中南大学电路第六章

第六章

正弦稳态电路的分析首页本章内容正弦稳态电路的分析6-3正弦稳态电路的功率6-4复功率6-5最大功率传输6-6电路的相量图6-2阻抗和导纳6-1串联电路的谐振6-7并联电路的谐振6-82.正弦稳态电路的分析3.正弦稳态电路的功率分析

重点：1.阻抗和导纳返回4.正弦电路的谐振6-1

阻抗和导纳1.阻抗正弦稳态情况下Z+-不含独立源线性网络+-阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式下页上页返回当无源网络内为单个元件时有Z

可以是实数，也可以是虚数。C+-下页上页R+-表明返回L+-2.

RLC串联电路KVL：下页上页返回R+-+-+-+-j

LLCRuuLuCi+-+-+-+-uRZ—复阻抗；|Z|—复阻抗的模；

Z

—阻抗角；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。转换关系：或R=|Z|cos

ZX=|Z|sin

Z阻抗三角形|Z|RXjZ下页上页返回分析R、L、C

串联电路得出（2）wL>1/wC

，X>0，jZ>0，电路为感性，电压超前电流。下页上页相量图：一般选电流为参考相量，

ZUX电压三角形等效电路返回j

LeqR+-+-+-（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|jZ

为复数，称复阻抗。（3）wL<1/wC，

X<0，jZ

<0，电路为容性，电压落后电流。

ZUX等效电路下页上页R+-+-+-（4）wL=1/wC

，X=0，j

Z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。R+-+-等效电路返回例1-1

已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求

i,uR,uL,uC。解画出相量模型下页上页返回LCRuuLuCi+-+-+-+-uRR+-+-+-+-j

L则下页上页返回下页上页UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。相量图注意

-3.4°返回3.导纳正弦稳态情况下导纳模导纳角下页上页返回Y+-不含独立源线性网络+-对同一二端网络:当无源网络内为单个元件时有Y

可以是实数，也可以是虚数。下页上页表明返回C+-R+-L+-4.RLC并联电路由KCL：下页上页返回iLCRuiLiC+-iRR+-

j

LY—复导纳；|Y|—复导纳的模；

Y—导纳角；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；转换关系：或G=|Y|cos

YB=|Y|sin

Y导纳三角形|Y|GB

Y下页上页返回（2）wC>1/wL，B>0，

Y>0，电路为容性，电流超前电压。相量图：选电压为参考向量，

Y分析R、L、C

并联电路得出：RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象。IB下页上页注意返回（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|jY

为复数，称复导纳。（3）wC<1/wL，B<0，

Y<0，电路为感性，电流落后电压。

Y等效电路下页上页R+-返回（4）wC=1/wL，B=0，

Y=0，电路为电阻性，电流与电压同相。等效电路等效电路下页上页R+-+-返回j

LeqR+-△5.

复阻抗和复导纳的等效互换一般情况G

1/R，B

1/X。若Z为感性，X>0，则B<0，即仍为感性。下页上页ZRjXGjBY注意返回同样，若由Y变为Z，则有下页上页GjBYZRjX返回△例1-2RL串联电路如图，求在

＝106rad/s时的等效并联电路。解RL串联电路的阻抗为下页上页返回

L'R'0.06mH50

下页上页注意一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，其每一部分都是频率的函数，随频率而变。其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部。返回一端口N0中如不含受控源，则有或但有受控源时，可能会出现或下页上页注意一端口N0的两种参数Z和Y具有同等效用，彼此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换条件为返回6.

阻抗（导纳）的串联和并联分压公式阻抗的串联下页上页Z1+Z2Zn－Z+-返回分流公式导纳的并联两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为下页上页返回Y+-Y1+Y2Yn－例1-3求图示电路的等效阻抗，

＝105rad/s

。解感抗和容抗为下页上页返回1mH30

100

0.1FR1R2例1-4图示电路对外呈现感性还是容性？解等效阻抗为下页上页电路对外呈现容性。返回3

3

－j6

j4

5

例1-5图为RC选频网络，求u1和u2同相位的条件及解设：Z1=R+jXC,Z2=R//jXC下页上页jXC－R－＋＋Ru2u1jXC返回6-2

电路的相量图下页上页返回分析阻抗（导纳）串、并联电路时，可以利用相关的电压和电流相量在复平面上画出电路的相量图。1.并联电路相量图的画法

设定并联部分的电压相量为参考相量。根据支路的VCR确定各并联支路的电流相量与电压相量之间的夹角。根据结点上的KCL方程，用相量平移求和法则，画出结点上各支路电流相量组成的多边形。下页上页返回2.串联电路相量图的画法

设定串联部分的电流相量为参考相量。根据支路的VCR确定各串联支路的电压相量与电流相量之间的夹角。根据回路上的KVL方程，用相量平移求和法则，画出回路上各支路电压相量组成的多边形。例2-1用相量图确定图示电路对外呈现感性还是容性？解取电感电流为参考相量下页上页3

3

－j6

j4

5

＋＋－－－电压滞后于电流，电路对外呈现容性。返回用相量图分析例2-2移相桥电路。当R2由0∞时，解当R2=0，q=180°；当R2

∞，q=0°。abb下页上页abR2R1R1+_+-+-+-+-返回6-3

正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较下页上页返回1.引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的。下页上页结论2.引入电路的相量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态的相量分析中。直流（f=0)是一个特例。返回例3-1画出电路的相量模型求各支路电流。已知：解下页上页返回R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2R2+_R1下页上页返回Z1Z2R2+_R1下页上页返回Z1Z2R2+_R1列写电路的回路电流方程和结点电压方程。例3-2

解回路方程下页上页返回+_LR1R2R3R4C+_R1R2R3R4结点方程下页上页返回+_R1R2R3R4方法1：电源变换解例3-3下页上页Z2Z1

Z3Z+-Z2Z1ZZ3返回方法2：戴维宁等效变换求开路电压：求等效电阻：下页上页ZeqZ+-+-Z2Z1Z3返回△例3-4求图示电路的戴维宁等效电路。解下页上页求开路电压：返回j300

+_+_50

50

+_j300

+_+_100

求短路电流：下页上页返回+_100

+_j300

+_+_100

△例3-5

解下页上页Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3返回用叠加定理计算电流,下页上页Z2Z1Z3+-返回Z2Z1Z3+-已知平衡电桥Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jwL3。

求：Zx=Rx+jwLx。平衡条件：Z1Z3=

Z2Zx

得R1(R3+jwL3)=R2(Rx+jwLx)Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2例3-6解

|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+

3

=

2

+

x

下页上页Z1Z2ZxZ3

返回

|Z1|

1

•|Z3|

3

=|Z2|

2

•|Zx|

x

已知：Z=（10+j50）W,Z1=（400+j1000）W。例3-7解下页上页ZZ1+_返回

已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,

f=50Hz。

求：线圈的电阻R2和电感L2

。画相量图分析。例3-8解法1下页上页q2q返回R1R2L2+_+_+_下页上页q2q返回其余步骤同解法1。下页上页返回解法2R1R2L2+_+_+_？例3-10图示电路，解下页上页返回R1R2jXL+_+_jXC△例3-11求RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。解应用三要素法用相量法求正弦稳态解下页上页返回L+_+_RtiO直接进入稳定状态下页上页过渡过程与接入时刻有关。注意返回出现瞬时电流大于稳态电流现象tiO下页上页返回6-4

正弦稳态电路的功率1.瞬时功率第一种分解方法第二种分解方法下页上页返回线性网络+ui_第一种分解方法：p

有时为正,有时为负。p>0,电路吸收功率。p<0，电路发出功率。

t

iOuUIcos

恒定分量UIcos

(2t－)为正弦分量下页上页返回p

tO第二种分解方法：UIcos

[1+cos

(2t)]为不可逆分量（等效电阻的功率）UIsin

sin(2t)为可逆分量（等效电抗的功率）

部分能量在电源和一端口之间来回交换。下页上页返回2.平均功率

P

=

u-

i：功率因数角。对不含独立源的线

性网络，为其等效阻抗的阻抗角。

cos

：功率因数。P

的单位：W（瓦）下页上页返回X>0,j>0,

感性;X<0,j<0,

容性。cosj

1,纯电阻0，纯电抗平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压、电流有效值有关，而且与cos

有关，这是交流和直流的很大区别,主要由于电压、电流存在相位差。下页上页结论返回一般地,有：0<

cos

<14.视在功率S3.无功功率

Q单位：var

(乏)Q>0，表示网络吸收无功功率。Q<0，表示网络发出无功功率。Q

的大小反映网络与外电路交换功率的规模。是由储能元件L、C的性质决定的下页上页电气设备的容量返回有功，无功，视在功率的关系：有功功率:

P=UIcos

单位：W无功功率:

Q=UIsinj

单位：var视在功率:

S=UI

单位：V·AjSPQ功率三角形下页上页返回5.R、L、C元件的有功功率和无功功率uiR+-PR=UIcos

=UIcos0

=UI=I2R=U2/RQR=UIsin

=UIsin0

=0PL=UIcos

=UIcos90

=0QL=UIsin

=UIsin90

=UI=I2XLiuC+-PC=UIcos

=UIcos(-90

)=0QC=UIsin

=UIsin(-90

)=-UI=

I2XC下页上页返回iuL+-6.

任意阻抗的功率计算PZ=UIcos

=I2|Z|cos

=I2RQZ=UIsin

=I2|Z|sin

=I2X

＝I2(XL＋XC)=QL＋QCjSPQjZRX相似三角形(发出无功)下页上页返回uiZ+-（1）电感、电容的无功补偿作用

t

iOuLL发出功率时，C刚好吸收功率，与外电路交换功率为pL+pC。L、C的无功功率具有互相补偿的作用。

t

iOuCpLpC下页上页返回LCRuuLuCi+-+-+-注意：反映电源和负载之间交换能量的规模。（2）无功功率的物理意义:下页上页返回（3）平均功率和无功功率分别满足功率守恒关系：△（4）电压、电流的有功分量和无功分量：以感性负载为例

下页上页RX+_+_+_GB+_返回jSPQjZRX相似三角形jIIGIBjUURUX下页上页返回例4-1三表法测线圈参数。已知：f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。解法1下页上页返回RL+_ZWAV**解法2又下页上页解法3返回已知：电动机

PD=1000W，U=220V，f=50Hz，C=30

F

cos

D=0.8，求：负载电路的功率因数。例4-2解下页上页+_DC返回7.

功率因数的提高设备容量

S

(额定)向负载送多少有功功率要由负载的阻抗角决定。P=UIcos

=Scos

jcos

j=1,P=S=75kWcos

j=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用户：异步电机

空载cos

j

=0.2~0.3

满载

cos

j=0.7~0.85荧光灯

cos

j=0.45~0.6设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有。功率因数低带来的问题：下页上页S75kVA负载返回当输出相同的有功功率时，线路上电流大，I=P/(Ucos

)，线路压降损耗大。j1j2解决办法：（1）高压传输。（2）改进自身设备。（3）并联电容，提高功率因数。下页上页i+-uZ返回分析j1j2并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。特点：下页上页返回LRC+_并联电容的确定：补偿容量不同全补偿——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)欠补偿过补偿——功率因数又由高变低(性质不同)下页上页j1j2返回并联电容也可以用功率三角形确定：j1j2PQCQLQ从功率角度看:并联电容后，电源向负载输送的有功功率UILcos

1=UIcos

2不变，但是电源向负载输送的无功UIsin

2<UILsin

1减少了，减少的这部分无功功率由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功功率不变，而功率因数得到改善。下页上页返回已知：f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos

1=0.6，要使功率因数提高到0.9,求并联电容C，并联前后电路的总电流各为多大？例4-3解未并电容时：并联电容后：下页上页返回LRC+_若要使功率因数从0.9再提高到0.95

,试问还应增加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？解

cos

提高后，线路上总电流减少，但继续提高cos

所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将cos

提高到0.9即可。下页上页注意返回6-5

复功率1.复功率负载+_定义：也可表示为下页上页返回引入“复功率”下页上页结论是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量。注意把P、Q、S

联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率。

复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即

返回复功率守恒，视在功率不守恒。求电路各支路的复功率。例5-1

解1下页上页返回+_100°A10Wj25W5W-j15W解2下页上页返回6-6

最大功率传输Zi=Ri+jXi，ZL=RL+jXL负载含源网络等效电路下页上页ZLZi+-返回正弦电路中负载获得最大功率Pmax的条件。若ZL=RL+jXL可任意改变

(a)先设RL不变，XL改变显然，当Xi+XL=0，即XL=-Xi时，P获得最大值。(b)再讨论

RL改变时，P的最大值。下页上页讨论当RL=Ri

时，P获得最大值RL=RiXL=-XiZL=Zi*最佳匹配条件(共轭匹配条件）返回若ZL=RL+jXL只允许XL改变

获得最大功率的条件是：Xi+XL=0，即

XL=-Xi

最大功率为若ZL=RL为纯电阻负载获得的功率为电路中的电流为模匹配下页上页返回电路如图。求：1.RL=5

时其消耗的功率；2.RL=?能获得最大功率，并求最大功率；3.在RL两端并联一电容，问RL和C为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求最大功率。例6-1

解下页上页返回+_100°

V50HRL5W

=105

rad/s下页上页返回+_100°V50HRL5WC+_100°V50HRL5W求ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率。例6-2

解上页Zi+-ZL返回490oAZL-j30W30W-j30W6-7

RLC串联电路的谐振谐振是正弦电路在特定条件下产生的一种特殊物理现象。谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，研究电路中的谐振现象有重要实际意义。

含R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。1.谐振的定义发生谐振下页上页返回RLC电路+-2.串联谐振的条件谐振角频率谐振频率谐振条件仅与电路参数有关下页上页返回Rj

L+_串联电路实现谐振的方式：(1)

LC

不变，改变

w(2)电源频率不变，改变

L

或C

(常改变C

)

0由电路参数决定，一个RLC串联电路只有一个对应的

0

,当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。3.RLC串联电路谐振时的特点阻抗的频率特性下页上页返回幅频特性相频特性X(

)|Z(

)|XL(

)XC(

)R

0

Z(

)OZ(j

)频响曲线

(

)

0

O–/2

/2下页上页返回Z(j

)频响曲线表明阻抗特性可分三个区域描述：容性区感性区电阻性输入阻抗为纯电阻，即Z=R，阻抗值|Z|最小。电流I

和电阻电压UR达到最大值I0=U/R(U一定)。下页上页返回+++___Rj

L+_(2)L、C上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，也称电压谐振，即下页上页返回特性阻抗品质因数当

＝w0L=1/(w0C)>>R

时，Q>>1

UL=UC=QU

>>U(3)谐振时出现过电压下页上页返回例7-1某收音机输入回路

L=0.3mH，R=10

，为收到中央电台560kHz信号，求：(1)调谐电容C值；(2)如输入电压为1.5V,求谐振电流和此时的电容电压。解下页上页返回或+_LCRuI0(4)谐振时的功率

P=UIcos

＝UI＝RI02=U2/R电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。电源不向电路输送无功功率。电感中的无功功率与电容中的无功功率大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。注意下页上页返回+_PQLCR(5)谐振时的能量关系设则电场能量磁场能量电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等

WLm=WCm。L、C的电场能量和磁场能量作周期振荡性的交换，而不与电源进行能量交换。表明

下页上页返回总能量是不随时间变化的常量，且等于最大值。电感、电容储能的总值与品质因数的关系：Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，Q越大，总能量就越大，维持振荡所消耗的能量愈小，振荡程度越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般在要求发生谐振的回路中希望尽可能提高Q值。下页上页返回谐振时电路中电磁场的总储能谐振时一周期内电路消耗的能量4.谐振电路的频率特性和谐振曲线（1）阻抗的频率特性：Z(j)a.当

＜

0时,XC＞XL，Z(j

)是容性的；

b.当

=

0时，XC=XL，Z(j

)=R是电阻性的c.当

＞

0时，XC＜XL，Z(j

)是感性的。

（2）电流谐振曲线谐振电路中电流、电压与频率关系的图形称为谐振曲线(resonancecurve)由Q=

0L/R=1/(

0CR)关系可得电流谐振曲线由图可见：a.品质因数Q对电流谐振曲线的形状有很大的影响，Q大则曲线变化陡峭；Q小则曲线变化平坦b.只有频率与谐振频率

0相同和与0相差不多的电流可以通过电路，其他的则受到衰减。把电路具有这种选择谐振频率附近的电流的性质称为电路的选择性。c.电路的Q值越大，电路的选择性越好

通带宽度当Q很大（Q>>1）时，

1和

2可近似为Q大则通频带窄，Q小则通频带宽。（3）电压谐振曲线RLC串联谐振电路中电容的电压为电压谐振曲线用求极值的方法可求出UC和UL出现最大值时所对应的频率为可见，Q越大，出现UC和UL最大值时的频率越靠近谐振频率

0。UL和UC的最大值为例7-2

讨论一接收器的输出电压UR，参数为

U1=U2=U3=10mV,当电容调至

C=150pF