湖南省郴州市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

湖南省郴州市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答

题

一.实数的运算（共3小题）

1.（2022•郴州）计算：（-1）2022-2cos30°+|1-731+（―）

3

2.（2021•郴州）计算：（2021-it）0-|2-V12I+<—）'^tanbO0.

2

3.（2020•郴州）计算：（工）1-2cos45°+|1-&|-（代+1）°.

3

二.分式的化简求值（共2小题）

4.（2022•郴州）先化简，再求值：围_+C-L.+一生—），其中。=遥+1,b=45-1.

22

a-ba+ba-j>

5.（2021•郴州）先化简，再求值：（_^ZL-今3_）其中“=&.

a2q+aa2-1a-11

三.解分式方程（共1小题）

6.（2020•郴州）解方程：^=_i—+1.

x-1x2-l

四.分式方程的应用（共1小题）

7.（2021•郴州）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A,8两种奖品，用于表彰在“童心

向党”活动中表现突出的学生.已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元,

其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍.

（1）求A,B奖品的单价；

（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买

方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A,B两种奖品共100件，求

购买A,8两种奖品的数量，有哪几种方案？

五.一元一次不等式的应用（共1小题）

8.（2022•郴州）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了

新农人，创办了果蔬生态种植基地.最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种

有机肥.已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种

有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元.

（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？

（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最

多能购买甲种有机肥多少吨？

六.一元一次不等式组的应用（共1小题）

9.（2020•郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物

资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元.

（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？

（2）现在计划安排A,B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资.甲物资7吨和乙

物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车.按此要

求安排A,8两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？

七.反比例函数的应用（共1小题）

10.（2020•郴州）为了探索函数（x>0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程

x

与方法.

列表：

X・._11_112345…

~37

.17_105_25_101726...

T~3~2~2~3~T~5

描点：在平面直角坐标系中，以自变量X的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标,

描出相应的点，如图1所示：

务-

4**

□I12345x

图1图2

（1）如图1,观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象:

（2）已知点（xi,）i）,（%2,”）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题:

若0Vxi1,则yiy2；若1Vxi<X2,则yiy2；

若尤贝Uyiy2（填“>”，"=”或

（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水，其底面积为1平方米，深为1米.已

知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.设水底面一边的长为x米，

水总造价为y千元.

①请写出y与X的函数关系式；

②若该农户预算不超过3.5千元，则水底面一边的长x应控制在什么范围内？

八.二次函数的应用（共1小题）

11.（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商

品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系:

X•••4.05.05.56.57.5…

y…8.06.05.03.01.0…

（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x,y）所对应的点，并画出y关于x的函

数图象;

y▲月销售量万件

11*

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0145678弹价/元

（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式;

（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元）,

①写出P关于x的函数表达式；

②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定

商品的销售单价不得超过进价的200%,则此时的销售单价应定为多少元?

九.二次函数综合题（共3小题）

12.（2022•郴州）己知抛物线y=/+6x+c与无轴相交于点A（-1,0）,B（3,0）,与y轴

相交于点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1,将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN.点£＞是直线上任意

一点.

①当点O在抛物线的对称轴/上时，连接CD,与x轴相交于点E,求线段OE的长；

②如图2,在抛物线的对称轴/上是否存在点凡使得以8,C,D,尸为顶点的四边形是

平行四边形？若存在，求出点F与点。的坐标；若不存在，请说明理由.

13.(2021•郴州)将抛物线丫=/(a#0)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得

到抛物线H：y=a(jc-/z)2+k.抛物线H与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知A

(-3,0),点尸是抛物线”上的一个动点.

(1)求抛物线H的表达式;

(2)如图1,点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A,C重合)，过点尸作尸。

LAB,垂足为。，尸O交AC于点E.作PPLAC,垂足为尸，求APE尸的面积的最大值；

(3)如图2,点。是抛物线，的对称轴/上的一个动点，在抛物线，上，是否存在点P,

使得以点A,P,C,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点

P的坐标；若不存在，说明理由.

14.(2020•郴州)如图1,抛物线y=a?+bx+3(aWO)与x轴交于A(-1,0),B(3,0),

与y轴交于点C.已知直线y=Ax+〃过B,C两点.

(1)求抛物线和直线8c的表达式；

(2)点尸是抛物线上的一个动点.

①如图1,若点P在第一象限内，连接B4,交直线8c于点£>.设△PDC的面积为Si,

Si

△ACC的面积为S2,求」的最大值；

S2

②如图2,抛物线的对称轴/与X轴交于点E,过点8作£££8（7,垂足为F.点。是对

称轴/上的一个动点，是否存在以点E,F,P,。为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，求出点P,。的坐标：若不存在，请说明理由.

一十.三角形综合题（共2小题）

15.（2022•郴州）如图1,在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,AB=4cm.点。从A点

出发，沿线段AB向终点B运动.过点力作A8的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）

相交于点E.设线段的长为。（。机），线段OE的长为刀（c/n）.

（1）为了探究变量。与〃之间的关系，对点。在运动过程中不同时刻AQ,OE的长度

进行测量，得出以下儿组数据：

变量a(cm)00.511.522.533.54

变量〃(cm)00.511.521.510.50

在平面直角坐标系中，以变量。的值为横坐标,变量〃的值为纵坐标，描点如图2-1；

以变量人的值为横坐标，变量a的值为纵坐标,描点如图2-2.

图1图2—1图2-2

根据探究的结果，解答下列问题：

①当a=1.5时，h=当h=1时，a=

②将图2-1,图2-2中描出的点顺次连接起来.

③下列说法正确的是.（填"A”或"B”）

A.变量人是以a为自变量的函数

B.变量。是以/?为自变量的函数

（2）如图3,记线段。E与AABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面

积&£）为S.

①分别求出当0WaW2和2VaW4时，s关于a的函数表达式；

②当5=工时，求a的值.

2

图3

16.（2021•郴州）如图1,在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90°,点E,尸分别为AB,

4c的中点，”为线段£尸上一动点（不与点E,尸重合），将线段A4绕点A逆时针方向

旋转90°得到AG,连接GC,HB.

（1）证明：△AVB^AAGC；

（2）如图2,连接GF,HG,HG交AF于点、Q.

①证明：在点”的运动过程中，总有NaFG=90°；

②若AB=AC=4,当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？

17.（2021•郴州）如图，四边形ABC。中，AB=DC,将对角线4c向两端分别延长至点E,

凡使4E=CF.连接BE,DF,若BE=D凡证明：四边形ABCD是平行四边形.

E,

D

B

F

一十二.菱形的判定与性质（共2小题）

18.（2022•郴州）如图，四边形ABC。是菱形，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF,

连接8F,FD,DE,EB.求证：四边形是菱形.

19.（2020•郴州）如图，在菱形ABC。中，将对角线AC分别向两端延长到点E和R使得

AE=CF.连接OE,DF,BE,BF.

求证：四边形BECF是菱形.

一十三.四边形综合题（共1小题）

20.（2020•郴州）如图1,在等腰直角三角形AOC中，ZADC=90°,AD=4.点E是AD

的中点，以。E为边作正方形DEFG,连接AG,CE.将正方形。EFG绕点。顺时针旋

转，旋转角为a（00<a<90°）.

（1）如图2,在旋转过程中，

①判断△AGO与△（7a）是否全等，并说明理由：

②当CE=C。时，AG与EF交于点”，求GH的长.

（2）如图3,延长CE交直线AG于点P.

①求证：AG1CP；

②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，

请说明理由.

一十四.切线的判定与性质(共3小题)

21.(2022•郴州)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的与线段8c交于点D,

过点。作垂足为E,的延长线与A8的延长线交于点P.

(1)求证：直线PE是。。的切线；

22.(2021•郴州)如图，△ABC是。。的内接三角形，AC是。0的直径，点。是BC的中

点，OE〃BC交AC的延长线于点E.

(1)求证：直线。E与00相切；

(2)若的直径是10,ZA=45°,求CE的长.

23.(2020•郴州)如图，AABC内接于。。，AB是。。的直径.直线/与。。相切于点A,

在/上取一点D使得。4=OC,线段£>C,A8的延长线交于点£

(1)求证：直线。C是。。的切线；

（2）若8c=2,NC4B=30°,求图中阴影部分的面积（结果保留it）.

24.（2022•郴州）如图1,在矩形ABC。中，AB=4,BC=6.点E是线段A。上的动点（点

E不与点4,。重合），连接CE,过点E作EFLCE,交4B于点凡

（1）求证：△AEFS^DCE；

（2）如图2,连接CF,过点5作BGLCF,垂足为G,连接AG.点M是线段BC的中

点，连接GM.

①求AG+GM的最小值；

②当AG+GM取最小值时，求线段QE的长.

（图I）

一十六.解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）

25.（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高C£）=20m,背水坡BC的坡度为ii=1：

1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡

度改为i2=l：M，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.

（参考数据：&F.41,73^1.73.结果精确到0.1M

c

一十七.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）

26.（2021•郴州）如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算

电梯AC的高度，测得斜坡A8=105米，坡度i=l：2,在3处测得电梯顶端C的仰角a

=45°,求观光电梯AC的高度.

（参考数据：72^1.41,73^1.73,75^2.24.结果精确到0.1米）

为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海

南文昌首飞成功.运载火箭从地面。处发射，当火箭到达点A时，地面。处的雷达站测

得AC=4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷

达站测得B处的仰角为45°.已知C,。两处相距460米，求火箭从A到3处的平均速

度（结果精确到1米/秒，参考数据：百七1.732,72^1.414）.

28.（2021•郴州）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、

颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集

桶，其他垃圾用灰色收集桶.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就

“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结

（1）此次调查一共随机采访了名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆

心角的度数为度；

（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

（3）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；

（4）李老师计划从A,B,C,。四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答

赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A,8两人的概率.

一十九.列表法与树状图法（共2小题）

29.（2022•郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时

间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活

动小组）：A.音乐；&体育；C.美术；。.阅读；E.人工智能.为了解学生对以上活

动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示

的两幅不完整的统计图.

♦人数

（1）①此次调查一共随机抽取了名学生；

②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

③扇形统计图中圆心角a=度；

（2）若该校有3200名学生，估计该校参加。组（阅读）的学生人数；

（3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市

青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率.

30.（2020•郴州）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手

机APP等平台进行教学视频推送.某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的

调查（学习效果分为：A.效果很好；B.效果较好；C.效果一般；D.效果不理想），

并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：

（1）此次调查中，共抽查了名学生；

（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中/a的度数；

（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般.从

学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？

（要求画树状图或列表求概率）

参考答案与试题解析

实数的运算（共3小题）

1.（2022•郴州）计算：（-1）2022-2cos30°+|1-731+（―）

3

【解答】解：（-1）2022-2cos30°+|1-V3I+（―）M

3

=1-2乂返+代-1+3

2

=1-V3+V3-1+3

=3.

2.（2021•郴州）计算：（2021-it）0-|2-V12I+（―）1*lan60°.

2

【解答】解：原式=1-（273-2）+2X73

=1-273+2+273

=3.

3.（2020•郴州）计算：（工）■'-2cos45°（Vs+1）°.

3

【解答】解：原式=3-2义亚+&-1-1

2

=3-&+&-2

=1.

二.分式的化简求值（共2小题）

4.（2022•郴州）先化简，再求值：地_+（-J—+—生—）,其中”=遥+1,〃=遥-1.

22

a-ba+ba-j）

【解答】解：旦+（J_+2b）

a-ba+b

=ab=a-b+2b

a-b（a+b）（a-b）

=ab.（a+b）（a-b）

a-ba+b

=ab,

当”=遥+1,b=y[5-1时，原式=（V5+D（V5-1）

=5-1

=4.

5.（2021•郴州）先化简，再求值：（爷1-今2-）+—]一，其中“=&.

a2+qaa2-11a-11

【解答】解：(车。-与之)

a2+.aa2-1oa—11

=[——-----------------------1•(«-1)

a(a+1)(a+1)(a-1)

=(a-l),-a(a-3)_।)

a(a+1)(a-l)

=aJ2a+1a2+%.(g_1)

a(a+1)(a-l)

=-------1----------・(〃-1)

a(a+1)(a-l)

—_—1，

a

当“=&时，原式=」^=返~.

加2

三.解分式方程(共1小题)

6.(2020•郴州)解方程：-^=—1_+1.

Xx-11X2-11

【解答]解：上=」—+1,

xV-1x2T1

方程两边都乘(x-1)(%+1),得

x(x+1)=4+(x-1)(x+1),

解得x=3,

检验：当x=3时，(x-1)(x+1)=8W0.

故x=3是原方程的解.

四.分式方程的应用(共1小题)

7.(2021•郴州)“七•一”建党节前夕，某校决定购买A,B两种奖品，用于表彰在“童心

向党”活动中表现突出的学生.已知A奖品比8奖品每件多25元，预算资金为1700元,

其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买8奖品的数量是A奖品的3倍.

(1)求A,B奖品的单价；

(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买

方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A,8两种奖品共100件，求

购买A,8两种奖品的数量，有哪几种方案？

【解答】解：(1)设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为(x-25)元，

由题意得：800_x1700-800,

xx-25

解得：x=40,

经检验，x=40是原方程的解，

则x-25=15,

答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；

(2)设购买A种奖品的数量为〃?件，则购买8种奖品的数量为(1OO-/77)件，

由题意得：(40X0.8X^720,

l40XQ.8Xm+15X0.8X(100-m)<1700

解得：22.5WmW25,

为正整数，

的值为23,24,25,

有三种方案：

①购买4种奖品23件，8种奖品77件；

②购买A种奖品24件，8种奖品76件；

③购买A种奖品25件，B种奖品75件.

五.一元一次不等式的应用(共1小题)

8.(2022•郴州)为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了

新农人，创办了果蔬生态种植基地.最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种

有机肥.已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种

有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元.

(1)甲、乙两种有机肥每吨各多少元？

(2)若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最

多能购买甲种有机肥多少吨？

【解答】解：(1)设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，

依题意得：(x-y=i0°,

12x+y=1700

解得：卜=600.

ly=500

答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元.

(2)设购买甲种有机肥，〃吨，则购买乙种有机肥(10-机)吨，

依题意得:600w+500(10-w)W5600,

解得：

答：小姣最多能购买甲种有机肥6吨.

六.一元一次不等式组的应用(共1小题)

9.（2020•郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物

资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元.

（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？

（2）现在计划安排4,B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资.甲物资7吨和乙

物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆8型卡车.按此要

求安排A,8两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？

【解答】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨，

依题意，得：F旷540,

]3x+2y=1380

解得：/x=300.

ly=240

答：甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨.

（2）设安排A型卡车机辆，则安排B型卡车（50-辆，

依题意，得：（7m+5（50-m）＞300,

13m+7（50-m）＞240

解得：25W/»W27

2

：机为正整数，

可以为25,26,27,

.♦•共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆8型卡车；方案2：安排26

辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车.

七.反比例函数的应用（共1小题）

10.（2020•郴州）为了探索函数y=x+2（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程

x

与方法.

列表：

X・.22112345…

7-3~2

y・.rz105,25,101726...

T~3~2~2T~5

描点：在平面直角坐标系中，以自变量X的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标,

描出相应的点，如图1所示：

(1)如图1,观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象;

(2)己知点Cxi,yi),(由，”)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题:

若0<xi<x2Wl,则yi>V2;若1cxic%2,则yi<V2；

若XI・X2=1,则VI=V2(填”或“<”).

(3)某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水，其底面积为1平方米，深为1米.已

知底面造价为I千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.设水底面一边的长为x米，

水总造价为y千元.

①请写出y与x的函数关系式；

②若该农户预算不超过3.5千元，则水底面一边的长x应控制在什么范围内？

【解答】解：(1)函数图象如图所示：

(2)若OVxiVmWl,则yi>_y2；若1〈XIV;V2,则yi〈y2,

若xi・x2=l,则yi=".

故答案为〉，<,=.

(3)①由题意，y=l+(2X+2)X0.5=1+X+2(X>0).

XX

②由题意l+x+工W3.5,

X

Vx>0,

可得27-5x+2W0,

解得：工f

2

...水底面一边的长x应控制在工的范围内.

2

解法二：利用图象法，直接得出结论.

八.二次函数的应用（共1小题）

11.（2021•郴州）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商

品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系：

（1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x,y）所对应的点，并画出y关于x的函

数图象；

〃月销售量万件

11r-r-r-r-r-r-r

10「一「一「一厂一厂一厂一

9r-r-

8

7

6

4

3

2

0\45678弹价沅

（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；

（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元），

①写出「关于x的函数表达式；

②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定

商品的销售单价不得超过进价的200%,则此时的销售单价应定为多少元？

【解答】解：（1）

(2)根据图象设丁=设+4把(4.0,8.0)和(5.0,6.0)代入上式,

得18.0=4.Ok+b

16.0=5.Ok+b

解得尸2,

lb=16

-2x+16,

・'・-2K+1620,

解得后8,

关于x的函数表达式为y=-2x+16(xW8)；

(3)@P=(x-2)y

=(x-2)(-2x+16)

=-2?+20x-32,

即P与x的函数表达式为：P=-2?+20x-32(xW8)；

②；物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%,

.•.xW2X200%,

即xW4,

由题意得P=10,

，-2x2+20x-32=]0,

解得xi=3,xz=7,

,此时销售单价为3元.

九.二次函数综合题(共3小题)

12.(2022•郴州)已知抛物线y=f+6x+c与x轴相交于点4(-1,0),B(3,0),与y轴

相交于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,将直线BC向上平移，得到过原点。的直线MN.点。是直线MN上任意

一点.

①当点O在抛物线的对称轴/上时，连接C£>,与x轴相交于点E,求线段OE的长；

②如图2,在抛物线的对称轴/上是否存在点尸，使得以B,C,D,尸为顶点的四边形是

平行四边形？若存在，求出点尸与点。的坐标；若不存在，请说明理由.

WC

【解答】解：(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入y=/+/?x+c得,

[l_b+c=0

I9+3b+c=0

解得尸2.

1c=_3

二抛物线的解析式为-2r-3；

(2)①由(1)可知，C(0,-3),

设直线BC的解析式为y=kx+m,

将C(0,-3),B(3,0)代入得，

[3ktm=0

Im=-3

.fk=l

Tm=-3，

直线BC的解析式为y=x-3,

二直线MN的解析式为y=x,

•.•抛物线的对称轴为X=-且=-二^-=1，

2a2X1

把x=\代入y=x,得y=1,

：.D(1,1),

方法一：

设直线CD的解析式为y=kix+hi,

将C(0,-3),£>(1,1)代入得，

'k[+bi=l

b[=-3

ki=4

解得，1，

b।=-3

直线CO的解析式为y=4x-3,

当y=0时，4x-3=0,

•♦•Xr=3—1f

4

：.E(3,0),

4

:.OE=3.

4

方法二：

由勾股定理得0£»='F+]2=&,BC=Q324=3五,

'：BC//MN,

:.△DEOsXCEB,

•••,0D—0E,

BCBE

设OE=x,则8E=3-x,

»V2_x

3A/23-x

解得x=W，

4

:.OE=3.

4

②存在点凡使得以8,C,D,尸为顶点的四边形是平行四边形.

理由如下：

(1)若平行四边形以8c为边时，

由8C〃尸。可知，/£)在直线MN上，

・•.点尸是直线MN与对称轴/的交点，即F(l,1),

由点。在直线MN上，设。(，，力

如图，若四边形BCFP是平行四边形，则。尸=8C,

过点。作y轴的垂线交对称轴/于点G,则G(l,力,

*：BC〃MN,

：./OBC=/DOB,

IGD〃九轴,

:・/GDF=/DOB,

：・NOBC=NGDF,

XVZBOC=ZDGF=90°,

：./\DGF^/\BOC(A4S),

；.GD=OB,GF=OC,

■:GD=L1,08=3,

-1=3,

Ar=4,

：.D(4,4),

如图，若四边形BCQ尸是平行四边形，KiJDF=CB,

同理可证(A4S),

:,KD=OC,

•：KD=1-f,0C=3,

1-f=3,

：.t=-2,

：.D(-2,-2)；

(II)若平行四边形以8c为对角线时，

由于。在8c的上方，则点F一定在BC的下方,

如图，四边形为平行四边形，

设。G,f),F(1,n),

同理可证△£WC丝△3PF(A4S),

：.DH=BP,HC=PF,

"：DH=t,BP=3-1=2,HC=t-(-3)=t+3,PF=O-n=-n,

t=2

t+3=-n

.ft=2

,ln=-5，

：.D(2,2),F(1,-5),

综上所述，存在点F,使得以B,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形.

当点F的坐标为(1,1)时，点。的坐标为(4,4)或(-2,-2)；

当点尸的坐标为(1,-5)时，点。的坐标为(2,2).

13.(2021•郴州)将抛物线QW0)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得

到抛物线H：y^a(x-h)2+k.抛物线”与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知A

(-3,0),点尸是抛物线，上的一个动点.

(1)求抛物线”的表达式；

(2)如图1,点P在线段AC上方的抛物线，上运动(不与A,C重合)，过点P作

±AB,垂足为。，交AC于点E.作尸FLAC,垂足为F,求△PEF的面积的最大值；

(3)如图2,点。是抛物线H的对称轴/上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P,

使得以点A,P,C,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点

【解答】解：(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(-1,4),

二抛物线4：y=a(x+1)2+4,

将A(-3,0)代入，得：a(-3+1)2+4=0,

解得：a--

二抛物线，的表达式为y=-(x+1)2+4；

(2)如图1,由(1)知:y=-x2-2x+3,

令x=0,得y=3,

：.C(0,3),

设直线AC的解析式为y—mx+n,

TA(-3,0),C(0,3),

・f-3m+n=0

aln=3

解得："1,

ln=3

・,・直线AC的解析式为y=x+3,

设P(加，--2m+3),贝ijE(7?2,机+3),

:.PE=-m2-2加+3-(m+3)=--3机=-(加+旦)？+9,

24

V-1<0,

/.当〃?=-3时，PE有最大值9,

24

"：OA=OC=3,ZAOC=90°,

...△AOC是等腰直角三角形，

AZACO=45°,

\'PDLAB,

.•.NAOP=90°,

：.ZADP=ZAOC,

J.PD//OC,

NACO=45°,

,：PFLAC,

...△P£F是等腰直角三角形，

：.PF=EF=J^-PE,

2

SNEF=LPF・EF=LPE2,

24

二当机=-3时，SAPEF城大值=」^X(9)2="；

24464

(3)①当AC为平行四边形的边时，则有尸Q〃AC,且PQ=AC,

如图2,过点P作对称轴的垂线，垂足为G,设4c交对称轴于点H,

则NAHG=ZACO=NPQG,

在△PQG和△ACO中，

'PGQ=/AOC

<ZPQG=ZAC0>

PQ=AC

：./\PQG^/\ACO(A4S),

：.PG=A0=3,

.•.点P到对称轴的距离为3,

又；y=-(x+1)2+4,

抛物线对称轴为直线x=-1,

设点P(x,y),则以+1|=3,

解得：x—2或》=-4,

当x—2时，y--5,

当x=-4时，y=-5,

点尸坐标为(2,-5)或(-4,-5)；

②当AC为平行四边形的对角线时，

如图3,设AC的中点为

VA(-3,0),C(0,3),

：.M(-3,3),

22

•.•点。在对称轴上，

/.点Q的横坐标为-1,设点尸的横坐标为x,

根据中点公式得：x+(-1)=2X(-2)=-3,

2

.\x=-2,此时y=3,

：.P(-2,3)；

综上所述，点P的坐标为(2,-5)或(-4,-5)或(-2,3).

图3

I/

QY

图2

图1

14.(2020•郴州)如图1,抛物线y=a/+fer+3QW0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0),

与y轴交于点C.已知直线y=kx+n过8,C两点.

(1)求抛物线和直线BC的表达式；

(2)点P是抛物线上的一个动点.

①如图1,若点P在第一象限内，连接以，交直线BC于点。.设△PDC的面积为Si,

S.

△4DC的面积为52,求」■的最大值；

S2

②如图2,抛物线的对称轴/与X轴交于点E,过点E作EFLBC,垂足为F.点。是对

称轴/上的一个动点，是否存在以点E,F,P,。为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，求出点尸，。的坐标；若不存在，请说明理由.

(图1)

【解答】解：（1）把A

=-

解得al

b=2

抛物线的表达式为y=-/+2x+3,

...点C坐标为（0,3）,

3k+n=0

把5(3,0),C(0,3)代入y=fcr+"得:

n=3

解得k=-l

n=3

直线8c的表达式为y=-x+3.

（2）①：必交直线BC于点£）,

二设点。的坐标为（帆，-m+3）,

设直线AD的表达式为y—k\x+b],

.'-ki+bi=0

mk]+b|=_m+3

，-m+3

々用1m+1

解得，

,_m+3

...直线AO的表达式，尸二巴•+*_,

m+1m+1

.•."3/力+3=*+2x+3,

m+1m+1

整理得，（x-且）（x+1）=0

m+1

解得X=巫或-1（不合题意，舍去），

m+1

点D的横坐标为m,点P的横坐标为包L,

m+1

分别过点。、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N,如图1中:

J.DM//PN,OM=m,ON=-^L,OA=1,

m+1

4m

...51=-K+Sm

02S/kADCDAAMm+1(m+1)2

q2

设一~—t,则r=：.取+3项

S2(m+1)2

整理得，(什1)序+(2f-3)m+t^O,

VA^O,

(2r-3)2-4/(z+1)2O,

解得

16

，豆有最大值，最大值为-1.

S216

②存在，理由如下：过点尸作尸GJ_O3于G,如图2中,

♦1/

,OE=1,

,：B(3,0),C(0,3)

：.OC=OB=3,

又；/COB=90°,

.•.△OCB是等腰直角三角形，

VZEFB=90°,BE=OB-OE=2,

AEFB是等腰直角三角形，

；.FG=GB=EG=l,

二点尸的坐标为（2,1）,

当EF为边时，

V四边形EFPQ为平行四边形，

：.QE=PF,QE//PF//y^,

点P的横坐标与点F的横坐标同为2,

当x=2时，y=-22+2X2+3=3,

.•.点P的坐标为（2,3）,

:.QE=PF=3-1=2,

点。的坐标为（1,2）,

根据对称性当P（0,3）时，Q（1,4）时，四边形EF0P也是平行四边形.

当EF为对角线时，如图3中，

图3

•.•四边形PEQF为平行四边形，

AQE=PF,QE//PF//y^A,

同理求得：点尸的坐标为（2,3）,

：.QE=PF=3-1=2,

点。的坐标为（1,-2）；

综上，点P的坐标为（2,3）时，点。的坐标为（1,2）或（1,-2）,P（0,3）时，

Q（1,4）.

一十.三角形综合题