2024版新教材高考数学一轮复习第7章立体几何第5节空间向量及其运算学案含解析新人教A版20230519159

2024版新教材高考数学一轮复习第7章立体几何第5节空间向量及其运算学案含解析新人教A版20230519159 第五节空间向量及其运算一、教材概念·结论·性质重现1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量长度(模)为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似．在学习空间向量时，与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．2．空间向量中的有关定理语言描述共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc(1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．(2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题．3．空间向量的数量积(1)两向量的夹角①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：0≤〈a，b〉≤π.(2)两个非零向量a，b的数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(1)两向量的夹角概念中的两个注意点：①两个向量有相同的起点．②向量的方向．(2)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．4．空间向量的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．5．常用结论(1)证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：①eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；②对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)；③对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．(2)证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面：①eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；②对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；③eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)空间中任意两个非零向量a，b共面． (√)(2)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)． (×)(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c． (×)(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反． (×)(5)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角． (×)2．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝()A．3B．4C．5D．6C解析：因为α⊥β，所以u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，解得t＝5.3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA1＝c，则下列向量中与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cA解析：eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC的一个法向量的是()A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))C解析：设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))所以x＝y＝z.故选C．5．下列说法：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若a，b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确的为________．(填序号)②③④解析：①中四点恰好围成一个封闭图形，正确；②中当a，b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；③中a，b所在直线可能重合；④中需满足x＋y＋z＝1，才有P，A，B，C四点共面．考点1空间向量的线性运算——基础性1．在空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)cB解析：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.2．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,5,2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则eq\o(EF,\s\up6(→))的坐标为()A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)B解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝eq\f(1,2)(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．3．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且eq\o(MG,\s\up6(→))＝2eq\o(GN,\s\up6(→)).若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝________.eq\f(5,6)解析：连接ON，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋\f(1,2)c－\f(1,2)a))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.又eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)，因此x＋y＋z＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).用已知向量表示未知向量的方法(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．考点2共线向量定理、共面向量定理及其应用——综合性(1)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若向量a，b，c共面，则实数λ等于()A．eq\f(62,7)B．eq\f(63,7)C．eq\f(64,7)D．eq\f(65,7)D解析：因为向量a，b，c共面，所以，由共面的向量基本定理，存在唯一实数x，y，使得xa＋yb＝c，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,－x＋4y＝5，,3x－2y＝λ，))解方程组得λ＝eq\f(65,7).(2)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各个面都是平行四边形，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.①求证：A，E，C1，F四点共面；②已知eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z的值．①证明：eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)).又eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))有公共点A，所以A，E，C1，F四点共面．②解：因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→)).所以x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，所以x＋y＋z＝eq\f(1,3).证明点共线、点共面的方法(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线，即证明eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ≠0)．(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))或对空间任一点O，有eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．1．已知向量a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于()A．eq\f(3,2)B．－2C．0D．eq\f(3,2)或－2B解析：当m＝0时，a＝(1,3，－1)，b＝(2,0,0)，a与b不平行，所以m≠0.当m≠0时，因为a∥b，所以eq\f(2m＋1,2)＝eq\f(3,m)＝eq\f(m－1,－m)，解得m＝－2.2．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四点共面．证明：连接BG，EG，如图，因为E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，所以E，F，G，H四点共面．3．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC边上的中点，求证：A1B∥平面AC1D．证明：设eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝b－a＋c，所以eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))－2eq\o(AD,\s\up6(→)).因为A1B平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D．考点3空间向量的数量积及其应用——应用性考向1空间向量数量积的运算(1)在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－1B．0C．1D．不确定B解析：(1)如图，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.(2)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值时，eq\o(OQ,\s\up6(→))的坐标是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))解析：因为点Q在直线OP上，所以设点Q(λ，λ，2λ)，则eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(4,3)))eq\s\up8(2)－eq\f(2,3).当λ＝eq\f(4,3)时，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值－eq\f(2,3).此时eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．考向2空间向量数量积的应用如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．(1)解：记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).|eq\o(AC,\s\up6(→))1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，所以|AC1|＝eq\r(6)，即AC1的长为eq\r(6).(2)证明：因为eq\o(AC,\s\up6(→))1＝a＋b＋c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，所以eq\o(AC,\s\up6(→))1·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－a)＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0.所以eq\o(AC,\s\up6(→))1⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，所以AC1⊥BD．(3)解：因为eq\o(BD,\s\up6(→))1＝b＋c－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))1|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(BD,\s\up6(→))1·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b·a＋b2＋c·a＋c·b－a2－a·b＝1.所以cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))1，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD,\s\up6(→))1·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD,\s\up6(→))1||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(6),6).所以AC与BD1夹角的余弦值为eq\f(\r(6),6).空间向量数量积的应用求夹角设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H为C1G的中点．建立空间直角坐标系解决下列问题：(1)求eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))；(2)求cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，C1G〉；(3)求FH的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C(0，1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0)).(1)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×(－1)＋eq\f(1,2)×0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－1)＝0.(2)因为eq\o(C1G,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))－(0,1,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，－1))，所以|eq\o(C1G,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(17),4).又因为eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(C1G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×0＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－1)＝eq\f(3,8)，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，所以cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(C1G,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(C1G,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))||\o(C1G,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(51),17).(3)因为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))，所以eq\o(FH,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,8)，\f(1,2))).所以|eq\o(FH,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up8(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))eq\s\up8(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2))＝eq\f(\r(41),8).故FH的长为eq\f(\r(41),8).第六节立体几何中的向量方法—证明平行与垂直一、教材概念·结论·性质重现1．直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量(1)若l是空间一条直线，A，B是l上任意两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))及与eq\o(AB,\s\up6(→))平行的非零向量均为直线l的方向向量．(2)设a，b是平面α内两个不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)直线的方向向量是唯一确定的． (×)(2)平面的单位法向量是唯一确定的． (×)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行． (√)(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行． (√)(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行． (×)(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行． (×)2．若直线l的方向向量a＝(1，－3，5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有()A．l∥α B．l⊥αC．l与α斜交 D．l⊂α或l∥αB解析：由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α.故选B.3．平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)．若α∥β，则k等于()A．2 B．－4C．4 D．－2C解析：因为α∥β，所以两平面的法向量平行，所以eq\f(－2,1)＝eq\f(－4,2)＝eq\f(k,－2)，所以k＝4.4．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)A解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A中的两个向量垂直．5．两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是________．平行解析：因为v2＝－2v1，所以v1∥v2.又l1与l2不重合，所以l1∥l2.考点1利用空间向量证明平行问题——基础性1．如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，则平面EFG与平面PBC的位置关系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能确定B解析：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊥AD，且四边形ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))，所以BC∥EF.又因为EF平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC．又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PBC．2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．求证：CM∥平面PAD．证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.因为PC⊥平面ABCD，所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°.因为PC＝2，所以BC＝2eq\r(3)，PB＝4，所以D(0,1,0)，B(2eq\r(3)，0,0)，A(2eq\r(3)，4,0)，P(0,0,2)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2)))，所以eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0，－1,2)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，3,0)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2))).设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(DP,\s\up6(→))·n＝0，,\o(DA,\s\up6(→))·n＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y＋2z＝0，,2\r(3)x＋3y＝0，))取y＝2，得x＝－eq\r(3)，z＝1，所以n＝(－eq\r(3)，2,1)是平面PAD的一个法向量．因为n·eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＋2×0＋1×eq\f(3,2)＝0，所以n⊥eq\o(CM,\s\up6(→)).又CM平面PAD，所以CM∥平面PAD．利用空间向量证明线面、面面平行的方法(1)证明线面平行的常用方法：①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面；②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行；③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明面面平行常用的方法：①利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；②证明两个平面的法向量平行；③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．考点2利用空间向量证明垂直问题——综合性如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC．证明：(1)如图所示，以O为坐标原点，分别以射线OD，OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4，2,0)，P(0,0,4)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,3,4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－8,0,0)．所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AP⊥BC．(2)由(1)知|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝5，又|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝3，且点M在线段AP上，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,5)，\f(12,5))).又eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－4，－5,0)，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝(0,3,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BM,\s\up6(→))，即AP⊥BM.由(1)知AP⊥BC，所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC．又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC．利用空间向量证明线面、面面垂直的方法(1)证明线面垂直的常见思路①将线面垂直的判定定理用向量表示．②证明直线的方向向量与平面的法向量共线．(2)证明面面垂直的常见思路①利用面面垂直的判定定理，证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量．②证明两平面的法向量互相垂直．1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM所成的角为________．90°解析：以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，eq\o(AM,\s\up6(→))·Oeq\o(N,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))＝0，所以ON与AM所成的角为90°.2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)因为∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形．所以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2))).设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，即y＝eq\f(2\r(3),3)，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，0))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),6)，0)).又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(\r(3),6)×eq\f(\r(3),4)＝0，所以eq\o(AE,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，即AE⊥CD．(2)(方法一)由(1)知，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，0))，P(0，0,1)，所以eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1)).又eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(3),3)＋eq\f(1,2)×(－1)＝0，所以eq\o(PD,\s\up6(→))⊥eq\o(AE,\s\up6(→))，即PD⊥AE.因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，所以eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.所以PD⊥AB.又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面AEB，所以PD⊥平面AEB.(方法二)由(1)知，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,\f(1,4)x＋\f(\r(3),4)y＋\f(1,2)z＝0，))令y＝2，则z＝－eq\r(3)，所以n＝(0,2，－eq\r(3))为平面ABE的一个法向量．因为eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1))，显然eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),3)n.因为eq\o(PD,\s\up6(→))∥n，所以eq\o(PD,\s\up6(→))⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.考点3利用空间向量解决与平行、垂直有关的综合问题——应用性考向1存在性问题如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD．(2)若SD⊥平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD．由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设底面边长为a，则高SO＝eq\f(\r(6),2)a，所以Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),2)a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(SD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，－\f(\r(6),2)a))，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))＝0.故OC⊥SD．所以AC⊥SD．(2)解：棱SC上存在一点E使得BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1.理由如下：由已知条件知eq\o(DS,\s\up6(→))是平面PAC的一个法向量，且eq\o(DS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，\f(\r(6),2)a))，eq\o(CS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2),2)a，\f(\r(6),2)a))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0)).设eq\o(CE,\s\up6(→))＝teq\o(CS,\s\up6(→))(0＜t≤1)，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋teq\o(CS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a1－t，\f(\r(6),2)at))，又eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(DS,\s\up6(→))＝0，所以eq\f(\r(2),2)a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a))＋eq\f(\r(6),2)a×eq\f(\r(6)at,2)＝0，所以t＝eq\f(1,3).即当SE∶EC＝2∶1时，eq\o(BE,\s\up6(→))⊥eq\o(DS,\s\up6(→)).而BE平面PAC，故BE∥平面PAC．“是否存在”