=ABDC

：.AADB=乙防〃，且NABD=90°

：.BM=MD,NMAB=NMBA

：.BM=MD=A.^^

■:Bl}=A>CD,且5=6,47=8,

.♦.4=48,

:.Bd=BF-前=\2

:.Md=M^+Bd=28

:.}£=25

第23页共32页

'：BM//CD

:.XMNBsXCND

上，且比=2仃

CDCN3

十、相似三角形的应用（共1小题）

13.（2020•凉山州）如图，一块材料的形状是锐角三角形/8G边比=120丽,高4）=80/加，把它加工成

正方形零件，使正方形的一边在8c上，其余两个顶点分别在四、AC±,这个正方形零件的边长是多少？

【解答】解：：四边形比涉'为正方形，

J.BC//EF,

：.XAEFs"ABC：

设正方形零件的边长为x切加，则初=£尸=外加以，AK—（80-x）mm,

'：ADLBC,

•EF=AK

,,而AD"

•x_80-x

"'~L20~80

解得：x=48.

答：正方形零件的边长为48〃皿

第24页共32页

十一、解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）

14.（2022•凉山州）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，

塔尖恰好落在坡面上的点8处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现

场进行处理，在6处测得以与水平线的夹角为45°,塔基力所在斜坡与水平线的夹角为30°,4、6两点

间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）.

BD//EF,4416米，NE=30°,NBDA=NBDC=9Q°,

:.NE=4DBA=3/,

；.49=8米，

VAB2-AD2=V162-82=(米)，

曲=45°,NCDB=9Q°,

:./C=4CBA45。,

:.CMBA8M米,

//6，=VCD2+BD2=V(8A/3)2+(8V3)2=8V6(米)，

：.AC+CB=A^a^CB=(8+8曰+8五)米，

答：压折前该输电铁塔的高度是(8+85/3+876)米.

十二、解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

第25页共32页

15.（2021•凉山州）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸

大树的高度，他在点。处测得大树顶端A的仰角为45°,再从。点出发沿斜坡走2/记米到达斜坡上D

点，在点〃处测得树顶端1的仰角为30°,若斜坡1的坡比为？=1：3（点反a6在同一水平线上）.

（1）求王刚同学从点C到点〃的过程中上升的高度；

（2）求大树47的高度（结果保留根号）.

【解答】解：（1）过点、D作DHLCE于点、H,

由题意知切=2折米，

•.•斜坡〃'的坡比为］'=1：3,

.DH1

••---二,

CH3

设DH=x米,CH=3x米

■:施+由=愤,

AX2+（3X）2=（2VT0）2）

，x=2,

：.DH=2（米），CH=6（米），

答：王刚同学从点。到点。的过程中上升的高度为2米;

（2）过点，作0GU8于点G,设BC=a米,

・：/DHB=NDG4NABC=gQ°,

...四边形如％为矩形，

:.DH=BG=2派,DG=BH=（界6）米，

•24⑶=45°,

J.BC—AB—a（米），

AG—（a-2）米，

第26页共32页

\9ZADG=30°，

・AGV3

,,■z^r+=tan30二丁'

DG3

.a-2V3

••------二，,

a+63

.*.a=6+4^3»

：.AB=（6+473）（米）.

答：大树48的高度是（6+4愿）米.

十三、折线统计图（共1小题）

16.（2018•凉山州）西昌市教科知局从2013年起每年对全市所有中学生进行“我最喜欢的阳光大课间活

动”抽样调查（被调查学生每人只能选一项），并将抽样调查的数据绘制成图1、图2两幅统计图，根据统

计图提供的信息解答下列问题：

（1）2013年抽取的调查人数最少;2016年抽取的调查人数中男生、女生人数相等；

（2）求图2中“短跑”在扇形图中所占的圆心角a的度数；

（3）2017年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有多少人？

（4）如果2017年全市共有3.4万名中学生，请你估计我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约

有多少人?

2017年抽取的学生中我最

每年抽取调查学生中男、

喜欢的阳光大课间”活形

女学生人数折线图

况扇形统计图

图1图2

【解答】解：（1）由图可得，2013年抽取的调查人数最少；2016年抽取的调查人数中男生、女生人数相

等；

故答案为：2013,2016；

（2）1-35%-10%-15%-25%=15%,

Aa=360°X15%=54°；

（3）2017年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有（600+550）X（25%+15%）=460（人）；

（4）我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约有34000X（25%+35%）=20400（人）.

十四、列表法与树状图法（共4小题）

17.（2022•凉山州）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展.某中学团委组

建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、

第27页共32页

舞蹈、书法中选择其中1个社团.某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两

幅不完整的统计图.请根据统计图提供的信息完成下列各题:

（1）该班的总人数为50人,并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；

（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团.如果该班班主

任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美

术社团、1人参加演讲社团的概率.

【解答】解：（1）该班总人数为12・24%=50（人），

则选择“演讲”人数为50X16%=8（人），

补全图形如下：

图2

故答案为：50；

（2）设美术社团为4演讲社团为8,声乐社团为C.画树状图为:

由树状图知，共有12种等可能的结果数，其中选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团

第28页共32页

的有4种结果，

所以选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率为

123

18.（2021•凉山州）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为

了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办

公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》.为贯彻《通知》

精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所

示的两幅不完整的统计图（其中1表示''一等奖”，8表示“二等奖”，。表示“三等奖”，〃表示“优秀奖”）.

获奖情况条形统计图获奖情况扇形统计图

AST

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）获奖总人数为40人,m=30；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛,

请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.

【解答】解：（1）获奖总人数为8・20%=40（人），

^=40-4-8-16xlQ0%=30%）

40

即m=30；

故答案为40；30；

（2）“三等奖”人数为40-4-8-16=12（人）

条形统计图补充为：

第29页共32页

获奖情况条形统计图

(3)画树状图为:

开始

4G心&

共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6,

所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率=&=上。

122

19.(2020•凉山州)某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20

个班的作品进行评比.在第一批评比中，随机抽取力、6、G〃四个班的征集作品，对其数量进行统计后，

绘制如图两幅不完整的统计图.

(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品24件;在扇形统计