江苏省泰州市靖江外国语校2022年中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD,连接BE、CF、BD,CF与BD

交于点H,连接DH,下列结论正确的是（）

①△ABGS/XFDG②HD平分NEHG③AG_LBE④SAHDG：SAHBG=tanNDAG⑤线段DH的最小值是2占-2

C.①②®®D.①②③④

2.关于二的一元二次方程二；+6二+二=。有两个不相等的实数根，则二的取值范围为（）

A._<-；B._<-C._<-D._<-

3.下列计算正确的是（）

A.2x-x=lB.x2»xJ=x6

C.（m-n）2=m2-n2D.（-xy3）2=x2y6

4.已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）

A.10B.±10C.20D.±20

5.下列图形中一定是相似形的是（）

A.两个菱形B.两个等边三角形C.两个矩形D.两个直角三角形

6.如图，在AA6C中，/C=90°,AC=4,3C=3,将AABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B

落在点。处，则民。两点间的距离为（）

D

A.VioB.2V2C.3D.V5

7.如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90。后得到AAB，C，（点B的对应点是点B，，点

C的对应点是点C，，连接CO.若NCC，B，=32。，则NB的大小是（

A.32°B.64°C.77°D.87°

CAFAF1

8.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E,如果———=一，那

CACDF2

,S^EAF.、

么cLCC的值是()

SAEBC

111

B.-C.一D.-

2349

9.下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）

10.若抛物线丫=*2—（01—3/-111能与*轴交，则两交点间的距离最值是（）

A.最大值2,B.最小值2C.最大值2&D.最小值2血

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作.《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕,

集称之衡，雀俱重，燕俱轻•一雀一燕交而处，衡适平•并燕、雀重一斤•问燕、雀一枚各重几何？”

译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻•将一只雀、一只燕交换位置而放，

重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤•问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤,每只燕重y斤,可列方程组为.

12.如图，点D在A4BC的边8C上，已知点E、点F分别为AA5D和AADC的重心，如果BC=12,那么两个三

角形重心之间的距离EF的长等于.

13.如图，在AABC中，AB=4,AC=3,以8c为边在三角形外作正方形笈CDE,连接8D,CE交于点0,则线段

AO的最大值为

14.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分.

A.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4),△。钻沿x轴向右平移后得到点A的对应点4是

4

直线y=《x上一点，则点B与其对应点»间的距离为.

B.比较sin53°tan37°的大小.

15.计算：(1)。-酶=.

16.如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2,ZBAC=30°.在图中画出弦AD,使AD=1,则NCAD的度

数为。.

2

17.方程——=1的解是.

X-L

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图1,在等腰RtAABC中，ZBAC=90°,点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作

等腰RtACED,使NCED=90。，连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.

（1）求证：4AEF是等腰直角三角形；

（2）如图2,将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE,求证：AF=0AE；

（3）如图3,将ACED绕点C继续逆时针旋转,当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在AABC的下方时，若AB=2逐，

CE=2,求线段AE的长.

19.（5分）如图，在nABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点E在BD的延长线上，且AEAC是等边三角形.

（1）求证：四边形ABCD是菱形.

（2）若AC=8,AB=5,求ED的长.

20.（8分）为支持农村经济建设，某玉米种子公司对某种种子的销售价格规定如下：每千克的价格为a元，如果一次

购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某农户对购买量和付款金额这两个变量的对应关系用列

表做了分析，并绘制出了函数图象，如图所示，其中函数图象中A点的左边为（2,10）,请你结合表格和图象，回答问

题：

购买量X（千克）11.522.53

付款金额y（元）a7.51012b

（1）由表格得：a=;b=;

（2）求y关于x的函数解析式；

（3）已知甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，乙农户购买4千克该玉米种子，如果他们两人合起来购买，可以

比分开购买节约多少钱？

21.（10分）先化简厂二2』+1+（与L—九+1）,然后从-石VxV上的范围内选取一个合适的整数作为x的值代

X-1X-1

入求值.

22.（10分）如图，已知在放AABC中，NC=90°,AD是N8AC的平分线.

（1）作一个O。使它经过A、。两点,且圆心。在AB边上；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）判断直线与的位置关系,并说明理由.

23.（12分）如图，AB是。O的直径,弧CD_LAB,垂足为H,P为弧AD上一点，连接PA、PB,PB交CD于E.

（1）如图（1）连接PC、CB,求证：ZBCP=ZPED；

（2）如图（2）过点P作。O的切线交CD的延长线于点E,过点A向PF引垂线，垂足为G,求证：ZAPG=-ZF；

2

（3）如图（3）在图（2）的条件下，连接PH,若PH=PF,3PF=5PG,BE=26，求。O的直径AB.

24.（14分）如图，已知一次函数V=kxx+b的图象与反比例函数y=3的图象交于点A（-4,m）,且与轴交于点B；

点C在反比例函数y=&的图象上，以点C为圆心，半径为2的作圆C与X轴，)'轴分别相切于点。、B.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)请连结。4,并求出AAO8的面积；

(3)直接写出当x<0时，匕x+〃一勺>0的解集.

X

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、B

【解析】

首先证明△ABEgaDCF,AADG^ACDG(SAS),AAGB^ACGB,利用全等三角形的性质，等高模型、三边关

系一一判断即可.

【详解】

解：,••四边形ABCD是正方形，

/.AB=CD,ZBAD=ZADC=90°,ZADB=ZCDB=45°.

•在△ABE和△DCF中，AB=CD,ZBAD=ZADC,AE=DF,

.,.△ABE^ADCF,

:.ZABE=ZDCF.

,在AADG和△CDG中，AD=CD,ZADB=ZCDB,DG=DG,

/.△ADG^ACDG,

.,.ZDAG=ZDCF,

.\NABE=NDAG

VZDAG+ZBAH=90°,

/.ZBAE+ZBAH=90o,

.,.ZAHB=90°,

AAGIBE,故③正确，

同理可证：△AGBgZ\CGB.

VDF/7CB,

/.△CBG^AFDG,

/.△ABG^AFDG,故①正确.

VSAHDG:SAHBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tanZFCD,ZDAG=ZFCD,

ASAHDG:SAHBG=tanZFCD=tanZDAG,故④正确.

取AB的中点O,连接OD、OH.

.,.AO=OH=-x4=L

2

由勾股定理得，00="方=2石，

由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，

DH最小=1^-1.

无法证明DH平分NEHG,故②错误，

故①③④⑤正确.

故选B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握

它们的性质进行解题.

2、B

【解析】

试题分析：根据题意得△=32-4m>0,

解得m<y

故选B.

考点：根的判别式.

点睛:本题考查了一元二次方程ad+bx+ch("0,a,b,c为常数)的根的判别式△=加-4成.当△>0,方程有两个不

相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.

3、D

【解析】

根据合并同类项的法则，积的乘方，完全平方公式，同底数幕的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

解：A、2x-x=x,错误；

B、x2*x3=x5,错误；

C、(m-n)2=ni2-2mn+n2,错误；

D、(-xy3)2=x2y6,正确；

故选D.

【点睛】

考查了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很熟练，才能正确求出结果.

4、B

【解析】

根据完全平方式的特点求解：a2±2ab+b\

【详解】

VX2+7MX+25是完全平方式，

,*./n=±10,

故选B.

【点睛】

本题考查了完全平方公式:层加，其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在中央，这里首末两项是上和1的平方,

那么中间项为加上或减去X和1的乘积的2倍.

5、B

【解析】

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形.

【详解】

解：..•等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，

...两个等边三角形一定是相似形，

又•.•直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，

...两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，

故选：B.

【点睛】

本题考查了相似多边形的识别.判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备.

6、A

【解析】

先利用勾股定理计算出AB,再在R3BDE中，求出BD即可；

【详解】

解：VZC=90°,AC=4,BC=3,

/.AB=5,

,.•△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，

，AE=AC=4,DE=BC=3,

.,.BE=AB-AE=5-4=1,

在RtADBE中，BD=7^77=715，

故选A.

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后

的图形全等.

7、C

【解析】

试题分析：由旋转的性质可知，AC=AC\•.•NCAC，=90。，可知△CAC，为等腰直角三角形，则

NCC'A=45°.：NCC'B'=32。，NC'B'A=NC'CA+NCC'B'=450+32o=77°,：NB=NC'B'A,.*.^8=77°,故选C.

考点：旋转的性质.

8、D

【解析】

分析：根据相似三角形的性质进行解答即可.

详解：\•在平行四边形A3C。中，

：.AE//CD,

:•△EAFsACDF,

.・C1,

CcDF2

.AF1

••—9

DF2

.AF11

••———，

BC1+23

".,AF//BC,

1\21

-1--

379

q

晨EBC

故选D.

点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.

9、D

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断.

【详解】

A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以A错误；B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以B错误;

C.是中心对称图形，不是轴对称图形，所以C错误；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，所以D正确.

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握定义是本题解题的关键.

10>D

【解析】

设抛物线与X轴的两交点间的横坐标分别为：X”X2,

由韦达定理得：

xi+X2=m-3,XieX2="m,

则两交点间的距离d=|xi-x2|=+尤2)2-4用工2--3)2+4m=dm1-2m+9=^/(m-1)2+8,

m=l时,dmin=2y/2.

故选D.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

1i，5x+6y=l

口、(3x-4.y=0

【解析】

设雀、燕每1只各重X斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重,

燕轻.将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可.

【详解】

设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据题意，得

4x+y=5y+x

*

5x+6y=1

，3x—4y=0

整理，得＜

5x+6y=1

3x-4y=0

故答案为＜

5x+6y=1

【点睛】

考查二元一次方程组得应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系.

12^4

【解析】

连接AE并延长交BO于G,连接Af并延长交CO于H,根据三角形的重心的概念可得。G='5。，DH^-CD,

22

AE=2GE,AF=2HF,即可求出GH的长，根据对应边成比例，夹角相等可得AEVsAGAH,根据相似三角

形的性质即可得答案.

【详解】

如图，连接4E并延长交80于G,连接AE并延长交C。于H,

•.•点E、F分别是和AACD的重心，

：.DG=-BD,DH^-CD,AE=2GE,AF=2HF,

22

VBC=12,

：.GH=DG+DH=-(BD+CD)=-BC=-x[2=6,

222

"：AE=2GE,AF^2HF,

.AEAF2

**AG-AH-3f

•••ZEAF=ZGAH,

^EAF^AGAH,

.EFAE2

*"G^7-AG-3

：,EF=4,

本题考查了三角形重心的概念和性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心

到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍.

13、逑

2

【解析】

过O作OF_LAO且使OF=AO,连接AF、CF,可知△AOF是等腰直角三角形，进而可得AF=&AO,根据正方形

的性质可得OB=OC,ZBOC=90°,由锐角互余的关系可得NAOB=NCOF,进而可得△AOBg△COF,即可证明

AB=CF,当点A、C、F三点不共线时，根据三角形的三边关系可得AC+CF>AF,当点A、C、F三点共线时可得

AC+CF=AC+AB=AF=7,即可得AF的最大值，由AF=0AO即可得答案.

【详解】

如图，过O作OF_LAO且使OF=AO,连接AF、CF,

二ZAOF=90°,△AOF是等腰直角三角形，

.*.AF=^AO,

:四边形BCDE是正方形，

.*.OB=OC,ZBOC=90°,

■:ZBOC=ZAOF=90°,

:.ZAOB+ZAOC=ZCOF+ZAOC,

:.ZAOB=ZCOF,

又；OB=OC,AO=OF,

AAAOB^ACOF,

，CF=AB=4,

当点A、C、F三点不共线时，AC+CF>AF,

当点A、C、F三点共线时，AC+CF=AC+AB=AF=7,

.,.AF<AC+CF=7,

，AF的最大值是7,

/.AF=V2AO=7,

•AC7四

・・AO=------,

2

故答案为述

2

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质是解题关键.

14、5>

【解析】

4

A：根据平移的性质得到OA，=OA,OO，=BB，，根据点A，在直线求出A，的横坐标，进而求出OO,的长度，

最后得到BB，的长度；B：根据任意角的正弦值等于它余角的余弦值将sin53。化为cos37。，再进行比较.

【详解】

_44

A：由平移的性质可知，OA，=OA=4,00，=88，.因为点人，在直线丫=^彳上，将y=4代入得到x=5.所以

00f=5,又因为OO，=BB。所以点B与其对应点B，间的距离为5.故答案为5.

B：sin53°=cos(90°-53°)=cos370,

sin37?

tan37°=

cos37?

根据正切函数与余弦函数图像可知，tan37o>tan30。，cos37°>cos45°,

即tan37°>且

cos37y互

32

又•.旦区/.tan370<cos37°,即sin53°>tan37°.故答案是〉.

32

【点睛】

本题主要考查图形的平移、一次函数的解析式和三角函数的图像，熟练掌握这些知识并灵活运用是解答的关键.

15、-1

【解析】

本题需要运用零次第的运算法则、立方根的运算法则进行计算.

【详解】

由分析可得：(1)^=1-2="1.

【点睛】

熟练运用零次幕的运算法则、立方根的运算法则是本题解题的关键.

16、30或1.

【解析】

根据题意作图，由AB是圆O的直径，可得NADB=NAD，B=1。，继而可求得NDAB的度数，则可求得答案.

【详解】

解：如图，TAB是圆O的直径，

.•.ZADB=ZADrB=l°,

VAD=AD=1,AB=2,

AcosZDAB=cosDrAB=—,

2

:.ZDAB=ZDrAB=60°,

■:ZCAB=30°,

AZCAD=30°,ZCADr=l°.

.,.NCAD的度数为：30。或1。.

故答案为30或1.

【点睛】

本题考查圆周角定理；含30度角的直角三角形.

17、x=3

【解析】

去分母得：X-1=2,

解得：x=3,

经检验x=3是分式方程的解，

故答案为3.

【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的思路是将分式方程化为整式方程，然后求解.去分母后解出的结果

须代入最简公分母进行检验，结果为零，则原方程无解；结果不为零，则为原方程的解.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)4行.

【解析】

试题分析：(1)依据ZDEC=ZAEF=90°,即可证明△AEf是等腰直角三角形；

(2)连接£尸，。尸交8c于K,先证明AEK尸名△EZM,再证明△AEF、是等腰直角三角形即可得出结论；

(3)当AO=AC=48时，四边形48五。是菱形，先求得E//=O//=C"=&，RtAACH中，AH=3五,即可得到

AE=AH+EH=4y/2.

试题解析：解：(1)如图1.：四边形是平行四边形，...ABNJF.•.•ABXC,.•.ACnQF.•；OE=EC,

：.AE=EF...•/Z)EC=NAEF=90。，.•.△AEF是等腰直角三角形；

(2)如图2,连接EF,DF交BC于KJ；四边形ABED是平行四边形，.,.AB〃OF,工ZDKE=ZABC=45°,：.ZEKF=180°

,o

-ZDKE=135°,EK=ED.,.ZADE=180-Z£DC=180°-45°=135°>:.NEKF=NADE.,:NDKC=NC,

'EK=ED

:.DK=DCJ：DF=AB=AC,：.KF=AD.在AEK尸和AEDA中，<ZEKF=NADE,：.^EKF^/\EDA(.SAS),：.EF=EA,

KF=AD

NKEF=NAED,：.ZFEA=ZB£D=90o,.,.△AE厂是等腰直角三角形，：.AF=^AE.

(3)如图3,当4O=AC=48时，四边形48月。是菱形，设4E交CQ于”，依据AO=AC,ED=EC,可得AE垂直平

分CD,而CE=2,：.EH=DH=CH=y/2,RtAAC”中，｛(2后+(扬2=3金,；.AE=AH+EH=4^2.

D

DB\C

---------

图1

点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的

性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的

难点.

19、(1)证明见解析(2)473-3

【解析】

试题分析：(1)根据等边三角形的性质，可得EO_LAC,即80J_AC,根据平行四边形的对角线互相垂直可证菱形,(2)根据平

行四边形的对角线互相平分可得A0=C0,B0=D0,再根据△EAC是等边三角形可以判定EOJ_AC,并求出EA的长度，然

后在RtAABO中，利用勾股定理列式求出B0的长度，即D0的长度，在RtAAOE中，根据勾股定理列式求出EO的长度,

再根据ED=E0-D0计算即可得解.

试题解析:⑴•••四边形ABCD是平行四边形,."0=(70,。0=80,

V△EAC是等边三角形,E0是AC边上中线，

.•.E0J_AC,即BDLAC,

二平行四边形A5C。是是菱形.

(2)•.•平行四边形ABCD是是菱形，

:.A0=C0=gAC=4,DO=BO,

'：△EAC是等边三角形,.,.EA=AC=8»E0_LAC,

在RtAABO中，由勾股定理可得:80=3,

.•.00=80=3,

在RtAEAO中油勾股定理可得:£0=4百

：.ED=EO-DO=4y/3-3.

20、(1)5,1(2)当0VxW2时，y=5x,当x>2时，y关于x的函数解析式为y=4x+2(3)1.6元.

【解析】

(1)结合函数图象与表格即可得出购买量为函数的自变量，再根据购买2千克花了10元钱即可得出a值，结合超过

2千克部分的种子价格打8折可得出b值；

(2)分段函数，当怅x52时，设线段OA的解析式为y=kx；当x>2时，设关系式为y=klx+b,然后将(2,10),

且x=3时，y=L代入关系式即可求出k,b的值，从而确定关系式；

(3)代入(2)的解析式即可解答.

【详解】

解：(1)结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量X,

T10+2=5,

.♦.a=5,b=2x5+5x0.8=l.

故答案为a=5,b=L

(2)当0WXS2时，设线段OA的解析式为y=kx,

Vy=kx的图象经过(2,10),

/.2k=10,解得k=5,

：.y=5x；

当x>2时，设y与x的函数关系式为：y=匕x+b

,.,y=kx+b的图象经过点(2,10),且x=3时，y=l,

2k.+Z?=10f&=4

3Z]+b=14[b=2

.•.当x>2时，y与x的函数关系式为：y=4x+2.

5x(0<x<2)

...y关于x的函数解析式为：y=,'-J；

4x+2(x>2)

(3)甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，即5x=8,解得x=1.6,即甲农户购买玉米种子1.6千克；如果他们

两人合起来购买，共购买玉米种子(1.6+4)=5.6千克，这时总费用为：y=4x5.6+2=24.4元.

(84-4x4+2)-24.4=1.6(元).

答：如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约1.6元.

【点睛】

本题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出图表中点的坐标是解题的关键.注意:

求正比例函数，只要一对x,y的值就可以；而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.

【解析】

根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从-正<*<6的范围内选取一个使得原分式有意义的整数作

为X的值代入即可解答本题.

【详解】

2

=(xT)：.x-l-(xT)(X+1)

(x+1)(x-1),x+1

(x-l)27x+1

2

-(x+1)(x-1)\-l-x+l

=(x-l)2]x+1

(x+1)(x-l)x(l-x)

=--1,

X

当x=-2时，原式.

-22

【点睛】

本题考查分式的化简求值、估算无理数的大小，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

22、(1)见解析；(2)与。。相切，理由见解析.

【解析】

(1)作出AD的垂直平分线，交AB于点O,进而利用AO为半径求出即可；

(2)利用半径相等结合角平分线的性质得出OD〃AC,进而求出OD_LBC,进而得出答案.

【详解】

(1)①分别以A、。为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F,

2

②作直线EE,与AB相交于点。，

③以。为圆心，为半径作圆，如图即为所作；

(2)与。。相切，理由如下:

连接OD,

•.•0A。。为。。半径，

OA=OD，

.•.△A。。是等腰三角形，

.'.ZOAD^ZODA,

•.•A。平分ZBAC,

：.ZCAD=ZOAD,

NCAD=NODA,

：.AC//OD,

•/ZC=90°,

.-.ZODB=90°,

：.OD±BC,

♦.•OD为。。半径，

••.BC与0。相切.

【点睛】

本题主要考查了切线的判定以及线段垂直平分线的作法与性质等知识，掌握切线的判定方法是解题关键.

23、(1)见解析；(2)见解析；(3)AB=1

【解析】

(1)由垂径定理得出NCPB=NBCD,根据NBCP=NBCD+NPCD=NCPB+NPCD=NPED即可得证；

(2)连接OP,知OP=OB,先证NFPE=NFEP得NF+2NFPE=180。,再由NAPG+NFPE=90得2NAPG+2NFPE=180。,

据此可得2NAPG=NF,据此即可得证；

PEEM

(3)连接AE,取AE中点N,连接HN、PN,过点E作EM_LPF,先证NPAE=NF,由tanZPAE=tanZF得——=——,

APMF

QPEMMFGP

再证NGAP=NMPE,由sin/GAP=sinNMPE得一=——，从而得出——=—，即MF=GP,由3PF=5PG即

APPEAPAP

PG3

一=一,可设PG=3k,得PF=5k、MF=PG=3k、PM=2k,由NFPE=NPEF知PF=EF=5k、EM=4k及PE=26k、

PF5

AP=———=2^k,证NPEM=NABP得BP=36k,继而可得BE=J^k=2,据此求得k=2,从而得出AP、

tanZPAE2

BP的长，利用勾股定理可得答案.

【详解】

证明：(1)TAB是。O的直径且ABLCD,

，NCPB=NBCD,

.,.ZBCP=ZBCD+ZPCD=ZCPB+ZPCD=ZPED,

/.ZBCP=ZPED；

(2)连接OP,贝IJOP=OB,

G

/.ZOPB=ZOBP,

•••PF是(DO的切线，

•\OPJ_PF,则NOPF=90。，

ZFPE=90°-NOPE,

VNPEF=NHEB=90。-NOBP,

:.NFPE=NFEP,

TAB是。O的直径，

:.ZAPB=90°,

...NAPG+/FPE=90。，

A2ZAPG+2ZFPE=180°,

VZF+ZFPE+ZPEF=180°,

VZF+2ZFPE=180°

.,.2NAPG=NF,

AZAPG=-NF；

2

(3)连接AE,取AE中点N,连接HN、PN,过点E作EM_LPF于M,

图b

由（2）知NAPB=NAHE=90。,

VAN=EN,

:.A、H、E、P四点共圆，

.•.NPAE=NPHF,

VPH=PF,

ZPHF=ZF,

，NPAE=NF,

tanZPAE=tanZF,

.PEEM

“TF一加’

由（2）知NAPB=NG二NPME=90。,

/.ZGAP=ZMPE,

AsinZGAP=sinZMPE,

.MFGP

••---=-----9

APAP

：.MF=GP,

V3PF=5PG,

.PG3

••=-9

PF5

设PG=3k,则PF=5k,MF=PG=3k,PM=2k