奇函数+M模型问题-2023年新高考数学函数与导数压轴小题（解析版）

奇函数+M模型问题

一、单选题

L(2023叁•山西大同•高三号阶代练习)函数/(①)=-^―+考■的最大值为M,最小值为N,则M+

e■+-1|创十]

N=()

A.3B.4C.6D.与m值有关

【答案】C

【解析】由题意可知J3)=*不+T署=3—与F+1鲁p

e+1|x|+le+1|x|+l

设g(1)=-(+；)+£[,则g(c)的定义域为(一8,+8),

所以9(f)=e-+l+MTT=Te_1+所卜P⑺'

所以g(x)为奇函数，

所以g(6)max+9(£)min—。，

所以/(0)max+/(4)min=河+N=^(X)niax+3+g(±)min+3=6,

故选：c.

2.(2023-全国•高三寿题练习)已知函数/(工)=("-2a:)sin3-1)+黄]在[-1,1)U(1,3]上的最大值为

M,最小值为N,则Af+N=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由/(x)=[(x—I)2—l]sin(s-1)+1+J]

令a—1=3

因为①G[—1,1)U(1,3],所以力£[—2,0)U(0,2];

那么J(x)转化为g(t)=t2sint+.—sint4-1,16[—2,0)U(0,2],

令h(t)=/sint+J—sint,16[—2,0)U(0,2],

则h(—t)=(-t)2sin(-t)+1—sin(—t)=—(t2sint+—sin力=­h(t)>

(T)t

所以,"%)是奇函数

可得h(t)的最大值与最小值之和为0,

那么的最大值与最小值之和为2.

故选：3.

3.(2023-全国•高三寿题练习)已知函数/(0=ln(x+V1W)+[+4在]-8,8]上的最大值和最小值分

别为则A/+m=()

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【解析】设gQ)=1口3+，1+/)+.,aw[-8,8],

因为g(-c)=ln(-c+A/1+/)一3=ln(-----，夕)-；=一。(乃，

x'⑦+"1+ar'x

所以函数g(c)为奇函数，

所以gQ)max+g(£)min=。，

所以J(c)niax+/(4)mfn—[g(0)max+4]+[。(①)min+4]—8,

所以M+m=8.

故选：A.

4.(2023-全国-高三专题练习)函数/(。)=<在[—2019,0)U(0,2019]上的最大值为”,

最小值为N,则M+N=()

A.4038B.4C.2D.0

【答案】B

I解析"广型空空="+2

设加)=』则g(.，)=纪要=『=一代)，为奇函数-

,f(2)max=9(£)max+2,/(X)mi„=gQ)min+2

即M+771=g(H)max+g3)min+4=4

故选3

5.(2023-全Bl•商三*题练习)已知函数/(z)=(T2-2x)sin(a;-l)+x+l在区间[-1,3]的最大值为”,

最小值为m•，则M+m—

A.4B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】设£=2一1,则.f(z)=(X2-2x)sin(x-1)+x+1=(t2—l)sint+1+2,tC[—2,2],记g(t)=(t2—

l)sint+£+2,则函数y=g(t)—2=(t2—l)sint+1是奇函数，由已知y=g(t)—2的最大值为M—2,最小

值为m—2,所以M—2+(m—2)=0,即M+m=4,故选A.

2

6.(2023春•贵州贵阳•高三贵用一中校考阶段练习)函数/(,)=In]若+(x-2x)sin(a；-1)+2工+a在

[0,2]上的最大值与最小值的和为8,则a的值为()

A.-2B.2C.4D.6

【答案】B

【解析】因为f(x)=In31：+(X2—2a?)sin(a;-1)+2x+a,

X十1

所以f3+D=+(①2—l)sinx+2N+2+Q,

令g(%)=f(①+1)-2-a=|n-|-+(/-l)sina;+2x,

因为fQ)的定义域为[0,2],

令i+l€[0,2],得：[-1,1],

故。(力)的定义域为[—L1],关于原点对称，

且9(-u)=+[(­X)2—l]sin(­a7)-2x=­ln^—-(x2-l)sinx—2x=­g⑺,

所以g(i)为奇函数，

所以ff(x)max+ff(x)min=0,

即/(工+l)max—2—a+f(x+l)rnii>—2—a=0,

故:re[-1,1],f(x+1)rnax+f(x+l)niil,-4+2a

所以当：EC[0,2]时，.f(£)max+/(±),nM=4+2a,

所以4+2a=8,解得：a—2.

故选：B

7.(2023春•山西忻州•玄三统才阶段练习)已知函数/(?)=迎士号嚼署里空的最大值与最小值之和为

6,则实数a的值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

3a+2sini+acosza(3+cosx)+2sinx2sina;

【解析】/(“)=-----TT----------=Q+,定义域为R,

3+cosx3+cosa;3+COST

令9(1)=3鬻五,工€凡

因为g(-a；)=一五等*7=-gQ))所以函数g(2)为奇函数,

设g(1)的最大值为M,最小值为m.

所以A/+m=0,

因为/(1)1皿=。+“，/3焉】=。+皿，函数/(%)的最大值与最小值之和为6,

所以J(^)max+/(^)nun=2。+Af+7九=2。=6,解得。=3.

故选：B

8.(2023春・宁夏石嘴山・高三平，中学校考期中)若对任意见沙£区,有『3+")=/(3;)+/(2/),则函数

gQ)=^+/Q)+3在［-2019,2019］上的最大值”与最小值m的和M+m=()

ar+1

A.-6B.6C.-3D.5

【答案】B

【解析】在/(c+y)=f3)+/(y)中，令a=y=。得/(o+o)=2/(0),即/(o)=o,令g=得/(%•)+

/(-1)=0,即/(一1)=一/3),・•・/(])是奇函数，令无3)=—T7V+/(±),则h(x)=+/(一⑼=

or+1力~+1

--^--f(x)=-h(z),h,(x)是奇函数，，在对称区间上九Qmx+Ma;)=0,当工€[-2019,2019]时,

x'+11nto

g(z)a=M=/i(x),nax+3,g(x)mia=M=/i(x)min+3,/.M+m=/i(x)max+h(x)min+6=6.

故选：B

9.(2023春•江苏常州•高三常州市第一中学校才开学考试)已知a>0,且a片1,函数/(x)=誓答+In

(布下一21)(—IVz&l),设函数/㈤的最大值为M,最小值为",则()

A.M+N=8B.M+N=10C.M-N=8D.M-N=10

【答案】A

l解析】/Q)=+ln(V!T4?-2x)(-1<X<1),

a+1

令gQ)=ln(Vl4-4x2—2x),x€[—1,1],

由g(-x)=ln(Vl+4x2+2x)=In/L---

VI+4x~-2x

——ln(Vl+4x2—2x)——g(x),

可知g(—z)=—g(M,

故g(⑼函数的图象关于原点对称，

设g(⑼的最大值是a,则g(x)的最小值是一a,

令人(0=一一——,

a+1

当OVaVl时,田①)在［-1,1］递减,

所以八3)的最小值是“-1)=一一驾，八(工)的最大值是帆1)=一一1Y，

故M—1)+”(1)—■—2,

：.f(x)的最大值与最小值的和是10—2=8,

当a>l时，九㈤在单调递增，

所以无Q)的最大值是"-1)=一一驾，”⑼的最小值是八(1)=——IY，

CLrXClI1

故7i(—1)+/i(l)=-2,

故函数,(H)的最大值与最小值之和为8,

综上：函数/(⑼的最大值与最小值之和为8,

故选：A.

10.(2028叁•河南焦作•商三温县第一商11中学校才阶盘练习)若函数/3)=±或在区间

［-3,5］上的最大值、最小值分别为〃、<1，则p+q的值为().

A.2B.1C.6D.3

【答案】C

x

_【解_析,_】因为,/“(H、)=-3-•-&---~---鬲sin'(-x----1-)sin(a;-1)

sin(z-1)

所以/(n)—3="(i+l)-3=-噜

5

因为函数/(z+l)-3为奇函数，所以它在区间［-4,4］上的最大值、最小值之和为0,

也即p-3+q-3=0,

所以p+q=6

11.(2023春•林建及门•商三及门一中校才阶段练习)己知/⑺=在1+ax+cos2x，若f(f)=2,则

/(一专)等于()

O

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】•・"(4)=+QI+COS2N,

・・J3)+/(-，)=最y+2，i+2cos2a=侪y+或1+2cos2%=1+2cos2%,

；J传)+/(-5)=1+2cos牛=0,

OOO

故选：A.

12.(2023乐广西桂林•商一校考期中)已知函数/⑺=In(VTW-3工)+1，则〃电2)+/(舄)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

［解析】由于Vl+9x~-3x>3|c|—：近>()恒成立，

故/Q)=ln(Jl+922—3c)+1的定义域为R,

令g(x)=/(x)—1=ln(Vl+9x2—GR,则g(—x)=ln(Vl+9rc2+3x),

而g{x}+g(—力)=ln(Vl+9x2—3a：)+In(V1+9a:24-3x)=Ini=0,

故g(—1)=一gQ),故g(£)为奇函数，

则9(lg2)+g(舄)=g(lg2)+g(-lg2)=g(lg2)-g(lg2)=0,

即〃lg2)—1+/(lgy)-l=0,.-./(lg2)+/(lg^)=2,

故选:C

13.(2023-全'国•高三'题练习)若对Vc,yC有/Q+y)=/(x)+/(y)-4,则函数g(c)=~~r+f(x)

x+1

在［—2018,2018］上的最大值和最小值的和为()

A.4B.8C.6D.12

【答案】B

【解析】V工，,eR.有/(①+y)=f(①)+f(y)-4,

取c=y=0,则/(O)=f(O)+f(O)—4,故f(0)=4,取y=一应则f(0)=f(x)+f(-x)-4,故JQ)+f(—a:)

=8,

令h(x)=f(x)—4,则h(x)+h(—x)=/(x)—4+f(—x)—4=8—4—4=0,故从工)为奇函数，：式工)=

-/fv+式x)、设以⑼=一芝「>

则g(x)=cp［x)+h(x)+4,V<p(—x)----=一@3),故0(£)为奇函数，故y=3(力)+九3)为奇函数，

X+1

故函数g在［-2018,2018］上的最大值和最小值的和是0,

而g(x)是将函数g的图像向上平移4个单位，即在［-2018,2018］上最大值和最小值均增加4,

故函数g(i)在［-2018,2018］上的最大值和最小值的和是8,

故选：3.

14.(2023•广西桂林•统考一模)/3)是定义在R上的函数,/(z+*)+5为奇函数，则/(2023)+/(-2022)

=()

A.-1B.—x-C.D.1

【答案】A

【解析】/⑻是定义在R上的函数,加+3)+/为奇函数，则

./-(-x+y)+y=-［/(x+y)+y］=>/(-x+y)+/(x+^-)=-l.

•••7(2023)+7(-2022)=/(^-+y)+/(-^-+y)=-1.

故选：A

15.(2023叁•河南洛用・玄一盂洋县第一方级中学校考阶段练习)已知关于力的函数/(⑹=

5.+板2+y+sin”+#在［—2022,2022］上的最大值为M,最小值N,且A/+N=2022,则实数t的值

x2+t

是()

A.674B.1011C.2022D.4044

【答案】B

1,5a:3+tx2+3x+sinx+i2t(x2+1)4-5x;i4-3x4-sina;5x:i+3x+sinx

【r&解z析】：/(£)=-----------T--;------=--------T----------------=t+----------T--;-------,xc£

X-+t3T+£X~+t

［-2022,2022］,

•••令g(z)=+阴sine,工G[-2022,2022],则f(x)=gQ)+t,

X-Vt

gQ)定义域关于原点对称，且g(-工)=昱二彳誓■辿旦=二*.=_*),

所以g(;r)为奇函数，

.,•9(C)max+g(2)min=0(奇函数的性质),

M+N=f(£)1nlMt+/3)min=g他)mw+t+g3)ndn+t=2022,

:.2t=2022,即t=1011.

故选：B

二、填空题

16.(2023-全国•商三阶段练习)设函数/(”)=产,aCR的最大值为“，最小值为m,则M+m

【答案】1

（，+iy+a/：/+2z+1+az*1.1

【解析】73)________________________________2x+ax^

2/+2—2/+2—22d+2

人/\\1__2x+ax

令g3）一/（工）一2一三”

则g(-X)=二:工二罕।=一。(力，所以g3)为奇函数,

Zx"+2

所以9(力的最大最小值分别为M—方，772—

由奇函数的性质,可得(A/—y)+(m-y)=0,

所以Af+m=1.

故答案为：1.

17.(2023-全国•；«三专题练习)函数〃工)="3+simc(e为自然对数的底数)在区间［一1,1］上的最大

值和最小值之和等于.

【答案】2

［解析】f(x)--；［T?+sinx=>f(x)-1=•。二三+sine,

e+ee+e

设八㈤=f(i)-1,xE［-1,1］,

则h(-x)='三一J+sin(-x)=-一J：—sinx=—/i(x),所以无(％)为奇函数，

eIeeIe

h'(x)=f(x)=/i+COST>0,

(e"+1)-

因此函数/z(rr)在:r€［—1,1］上单调递增.

h(x)的最大值和最小值之和=/?,(1)+%(—1)=0,

故/(⑼在区间［-1,1］上的最大值和最小值之和为2.

故答案为：2.

18.(2023・全国•商三专题练习)设函数/⑺=2()18111+x)+2019sinx+2020,xG[—的最大

值为M,最小值为N,那么M+N=.

【答案】4040

【解析】令g(c)=20181n(Vx2+14-x)H-2019sinx,xE[—*

因为2018111(，炉+l—i)+20181n(^/(—x)2+1+c)=20181nl=0,

2019sin(—rr)+2019sinT=0,

故g(7)+g(f)=。,所以9⑺为[-y.y]上的奇函数，

故g(±),皿+g(N)min=0-

又MngQhnx+ZOZO,N=g(H)min+2020,

故M+N=4040.

故答案为：4040.

19.(2023年•湖南长沙•；«三长沙一中校联考济盘弊习)已知函数〃工)=log3(c+J?不1)+言]在

[―fc,fc](fc>0)上的最大值与最小值分别为A1和7八,则函数g(rc)=(Al+m)i+[("+m)⑦一的图象

的对称中心是.

【答案】(4,1)

2

【解析】已知/(2)=log:i(x+J-+1)+/[.,/(-X)=logs(一工+Vx+1)+(、矢]=

2

log:i(-£C+Vx+1)+]工>

则/3)+/(一/)=2,故函数/(①)在定义域内为非奇非偶函数，

令九(rr)=/(x)-1,

则h{x}+h\—x)=/(x)-14-/(—x)—1=0,

则h{x}在定义域内为奇函数，

设九(工)的最大值为t,则最小值为一九则/(c)的最大值为M=t+1,最小值为m)=一1+1,

则Al+m=2,J.g(x)=2x+.।…,

(2x—1)

11[2(a—x)—l]3+(2x—l)3

所以g(。)+g(Q-x)^2x+"1)3+2a-2x+=2o+(2s-l)3-^(a-rr)-1]:,二

[2(a-x)-l+2x-l]{[2(a-rr)-l]2-[2(a-x)-l](2x-l)4-(2ir-l)2}_

(21)；・[2(Q—I)-一

2(Q-1){[2(<z—x)—1]"—[2(Q—x)—1](2x-1)+(2x—I)2}

(2G—•[2(a—x)—1]3

:.当a=1时,g(c)+g(l—%)=2,

g(x)关于(•l*」)中心对称,

故答案为：(y.l)

20.(2023-河南•河南宿海用中学校联考模极II测)已知函数/Q)=(e/+1-1)1sin(x+要)—3,则/⑺

在［-27T,0］上的最大值与最小值之和为.

【答案】-6

【解析】/(0=(L+1-l)'(-cosx)-3=(1一1).8sg+兀)-3;

令1=力+兀，当］€［―2兀,0］时，tE［―兀,兀］,=(/—1)•cost-3;

e十JL

令g(t)=/(t)+3=(-1)-cost=■cost,t€［-7C,7r］,

g(T)=；.；］•cos(-t)=-cost=-g(t),

g{t)为定义在［-兀，兀］上的奇函数，•••g(t)max+g(t)min=0,

•■•/(t)nmx+3+/(t)1nto+3=0,即/(t),nax+/(t)mm=-6,

.-./(X)在［-2兀,0］上的最大值和最小值之和为一6.

故答案为：一6.

21.(2023春.河南•方三河南唐港苒中学校联考阶盘练习)已知函数/⑺=(看斤―1户电+萼)—3,则

/(x)在［―兀,兀］上的最大值与最小值之和为.

【答案】-6

【解析】由题意，得/(⑼=(1,一l)sin(x+4r-)-3=-(—-l)coso;-3,

把/①)的图象向上平移3个单位长度，可得函数g(rr)=-(丁?7一1)cosrr的图象.

当。6［一凡兀］时，g(-①)=-(—q-p-l)cos(-x)=(房开一1卜。s力=-g(c),即gQ)为奇函数，

则在［一冗,兀］上。(土)的最大值与最小值之和为0,

故/(4)在［一兀,兀］上的最大值与最小值之和为一6.

故答案为：-6.

22.(2028春•江西萍乡•方三芦族中学校考开学考试)设函数“0='皆p在区间［-2,2］上的最大

值为M,最小值为N,则(M+N—1产22的值为.

【答案】1

【解析】由题意知，/(*)=给粤+l(cC［—2,2］),

设g(x)=.士2：,则/(工)=g(0+1,

7+1

因为g(-x)=7；；E=-g(x),

所以g(z)为奇函数，

gQ)在区间［-2,2］上的最大值与最小值的和为0,

故M+N=2,

所以(M+N-1)2(,22=(2-1)2皿=1.

故答案为：1

23.(2023春•贵州赛义•高二建义四中阶段练习)已知函数/(为=若/(a)=1,则/(-a)=

1।J1+4

【答案】2

【解析】因为/(h)=丁为+

11Z11,4

,,.._2121__2(2+2。+2刁，2+4"+4一_c

"Lf⑸"一①)-1+2,+1+4'+1+2--1+4T-2+2'+2T+2+4'+4-"一'

因为/(a)=1,

所以/(一a)=2.

答案为：2.

24.(2023春•上海普陀•高三t将二中校才)若定义在R上的函数〃力)为奇函数，设网土)=时(，)一1,且P

(1)=3,则尸(一1)的值为.

【答案】-5

【解析】由F(l)=3可得aW0,因为/(⑼为奇函数，所以/(c)的对称中心为(0,0),则尸(出)的对称中心为

(0,-1),又F(l)=3,则F(-l)=-5.

故答案为：一5.

25.(2023春•河前洛苒•商一统考期末)已知函数"⑼=ax:l+bsinx+1,若/(2021)=2,则/(-2021)=—

【答案】0

【解析】由/(2)=ax'+bsinx+1知/(―z)+/(x)=a(—c)：'+bsin(—2)+1+ax'+bsinx+1

3

=-ax-bsinx+1+a®'+bsinx+1=2,则/(-2021)+/(2021)=2,又因为/(2021)=2,所以/(-2021)

=0.

故答案为：().

4—2sin2re—sin-^?-

26.(2022我•上海浦东新♦商一上海市实腌学校校考期中)已知函数沙=-既存在最大值

_LIJz

又存在最小值m,则M+m的值为.

【答案】4

4—2sin2T-sin3x2+2cos2)—sin-^.3a;

2sin~2-

【解析】，3）=------------------=2-

1+cos2x1+cosLx1+cos%

.3sin(—1-x)

sin-^xsin-ya?

令g(①)=彳二---厂，因为g(一力=_gQ)，

1+cos~x1+cos2(­x)1+cos2rr

所以g（o）为奇函数,

所以/M）的图像关于（0,2）对称，