湖北省十堰市2021年数学中考试题（解析版）

湖北省十堰市2021年数学中考试题

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相

应的格子内.

1.一,的相反数是（）

2

C11

A.—2B.2C.----D.一

22

【答案】D

【解析】

【详解】因为-!+!=o,所以的相反数是二.

2222

故选D.

2.如图，直线AB〃C£>,N1=55。,N2=32°,则N3=（）

A.87°B.23°C.67°D.90°

【答案】A

【解析】

【分析】利用平行线的性质得到NC=N1=55°,再利用三角形外角的性质即可求解.

【详解】解：；A6//C£>,N1=55°,

ZC=Z1=55°,

N3=N2+NC=87。，

故选：A.

【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键.

3.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（）

□□FLB

【答案】A

【解析】

【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案.

【详解】解：该几何体从上向下看，其俯视图是

故选：A.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图.

4.下列计算正确的是()

A.a，“3=2^3B.(―2a)~=4a~

C.(a+/?)"——ct~+h~D.(a+2)(a—2)—cr—2

【答案】B

【解析】

【分析】根据同底数基相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可.

【详解】解：A.a3-a^a6,该项计算错误；

B.(一2。)2=4",该项计算正确；

C.(a+b)2=a2+2ab+b2,该项计算错误；

D.(a+2)(a-2)=a2-4,该项计算错误；

故选：B.

【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数基相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键.

5.某校男子足球队的年龄分布如下表

年龄131415161718

人数268321

则这些队员年龄的众数和中位数分别是()

A.8,15B.8,14C.15,14D.15,15

【答案】D

【解析】

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数,

众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

【详解】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15岁；

22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是(15

+15）4-2=15岁.

故选：D.

【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数

可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据

有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据

中的数.

6.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器

所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（）

4004504504004004505450400二

A.B.C.-------------=50D.-------------=5

xx-50x-50xxx+1x+1x

【答案】B

【解析】

【分析】设现在每天生产x台，则原来可生产（%-50）台.根据现在生产400台机器的时间与原计划生产

450台机器的时间少1天，列出方程即可.

【详解】解：设现在每天生产x台，则原来可生产（x-50）台.

450400,

依题意得:-----------------=1.

x-50x

故选：B.

【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机

器的时间少1天”这一个条件，列出分式方程是解题关键.

7.如图，小明利用一个锐角是30。的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离8c为

15m,A3为L5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）

A.B.5GmC.15x/3m

【答案】D

【解析】

【分析】先根据题意得出的长，在中利用锐角三角函数的定义求出EQ的长，由CE=CQ+

OE即可得出结论.

【详解】解：DEVBC,AD//BC,

四边形ABC。是矩形，

VBC=15m,A8=,

・・・A£)=BC=15m,DC=AB=,

在Rt/\AED中，

VZEAD=30°,AD=15m,

・・.EO=AO・tan30°=15X@=56,

3

CE=CD+DE=^5>/3+1m.

故选：D.

【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键，

属于基本知识的考查.

8.如图，,ABC内接于，。NB4c=120。,AB=AC,3。是的直径，若AT>=3,则BC=()

A.2GB.C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】首先过点。作。凡LBC于F,由垂径定理可得BF=CF=!SC,然后由N2AC=120°,AB=AC,

2

利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得NC与NBAC的度数，由B。为。。的直径，即可求得NB4O

与/£>的度数，又由A£>=3,即可求得8。的长，继而求得8C的长.

【详解】解：过点。作。尸，BC于巴

：.BF=CF^—BC,

2

•：AB=AC,/BAC=120°,

：.ZC=ZABC=(180°-ZBAC)+2=30°,

•.•/c与/。是同弧所对的圆周角，

.../O=/C=30°,

：80为。。的直径，

.../2AQ=90°,

AZABD=60°,

NOBC=/ABD-/A8C=30°,

•：AD=3,

：.BD=AD^-cos30°=3+2=2，，

2

：.OB=gBD=也,

n3

，"=OB・cos30°=百**_=一，

22

BC=3.

故选：C.

【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函

数值等知识.此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线.

9.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27,则位于第32行第

13列的数是()

A.2025B.2023C.2021D.2019

【答案】B

【解析】

【分析】根据数字的变化关系发现规律第"行，第〃列的数据为：2〃(〃-1)+1,即可得第32行，第32列的数

据为:2X32X(32-1)+1=1985,再依次加2,到第32行，第13列的数据,即可.

【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第〃行，第〃列的数据为：

.•.第32行，第32列的数据为：2X32X(32-1)+1=1985,

根据数据排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2,

.•.第32行，第13列的数据为：1985+2X(32-13)=2023,

故选：B.

【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题.

10.如图，反比例函数y=3>0)的图象经过点A(2,1),过A作AB_Ly轴于点B,连OA,直线C£>_L,

交x轴于点C,交y轴于点O,若点8关于直线CD的对称点夕恰好落在该反比例函数图像上，则。点纵

坐标为()

A5--157D56+1

B.-C.一

4234

【答案】A

【解

【分析】设点8关于直线CO的对称点易得85'〃。4求出a的值，再根据勾股定理得到两点

间的距离，即可求解.

【详解】解：•••反比例函数y=>0)的图象经过点42,1),

:•k=2,

直线OA的解析式为y=；%，

,/CDVOA,

设直线CD的解析式为y^-2x+b,

则。(0力)，

设点B关于直线CO的对称点"(a,')，

则仅一1)2=/+七一，①，

且587/Q4,

--1厂

即a_1，解得。=逐—1，

~a~~2

代入①可得方=包5二1,

4

故选：A.

【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键.

二、填空题(本题有6个小题，每小题3分，共18分)

11.2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人,把数字1412000000

科学记数法表示为.

【答案】1.412x109

【解析】

【分析】直接利用科学记数法表示数的方法即可求解.

【详解】解：1412000000用科学记数法表示为1.412x1()9,

故答案为：1.412x109.

【点睛】本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键.

12,已知肛=2,x-3y=3,则2dy-+18砂'=.

【答案】36

【解析】

【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可.

【详解】：xy=2,x-3y=3,

，原式=2肛(％-3»=2x2x3?=36,

故答案是：36.

【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键.

13.如图，0是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5,AD=12,则四边形ABOM

的周长为.

【答案】20.

【解析】

【详解】：AB=5,AD=12,

根据矩形的性质和勾股定理，得AC=13.

：BO为Rt△ABC斜边上的中线

.,.BO=

•••O是AC的中点，M是AD的中点，

；.OM是AACD的中位线

；.OM=

四边形ABOM的周长为：++6+5=20

故答案为20

14.对于任意实数。、b,定义一种运算：a®b^cr+lr-ab，若x③(x-l)=3,则x的值为.

【答案】一1或2

【解析】

【分析】根据新定义的运算得到x(2)(x—l)=f+(x—1)2—x(x—1)=3,整理并求解一元二次方程即可.

【详解】解：根据新定义内容可得：x<8)(x—l)=V+(x—1)2一x(x—1)=3,

整理可得d—x—2=0.

解得％=T,须=2,

故答案：一1或2.

【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键.

15.如图，在边长为4的正方形ABCO中，以为直径的半圆交对角线AC于点E,以C为圆心、8C长

为半径画弧交AC于点F,则图中阴影部分的面积是.

【答案】37-6

【解析】

【分析】连接BE,可得AHBE是等腰直角三角形，弓形BE的面积=4-2,再根据阴影部分的面积=弓形

8E的面积+扇形CBF的面积-_BCE的面积，即可求解.

【详解】连接BE,

•.•在正方形ABCD中，以A3为直径的半圆交对角线AC于点E,

；.NAEB=90°,即：ACVBE,

VZCAB=45°,

•••AABE是等腰直角三角形，即：AE=BE,

弓形BE的面积=—乃x2x2x2=»—2>

42

.•.阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CB/7的面积-q3CE的面积

~45x7x4?11..

=%一2+---------x—x4x4=3万-6.

36022

故答案是：3万-6.

【点睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是

解题的关键.

16.如图，在中，NAC3=90°,4C=8,BC=6,点P是平面内一个动点，且4P=3,Q为BP

的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为相，则机的取值范围是.

713

【答案】一W故

22

【解析】

【分析】作A8的中点例，连接CM、QM,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中

位线定理求得。朋和CM的长，然后在acoM中根据三边关系即可求解.

【详解】解：作A8的中点M,连接CM、QM.

在以A为圆心，3为半径圆上运动，

在直角△ABC中，AB==而+62=io,

M是直角△ABC斜边AB上的中点，

：.CM^—AB=5.

2

是BP的中点，M是AB的中点，

13

，MQ=—AP=—.

22

33713

・•・在△CMQ中，5--WCQW—+5,即一W〃zW-.

2222

713

故答案是：一WmW—.

22

【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半，作圆，作A3的中点M,连接CM、QM,构造三角形，是解题的关键.

三、解答题（本题有9个小题，共72分）

+日十31

17.计算:起cos45。

【答案】1

【解析】

【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数累、绝对值的性质逐项计算，即可求解.

【详解】解：原式=夜乂立+3-3

2

=1•

【点睛】本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数基、绝对值的性质是解题的关键.

。+2a-\a-4

18.化简:

a~-2。a~-4。+4a

1

【答案】

(。一4

【解析】

【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法运算，进行约分，即可求解.

4+2a-1|a

【详解】解：原式={a-2)2\a-4

、Q(Q―2)

，(a+2)(a—2)]a

、＜7(0—2)"a(a—2)-,a—4

。-―4—a~+aa

a(a-2)2a-4

a-4a

a(a—2)a—4

1

=(。-2)2

【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式的通分和约分，是解题的关键.

19.为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动.赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得

分划分为A、B、C、。四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图.

等级成绩(%)人数

A15

Ba

C18

D7

根据图表信息，回答下列问题：

(1)表中。=；扇形统计图中，C等级所占的百分比是；。等级对应的扇形圆心角为

度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有

人.

(2)若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级

比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率

【答案】(1)20,30%,42°,450人；(2)-

6

【解析】

【分析】(1)先由A等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到a的值，再根据C和O占总

人数的比例，求出百分比或圆心角度数，利用样本估计总体的方法求出全校成绩为A等级的人数；

(2)先列出表格，将所有情况列举，利用概率公式即可求解.

【详解】解：（1）总人数为15+言=60人，

360

，。=60-15-18-7=20,

1Q

c等级所占的百分比一X100%=30%,

60

7

。等级对应的扇形圆心角：；x360=42。，

60

若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A等级的学生共有1800x”=450人;

60

（2）列表如下:

甲乙丙T

甲甲乙甲丙甲丁

乙甲乙乙丙乙丁

丙甲丙乙丙丙丁

T甲丁乙丁丙丁

共有12种情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，

.•.P（甲、乙两人至少有1人被选中）=3=2.

126

【点睛】本题考查统计与概率，能够从扇形统计图和统计表中获取相关信息是解题的关键.

20.已知关于x的一元二次方程f一4x—2,”+5=0有两个不相等的实数根.

（1）求实数机的取值范围；

（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数，〃的值.

【答案】（1）m>~；（2）1

2

【解析】

【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解；

（2）根据韦达定理可得％=一2根+5〉0,芯+赴=4,得到;<m<g,根据两个根和根都是整数,

进行分类讨论即可求解.

【详解】解：（1）•.•一元二次方程——4x—2m+5=0有两个不相等的实数根，

A=16-4（-2m+5）>0,

解得m>-t

2

（2）设该方程的两个根为西、々，

•.•该方程的两个根都是符号相同的整数，

x{x2--2m+5>0,x,+x2=4,

,15

・・一<"Z<一,

22

二〃2的值为1或2,

当加=1时，方程两个根为玉=1、々=3；

当m=2时，方程两个根引与々不是整数；

.,•/«的值为1.

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理，掌握上述知识点是解题的关键.

21.如图，已知A8C中，。是AC的中点，过点。作DEJ.AC交8C于点E,过点A作A尸//6。交OE

于点F,连接AE、CF.

（1）求证：四边形AECE是菱形；

（2）若b=2,NE4C=30°,N8=45°,求A3的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）R

【解析】

【分析】（1）通过证明八4。产二△CQE得到AF=CE,即四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互

相垂直的平行四边形是菱形即可得证；

（2）点A作40J_3C,通过解直角三角形即可求解.

【详解】解：（1）•：AF//BC,

/.ZFAD=ZECD,

•••。是AC的中点，DE1AC,

:./FDA=NEDC，AD^CD,

：.AADF/ACDE,

：.AF=CE,

，四边形4ECF是平行四边形,

,/DE1AC,

，平行四边形AECF是菱形;

(2)是菱形,

，AF=CF=2,

AD=A尸•COS300=G，

/.AC=2AD=273，

过点A作4W，8C,

，4W=AC-sin30°=百，

【点睛】本题考查菱形的判定与性质、解直角三角形等内容，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

22.如图，已知是的直径，C为。。上一点，NOCB的角平分线交于点。，F在直线AB上,

且垂足为E,连接A。、BD.

(1)求证：OR是「。的切线；

(2)若tanNA=；,「。的半径为3,求的长.

Q

【答案】(1)证明见解析；(2)EF=-

5

【解析】

【分析】(1)连接0。通过等边对等角和角平分线的定义得到NQDC=NBCD，利用平行线的性质与判

定即可得证；

(2)通过证明△A£)psA£)B尸求出线段DF和BF的长度，再通过证明AODRSaBEE,利用相似三角

形的性质即可求解.

【详解】解：(1)连接。。，

,/OD=OC,

/.NOCD=/ODC,

••,(：。平分/。。3,

ZOCD=ZBCD,

：./ODC=NBCD,

：.OD//BC,

DF1BC

OD1DF,

二。/是1。的切线；

(2):ZADO+NBDO=90P,NFDB+NBDO=9Q0,

；•ZADO=NFDB,

ZADO^ZOAD,

•••NOAD=NFDB,

：.△ADFS/\DRF,

F

。

邛B1

-f

-J7-一-L=-

。anZA2

)F

DF^-AF^2BF,

2

即g(8E+6)=28E,解得叱=2，DF=4,

•：ODrDF,BE工DF，

ODFs.BEF,

区=里=工,解得

DFOF2+35

【点睛】本题考查圆与相似综合，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

23.某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg,经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y

0.25x+30(l<x<20)

（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y=<且x为整数，且日销量〃?（kg）

35(20<x<40)

与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表:

时间X（天）13610♦・・

日销量加（kg）142138132124・・・

填空:

(1)m与x的函数关系为；

(2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

(3)在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠〃元利润(〃<4)给当地福利院，后发现:

在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求〃的取值范围.

【答案】⑴/n=-2x+144；(2)第16天销售利润最大，最大为1568元；(3)0<n<2

【解析】

【分析】(1)设加="+匕，将(1,142),(3,138)代入，利用待定系数法即可求解；

(2)分别写出当1WXW20时与当20<xV4()时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可

求解；

(3)写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴16+2〃420,

求解即可.

【详解】解：(1)设m="+匕，将(1,142),(3,138)代入可得：

142=k+b[k=-2

<133=3k+h，解得]力=144，

；・)%=-2x+144；

(2)当lKx<20时，

销售利润W=my-2Qm=(-2x+144)(0.25x+30-20)=-^(x-16)2+1568,

当x=16时，销售利润最大为1568元；

当20cx<40时，

销售利润卬=咋」20m=-30x+2160,

当x=21时，销售利润最大为1530元；

综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；

(3)在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：

W'=my-20m-ntn=(0.25x+10-/?)(-2x+144)=~~x2+(16+2«)x+1440-144/;,

V1<%<2OH^,W'随x的增大而增大，

...对称轴16+2〃420,解得0<〃42.

【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键.

24.已知等边三角形ABC,过4点作AC的垂线/,点P为/上一动点(不与点A重合)，连接CP,把线

段CP绕点C逆时针方向旋转60°得至IJCQ,连Q8.

（1）如图1，直接写出线段4尸与8Q的数量关系；

（2）如图2,当点P、8在AC同侧且AP=AC时，求证：直线依垂直平分线段CQ；

（3）如图3,若等边三角形ABC的边长为4,点P、8分别位于直线AC异侧，且_APQ的面积等于且，

4

求线段AP的长度.

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）乙6+叵

33

【解析】

【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP=CQ,ZACP=ZBCQ,AC=BC,进而即可

得到结论；

（2）先证明△BCQ是等腰直角三角形，再求出/CB£>=45°,根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到

结论：

（3）过点B作BE，/,过点。作QF，/,根据△ACPgABC。，可得AP=BQ,ZCAP=ZCBQ=90°,

设AP=x,则BQ=x,e，Qf=（x-2G）X@,再列出关于x的方程，即可求解.

332

【详解】（1）证明：♦.•线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ,

CP=CQ,ZPCQ=6Qa,

•.•在等边三角形A8C中，ZACB=60°,AC=BC,

：.ZACP=ZBCQ,

：.AACP^ABCQ,

：.AP=BQ-

（2）VAP=AC,CA±l,

△ACP是等腰直角三角形，

,/△4CP4△6CQ,

/.ABCQ等腰直角三角形，NC8Q=90°,

:在等边三角形ABC中，AC=AB,NBAC=NABC=60°,

：.AB=AP,NBAP=90°-60°=30°,

/ABP=/APB=（180°-30°）+2=75°,

AZCBD=180°-75--60°=45°,

...PO平分NC2Q,

，直线尸8垂直平分线段CQ；

（3）过点B作BEL,过点。作QFL,

由（1）小题，可知：AACP^ABCQ,

：.AP=BQ,/CAP=NCBQ=90°,

VZACB=60°,ZCAM=90°,

.../AMB=360°-60°-90°-90°=120°,即：ZBME=ZQMF=60°,

•；NBAE=90°-60°=30°,AB=4,

：.BE^~AB=2,

2

BM=BE+sin60°=2+①，百，

23

设AP=x,则BQ=x,MQ=x-上值,QF=MQXsin60°=（x-±5义3，

332

•••-APQ的面积等于立，

4

；SAPXQF=立,即：；xX（x-：G）x@=立，解得：x=2&+变或x=26—叵（不合

2423243333

题意，舍去），

/MP--73+—.

33

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据

题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键.

25.已知抛物线y=+--5与x轴交于点A（T,0）和B（-5,0）,与y轴交