平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评检测试卷

平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试卷

一、选择题

1.在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平

分该平行四边形的面积.如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小

正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它

剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）

A.272B.75C.士D.回

2

2.如图，正方形ABCD的边长为2a,点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点

A、D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D、C重合），点E与点F

的运动速度相同.BE与AF相交于点G,H为BF中点，则有下列结论：①ZBGF是定值；

②BF平分NCBE；③当E运动到AD中点时，GH=-a；④当CMGB=（#+2）a时，S

2

3.如图，在平行四边形ABC。中，NC=120°,AD=2A3=8,点H、G分别是边

A。、BC上的动点.连接AH、"G,点E为A”的中点，点尸为G”的中点，连接

EF.则EE的最大值与最小值的差为（）

4.如图，在A8CO中，已知A8=6,A£）=8,NB=60°,过的中点E作

EFLAB，垂足为尸，与。C的延长线相交于点"，则ADE/的面积是（）

D

H

A.8百B.1273c.146D.18A/3

Ap

5.如图，将矩形ABC。沿EF折叠后点。与3重合.若原矩形的长宽之比为3:1,则——

BF

的值为（）

6.如图，在矩形A8CD中，4。=，4。,4g平分/胡。交。。于点后，给出以下结

2

论：①A4DE为等腰直角三角形；②AS。。为等边三角形；③NDOE=70";

④ZEOC=3NE4C;⑤0E是AACD的中位线.其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

7.下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等

的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的

对角线相等，那么它一定是正方形.其中真命题个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

8.如图，正方形ABCD的边长为1,顺次连接正方形ABC。四边的中点得到第一个正方

形4与CQ,又顺次连接正方形。四边中点得到第二个正方形

A2B2C2D2,……，以此类推，则第六个正方形486c6。6的面积是（）

B

9.如图，ABC。的对角线AC、BD交于点O,AE平分交BC于点E，且

ZADC=60°,ABJBC,连接OE.下列结论：①AE=CE；

2

②SABCD=AB-AC；③5凶8£=5»。£；④OE=2BC,成立的个数有（）

10.如图，RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,D是AB上一动点，过点D作

DE_LAC于点E,DFJ_BC于点F,连结EF,则线段EF的长的最小值是（）

二、填空题

11.如图，在aABC中，/BAC=90°,点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC±

的动点，ZEDF=90°,M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN,若AC=6,AB=5,

则AM-MN的最大值为.

12.如图，在△ABC中，48=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE_LAB于E,

PFA.AC于F,则EF的最小值为.

E.

13.如图，在矩形ABC。中，AD=y/2AB,N8A。的平分线交8C于点E,于点

H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交8F于点。，下列结论：①/AED=/CED；

②。E=OD；（3）BH=HF；@BC-CF=2HE；@AB=HF,其中正确的有.

14.如图，在RtaA8c中，N8AC=90°,48=8,AC=6,以BC为一边作正方形8DEC设

正方形的对称中心为。，连接A。，则4。=

15.如图，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E为BC上一点，AE交BD于F,若AB=AE,

NEAD=2/BAE，则下列结论：①AF=AP;②AE=FD；③BE=AF.正确的是（填

序号）.

16.已知：如图，在长方形A8C。中，AB=4,AO=6.延长到点E，使

CE=2,连接OE，动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿3。一8-向终

点A运动，设点P的运动时间为f秒，当f的值为秒时，AA3P和&DCE全等.

A,------------KD

B

17.如图，四边形ABCP是边长为4的正方形，点E在边CP上，PE=1；作EF〃BC,分别

交AC、A8于点G、F,M.N分别是AG、BE的中点，则MN的长是.

18.如图，矩形纸片ABCD,AB=5,BC=3,点P在BC边上，将4CDP沿DP折叠，点C落

在点E处，PE,DE分别交AB于点。，F,且OP=OF,则AF的值为.

19.如图，在MBC。中，对角线AC、8。相交于点。，AB=OB,E为AC上一点，BE平分

ZABO,£F_LBC于点F,NCAD=45。，EF交BD于点P,BP=也,则8c的长为.

20.如图，在四边形ABCD中，A£>//8C,AT>=5,8C=18,E是6c的中点.点尸以每秒

1个单位长度的速度从点A出发，沿AO向点。运动;点。同时以每秒3个单位长度的速度

从点C出发，沿CB向点3运动.点尸停止运动时，点。也随之停止运动，当运动时间为

，秒时，以点P，Q,E,。为顶点的四边形是平行四边形，贝"的值等于.

三、解答题

21.如图，在用AA3C中，N84C=9O°，。是8C的中点，E是AO的中点，过点A

作AFUBC交BE的延长线于点F

(1)求证：四边形ADCR是菱形

(2)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积

22.如图，在矩形ABC。中，点E是AO上的一点(不与点A，。重合)，以BE沿

8E折叠，得5£尸，点A的对称点为点尸.

(1)当A5=AL>时，点尸会落在CE上吗？请说明理由.

AD

(2)设一=m(O<m<\),且点尸恰好落在CE上.

①求证：CF=DE.

AP

②若一=n,用等式表示相，〃的关系.

AD

23.如图1,AA8C是以NACB为直角的直角三角形，分别以AB,BC为边向外作正方

形ABFG，BCED,连结AO，CF,AO与C尸交于点“，AB与CF交于点N.

(1)求证：MBD三kFBC；

(2)如图2,在图1基础上连接Ab和ED，若AD=6,求四边形ACDE的面积.

24.如图，在矩形A8CD中，N8AD的平分线交BC于点E,AE=AD,作DFJ_AE于点F.

(1)求证：AB=AF；

(2)连BF并延长交DE于G.

①EG=DG；

②若EG=1,求矩形48CD的面积.

25.已知在平行四边形A8QD中，AB手BC,将A5C沿直线4C翻折，点5落在点

尽处，与CE相交于点0,联结OE.

(1)如图1,求证：AC/IDE；

(2)如图2,如果N8=90°,AB=6，BC=娓,求04C的面积；

(3)如果N8=30。，AB=26，当AED是直角三角形时，求8c的长.

E处，折痕为PQ,过点E作EF〃阳交PQ于F,连接8F.

(1)求证：四边形BFEP为菱形；

(2)当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动.

①当点Q与点C重合时，(如图2),求菱形BFEP的边长：

②如果限定P、Q分别在线段84BC上移动，直接写出菱形8FEP面积的变化范围.

27.如图，在平行四边形ABCD中，AD=30,CD=10,F是BC的中点，P以每秒1个单位长

度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；Q沿着Af。路径以每秒3个

单位长度的速度运动，到D点后停止运动.已知动点P,Q同时出发，当其中一点停止

后，另一点也停止运动.设运动时间为t秒，问：

(1)经过几秒，以A,Q,F,P为顶点的四边形是平行四边形

(2)经过几秒，以A,Q,F,P为顶点的四边形的面积是平行四边形ABCD面积的一

半？

28.如图①，在A8C中，AB=AC，过46上一点。作DE//AC交于点£,以

E为顶点，ED为一边,作NDEF=NA，另一边所交AC于点尸.

图①

（1）求证：四边形A。所为平行四边形；

（2）当点。为中点时，AOE/7的形状为；

（3）延长图①中的OE到点G,使EG=OE,连接AE,AG,FG,得到图②，若AO=AG,

判断四边形AEGE的形状，并说明理由.

29.如图，矩形ABCD中，点。是对角线BD的中点，过点0的直线分别交AB,CD于点

E,F.

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；

（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是，试说明理由；

（3）在（2）的条件下，若AB=8,AD=6,求EF的长.

30.已知，矩形ABCO中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分EF线分别交

AD.BC于点、E、F,垂足为。.

（1）如图1,连接"、CE,求证：四边形AACE为菱形；

（2）如图2,动点P、Q分别从A、。两点同时出发，沿AAFH和△（7以各边匀速运

动一周，即点P自A—/fB—A停止，点。自Cr。fE—C停止.在运动过程

中，

①已知点P的速度为每秒5。《,点。的速度为每秒4c加，运动时间为f秒，当

A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，则7=__________.

②若点尸、。的运动路程分别为a、b（单位:皿油HO）,已知A、C、P、。四点为顶

点的四边形是平行四边形，则a与人满足的数量关系式为___________.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

解析：D

【解析】

【分析】

根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN,利用勾股定

理即可求得.

【详解】

如图，EF为剪痕,过点F作FG_L£M于G.

F

B

VEF将该图形分成了面积相等的两部分，

EF经过正方形ABC。对角线的交点，

AF=CN,BF=DN.

易证"MEm\PDN,

EM=DN,

而AF=MG，

.•・EG=EM+MG=DN+AF=DN+CN=DC=1.

在RtAFGE中,EF=4FG。+EG。=加+E=阿

故选：D.

【点睛】

本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是

解题的关键.

2.A

解析：A

【解析】

【分析】

根据题意很容易证得ABAE丝AADF,即可得到AF=BE,利用正方形内角为90。，得出

AF_LDE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.

④根据4BAE丝Z\ADF,即可得到SM»GEDF=SABG，即可求解.

【详解】

①证明：在AD边上（不与A.D重合），点F在DC边上（不与D.C重合）.

又•••点E.F分别同时从A.。出发以相同的速度运动，

S.AE^DF,

:四边形A8CD是正方形，

AB=DA,NBAE=ZD=90,

在"AE和AADF中，

AE=DE

<NBAE=ZADF=90

AB=AD,

：.^BAE^^ADF（SAS）,

AZ1=Z2,

,/N2+N3=90

Zl+Z3=90

即ZAGB=90

NBGF=90,

NBGF是定值；正确.

②无法判断NGB户与NCB厂的大小，BF平分/CBE；错误.

③当E运动到AD中点时，

点F运动到CD中点，

CF=LcD=a,

2

BF=ylBC2+CF2=#）a,

GH==，8F=Y^a,正确.

22

®^BAE^^ADF,

=

则SHa®GEDFSABC,

当CAAGB=("+2)4时，

AG+GB=V6a,

(AG+GB)2=AG2+2AGGB+GB1=6a2,

AG2+BG2=AB2=4a2,

2AGGB=2a2,

11,2

SABC=-AGGB=-a,

ABG22

S|Sii)BGEDF=—a2,故S四边修GEDF=—a2,错误.

26

故选A.

【点睛】

考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理

是解题的关键.

3.C

解析：C

【分析】

如图，取AD的中点M,连接CM、AG、AC,作AN_LBC于N.首先证明NACD=90。，求出

AC,AN,利用三角形中位线定理，可知EF=^AG,求出AG的最大值以及最小值即可解

2

决问题.

【详解】

解：如图，取AD的中点M,连接CM、AG、AC,作AN_LBC于N.

•..四边形ABCD是平行四边形，NBCD=120。，AO=245=8

AZD=180°-ZBCD=60°,AB=CD=4,

；AM=DM=DC=4,

.".△CDM是等边三角形，

/DMC=NMCD=60°,AM=MC,

/MAC=NMCA=30°,

.♦.NACD=90。，

.-.AC=4A/3

.•.AN=』AC=2石

2

VAE=EH,GF=FH,

1

；.EF=-AG,

2

•.•点G在BC上，；.AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，

，AG的最大值为4百，最小值为26，

.••EF的最大值为2百，最小值为百，

•••EF的最大值与最小值的差为：也

故选：C

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角

形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是

证明NACD=90。，属于中考选择题中的压轴题.

4.A

解析：A

【分析】

根据平行四边形的性质得到A3=8=6,AO=BC=8,求出BE、BF、EF，根据

D8FE@DC"E(ASA)得出CB=2,EH=243,根据三角形的面积公式求AOEH的面

积，即可求出答案.

【详解】

解：四边形ABC。是平行四边形，

AD=BC=8,AB//CD>AB-CD=6,

E为BC中点，

;.BE=CE=4,

4=60。，EFA.AB，

：.ZFEB=3Q°,

;.BF=2,

由勾股定理得：EF=2眄，

AB//CD,

\?B?ECH,

在AfiFE和△(?//£中,

X?B?ECH

iBE=CE,

BEF?CEH

\DBFE@DCHE(ASA),

\EF=EH=2>/3,CH=BF=2,

SDDHF=-DHgfH=1(DC+CH)^FE+HE)=i?(62)?(262吟=165

\^DDEF=T^DDHF=,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形,

三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计

算是解此题的关键.

5.D

解析：D

【分析】

根据折叠的性质得到ED'=BE,ND'EF=NBEF,根据平行线的性质得到ZD'EF=

ZEFB,求得BE=BF,设AD'=BC'=3x,AB=x,根据勾股定理得到BE=|x,于是得

到结论.

【详解】

如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合，

.♦.ED'=BE,ZD'EF=NBEF,

VAD,//BC',

：.ZD'EF=NEFB,

AZBEF=ZEFB,

；.BE=BF,

:原矩形的长宽之比为3：1,

.•.设AD'=BC'=3x,AB=x,

.•.AE=3x-ED'=3x-BE,

VAE2+AB2=BE2,

(3x-BE)2+x2=BE2,

解得：BE=-x,

3

54

；.BF=BE=-x,AE=3x-BE=—x

33

4

.殁=1L±

"BF5」二

【点睛】

本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，

熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

6.B

解析：B

【分析】

由矩形的性质可得AO=CO=DO=B。，ZDAB=ZABC=ZDCB=ZCDA=90°,ADIIBC,

ABIICD,由角平分线的性质和平行线的性质可判断①，由锐角三角函数可求NACD=

30。，即可判断②，由三角形内角和定理可求NDOE的度数，即可判断③④，由直角三角

形的性质可求CE的长，即可判断⑤.

【详解】

•••四边形ABCD是矩形

AO=CO=DO=BO,NDAB=NABC=NDCB=NCDA=90°,ADIIBC,ABHCD

AE平分NBAD

/.ZDAE=NEAB=45"

ABIICD

ZDEA=NEAB=45°

ZDEA=NDAE=45°

AD=DE,且NADE=90°

△ADE是等腰直角三角形

故①正确

/AD=-AC,ZADC=90"

2

ZACD=30°

ZOCB=60°,JLOB=OC

△OBC是等边三角形

故②正确

・••△OBC是等边三角形

OB=OC=BC

OD=OA=AD=OC=OB

，NODA=NOAD=NDOA=60°,NOCD=NODC=30°,且OD=DE

故③错误

•••ZEAC=ZOAD-ZDAE=15",ZEOC=ZDOC-ZDOE=180°-ZD0A-75o=120°-75o=45°

ZEOC=3ZEAC

故④正确

ZACD=30°,

1

.\AD=—AC,AC=2AD

2

/•CD=J（2AD）2-A》=&AD,且DE=DO=AD

CE=&AD-ADHDE

OE不是△ACD的中位线，

故⑤错误

故选：B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，求出NACD=30。

是本题的关键.

7.B

解析：B

【分析】

根据平行四边形的判定方法对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断即可；根据

三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判

断.

【详解】

解：①错误，反例为等腰梯形；②正确，理由一组邻角相等，且根据平行四边形的性

质，可得它们都为直角，从而推得矩形；③正确，理由：得到的四边形的边长都等于矩形

对角线的一半；④正确.

故答案为B.

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.判定一个命题的真假关键在于

对基本知识的掌握.

8.A

解析：A

【分析】

计算前三个正方形的面积从而得出一般规律求解.

【详解】

顺次连接正方形ABCO四边的中点得到第一个正方形

则正方形4与GA的面积为ixg=g

正方形4与6。2的面积为:x；=；

正方形的面积为：

2228

正方形4纥c,2的面积为（；）"=£

根据规律可得，第六个正方形A纥c6a的面积为（[）6=[=』•

2264

【点睛】

本题考查了特殊正方形中的面积计算，解题的关键在于找出规律，根据规律求解.

9.C

解析：C

【分析】

由oABCD中，/ADC=60°,易得aABE是等边三角形，又由AB='BC,证得

2

ZCAD=30°；继而证得ACLAB,AE=CE,可判断①；由AC_LAB,则②S,ABCD=AB・AC；可得

0E是三角形的中位线，则OE=！AB,则③%"=25乂8；证得④0£；=」8。.

【详解】

解：•・,四边形ABCD是平行四边形，

/.ZABC=ZADC=60°,ZBAD=120°,

VAE平分/BAD,

/.ZBAE=ZEAD=60°

AABE是等边三角形，

AAE=AB=BE,ZBAE=60°,

VAB=—BC,

2

1

AAE=-BC,

2

/.ZBAC=90°,

AZACE=ZCAE=30°,

AAE=CE,故①正确;

VAC1AB,

ASOABCD=AB*AC,故②正确，

,点。是AC中点，点E是BC中点，

.\0E=—AB,

2

•*-S.BE=2S故OE'故③错误；

VOE是中位线，

.\OE=—AB=-BC,故④正确.

24

...正确的选项有①②④，共3个；

故选：C.

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质.注意

证得4ABE是等边三角形，0E是AABC的中位线是关键.

10.B

解析：B

【分析】

连接CD,利用勾股定理列式求出AB,判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等

可得EF=CD,再根据垂线段最短可得CD_LAB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面

积公式列出方程求解即可.

【详解】

如图，连结CD.

：NACB=90°,AC=3,BC=4,

，AB=JAC2+8C2=5.

VDEIAC,DF1BC,ZACB=90°,

四边形CFDE是矩形，；.EF=CD.

由垂线段最短可得CD1AB时、线段EF的长最小，

此时，SAABC=—BCAC=—ABCD,

22

即LX4X3=—X5CD,

22

解得CD=2.4,.\EF=2.4.

故选B.

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD_LAB时，线段

EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程.

二、填空题

【分析】

连接DM,直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM,利用两边之差小于第三边得到

AM-MN<DN,又根据三角形中位线的性质即可求解.

【详解】

连接DM,如下图所示，

•••NBAC=NEDF=90。

又为EF中点

1

.\AM=DM=—EF

2

AAM-MN^DM-MN<DN（当D、M、N共线时，等号成立）

VD,N分别为BC、AC的中点，即DN是^ABC的中位线

15

，DN=—AB=-

22

40-知'的最大值为：

2

故答案为一.

2

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM—的取

值范围.

12.4

【分析】

根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，

得EF=AP,则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于

直角三角形ABC斜边上的高.

【详解】

解：连接AP,

I,在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

AB2+AC2=BC2,

即/BAC=90Q.

又PE_LA8于E,PF±AC于F,

四边形AEPF是矩形，

EF=AP,

.；AP的最小值即为直角三角形A8C斜边上的高,

设斜边上的高为h,

22

1一1…

—X5-/7=—x3x4

22

；.h=2.4,

AEF的最小值为2.4,

【点睛】

本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把

要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键.

13.①②③④

【分析】

①根据角平分线的定义可得/BAE=NDAE=45°,可得出△ABE是等腰直角三角形，根据等

腰直角三角形的性质可得4£=血48,从而得到AE=AD,然后利用“角角边”证明△ABE

和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求

出NADE=NAED=67.5°,根据平角等于180°求出NCED=67.5°,从而判断出①正确；

②求出N4H8=67.5°,ZDHO=ZODH=22.5Q,然后根据等角对等边可得。E=OD=OH,判断

出②正确；

③求出NEBH=/OHD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45°,然后利用“角边角”证明△BEH和

△HDF全等,根据全等三角形对应边相等可得BH=HF,判断出③正确；

④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE,然后根据HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判断出④正确；

⑤判断出△A8H不是等边三角形，从而得到A8W8H,即ABWHF,得到⑤错误.

【详解】

,在矩形A8CD中，AE平分/BAD,：.ZBAE=ZDAE=45°,...△ABE是等腰直角三角形，

，AE=亚AB.

'：AD=j2AB,：.AE=AD.

NBAE=NDAE

在AABE和△AH。中，V<AABE=ZAHD=90°,A/XABE^/XAHD(AAS),

AE=AD

1.BE=DH,；.AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED=-(180°-45°)=67.5°,

2

/.ZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,AZAED=ZCED,故①正确；

VZAHB=-(180°-45°)=67.5°,NOHE=NAHB(对顶角相等)，

2

：./OHE=NAED,：.OE=OH.

VZDOH=90°-67.5°=22.5°,ZODH=67.5°-45°=22.5°,：.ZDOH=ZODH,

：.OH=OD,；.OE=OD=。”，故②正确；

:NEBH=90°-67.5°=22.5°,：.NEBH=NOHD.

ZEBH=ZOHD

在△8EH和△HDF中，<BE=DH,(ASA),：.BH=HF,

NAEB=ZHDF

HE=DF,故③正确；

由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD-DF,BC-CF=(CO+HE)-(CD-

HE)=2HE,所以④正确；

"：AB=AH,N8AE=45°,，△ABH不是等边三角形，：.AB^BH,...即A8WHF,故⑤错

误；

综上所述：结论正确的是①②③④.

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定

与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角

形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点.

14.772；

【分析】

连接A。、B。、CO,过。作FO_LA。，交AB的延长线于F,判定△AOC丝aFOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,进而得到AF=8+6=14,ZFAO=45",根据AO=AFxcos45°进行计

算即可.

【详解】

解：连接AO、B。、CO,过。作FO_LAO,交AB的延长线于F,

VO是正方形DBCE的对称中心，

.".BO=CO,ZBOC=90",

VFO1AO,

AZAOF=90°,

.\ZBOC=ZAOF,

即ZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

AZAOC=ZFBO,

VZBAC=90",

.•.在四边形ABOC中，ZACO+ZABO=180°,

VZFBO+ZABO=180°,

AZACO=ZFBO,

在△AOC和AFOB中，

ZAOC=NFOB

,AO=FO,

ZACO=NFBO

.,.△AOC^AFOB(ASA),

.•.AO=FO,FB=FC=6,

；.AF=8+6=14,NFAO=NOFA=45",

AO=AFxcos450=14x—=7J?.

2

故答案为70.

【点睛】

本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.本题的关键是通过作辅助线来构建

全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算.

15.②③

【分析】

根据菱形的性质可知ACJ_BD,所以在RtZXAFP中，AF一定大于AP,从而判断①；设

ZBAE=x,然后根据等腰三角形两底角相等表示出/ABE,再根据菱形的邻角互补求出

ZABE,根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和NBE的度数，从而

判断②③.

【详解】

解：在菱形ABCD中，AC1BD,

...在RtZkAFP中，AF一定大于AP,故①错误；

•.•四边形ABCD是菱形，

；.AD〃BC,

ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

设/BAE=x°,

则/EAD=2x°,ZABE=180°-x°-2x°,

：AB=AE,NBAE=x°,

ZABE=ZAEB=180°-x°-2x\

由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得：x=36,

即/BAE=36°,

ZBAE=180--36°-2x36°=70°,

•.•四边形ABCD是菱形，

AZBAD=ZCBD=—ZABE=36",

2

，/BFE=/ABD+NBAE=36°+36°=72°,

，/BEF=180°-36°-72°=72°,

；.BE=BF=AF.故③正确

VZAFD=ZBFE=72",ZEAD=2x0=72°

AZAFD=ZEAD

,*.AD=FD

又；AD=AB=AE

，AE=FD,故②正确

正确的有②③

故答案为：②③

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于NBAE的方程是解题

的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角.

16.1.或7.

【分析】

存在2种情况满足条件，一种是点P在BC上，只需要BP=CE即可得全等；另一种是点P

在AD上，只需要AP=CE即可得全等

【详解】

设点P的运动时间为f秒，

当点P在线段上时，则3P=2r,

•.•四边形ABCZ)为长方形，

AAB^CD,NB=NDCE=90°,

此时有/SABP^^DCE,

:.BP=CE,即2/=2,解得『=1；

当点P在线段A0上时，则8C+CZ)+OP=2f,

•.•AB=4，A£>=6,

BC=6,CD—4,

AP=(BC+CD+DA)-(BC+CD+DP)^6+4+6-2t=\6-2t,

：.AP=16-2z,

此时有△ABWACOE,

AAP^CE,即16—2r=2,解得，=7；

综上可知当t为1秒或7秒时，A4BP和ACDE全等.

故答案为：1或7.

【点睛】

本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到

一条直角边相等即可

17.5

【分析】

先判断四边形8CE〃的形状，再连接fM、FC,利用正方形的性质得出AFG是等腰直

角三角形，再利用直角三角形的性质得出即可.

2

【详解】

四边形ABCP是边长为4的正方形，EF//BC,

四边形8CE尸是矩形，

,：PE=1，

CE=3,

连接向公FC，如图所示：

•・•四边形ABC尸是正方形，

AZBAC=45，AFG是等腰直角三角形，

是AG的中点，即有AM=MG，

FM1AG,月0C是直角三角形，

又丫N是FC中点，MN=-FC,

2

FC^yjBF2+BC2=5

:.MN=25,

故答案为：2.5.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在

于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解.

【分析】

根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP,由"AAS"可证AOEF丝△OBP,可得出OE=OB、

EF=BP,设EF=x,则BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x,进而可得出AF=2+x,在RtADAF中,利用

勾股定理可求出x的值，即可得AF的长.

【详解】

解：.将4CDP沿DP折叠，点C落在点E处，

；.DC=DE=5,CP=EP.

在aOEF和△OBP中，

NEOF=NBOP

<=NE=90,

OP=OF

.".△OEF^AOBP(AAS),

，OE=OB,EF=BP.

设EF=x,则BP=x,DF=DE-EF=5-x,

又•；BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,

，AF=AB-BF=2+x.

在RtZXDAF中，AF2+AD2=DF2,

(2+x)2+32=(5-x)2,

故答案为：—

7

【点睛】

本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题

时常常设要求的线段长为X,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段

的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

19.4

【分析】

过点E作EM〃AD,由AABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是A。的中点，可证得

EM=LAD=1BC,根据已知可求得NCEF=NECF=45。，从而得NBEF=45。，ABEF为等腰直角

22

三角形，可得BF=EF=FC=，BC,因此可证明4BFP丝Z\MEP(AAS),则EP=FP='FC,在

22

Rt^BFP中，利用勾股定理可求得x,即得答案.

【详解】

过点E作EM〃AD,交BD于M,设EM=x,

VAB=OB,BE平分NABO,

...△ABO是等腰三角形，点E是A0的中点，BELA。，NBEO=90。，

，EM是AAOD的中位线，

又...ABCD是平行四边形，

；.BC=AD=2EM=2x,

VEF±BC,NCAD=45",AD/7BC,

ZBCA=ZCAD=45°,ZEFC=90°,

•••△EFC为等腰直角三角形，

；.EF=FC,ZFEC=45°,

AZBEF=900-ZFEC=45°,

则ABEF为等腰直角三角形，

1

.*.BF=EF=FC=-BC=X,

2

VEM/7BF,

AZEMP=ZFBP,ZPEM=ZPFB=90°,EM=BF,

则△BFPZ/\MEP(ASA),

111

...EP=FP=-EF=-FC=-X,

222

...在RtABFP中，BP2=BF2+PF2，

解得：x=2,

，BC=2X=4,

故答案为：4.

【点睛】

考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三

角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键.

20.2或3.5

【分析】

分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案.

【详解】

如图，

1

BE=CE=-BC=9,

2

①当Q运动到E和B之间，则得：

3t-9=5-t,

解得：t=3.5；

②当Q运动到E和C之间，则得：

9-3t=5-t,

解得：t=2,

当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.

【点睛】

“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质.解题时注意掌握辅助线的

作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.

三、解答题

21.(1)见解析(2)10

【分析】

(1)先证明△AEE£ADBE，得到A尸=DB，AF=CD,再证明四边形ADC77是平

行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到

2

即可证明四边形ADCF是菱形。

(2)连接证明四边形尸是平行四边形，得到OF=A3=5,利用菱形的求面

积公式即可求解。

【详解】

(1)证明：AF//BC,AZAFE=ZDBE，

YE是AD的中点，是边上的中线，AE=OE,8O=CO,

在AAFE和ADB石中，

ZAFE=NDBE

<NFEA=ZBED,

AE=DE

：.AAFEMADBE(AAS),：.AF=DB.

•:DB=DC,：.AF=CD.

：AFIIBC,••.四边形ADCF是平行四边形，

VZBAC=90°>。是BC的中点，E是的中点,

=。。=_LBC,.•.四边形ADCF是菱形;

2

(2)如图，连接。尸，

AF//BD,AF=BD,

二四边形/WZ)厂是平行四边形，=A3=5,

V四边形ADCF是菱形，•••S菱物10b=1AC酣=1x4x5=10.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的应用，菱形的判定定理以及菱形的性质，熟练掌握菱形的的判

定定理和性质是解此题的关键。

22.(1)不会，理由见解析；(2)①见解析；②〃?2+〃2-2〃=0

【分析】

(1)根据BEFv得到斯=84,根据三角形的三边关系得到3C>3/=B4,

与已知矛盾；

(2)①根据NBFC=ZBFE=90°、/DEC=ZFCB和BF=CD,利用AAS证得

BCF=CED,根据全等三角形的性质即可证明；

②设AO=1,则可表示出AE和AB,然后根据等角对等边证得CE=CB,然后在RrACDE

中应用勾股定理即可求解.

【详解】

(1)由折叠知BEF=BEA，

所以BF=BANBEE=NA=90°.

若点尸在CE上，则NBFC=90°,BC>BF=BA,

与AB=A。矛盾，

所以点尸不会落在CE上.

A3

(2)①因为n=m(0<根<1),则43<4£),

因为点尸落在CE上，

所以NB/V=NBEE=90°,

所以.

因为AD〃8c,

所以/DEC=NFCB,

所以BCF=CED，

所以CE=£>£.

4/7

②若---=〃，则AE=nAD.

AD

设AZ）=1,则AE—〃，AB=m.

因为AD//8C,

所以NBEA=NEBC.

因为NBEF=/BEA,

所以ZEBC=NBEC，

所以CE=CB=AD=1.

在RtACDE中,DE=T—n,CE=l,CD=m，

所以（1一〃>+加？=/，

所以m2+n2-2n=（）.

故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②〃族+“2-2〃=0.

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合

题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键.

23.（1）详见解析；（2）18

【分析】

（1）根据正方形的性质得出BC=BD,AB=BF,NCBD=NABF=90°,求出/ABD=NCBF,根

据全等三角形的判定得出即可；

（2）根据全等三角形的性质得出NBAD=NBFC,AD=FC=6,求出ADLCF,根据三角形的面

积求出即可.

【详解】

解：（1）四边形ABFG、5CED是正方形，

CB=DB,ZABF=ZCBD=90°