带电粒子在磁场中运动问题解析讲义

难点之九：带电粒子在磁场中的运动一、难点形成原因：1、由于受力分析、圆周运动、曲线运动、牛顿定律知识的不熟悉甚至于淡忘，以至于不能将这些知识应用于带电粒子在磁场中的运动的分析，无法建立带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动的物理学模型。2、受电场力对带电粒子做功，既可改变粒子的速度〔包括大小与方向〕又可改变粒子的动能动量的影响，造成磁场中的洛仑兹力对带电粒子不做功〔只改变其速度的方向不改变其大小〕的定势思维干扰，受电场对带电粒子的偏转轨迹〔可以是抛物线〕的影响，造成对磁场偏转轨迹〔可以是圆周〕的定势思维干扰。从而使带电粒子在电场中的运动规律产生了对带电粒子在磁场中的运动的前摄抑制。3、磁场内容的外延知识与学生对物理概念理解偏狭之间的矛盾导致学习困难。二、难点突破策略〔一〕明确带电粒子在磁场中的受力特点1.产生洛伦兹力的条件：①电荷对磁场有相对运动．磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用．②电荷的运动速度方向与磁场方向不平行．2.洛伦兹力大小：当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力f=0；当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，f=qυB；当电荷运动方向与磁场方向有夹角θ时，洛伦兹力f=qυB·sinθ3.洛伦兹力的方向：洛伦兹力方向用左手定那么判断4.洛伦兹力不做功．〔二〕明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：1.假设带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°或180°时，带电粒子粒子在磁场中以速度υ做匀速直线运动．2.假设带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即θ＝90°时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度υ做匀速圆周运动．①向心力由洛伦兹力提供：②轨道半径公式：③周期：，可见T只与有关，与v、R无关。〔三〕充分运用数学知识〔尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆〕构建粒子运动的物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。1.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动〞的根本型问题〔1〕定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的根底，有时需要建立运动时间t和转过的圆心角α之间的关系〔〕作为辅助。圆心确实定，通常有以下两种方法。①入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心〔如图9-1中P为入射点，M为出射点〕。图9-1图9-2图9-3②入射方向和出射点的位置，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心〔如图9-2,P为入射点，M为出射点〕。图9-1图9-2图9-3〔2〕半径确实定和计算：利用平面几何关系，求出该圆的可能半径或圆心角。并注意以下两个重要的特点：①粒子速度的偏向角等于盘旋角α，并等于AB弦与切线的夹角〔弦切角θ〕的2倍，如图9-3所示。即：。②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ/互补，即θ＋θ/＝180o。〔3〕运动时间确实定粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示。注意：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。①带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，那么其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等；②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。例1：如图9-4所示，在y小于0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B，一带正电的粒子以速度从O点射入磁场，入射速度方向为xy平面内，与x轴正向的夹角为θ，假设粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子电量与质量之比。图9-4图9-5图9-4图9-5【审题】此题为一侧有边界的匀强磁场，粒子从一侧射入，一定从边界射出，只要根据对称规律①画出轨迹，并应用弦切角等于盘旋角的一半，构建直角三角形即可求解。【解析】根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图9-5所示，找出圆心A，向x轴作垂线，垂足为H，由与几何关系得：①带电粒子在磁场中作圆周运动，由解得②①②联立解得【总结】在应用一些特殊规律解题时，一定要明确规律适用的条件，准确地画出轨迹是关键。图9-6图9-7例2：电视机的显像管中，电子〔质量为m，带电量为e〕束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图9-6所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一角度θ，此时磁场的磁感强度B图9-6图9-7【审题】此题给定的磁场区域为圆形，粒子入射方向，那么由对称性，出射方向一定沿径向，而粒子出磁场后作匀速直线运动，相当于知道了出射方向，作入射方向和出射方向的垂线即可确定圆心，构建出与磁场区域半径r和轨迹半径R有关的直角三角形即可求解。【解析】如图9-7所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。做a、b点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有：对电子在磁场中的运动〔设轨道半径为R〕有：由图可知，偏转角θ与r、R的关系为：联立以上三式解得：【总结】此题为根本的带电粒子在磁场中的运动，题目中入射方向，出射方向要由粒子射出磁场后做匀速直线运动打到P点判断出，然后根据第一种确定圆心的方法即可求解。2.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动〞的范围型问题例3：如图9-8所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，那么初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？图9-8图9-9图9-10【审题】如图9-9所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。图9-8图9-9图9-10【解析】粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，那么相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图9-10所示，作出A、P点速度的垂线相交于O/即为该临界轨迹的圆心。临界半径R0由有:；故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0即:有:。由图知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG，且由图知:。【总结】带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法〞探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹〞及“临界半径R0〞，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。例4：如图9-11所示S为电子射线源能在图示纸面上和360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电-e的电子，MN是一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离OS＝L，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；①假设电子的发射速率为V0，要使电子一定能经过点O，那么磁场的磁感应强度B的条件？②假设磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达档板，那么电子的发射速率多大？图9-11图9-12③假设磁场的磁感应强度为B，从S发射出的电子的速度为，那么档板上出现电子的范围多大？图9-11图9-12【审题】电子从点S发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点S射出的方向不同将使其受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点S向与SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经过点O；由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9-12所示，最低点为动态圆与MN相切时的交点，最高点为动态圆与MN相割，且SP2为直径时P为最高点。【解析】①要使电子一定能经过点O，即SO为圆周的一条弦，那么电子圆周运动的轨道半径必满足，由得：②要使电子从S发出后能到达档板，那么电子至少能到达档板上的O点，故仍有粒子圆周运动半径，由有：③当从S发出的电子的速度为时，电子在磁场中的运动轨迹半径作出图示的二临界轨迹，故电子击中档板的范围在P1P2间；对SP1弧由图知对SP2弧由图知【总结】此题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹〞及“临界半径R0〞，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。3.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动〞的极值型问题寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。例5：图9-13中半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子；α粒子质量为m=6.6×10-27kg，电量q=3.2×10-19c，那么α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？图9-13【审题】此题α粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，那么粒子通过磁场的速度偏向角θ不同，要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，那么必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出α粒子的运动轨迹进行求解。图9-13【解析】α粒子在匀强磁场后作匀速圆周运动的运动半径：α粒子从点O入磁场而从点P出磁场的轨迹如图圆O/所对应的圆弧所示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角θ。由上面计算知△SO/P必为等边三角形，故θ＝60°此过程中粒子在磁场中运动的时间由即为粒子在磁场中运动的最长时间。【总结】当速度一定时，弧长〔或弦长〕越长，圆周角越大，那么带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。例6：一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。图9-14【审题】由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿AB进入磁场而从BC射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧PQ能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线PQ为直径的圆如图中实线圆所示。图9-14【解析】由题意知，圆形磁场区域的最小面积为图中实线所示的圆的面积。∵△ABC为等边三角形，故图中α＝30°那么：故最小磁场区域的面积为。【总结】根据轨迹确定磁场区域，把握住“直径是圆中最大的弦〞。4.“带电粒子在匀强磁场中的圆周运动〞的多解型问题抓住多解的产生原因：〔1〕带电粒子电性不确定形成多解。〔2〕磁场方向不确定形成多解。〔3〕临界状态不唯一形成多解。〔4〕运动的重复性形成多解。例7：如图9-15所示，第一象限范围内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m，电量大小为q的带电粒子在xoy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ=60o，试分析计算：〔1〕带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？图9-15图9-16〔2图9-15图9-16【审题】假设带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O1，粒子向x轴偏转，并从A点离开磁场。假设带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2，粒子向y轴偏转，并从B点离开磁场。粒子速率一定，所以不管粒子带何种电荷，其运动轨道半径一定。只要确定粒子的运动轨迹，即可求解。【解析】粒子运动半径：。如图9-16，有带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为〔1〕假设粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角A点与O点相距假设粒子带正电，它将从y轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角B点与O点相距〔2〕假设粒子带负电，它从O到A所用的时间为假设粒子带正电，它从O到B所用的时间为【总结】受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。例8：一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，假设磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，那么负电荷做圆周运动的角速度可能是〔〕A.B.C.D.【审题】依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面〞，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定那么可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。因此分两种情况应用牛顿第二定律进行求解。【解析】当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知，得此种情况下，负电荷运动的角速度为当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，有，得此种情况下，负电荷运动的角速度为应选A、C。【总结】此题中只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成双解。图9-17例9：如图9-17甲所示，A、B为一对平行板，板长为L，两板距离为d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m，带电量为+q的带电粒子以初速，从A、B两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求在什么范围内，粒子能从磁场内射出？图9-17【审题】粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用，将做匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。要想使粒子能射出磁场区，半径r必须小于d/4〔粒子将在磁场中转半个圆周后从左方射出〕或大于某个数值〔粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出〕【解析】如图9-17乙所示，当粒子从左边射出时，假设运动轨迹半径最大，那么其圆心为图中O1点，半径。因此粒子从左边射出必须满足。由于所以即:当粒子从右边射出时，假设运动轨迹半径最小，那么其圆心为图中O2点，半径为。由几何关系可得:因此粒子从右边射出必须满足的条件是，即所以当或时，粒子可以从磁场内射出。【总结】此题只问带电粒子在洛伦兹力作用下飞出有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180o从入射界面这边反向飞出，于是形成多解，在解题时一定要考虑周全。例10：如图9-18所示，在x轴上方有一匀强电场，场强为E，方向竖直向下。在x轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。在x轴上有一点P，离原点的距离为a。现有一带电量+q的粒子，质量为m，从y轴上某点由静止开始释放，要使粒子能经过P点，其初始坐标应满足什么条件？〔重力作用忽略不计〕图9-18【审题】根据带电粒子在电场中的加速运动和带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动知识，要使带电粒子能通过P点，由于粒子在磁场中偏转到达P点时可能经过的半圆个数不确定，导致多解。【解析】〔1〕粒子从y轴上由静止释放，在电场加速下进入磁场做半径为R的匀速圆周运动。由于粒子可能偏转一个、二个……半圆到达P点，故①设释放处距O的距离为y1，那么有:②③由①、②、③式有【总结】带电粒子在局部是磁场，局部是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。5.带电粒子在几种“有界磁场〞中的运动图9-19〔1〕带电粒子在环状磁场中的运动图9-19例11：核聚变反响需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内〔否那么不可能发生核反响〕，通常采用磁约束的方法〔托卡马克装置〕。如图9-19所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，假设被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算：〔1〕粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。〔2〕所有粒子不能穿越磁场的最大速度。【审题】此题也属于极值类问题，寻求“临界轨迹〞是解题的关键。要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，那么粒子的临界轨迹必须要与外圆相切；要使所有粒子都不穿越磁场，应保证沿内圆切线方向射出的粒子不穿越磁场，即运动轨迹与内、外圆均相切。图9-20r1图9-20r1由图中知，解得由得所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为。图9-21O图9-21OO2由图中知由得所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度abcdabcdSo图22〔2〕带电粒子在有“圆孔〞的磁场中运动例12：如图9-22所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，那么两电极之间的电压U应是多少？〔不计重力，整个装置在真空中〕【审题】带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。【解析】如图9-23所示，设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有ababcdSo图9-23设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有：由上面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r.由以上各式解得：【总结】根据题意及带电粒子匀速圆周运动的特点，画出粒子的运动轨迹是解决此类问题的关键所在。BBBBELdO图9-24例13：如图9-24所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：〔1〕中间磁场区域的宽度d;图9-25OO3O1O2图9-25OO3O1O2600【审题】带电粒子在电场中经过电场加速，进入中间区域磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，又进入右侧磁场区域做圆周运动，根据题意，粒子又回到O点，所以粒子圆周运动的轨迹具有对称性，如图9-25画出粒子运动轨迹。【解析】〔1〕带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：由以上两式，可得。可见在两磁场区粒子运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为〔2〕在电场中，在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间，那么粒子第一次回到O点的所用时间为。【总结】带电粒子从某一点出发，最终又回到该点，这样的运动轨迹往往具有对称性，由此画出运动的大概轨迹是解题的突破点。带电粒子在磁场中的圆周运动是历年来高考的必考题，题目的设置也是以能区分不同水平层次学生为目标的，在高考复习中必须作为重点专题，指导学生掌握方法，在这必考的题目中争取多得分。处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。重要的是正确建立完整的物理模型，画出准确、清晰的运动轨迹。下面对带电粒子在磁场中圆周运动的单解和多解问题进行分类解析。一、“带电粒子在磁场中的圆周运动〞的单解型问题找圆心、画轨迹是解题的根底,是解题的“灵魂〞，指导学生学会找带电粒子做匀速圆周运动的圆心、求出半径，再进一步求其它物理量就不难了。1.圆心与轨迹确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道一定是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键，而圆心一定在与速度方向垂直的直线上.在实际问题中圆心位置确实定极为重要，通常有两个方法：图1如图1所示，图中P为入射点，M为出射点，图1入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心Ｏ.②如图2所示，图中A为入射点，图2B为出射点，入射方向和出射点的图2位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心Ｏ.③圆心与轨迹确实定又常常借助于“圆的几何对称规律〞如从同一边界射入的粒子，又从同一边界射出时，速度与边界的夹角一定相等(图3)；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出〔图4〕.图3图3图4图5a图5aRc一般利用几何知识解直角三角形.如图5中，有界磁场的宽度为a，带电粒子离开磁场时方向改变了30°，求粒子的轨道半径。由直角三角形函数关系得：R=asin30°图6*假设并不知粒子离开磁场的偏转角，而知道入射点与出射点相距为b，那么利用直角三角形关系，R2=a2+(R-c)2c2=b2-a2图6由此可求R。3.运动时间确实定：先求周期T，再求出粒子运动这局部圆弧是整个圆周的几分之几，再求时间t如图6所示，要求粒子从A运动到B的时间，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，不管沿顺时针方向还是逆时针方向，从A点运动到B点，粒子速度偏向角(φ)等于圆心角(盘旋角α)并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍.即：φ=α=2θ=ωt.利用圆心角(盘旋角α)与弦切角θ的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，由公式t=T可求出粒子在磁场中的运动时间.以下有7个很好的选例可强化学生运用上述方法解决带电粒子在磁场中的更多问题以下有7个很好的选例可强化学生运用上述方法解决带电粒子在磁场中的更多问题图示在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁场的磁感应强度为B；一带正电的粒子以速度V0从O点射入磁场中，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ；假设粒子射出磁场的位置与O点的距离为L。求①该粒子的电荷量和质量比；②粒子在磁场中的运动时间。aa分析：①粒子受洛仑兹力后必将向下偏转，过O点作速度V0的垂线必过粒子运动轨迹的圆心O’；由于圆的对称性知粒子经过点P时的速度方向与x轴正方向的夹角必为θ，故点P作速度的垂线与点O处速度垂线的交点即为圆心O’〔也可以用垂径定理作弦OP的垂直平分线与点O处速度的垂线的交点也为圆心〕。再由洛仑兹力提供向心力得出粒子在磁场中的运动半径为故有解之由图知粒子在磁场中转过的圆心角为，故粒子在磁场中的运动时间为：【例2】如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。〔粒子重力不计〕分析：粒子在二磁场中的运动半径分别为：由粒子在磁场中所受的洛仑兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如下图。粒子从点O出发第6次穿过直线ab时的位置必为点P；故粒子运动经历的时间为，而粒子的运动周期代入前式有。粒子经过的路程：点O与P的距离为：【例3】如下图真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中；要使粒子必能从EF射出那么初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？分析：粒子从A点进入磁场后受洛仑兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，那么相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图示，作出A、P点速度的垂线相交于O’即为该临界轨迹的圆心，临界半径R0由得：故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0，即有：由图知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG，且由图知。【例4】如下图S为电子射线源能在图示纸面上和360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电-e的电子，MN是一块足够大的竖直档板且与S的水平距离OS＝L，档板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；①假设电子的发射速率为V0，要使电子一定能经过点O，那么磁场的磁感应强度B的条件？②假设磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达档板，那么电子的发射速率多大？③假设磁场的磁感应强度为B，从S发射出的电子的速度为，那么档板上出现电子的范围多大？分析：电子从点S发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点S射出的方向不同将使其受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点S向与SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经过点O。①要使电子一定能经过点O，即SO为圆周的一条弦，那么电子圆周运动的轨道半径必满足R≥，由得B≤要使电子从S发出后能到达档板，那么电子至少能到达档板上的O点，故仍有粒子圆周运动半径:得：③解答：略【例5】图中半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为的α粒子；α粒子质量为，电量，那么α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？解答：略【例6】一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。解答：略【例7】有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如下图相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。二、“带电粒子在磁场中的圆周运动〞的多解型问题带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，出现多解原因包含以下几个方面：〔1〕带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在初速度相同的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.〔2〕磁场方向不确定形成多解有时题目中只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向.此时必须要考虑磁感应强度方向的不确定而形成的多解.〔3〕临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下穿越有界磁场时，由于带电粒子的运动轨迹是圆周的一局部，因此带电粒子可能穿越了有界磁场，也可能转过180°能够从入射的那一边反向飞出〔如例3〕，就形成多解.〔4〕带电粒子运动的重复性形成多解带电粒子在局部是电场、局部是磁场的空间中运动时，往往具有重复性的运动，形成了多解.以下有4个很好的选例可运用上述的以下有4个很好的选例可运用上述的“不确定〞解决带电粒子在磁场中运动有几种可能的问题【例8】在前面“【例4】〞中假设将档板取走，磁场磁感应强度为B，当电子以速率从点S射出后要击中O点，那么点S处电子的射出方向与OS的夹角为多少？从S到点O的时间多少？【例9】一质量m带电q的粒子以速率V垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，粒子经过一段时间受到的冲量的大小为mv，粒子重力不计。那么此过程经历的时间为多少？【例10】在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；假设它在筒中只受洛仑兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；那么B必须满足什么条件？带电粒子在磁场中的运动时间？【例11】如图3-6-10所示，一对平行极板长为x，板间距离为y，板间有垂直向里的磁感应强度为B的匀强磁场.一质量为m、带电荷量为q的电子，从左侧边界线的中点处平行于极板且垂直于磁感线的方向射入磁场，欲使电子不飞出匀强磁场区，它的速率v应满足什么条件思路分析：电子在洛伦兹力作用下发生偏转，根据左手定那么可知，电子不可能向上偏转，只能向下偏转.电子飞出磁场有两种可能，一是运动半圆周后从下极板的左侧飞出，二是从下极板的右侧飞出.由此求出电子不飞出磁场的速率v的取值范围.带电粒子在磁场中运动的六类高考题型归类解析一、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动根本问题找圆心、画轨迹是解题的根底。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，那么二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。〔04天津〕钍核发生衰变生成镭核并放出一个粒子。设该粒子的质量为、电荷量为q，它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极和间电场时，其速度为，经电场加速后，沿方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，垂直平板电极，当粒子从点离开磁场时，其速度方向与方位的夹角，如下图，整个装置处于真空中。〔1〕写出钍核衰变方程；〔2〕求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R；〔3〕求粒子在磁场中运动所用时间。解析:〔1〕钍核衰变方程①〔2〕设粒子离开电场时速度为，对加速过程有②粒子在磁场中有③由②、③得④〔3〕粒子做圆周运动的盘旋周期⑤粒子在磁场中运动时间⑥由⑤、⑥得⑦二、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；盘旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化。如吸收电荷等。总之，由看m、v、q、B中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。〔06年全国2〕如下图，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为和r2，有r1＝①

r2＝②分析粒子运动的轨迹。如下图，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2r1的A点，接着沿半径为2r2的半圆D1运动至y轴的O1点，O1O距离d＝2〔r2－r1〕③此后，粒子每经历一次“盘旋〞〔即从y轴出发沿半径r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方y轴〕，粒子y坐标就减小d。设粒子经过n次盘旋后与y轴交于On点。假设OOn即nd满足nd＝2r1④那么粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点，式中n＝1，2，3，……为盘旋次数。由③④式解得⑤由①②⑤式可得B1、B2应满足的条件n＝1，2，3，……⑥三、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字〔07全国1〕两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如下图。在y>0，0<x<a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y>0，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q〔q>0〕的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．速度最大的粒子在0<x<a的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围〔不计重力的影响〕。解析：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为：①速度小的粒子将在x<a的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a。轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切〔虚线〕，OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和，C在y轴上，有对称性可知在x=2a直线上。设t1为粒子在0<x<a的区域中运动的时间，t2为在x>a的区域中运动的时间，由题意可知由此解得：②

③由②③式和对称性可得

⑤⑥

所以⑦即弧长AP为1/4圆周。因此，圆心在x轴上。设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角可得

⑧由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标⑨四、带电粒子在有界磁场中的极值问题寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如下图相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。解析：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv0/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如下图，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1O2On。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O2而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O2作弦的垂线O2A，那么电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2On沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面积即为OBPC的面积；即R2-πR2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2〔R2-πR2/4〕＝〔π/2-1〕〔mv0/Be〕2。五、带电粒子在复合场中运动问题复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。〔07四川〕如下图，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方形的匀强电场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到座标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O点的距离为l，一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入大磁场区域，并再次通过A点。此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：〔1〕粒子经过C点时速度的大小合方向；〔2〕磁感应强度的大小B。解析：〔1〕以a表示粒子在电场作用下的加速度，有①加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，那么有②③由②③式得

④设粒子从点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量v1＝⑤由①④⑤式得v1＝＝⑥设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，那么有tanα＝⑦由④⑤⑦式得

⑧〔2〕粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v的圆周运动。假设圆周的半径为R，那么有

⑨设圆心为P，那么PC必与过C点的速度垂且有＝＝R。用β表示与y轴的夹角，由几何关系得⑩⑾由⑧⑩⑾式解得R＝⑿由⑥⑨⑿式得B＝⒀六、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解，在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；假设它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；那么B必须满足什么条件？带电粒子在磁场中的运动时间分析：由于粒子从A处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为n〔不含返回A处并从A处射出的一次〕，由图可知其中n为大于或等于2的整数〔当n＝1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动，表示此时B＝0〕；由图知粒子圆周运动的半径R，再由粒子在磁场中的运动半径可求出。粒子在磁场中的运动周期为，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得，粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧，故粒子运动的总时间为：，将前面B代入T后与共同代入前式得。练习1．一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，假设磁场方向垂直于它运动的平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，那么负电荷做圆周运动的角速度可能是〔〕A．B．C．D．2．〔07宁夏〕在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点〔AP＝d〕射入磁场〔不计重力影响〕。⑴如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。⑵如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ〔如图〕。求入射粒子的速度。3．〔新题〕如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。〔粒子重力不计〕4．一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。5．如下图真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中；要使粒子必能从EF射出那么初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？参考答案：1．AC2．3．4．5．与磁场有关的六种仪器的高考试题解析现代仪器很多都要用到磁场，利用带电粒子在磁场中受洛伦兹力运动，根据运动的轨迹来偏转、分析、选择粒子，而带电粒子在磁场中运动又是高考的重点，所以把带电粒子的运动和与磁场有关的仪器结合起来成为高考命题者追求的目标，下面就近几年来常考的几种题型归类如下：1．速度选择器由正交的匀强电场和匀强磁场组成，带电粒子必须满足唯一的速度大小和方向才能通过，否那么会发生偏转，由得，即只有的粒子才能通过。〔06重庆〕有人设想用以下图所示的装置来选择密度相同、大小不同的球状纳米粒子。粒子在电离室中电离后带正电，电量与其外表积成正比。电离后，粒子缓慢通过小孔O1进入极板间电压为U的水平加速电场区域I，再通过小孔O2射入相互正交的恒定匀强电场、磁场区域II，其中磁场的磁感应强度大小为B，方向如图。收集室的小孔O3与O1．O2在同一条水平线上。半径为r0的粒子，其质量为m0、电量为q0，刚好能沿O1O3直线射入收集室。不计纳米粒子重力。〔〕〔1〕试求图中区域II的电场强度；〔2〕试求半径为r的粒子通过O2时的速率；〔3〕讨论半径r≠r2的粒子刚进入区域II时向哪个极板偏转。解析：〔1〕设半径为r0的粒子加速后的速度为v0，那么设区域II内电场强度为E，那么v0q0B=q0E电场强度方向竖直向上。〔2〕设半径为r的粒子的质量为m、带电量为q、被加速后的速度为v，那么得：〔3〕半径为r的粒子，在刚进入区域II时受到合力为：F合=qE-qvB=qB〔v0-v〕由可知，当r>r0时，v<v0，F合>0，粒子会向上极板偏转；r<r0时，v>v0，F合<0，粒子会向下极板偏转。2．质谱仪主要用于分析同位素，测定粒子的质量和比荷，主要由粒子源、加速电场、偏转磁场等组成，有单聚焦质谱仪、双聚焦质谱仪、飞行时间质谱仪、串列加速质谱仪，四极杆质谱仪等。以下图是一个质谱仪原理图，加速电场的电压为U，速度选择器中的电场为E，磁场为B1，偏转磁场为B2，一电荷量为q的粒子在加速电场中加速后进入速度选择器，刚好能从速度选择器进入偏转磁场做圆周运动，测得直径为d，求粒子的质量。不考虑粒子的初速度。解析：粒子在电场中加速，由动能定理有，粒子通过速度选择器有，进入偏转磁场后，洛仑兹力提供向心力有，而联立。3．盘旋加速器由两个D型金属盒做外壳，加上交变电源，交变电源的周期与粒子圆周运动的周期相等，金属盒对带电粒子可以起到屏蔽作用，粒子的最终速度和最大能量与D型盒的半径有关，得。〔05天津〕正电子发射计算机断层〔PET〕是分子水平上的人体功能显像的国际领先技术，它为临床诊断和治疗提供全新的手段。〔1〕PET在心脏疾病诊疗中，需要使用放射正电子的同位素氮13示踪剂。氮13是由小型盘旋加速器输出的高速质子轰击氧16获得的，反响中同时还产生另一个粒子，试写出该核反响方程。〔2〕PET所用盘旋加速器示意如图，其中置于高真空中的金属D形盒的半径为R，两盒间距为d，在左侧D形盒圆心处放有粒子源S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如下图。质子质量为m，电荷量为q。设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度不计，质子在加速器中运动的总时间为t〔其中已略去了质子在加速电场中的运动时间〕，质子在电场中的加速次数于盘旋半周的次数相同，加速质子时的电压大小可视为不变。求此加速器所需的高频电源频率f和加速电压U。〔3〕试推证当Rd时，质子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中盘旋的时间可忽略不计〔质子在电场中运动时，不考虑磁场的影响〕。解析：〔1〕核反响方程为〔2〕设质子加速后最大速度为v，由牛顿第二定律有质子的盘旋周期高频电源的频率质子加速后的最大动能设质子在电场中加速的次数为n，那么又可解得〔3〕在电场中加速的总时间为在D形盒中盘旋的总时间为故即当R>>d时，t1可忽略不计。4．电磁流量计原理：流管由非磁性材料制成，导电流体在其中流动，导电流体中的正负离子在洛伦兹力的作用下分别向相反方向偏转，两板间形成电势差，当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力相平衡时，两极的电势差保持稳定，由得，流量〔01全国〕电磁流量计广泛应用于测量可导电流体〔如污水〕在管中的流量〔在单位时间内通过管内横截面的流体的体积〕。为了简化，假设流量计是如下图的横截面为长方形的一段管道，其中空局部的长、宽、高分别为图中的a、b、c。流量计的两端与输送流体的管道相连接〔图中虚线〕。图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料。现于流量计所在处加磁感强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面。当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两外表分别与一串接了电阻R的电流表的两端连接，I表示测得的电流值。流体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，那么可求得流量为〔〕解析：由流量的公式，电压，内阻，面积，联立求解得，所以选择A。5．磁流体发电机利用等离子气体在磁场中运动，受洛伦兹力上下偏转聚集到两极板产生电势差，对外供电。设AB平行板的面积为S板间距L，离子体的电阻率ρ，喷气速度v，板间磁感应强度B电动势〔04天津〕磁流体发电是一种新型发电方式，图1和图2是其工作原理示意图。图1中的长方体是发电导管，其中空局部的长、高、宽分别为、、，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可略的导体电极，这两个电极与负载电阻相连。整个发电导管处于图2中磁场线圈产生的匀强磁场里，磁感应强度为B，方向如下图。发电导管内有电阻率为的高温、高速电离气体沿导管向右流动，并通过专用管道导出。由于运动的电离气体受到磁场作用，产生了电动势。发电导管内电离气体流速随磁场有无而不同。设发电导管内电离气体流速处处相同，且不存在磁场时电离气体流速为，电离气体所受摩擦阻力总与流速成正比，发电导管两端的电离气体压强差维持恒定，求：〔1〕不存在磁场时电离气体所受的摩擦阻力F多大；〔2〕磁流体发电机的电动势E的大小；〔3〕磁流体发电机发电导管的输入功率P。〔1〕不存在磁场时，由力的平衡得。〔2〕设磁场存在时的气体流速为，那么磁流体发电机的电动势回路中的电流电流I受到的安培力设为存在磁场时的摩擦阻力，依题意存在磁场时，由力的平衡得根据上述各式解得。〔3〕磁流体发电机发电导管的输入功率由能量守恒定律得故6．显像管利用带电粒子在电场中加速后进入磁场发生偏转，出磁场后做直线运动打到荧光屏上的原理。〔02年全国〕电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如下图。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R。以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量那么＝mv2①＝②又有＝③由以上各式解得B＝

④带电粒子在有界磁场中运动问题分类解析带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题。笔者在指导高三复习过程中，对带电粒子在有界磁场中的运动问题进行了专题复习，探究解题方法，取得了良好的教学效果。带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。下面按照有界磁场的形状对这类问题进行分类解析，供参考。一、带电粒子在半无界磁场中的运动OBSVθP图1例1、〔1983年高考试题〕一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率V垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中(如图1).OBSVθP图1(1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.(2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明:直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是。OBSVθP图2O/α解析：OBSVθP图2O/α,解得如图2所示，离了回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r所以(2)当离子到位置P时,圆心角(见图2)：因为，所以.MNMNO,LAO图3P二、带电粒子在圆形磁场中的运动例2、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图3所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间。MNO,LAO图4Rθ/2θθ/2BPO//解析：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O″，半径为R。圆弧段轨迹AB所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动，如图4所示，连结OB，∵△OAO″≌△OBO″，又OA⊥O″A，故OB⊥O″B，由于原有BP⊥O″B，可见O、B、P在同一直线上，且∠O＇OP=∠AO″B=θ，在直角三角形ＯＯ＇P中，O＇P=(L+r)tanθ，而，,所以求得MNO,LAO图4Rθ/2θθ/2BPO//，，带电粒子的圆形磁场中的运动问题在高考试题中屡次出现：如94年全国高考物理试题第31题、2002年全国高考理科综合试题第27题等。三、带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动例3、如图5所示，一束电子(电量为e)以速度V垂直射入磁感强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，那么电子的质量BABdBABdVV300O图5解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一局部，又因为f⊥V，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图5中的O点，由几何知识知，AB间圆心角θ＝30°，OB为半径。∴r=d/sin30°=2d，又由r=mV/Be得m=2dBe/V又∵AB圆心角是30°，∴穿透时间t=T/12，故t=πd/3V。带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析。如带电粒子的质量m和电量e,假设要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V必须满足什么条件？这时必须满足r=mV/Be>d,即V>Bed/m.四、带电粒子在正方形磁场中的运动llr1OV+qV图6例4、长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图6所示，磁感强度为B，板间距离也为llr1OV+qV图6A．使粒子的速度V<BqL/4m；B．使粒子的速度V>5BqL/4m；C．使粒子的速度V>BqL/m；D．使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4m。解析:由左手定那么判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得：粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有：r12＝L2+(r1-L/2)2得r1=5L/4，又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m,∴V>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mV2/Bq=L/4得V2＝BqL/4m∴V2<BqL/4m时粒子能从左边穿出。综上可得正确答案是A、B。图7图7例5、核聚变反响需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内〔否那么不可能发生核反响〕，通常采用磁约束的方法〔托卡马克装置〕。如图7所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，假设被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算〔1〕粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。图8r图8r1解析：〔1〕要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，那么粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图8所示。由图中知，解得由得图9OO图9OO2〔2〕当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，那么以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图9所示。由图中知由得所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度六、带电粒子在有“圆孔〞的磁场中运动abcdSo图10例6、如图10所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝abcdSo图10解析：如图11所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有abcdabcdSo图11由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r.由以上各式解得;.七、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动例7、如图12所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：中间磁场区域的宽度d;BBELdO图12BBELdO图12解析：〔1〕带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：由以上两式，可得。可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图13所示，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为OOOO3O1O2图13600〔2〕在电场中，在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间，那么粒子第一次回到O点的所用时间为。综上所述，运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场，假设仅受洛仑兹力作用时，它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比拟复杂，但只要准确地画出轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到量与轨道半径R、周期T的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距离以及运动时间不太难。带电粒子在磁场中运动情况的讨论带电粒子在磁场中的运动问题是高三物理复习教学的重点、难点，也是历年高考的热点问题。要想在有限的考试时间内快速准确求解这类问题，需要有扎实的根底知识和较强的综合分析能力。如果能掌握带电粒子在磁场中运动情况的根本类型及相关问题的解法，就可成竹在胸、沉着应试。基于考纲要求，本文只讨论带电粒子〔不计重力〕在匀强磁场中垂直磁场方向的几种运动情况。一、带电粒子在无界磁场中的运动〔以下所画都是垂直磁场方向的截面图〕如图1，空间存在无边界的匀强磁场，磁感应强度为B，带电荷量为q、质量为m的带电粒子以垂直于B的速度v运动，它所受洛仑兹力提供向心力，作完整的匀速圆周运动。轨道半径为r、运动周期为T，那么得假设粒子从C点运动到D点所用时间为t，那么得二、带电粒子在有界磁场中的运动〔一〕有单平面边界的磁场如图2，直线MN右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。带电粒子由边界上P点以图示方向进入磁场，在磁场内做局部圆周运动，将以关于边界对称的方向从Q点射出。那么有几何关系：PQ＝当＜900时，θ＞1800，轨迹为一段优弧，圆心在磁场中。当＝900时，θ＝1800，轨迹为半圆周，圆心在线段PQ的中点。当＞900时，＜1800，轨迹为一段劣弧，圆心在磁场外。总结：这类问题中要特别注意出入磁场的速度方向关于边界对称的特点。更重要的是要能用“动态〞的观点分析问题，即当粒子速度大小一定从P点进入方向变化时，粒子在磁场中的运动轨迹、运动时间、出磁场的位置都随之变化，但轨迹半径不变，所有可能轨迹的圆心应分布在以P点为圆心、为半径的半圆上。假设带电粒子从P点射入时速度大小变化而方向一定时，粒子在磁场中的运动轨迹、轨迹半径、出磁场的位置都随之变化，但运动时间和偏转方向不变，所有可能轨迹的圆心应分布在PO及其延长线上。〔二〕有平行双平面边界的磁场〔只讨论粒子垂直边界进入磁场〕1．当时〔如图3中r1〕，粒子在磁场中做半圆周运动后由进入边界的Q1点飞出磁场。那么有几何关系：PQ1=2r1粒子运动方向改变180°。2．当时〔如图中〕，粒子将从另一边界Q2点飞出磁场。那么有几何关系：粒子运动方向改变。总结：这类问题要特别注意粒子能否出另一边界的临界条件。还有正三棱柱面边界磁场、正四棱柱面边界磁场的问题，其分析方法与上面相似。〔例题〕：如图4，有很多质量为m、电荷量为＋q的带电粒子以等大速度从P点沿垂直于磁场的不同方向连续射入磁感应强度为B、磁场宽度为d的匀强磁场中，求解以下问题：要使粒子不从右边界射出，粒子速度大小应满足的条件是什么？假设粒子恰好不从右边界射出，这些粒子在磁场中所能到达的区域的面积是多少？假设所有粒子都从P点垂直左边界进入磁场并从右边界Q点射出，速度方向改变角，求粒子的速度大小和粒子的偏转距离？解析：根据题意画出粒子运动轨迹如图4。由牛顿第二定律得……………①要使粒子不从右边界射出，应有…②联立①②式解得假设粒子恰好不从右边界射出，应有此时粒子在磁场中所能到达的区域的面积为：〔3〕设此时粒子速度为V2，轨迹半径为，由题意及几何知识得故有……………③由牛顿第二定律得…………④联立③④式解得粒子偏转距离为〔三〕有圆柱面边界的磁场〔磁场方向与圆柱轴线平行〕1．带电粒子对准磁场圆心射入磁场如图5所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。那么有如下关系：物理关系：，，几何关系：，特别地当时，，即粒子速度方向改变。2．带电粒子不对准磁场圆心射入磁场如图5所示，带电粒子从P点射入方向发生变化时，那么轨迹圆心的位置随之变化。当粒子沿图6所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、方向偏转角最大。此时有：联立以上四式可解得和，并由可求得入射方向角。讨论：〔1〕由图6看出，在轨迹半径和运动方向偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆即为以PQ为直径的圆。〔2〕如图7所示，由几何知识很容易证明当时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。总结：处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆。再如圆环形磁场区域问题可参考〔二〕、〔三〕的分析方法求解。〔例题〕在平面内有许多电子〔质量为、电量为〕，从坐标原点不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如下图。现加一个垂直于xoy平面向内、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向x轴正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。解析：由题意可得电子在磁场中做半径为的匀速圆周运动。沿轴正方向射入的电子做圆周运动后从Q点离开磁场，联想图7所示特点，假设存在一半径为R、圆心在O1圆形磁场区域即可到达题意要求年，如图8所示。显然，符合条件的最小磁场区域应是圆O1、A1相交的局部。所以：。从以上分析讨论看出，带电粒子在磁场中运动问题实质上就是利用磁场控制带电粒子的运动方向。解决这类问题的关键是找到带电粒子运动轨迹的圆心，依据题意画出示意图，再综合运用物理规律和数学知识求解同源带电粒子在有界磁场中的运动求解思路带电粒子在匀强磁场中的运动是理科综合考试大纲中的=2\*ROMANII级要求，是近几年高考的热点问题。从同一离子源射出的带电粒子进入有边界的匀强磁场中的运动问题，更能考查学生的理解能力、分析综合能力、应用数学知识解决物理问题的能力。这类问题能很好的表达考试大纲对考生的能力要求。解决这类问题一般都要画出解题示意图，但往往由于有界磁场限制了思路而不能准确画出带电粒子的运动轨迹。如果把有界磁场扩大为无界磁场来考虑，问题将变得很简单。下面举例说明。1.同源等速异向带电粒子在磁场中的运动例1.如图1所示，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的右侧边界线，磁场中有一点O，O点到PQ的距离为r。现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围。〔粒子的重力不计〕图2分析：带电粒子的运动受到磁场右侧边界的限制，打在PQ图2我们可以假设磁场没有边界PQ，很容易就得出所有带电粒子运动轨迹的范围，不同的带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r是相同的，从O点向各个方向发射带电粒子，O为这些轨迹圆周的公共点，带电粒子能运动到的范围是以O点为圆心，为半径的大圆(虚线)，如图2所示。在这个根底上再将边界线PQ复原就可以得到带电粒子打在边界线上的范围，如图3。图3PQM图3PQMN解：如图3所示，P点在以为圆心的圆上，过O点作PQ的垂线OM，在直角三角形OMP中，，那么粒子能到达边界线最下面的点的轨迹圆是以为圆心的圆，该圆正好与边界线PQ相切，N为切点。由图3的几何关系可知。所以带电粒子打到边界线上的范围应是线段PN的长度，图42.同源异速同向带电粒子在匀强磁场中的运动图4例2.如图4所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为，A板上有一电子源P，Q点为P点正上方B板上的一点，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～范围内的电子。假设垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度，电子的质量，电子的电量，不计电子的重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A、B两板上的范围。分析：此题中带电粒子的速度方向相同，速度大小不同，仍然是在有界磁场中的运动。图5同上题一样，假设电子在无界匀强磁场中运动，根据左手定那么可以判断：沿PQ方向以大小不同的速度射出的电子均做顺时针方向的匀速圆周运动，这些半径不等的圆均相内切于点P，并与PQ相切，它们的圆心都在过P点的水平直线上，如图5所示。设电子运动的最大轨迹半径为，洛仑兹力提供向心力：，所以图5APQBMAPQBMNH图6在图5的根底上再加上与直线AP平行且间距为d的直线BQ，AP与BQ相当于磁场的两条边界线，如图6所示，只需画出半径分别是d和2d的两个特殊圆，所求范围即可求得。随着速度不断增大，电子的运动半径也随之增大，这些电子运动半个圆后打到A板上，而当电子的运动半径增大到d即图6中的小圆时，圆正好与B板相切，切点为N，电子开始打到B板上，运动半径大于d的电子将被B板挡住，不再打到A板上，故此圆也是电子打到A板上最远点所对应的圆，这样电子打在A板上的范围应是PH段。APQBMNH图7而从此刻开始，随着速度的增大，电子打到B板上的点逐渐向左移动，一直到电子的速度到达最大，此时电子打在图6中大圆与B板相交的位置APQBMNH图7代入数据故电子击中A板P点右侧与P点相距0～的范围，即PH段；击中B板Q点右侧与Q点相距～的范围，即MN段。3.小结通过上面两个例题分析可知，求解带电粒子在有界磁场中的运动范围问题，可以假设磁场无限大，把有界磁场变成无界磁场，画出带电粒子的可能运动轨迹，确定带电粒子的运动范围后，根据题设要求再补画边界线，就可以得到所求的范围。4.稳固练习图81.〔2004广东〕如图8，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离