高等数学基础第3讲

./第3讲导数与微分高等数学基础课程的主要研究对象是函数,函数是变量之间的对应关系,怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题.3.1导数的概念一、函数的变化率对于函数,我们要研究怎样随变化,进一步我们还要研究变化的速率,可以先看看下面这个图我们可以看出,对于相同的自变量的改变量,所对应的函数改变量是不同的.可以表示变化的速率,但这是一个平均速率,怎样考虑函数在一点的变化率呢？二、导数的概念根据前面的介绍,我们给出下面的定义.定义3.1设函数在点及其某个邻域内有定义,对应于自变量在处的改变量,函数相应的改变量为,如果当时极限存在,则此极限值称为函数在点处的导数,或在点处函数关于自变量的变化率,记作,或这时,称函数在点处是可导的.根据导数定义,我们来求一些基本初等函数的导数.例1根据导数定义求在点处的导数.解根据定义求导数通常分三步：〔Ⅰ求：〔Ⅱ求：〔Ⅲ求：因此得出.如果函数在其定义域内每一点都可导,那么我们就得到了一个新的函数,称为的导函数.在点的函数值就是在点的导数.例2根据导数定义求在点处的导数.解按照由定义求导数的步骤：因此得出.例3根据导数定义求〔为自然数在点处的导数.解按照由定义求导数的步骤：因此得出.可以看出上例的结果与本例的结果是一致的.例4根据导数定义求在点处的导数.解按照由定义求导数的步骤：因此得出.这个结果可以写成.例5根据导数定义求在点处的导数.解按照由定义求导数的步骤：因此得出.这个结果可以写成从这两个例子可以看出公式不仅在为自然数时成立,而且当和时也成立.因此我们不妨认为对任意实数,有.下面再来看一下利用重要极限求基本初等函数导数的例子,为此先给出第2个重要极限的另一种形式的另一种形式是另外,记称为自然对数.例6根据导数定义求在点处的导数.解按照由定义求导数的步骤：注意到,当时有,设,第2个重要极限公式有且是连续函数,所以有因此得出.例7根据导数定义求在点处的导数.解按照由定义求导数的步骤：注意到,当时有,设,据第1个重要极限公式有且是连续函数,所以有因此得出.下面我们给出基本初等函数的导数公式三、导数的几何意义从下面这个图中我们可以看出,函数在点处的导数,就是函数曲线在过点处的切线的斜率.这样便可得到切线的方程例8求函数在点处的切线方程.解,所以.由此得切线方程即.定理3.1若函数在点处可导,则在连续.证由于由定理2.1,有其中是无穷小量.上式可写成由此得定理3.1的结论是不可逆的,例如函数在点连续,但在该点不可导.3.2求导法一、导数的四则运算法则我们可以看出,由定义求导是很复杂的,有了基本导数公式后也并未使求导的范围扩大多少,为此我们给出下面的运算法则：设函数和在点处可导,则有上述公式我们称为导数的四则运算法则.根据第3个公式还可以得到,若函数在点处可导,为任意常数,则有对于导数的四则运算法则,我们仅就加法和乘法法则加以验证：因为所以即又因为所以即例9求下列函数的导数：⑴⑵⑶解利用导数四则运算法则和基本导数公式进行计算：⑴⑵⑶二、复合函数导求导法则有了导数四则运算法则以后,可以求导的函数类型被大大地扩充了.但仍有我们无法解决的类型,如,等函数.定理3.5设函数,,且在点处可导,在相应的点处可导,则复合函数在点处可导,且简单验证这个定理.由于在点处可导,则在点处连续,因此有.故有由导数定义得到称定理3.5为复合函数求导法则,也称为链锁法则.例10求下列函数的导数：⑴⑵⑶⑷解利用复合函数求导法则进行计算：⑴设,有⑵设,有⑶设,有⑷设,有例11设,求.解因为设,有.由复合函数求导法则得三、隐函数导求导法在下面的方程中的值可以随着的值而确定,即是的函数.但无法表示成的表达式,这种函数关系称为隐函数.例12由方程所确定的函数,求.解等式两端同时对自变量求导,左端：右端：由此得解出,得例13设,求.解由已知条件可得等式两端同时对自变量求导,左端：右端：由此得解出,得例14设,求.解由已知条件可得等式两端同时对自变量求导,左端：右端：由此得解出,得例15设,求.解由已知条件可得等式两端同时对自变量求导,左端：右端：由此得解出,得3.3微分一、微分的概念在前面的讨论中,对于函数,我们经常遇到函数的改变量,也就是从上式的右端看函数的改变量是自变量改变量的函数,这种函数关系一般来说是复杂的,能否将这种复杂的关系用简单的关系来近似呢？结论是在可导的情况下是可以的,因为此时有即称为函数在点处的微分,记为.即或例16求下列函数的微分：⑴⑵⑶⑷解利用微分定义式：⑴⑵⑶⑷由⑷的结果得到.因此微分又可记为或根据上式,导数的符号又可记为或微分的几何意义由下面的图形可以看出二、微分的运算法则微分的运算与导数运算关系密切,与导数运算类似,微分也有四则运算法则及三、一阶微分形式不变性如果函数,,且在点处可导,在相应的点处可导,那么对于复合函数在点的微分就有两种表达方式,即形式上看以上两种表示之间似乎存在区别,进一步看以上结果称为一阶微分形式不变性.例17设,求.解利用一阶微分形式不变性得由此得例18由方程所确定的函数,求.解利用微分运算法则和一阶微分形式不变性,等式两端分别求微分得左端：右端：由此得整理得得注意到本例的结果与例12是相同的.3.4高阶导数在本章的开始,我们曾提到如果函数