江西省2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

江西省武宁县第一中学沙田校区2021学年高一数学下学期期末考试

试题（含解析）

一、选择题，

1.直线y=#x+l的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.150°D.120°

【答案】A

【解析】

【分析】

直线的倾斜角就是斜率，从而求得倾斜角.

【详解】解：直线y=+i的斜率设其倾斜角为。，0e[O°,18O°）,

则tan9=3,.♦•。=30°.故选：A.

3

【点睛】本题主要考查直线的倾斜角及斜率的关系，难度较小.

2.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方

依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五

位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）

A.对立事件B.不可能事件

C.互斥但不对立事件D.不是互斥事件

【答案】C

【解析】

甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲

或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件.选C.

3.对于空间中的直线，"，〃以及平面a,夕，下列说法正确的是（）

A.若二〃〃，mua,nd/3,则〃?||〃

B.若a〃/?,mVn,则〃||夕

C.若aA./3,m\\a,〃||夕，则加_L〃

D.若〃2，a//p,mVa,则

【答案】D

【解析】

【分析】

根据空间直线和平面的位置关系对四个选项逐一排除，由此确定正确的选项

【详解】对于A选项，帆,〃可能异面，故A错误；对于B选项，可能有〃<=/?,故B错误；

对于C选项，机〃的夹角不一定为90°,故C错误;因为故根，尸，因为根//〃，

故故D正确，故选D.

【点睛】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查直线和平面、平面和平面位置关系

的判断，属于基础题.

4.一组数据的茎叶图如图所示，则数据落在区间［22,30］内的概率为（）

IK9

212279

3003

A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6

【答案】D

【解析】

【分析】

根据茎叶图10个原始数据落在区间［20,30］内的个数，由古典概型的概率公式可得结论.

【详解】由茎叶图10个原始数据，数出落在区间［20,30］内的共有6个，

包括2个22,1个27,1个29,2个30,

所以数据落在区间［20,30］内的概率为得=0.6,故选D.

【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于简单题.在解古典概型概率题时，首

先求出样本空间中基本事件的总数〃，其次求出概率事件中含有多少个基本事件加，然后根

据公式p=—求得概率.

n

5.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到一1,0,4,%7,14,中位数为5,则这组数据的

平均数和方差分别为()

u74=73〃76,77

A.5,—B.5,—C.4,—D.4,—

3333

【答案】A

【解析】

【分析】

由中位数为5,求出x值，再利用平均数和方差公式计算即可得到答案.

【详解】V-1,0,4,x,7,14中位数为。

.4+x

・,-------=J,

2

x=6,

-1+0+4+6+7+14

...这组数据的平均数是=5

6

36+25+1+1+4+8174

这组数据的方差是

6

故选：A.

【点睛】本题考查对一组数据的中位数，平均数，方差的计算，掌握各公式是求解的关键.

6.空气质量指数AQ/是反映空气质量状况的指数，AQ/指数值越小，表明空气质量越好,

其对应关系如表:

101〜151〜201〜

AQI指数值0—5051〜100>300

150200300

轻度污中度污重度污严重污

空气质量优良

染染染染

如图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势:

A.这20天中AQI指数值的中位数略高于100

B.这20天中的中度污染及以上的天数占工

4

C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好

D.总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好

【答案】C

【解析】

【分析】

根据所给图象，结合中位数的定义、AQ/指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对

四个选项逐一判断即可.

【详解】对A，因为第10天与第11天AQ/指数值都略高100,所以中位数略高于100,正

确；

对8,中度污染及以上的有第11,13,14,15,17天，共5天占上，正确；

4

对C,由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差,

错误；

对。，由图知，10月上旬大部分AQ/指数在100以下，10月中旬大部分AQ/指数在100以

上，所以正确，故选C.

【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的

事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将

实际问题转化为数学模型进行解答.

7.按照程序框图（如图）执行，第4个输出的数是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

按步骤写出对应程序，从而得到答案.

【详解】解：第一次输出的A=l，则S=l+1=2,满足条件SW5,然后A=l+2=3

第二次输出的A=3,则S=2+l=3,满足条件SW5,然后A=3+2=5

第三次输出的A=5,则S=3+l=4,满足条件SW5,然后A=5+2=7

第四次输出的A=7,则S=4+l=5,满足条件SW5,然后A=7+2=9

第五次输出的A=9,则S=5+1=6,不满足条件SW5,然后退出循环

故第4个输出的数是7故选：C.

【点睛】本题主要考查算法框图，重在考查学生的计算能力和分析能力.

8.《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等

马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中

等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛、齐

王获胜的概率是（）

3

B.-C9D.-

54

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求出满足“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”这一条件的事件数，然后求出

满足“齐王获胜”这一条件的事件数，根据古典概型公式得出结果.

【详解】解：因为双方各有3匹马，

所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，

满足“齐王获胜”的这一条件的情况为：

齐王派出上等马，则获胜的事件数为3；

齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；

齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；

故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，

根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率P=9=2,故选A.

93

【点睛】本题考查了古典概型问题，解题的关键是求出满足条件的事件数，再根据古典概型

的计算公式求解问题，属于基础题.

9.为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随

机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（）

A.12B.9C.8D.6

【答案】B

【解析】

试题分析：根据题意，设阴影部分的面积为S,则正方形的面积为36,

向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，

则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分概率P=^=L;

8004

而P=—,则———，

36364

解可得，S=9；

考点：模拟方法估计概率

10.一个圆经过以下三个点5（-3,0）,C（0,-2）,且圆心在y轴上，则圆的标

准方程为（）

B.炉+收电

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意设出圆心，利用圆心到三点的距离相等建立等式，从而求得标准方程.

【详解】解：设圆心坐标为（0,6），半径为「，则圆的方程为f+（y—"2=’,

169

，解得b=-

4fIT

伍+2）」

（<i3V

・・・圆的标准方程为九=—

44

故选：D.

【点睛】本题主要考查圆的标准方程，重点找出圆心及半径是关键，难度不大.

11.若三条直线x+y-3=0,x-y+l=0,如+〃>-5=0相交于同一点，则点（加,“）到

原点的距离的最小值为（)

A.V5B.V6C.26D.275

【答案】A

【解析】

【分析】

联立直线求得交点，找出m,n的关系，从而表示出距离得到答案.

【详解】解：联立《解得x=l,y=2.

x-y+l=0

•三条直线x+y-3=0,x-y+l=0,如+〃），-5=0相交于同一点，m+2〃=5.

则点（加,〃）到原点的距离的最小值为原点到直线x+2y=5的距离d==V5.

故选：A.

【点睛】本题主要考查学生的计算能力，以及对点线距的掌握情况，难度不大.

12.在四面体P—ABC中，ZXABC是边长为3的等边三角形，PA=3,PB=4,PC=5,

则四面体产一ABC的体积为（）

A.3B.26C.而D.V10

【答案】C

【解析】

【分析】

把四面体补成如图所示的三棱锥，其中AO=3,可以证明CB_L平面PBD且kPDC、APBD

均为直角三角形，通过计算匕棱锥皿可得匕棱锥P-ABC.

【详解】如图，延长C4至。，使得AO=3,连接

因为45=43=3,故AADB为等腰三角形，

又Z/MBuROO—NGWulZO。，故NADB=g（180°—120。）=30°,

所以ZA£）B+ZDCB=90°即ZD3C=90°,故CBLDB,

因为P8=4,PC=5,8C=3,所以PC?=PB?+BC?,所以CBLPB,

因=DBu平面PBD,PBu平面

所以平面PBD,

所以V三棱锥p_c80=L棱锥C-P8O=§XCBXS"BD'

因A为DC的中点，所以吃棱锥P_ABC=—咚棱锥P-C8O=NX3xS=—S"BD'

2OspBD2

因为ZM=AC=AP=3,故APOC为直角三角形，

所以PDudcO—PC)=J36_25=VH，

又DB=6AD=36而PB=4，故DB?=PZy+P82即妨双)为直角三角形,

所以S"8D=；x4xjn=2jn,所以乙棱锥p_"c=«，故选C

【点睛】不规则三棱锥的体积的计算，应尽量找寻其高，如果高难以确定，则可以把给定的

几何体补成容易计算体积的几何体，注意补体时利用已有的垂直关系.

二、填空题（将答案填在答题纸上）

13.己知具有线性相关关系的两个量尤,y之间的一组数据如表:

X01234

y2.24.34.5m6.7

且回直线方程是$=0.95X+2.6，则加的值为

【答案】4.8

【解析】

【分析】

求出数据中心，代入回归方程即可求出m的值.

_1+2+3+4_2.2+4.3+4.5+m+6.7m+17.7

［详解］x=---------=2,y=-------------=―--

m+17.7

，一-——=0.95X2+2.6,解得m=4.8.

故答案为4.8.

【点睛】本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题.

14.甲、乙、丙三人射击同一目标，命中目标的概率分别为工，且彼此射击互不影响,

234

现在三人射击该目标各一次，则目标被击中的概率为.（用数字作答）

3

【答案】4

【解析】

分析：根据独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式求解即可.

详解：由题意得，甲、乙、丙三人射击同一目标都未击中的概率为

13

所以甲、乙、丙至少一人击中的概率为1--=—,

44

3

即目标被击中的概率为一.

4

点睛：解答概率问题的关键是认清概率的类型、选择合适的公式求解，对于含有“至多”、

“至少”等词语的问题一般可根据对立事件的概率求解，可减少运算量、提高解题的效率.

15.过点P（3,T）作圆/+,2=9的两条切线，切点分别为A,B,则点P到直线A3的

距离为一.

【答案】y

【解析】

【分析】

根据圆的切线长定理，可知PA_LAC,。。，48,设尸。＜^48=瓦则总的长度就是点「到

直线的距离，在用AB4c中，利用相似三角形，得到比例式，可以求出CE,进而求出PE。

【详解】连接AB,PC设PCcA3=E，因为PAP8是圆的两条切线，所以PAJ.AC,

PC，则PC=5,AC=3,显然Rt\ACE相似于Rt\PCA

ArCFQ1616

=-^=/n==2=「£=£,所以点2到直线48的距离为£。

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题中充分利用直角三角形相似是关键。

16.已知〃>0,匕>0,c>0,且c?="+〃，4（一。，°），4（。,0）,3（0,b）,尸（G。）.若

在线段上（不含端点）存在不同的两点玖i=l,2）,使得则实数f的取值

a

范围是

【答案】正<£<史上1

a2

【解析】

【分析】

利用距离关系即可列出不等式，从而得到取值范围.

xv,be

【详解】解：直线8/方程一+2=1，即bx+cy-bc=0,由已知得“=-/,，（生且a<6

cbsib2+c2

则可得到eJ3e2+l<0，由于e>l,所以e>l,则e〈叵*，由于a〈人则/一/,

2

所以e>夜，所以&<£<也里

a2

解得：&<£<史」」

a2

【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的关系，利用点线距建立不等式是解题的关键，难

度中档.

三、解答题.

17.从含有两件正品。，b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的

两件产品中恰有一件是次品的概率.

（1）每次取出不放回；

（2）每次取出后放回.

【答案】（1）p=~=~

63

4

（2）n=-

9

【解析】

试题分析：

（D由题意列出所有可能的结果，共有6种，然后结合古典概型公式可得每次取出不放回的概

率为？;

（2）由题意列出所有可能的结果，共有9利I然后结合古典概型公式可得每次取出放回的概

率为，;

试题解析：

（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，

即（4,，）（。,。）,（。,。）,（仇。）,（。,。）,亿，）.用力表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这

4?

一事件，则夕（4）=一=一.

63

（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是每次取出一个，取后放回地连续

取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有9个，即：

（仇a）,（0⑼,（0,c）,

4

用8表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件,则尸（B）=g.

18.（1）设直线m的方程为（a+l）x+y+2-。=0（。GR）.若直线m在两坐标轴上的截距相

等，求直线〃，的方程；

（2）过直线/：y=%上的点。（2,2）作直线加，若直线/,也与x轴围成的三角形的面积为

2,则直线机的方程.

【答案】（1）3x+y=0或x+y+2=0（2）x-2y+2=0或x=2.

【解析】

【分析】

(1)表示出截距，然后建立等量关系得到答案.

(2)计算出与x,y轴的坐标，然后建立等量关系，即可得到直线方程.

【详解】解：(1)当直线过原点时，该直线在％轴和>轴上的截距为0,二。=2,方程即为

3x+y=O.

xy_,n

当直线不经过原点时，截距存在且均不为0,直线方程为力■+-=«-2

T«+1

a+1

：.a=Q,方程即为x+y+2=0.综上，直线机的方程为3x+y=0或x+y+2=0.

(2)①若直线加的斜率不存在，则直线，"的方程为尤=2,

直线加，直线/和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意：

②若直线"?的斜率％=0,则直线旭与x轴没有交点，不符合题意；

③若直线机的斜率ZwO,设其方程为>一2=左(%一2),令y=0,得％=2-/，依题意

K

]211

有JX2-三、2=2,解得上=不，所以直线加的方程为y—2=—(x—2),即x-2y+2=0.

2/c22

综上可知，直线，”的方程为x—2y+2=0或%=2.

【点睛】本题主要考查直线的相关量的含义，截距不是距离，注意截距为。的情况。细心分

析题目，难度不大.

19.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生

的分数(得分取正整数，满分为100)作为样本(样本容量为〃)进行统计，按照[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50,60),

[90,100]的频数分别为8,2.

(1)求样本容量〃和频率分布直方图中的x，y的值；

(2)估计本次竞赛学生成绩的中位数；

(3)在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生，求

所抽取的2名学生中至少有一人得分在［90,100］内的概率.

【答案】⑴需=瞰遁虬岸=和崛4；(2)装1；(3)—.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方

图中提供的数据信息求解；(3)运用列举法和古典概型计算公式求解.

试题解析：

Q

(1)由题意可知，样本容量『---------=50’.................2分

0.016x10

声—^―y蝴,x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030；................4分

求湍遣

(2)设本次竞赛学生成绩的中位数为m,平均分为亍，

则［0.016+0.03］X10+(m-70)X0.040=0.5,解得加=70.5,................6分

X=

(55X0.016+65X0.030+75X0.040+85X0.010+95X0.004］X10=70.6,................8

分

(3)由题意可知，分数在［80,90)内的学生有5人，记这5人分别为a”a2,a3,a„a5,

分数在［90,100］内的学生有2人，记这2人分别为氏，b2.抽取的2名学生的所有情况有21

种，

分别为:Cai,a?),(a”as)>(ai>a«),(a”as),(a”bi)>(a”bz),(a2,as),

(a2,a］)，(32,as),(a2,bi),(a2,b2),(as>a”)，(a?,aD,(as,bi),

(as,bz),(a.oa6),(at,bi),(a.”b2),(a5,bj,(a5>bz),(bi,ba).................10

分

其中2名同学的分数都不在［90,100］内的情况有10种，分别为：

(a”&2);(&i>&3)>(a”al,(a”a$),(a2,as),(a2,ai),(a2,%),(as,a］)，(aj,a$),

(a”a$).

.♦•所抽取的2名学生中至少有一人得分在［90,100］内的概率

,1011

1----=—12分

2121

考点：频率分布直方图、频率与频数的关系及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用.

【易错点晴】本题以学校中数学竞赛的数学成绩的抽样统计的频率分布直方图为背景，设置

了三个较为平常的数学问题.解答时一定要充分利用题设中提供的频率分布直方图所提供的

数据信息,结合题设条件进行求解.第一问中求的是频率分布直方图中的未知数“朋的值,运

用该频率分布直方图时一定要注意该图的纵坐标是频率与组距的比值,这一点解题很容易被

忽视.第二问中求的是中位数和平均数,求解时先依据中位数这个概念建立了方程求解,再运

用平均数公式进行求解；第三问是运用简单枚举法一一列举出基本事件的所有可能和符合条

件的事件的可能,最后运用古典概型的计算公式求出其概率的值.这是一道非常平常的考查基

础知识和基木方法的基础题.

20.如图1所示，在等腰梯形ABC。，BC//AD,CEVAD,垂足为£,AD=3BC=3,

EC=\.将AOEC沿EC折起到△2EC的位置，使平面平面ABCE,如图2

所示，点G为棱AR的中点.

（1）求证：BG〃平面AEC；

（2）求证：AB_L平面REB；

【答案】（1）见证明；（2）见证明

【解析】

【分析】

（1）利用线线平行可证明线面平行；

（2）利用线线垂直可证明线面垂直.

【详解】（1）证明；在图1的等腰梯形ABCQ内，过B作AE的垂线，垂足为F,

VCE1AD,：.BF\\EC,又BC=CE=1,AD=3,

四边形8CEE为正方形，且AF=EE=E£>=1,F为AE中点.

在图2中，连结GE,•..点G是A。的中点，.•.GFIIAE.

又；BF[IEC,GFcBF=F,GF,B/u平面3打？，D,E,ECu平面〃EC,

平面BFG||平面CEA，又•；BGu面GFB，，BG||平面DEC；

（2）证明：•.•平面。波。上平面43。£,平面〃ECc平面ABCE=EC,D.E±EC,

。添＜=平面。后。，二。田，平面池。£.又：至匚平面ABCE,RELAB.

又AB=叵,BE=g，AE=2，满足A£?=A32+BE?,

ABELAB.又BEcD[E=E,

48_1平面。淀8；

【点睛】注意线面垂直和线面平面的判定方法，意在考查学生的理解能力和空间想象能力，

难度中档.

21.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销

售量y（单位：，）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费占和年销售量

»«=1,2,-一,8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

4年销售量y

620

600

580

560

540

520

500

480

2人111111111111A

343638404244464850525456

年宣传费/千元

S,_2

'LT)

XyW之(叱f)才卜―x)(y-y)之(叫一卬).(»-)')

/=!i=\i=Ii=l

46.65636.8298.81.61469108.8

_18

表中叱=森，）=石2叫

8i=I

（1）根据散点图判断，y=。+云与y=c+dG哪一个适宜作为年销售量》最新年宣传费工

的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y最新x的回归方程；

（3）以知这种产品的年利率z与X、y的关系为z=o.2y—x.根据（2）的结果求年宣传费

x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

附：对于一组数据（%,匕），（Mo,v2）……（〃,,匕），其回归线口=。+例的斜率和截距的最

___

X（“广〃）（匕一V）

小二乘估计分别为：------=——，a^v-Pu

一〃）2

/=1

【答案】（1）y=c+d«适宜作为年销售量y最新年宣传费X的回归方程类型.（2）

p=100.6+68«（3）66.32

【解析】

【分析】

（D根据图形可知选择曲线更加符合；

（2）通过最小二乘法计算即可得到回归方程；

（