2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线学案含解析新人教B版202305182194

2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线学案含解析新人教B版202305182194第6节双曲线一、教材概念·结论·性质重现1．双曲线的定义(1)定义：一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|.则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线．(2)相关概念：两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当a<c时，点P的轨迹是双曲线．(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线．(3)当a>c时，点P不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；半实轴长为a，半虚轴长为ba，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3.常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a)，也叫通径．(2)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同的渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)平面内到点F1(0,2)，F2(0，－2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在y轴上的双曲线．(×)(3)双曲线方程eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).(√)2．双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0,2)B解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．3．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(5) B．5C.eq\r(2) D．2A解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝eq\f(c2,a2)＝5，∴e＝eq\r(5).4．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1.5．已知双曲线x2－eq\f(y2,16)＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．6解析：设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2.又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝eq\r(17)－1，故|PF2|＝6.考点1双曲线的定义——基础性(1)(2020·浙江卷)已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3eq\r(4－x2)图像上的点，则|OP|＝()A.eq\f(\r(22),2) B.eq\f(4\r(10),5)C.eq\r(7) D.eq\r(10)D解析：由双曲线定义可知，点P在以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．设P(x，y)，则x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1)，将y＝3eq\r(4－x2)代入可得x2＝eq\f(13,4)，所以y2＝3(x2－1)＝eq\f(27,4)，所以|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(10).故选D.(2)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点为F1，点Q(0，eq\r(3)c)(c为半焦距)．P是双曲线C的右支上的动点，且|PF1|＋|PQ|的最小值为6，则双曲线C的方程为______________．x2－eq\f(y2,3)＝1解析：设双曲线右焦点为F2，则|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，而|PF2|＋|PQ|的最小值为|QF2|＝eq\r(c2＋\r(3)c2)＝2c，所以|PF1|＋|PQ|最小值为2a＋2c＝6.又eq\f(c,a)＝2，解得a＝1，c＝2，于是b2＝3，故双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.利用双曲线的定义求方程要注意的问题(1)实轴长为距离之差的绝对值．(2)2a＜|F1F2|.(3)焦点所在坐标轴的位置．1．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A.x＝0B.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1(x≥eq\r(2))C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1或x＝0D解析：动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切．在①②情况下，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0.在③的情况下，设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋eq\r(2)，|MC2|＝r－eq\r(2).故得|MC1|－|MC2|＝2eq\r(2).在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝2eq\r(2).由③④得|MC1|－|MC2|＝±2eq\r(2).已知|C1C2|＝8，根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4,0)为焦点的双曲线，且a＝eq\r(2)，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1.故选D.2．(2020·深圳市高三二模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点分别为F1(－5,0)，F2(5，0)，P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(3,4)，则双曲线C的方程为()A．x2－eq\f(y2,24)＝1 B.eq\f(x2,24)－y2＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1A解析：如图，因为PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(3,4)，|F1F2|＝10，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.根据双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝25－1＝24，所以双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,24)＝1.考点2双曲线的方程——综合性(1)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3) B．(－1，eq\r(3))C．(0,3) D．(0，eq\r(3))A解析：因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，即m2＋n＋3m2－n＝4，解得m2＝1.又由所给方程表示双曲线得(1＋n)(3－n)>0，解得－1<n<3.(2)(2020·天津卷)设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1B.x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1D．x2－y2＝1D解析：由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线C为等轴双曲线，渐近线的斜率分别为1和－1.因为直线l与一条渐近线平行，抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，所以eq\f(b－0,0－1)＝－1，即b＝1.所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.故选D.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．1．已知双曲线C：eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1，则双曲线C的焦点坐标为()A．(±5,0) B．(±eq\r(7)，0)C．(0，±5) D．(0，±eq\r(7))C解析：双曲线的焦点坐标在y轴上，又a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，故双曲线的焦点坐标为(0，±5)．2．(多选题)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的是()A．离心率为eq\f(5,4)B．双曲线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))C．渐近线方程为3x±4y＝0D．实轴长为4ABC解析：双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，可得c＝5.如果离心率为eq\f(5,4)，可得a＝4，则b＝3.所以双曲线C的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，所以A正确；由c＝5，双曲线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＝a2＋b2，,\f(25,a2)－\f(81,16b2)＝1，)))解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，所以B正确．由c＝5，渐近线方程为3x±4y＝0，可得eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，a2＋b2＝25，解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，所以C正确．由c＝5，实轴长为4，可得a＝2，b＝eq\r(21)，双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1，所以D不正确．3．与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为____________．eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1解析：设与双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,2)－y2＝k.将点(2，－2)代入得k＝eq\f(22,2)－(－2)2＝－2，所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.考点3双曲线的几何性质——综合性考向1双曲线的渐近线若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(\r(3),2)xA解析：(方法一)由题意知，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a，即eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.(方法二)由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(3)，得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.求双曲线的渐近线的方法已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的方程，求渐近线的方程时，可令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x；或令eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x.反之，已知渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．考向2求双曲线的离心率(1)(2020·浏阳一模)已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0.若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))C．(1,2) D．(2，＋∞)A解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝eq\f(1,4)a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝eq\f(1,2)a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得eq\f(|ab|,\r(a2＋b2))<eq\f(1,2)a，即c>2b，即c2>4b2.又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c2<eq\f(4,3)a2，所以e＝eq\f(c,a)<eq\f(2\r(3),3).又知e>1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))).(2)(2020·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(5),2)x，则该双曲线的离心率是________．eq\f(3,2)解析：因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(5),a)x，所以eq\f(\r(5),a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝2，则离心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(5,4))＝eq\f(3,2).求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．考向3与双曲线有关的最值和范围问题已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))A解析：因为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，eq\f(x\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3<0，即3yeq\o\al(2,0)－1<0，解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．1．(2021·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则双曲线C的离心率为()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,4)C.eq\f(16,9) D.eq\f(25,16)B解析：由题意知，双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形(图略)易知与圆相切的只可能是by－ax＝0.又圆心坐标为(2,1)，则eq\f(|b－2a|,\r(a2＋b2))＝1，得3a＝4b，所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，则e2＝eq\f(25,16).又e>1，故e＝eq\f(5,4).2．已知焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．(0,2)解析：对于焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.双曲线eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，即eq\f(x2,8－m)－eq\f(y2,m－4)＝1，其焦点在x轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－m>0，,m－4>0，))解得4<m<8，则焦点到渐近线的距离d＝eq\r(m－4)∈(0,2)．已知A，F，P分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点．若∠PFA＝2∠PAF恒成立，则双曲线的离心率为()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．1＋eq\r(3)[四字程序]读想算思A，F分别是双曲线的左顶点和右焦点，P是双曲线上的动点1.双曲线的离心率的表达式是什么？2．如何把几何条件∠PFA＝2∠PAF转化为代数式子？设∠PAF＝α，建立∠PAF和∠PFA之间的联系数形结合∠PFA＝2∠PAF，求双曲线的离心率1.e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))；2．转化为直线的倾斜角，进而用直线的斜率表示二者之间的关系tan∠PFA＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)利用特殊值法或者代数运算，都要结合图形解决问题思路参考：特殊值法，不妨设∠PFA＝90°求解．C解析：因为∠PFA＝2∠PAF恒成立，不妨令∠PFA＝90°，则∠PAF＝45°.在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，令x＝c，易得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(b2,a))).因为tan∠PAF＝1，所以eq\f(b2,a)＝a＋c，所以c2－ac－2a2＝0，所以(c＋a)(c－2a)＝0，解得c＝2a，即e＝2.思路参考：利用诱导公式表示出直线PA，PF之间斜率的关系求解．C解析：设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan(π－2α)＝eq\f(－2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－2k1,1－k\o\al(2,1)).设点P(x0，y0)，故eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，①因为k2＝eq\f(y0,x0－c)，k1＝eq\f(y0,x0＋a)，所以eq\f(y0,x0－c)＝eq\f(－2y0x0＋a,x0＋a2－y\o\al(2,0))，②联立①②消去y0得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(c2,a2)))xeq\o\al(2,0)＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(*)当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－\f(c2,a2)＝0，,4a－2c＝0，,c2－2ac＝0))时，(*)式恒成立，此时e＝eq\f(c,a)＝2.思路参考：造构相似三角形，结合平面几何知识求解．C解析：如图1，∠ACB＝2∠ABC，由平面几何知识，△ACD∽△BAD，故eq\f(b,c)＝eq\f(c,a＋b)，所以c2－b2＝ab，反之亦然．图1图2在双曲线中，设点P(x0，y0)，过点P作PM⊥AF，如图2.因为∠PFA＝2∠PAF，同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|，又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2＋|MP|2)－(|MF|2＋|MP|2)＝(|AM|＋|MF|)·(|AM|－|MF|)＝|AF|·(2x0＋a－c)，所以|PF|＝2x0＋a－c.由双曲线的焦半径公式知，|PF|＝ex0－a，所以2x0＋a－c＝ex0－a，此时e＝eq\f(c,a)＝2.思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解．C解析：如图，作PM⊥AF于M，设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，设点P(m，n)．在Rt△PAM中，tanα＝eq\f(n,m＋a)，在Rt△PFM中，tan2α＝eq\f(n,c－m).因为tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)，所以eq\f(n,c－m)＝eq\f(2nm＋a,m＋a2－n2)，所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－n2，所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,a2)－1))b2，所以－2m2＋2(c－a)m＋2ac＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b2,a2)))m2＋2am＋c2恒成立．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＝1－\f(b2,a2)，,c－a＝a，,2a＝c，))所以e＝eq\f(c,a)＝2.1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式．2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公式，体现了数学运算的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的统一．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(2)，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A．eq\r(2) B．2C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)D解析：(方法一)由离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，得c＝eq\r(2)a.又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).(方法二)离心率e＝eq\r(2)的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，所以点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).第7节抛物线一、教材概念·结论·性质重现1．抛物线的概念(1)定义：一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过定点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．(2)相关概念：定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下(1)抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，eq\f(p,2)等于焦点到抛物线顶点的距离．(2)求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确选择抛物线的标准方程．(3)由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可．(4)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．3．焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2＝2px(p＞0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p＞0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p＞0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p＞0)|AB|＝p－(y1＋y2)二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq\f(a,4).(×)(3)抛物线方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离．(×)(4)已知AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的弦．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(√)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(√)2．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．8D解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的焦点坐标为(±eq\r(2p)，0)，故eq\f(p,2)＝eq\r(2p)，解得p＝8(p＝0舍去)．故选D.3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4 B．6C．8 D．12B解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点．过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.4．顶点在原点，且过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是____________．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－eq\f(9,2)，m＝eq\f(4,3)，所以y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y.5．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________．2解析：设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2eq\r(6).故满足条件的点的个数为2.考点1抛物线的标准方程——基础性1．过点F(0,3)且与直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12yD解析：由题意，得动圆的圆心到直线y＝－3的距离和到点F(3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y.2．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝9xC．y2＝eq\f(9,2)x D．y2＝3xD解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D.设|BF|＝a，则|BC|＝2a，|BD|＝a，故∠BCD＝30°.在直角三角形ACE中，因为|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，所以2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1.因为BD∥FG，所以eq\f(1,p)＝eq\f(2,3)，解得p＝eq\f(3,2)，因此抛物线方程为y2＝3x.故选D.3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上．若抛物线的准线与双曲线5x2－y2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积等于4eq\r(5)，则抛物线的方程为____________．y2＝8x解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(5)x.由围成的三角形面积为4eq\r(5)，可得eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(5)p＝4eq\r(5)，解得p＝4.所以抛物线的方程为y2＝8x.抛物线标准方程的求法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而求出抛物线的标准方程．(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线的标准方程有四种形式．若焦点在x轴上，设为y2＝px(p≠0)；若焦点在y轴上，设为x2＝py(p≠0)．考点2抛物线的定义及应用——综合性(1)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点．若|AB|＝8，则线段AB的中点M到直线x＋1＝0的距离为()A．2 B．4C．8 D．16B解析：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，即x＋1＝0.过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，则有|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝8.过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC的中位线，则|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝4，即点M到准线x＝－1的距离为4.(2)(2020·滨州期末)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，p为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－eq\r(3)，则△PAF的面积为()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．8 D．8eq\r(3)B解析：由题意得，抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，设抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为D，则|DF|＝2.又直线AF的斜率为－eq\r(3)，所以∠AFD＝60°，因此|AF|＝2|DF|＝4，∠FAP＝60°.由抛物线的定义可得|PA|＝|PF|，所以△PAF是边长为4的等边三角形，所以△PAF的面积为eq\f(1,2)×4×4×sin60°＝4eq\r(3).故选B.将本例(2)中点A的坐标改为(3,4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．eq\f(\r(89),2)解析：因为点A(3,4)在抛物线的外部，所以当P，A，F共线时，|PA|＋|PF|最小，|PA|＋|PF|≥|AF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,2)))2＋42)＝eq\f(\r(89),2).抛物线定义的应用技巧(1)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．1．(2020·全国卷Ⅰ)已知点A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A．2 B．3C．6 D．9C解析：设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，由抛物线定义得|AF|＝x0＋eq\f(p,2).因为点A到y轴的距离为9，所以x0＝9，所以9＋eq\f(p,2)＝12，所以p＝6.故选C.2．(2020·山西大学附中模拟)已知点Q(2eq\r(2)，0)及抛物线y＝eq\f(x2,4)上一动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是________．2解析：抛物线y＝eq\f(x2,4)，即x2＝4y，其焦点坐标为点F(0,1)，准线方程为y＝－1.因为点Q的坐标为(2eq\r(2)，0)，所以|FQ|＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3.过点P作准线的垂线PH，交x轴于点D，如图所示．结合抛物线的定义，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.考点3抛物线的几何性质——综合性考向1范围问题设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)C解析：由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0,2)，准线方程y＝－2.由抛物线的定义，|MF|＝y0＋2.因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0,2)到准线y＝－2的距离为4.所以4＜y0＋2，从而y0＞2.考向2弦长问题已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)．设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程．解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x2－2pkx－2p＝0.显然方程有两个不等实根，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①由x2＝2py，得y′＝eq\f(x,p)，则A，B处的切线斜率乘积为eq\f(x1x2,p2)＝－eq\f(2,p)＝－1，解得p＝2.(2)设切线AN的方程为y＝eq\f(x1,p)x＋b，又切点A在抛物线y＝eq\f(x2,2p)上，所以y1＝eq\f(x\o\al(2,1),2p)，所以b＝eq\f(x\o\al(2,1),2p)－eq\f(x\o\al(2,1),p)＝－eq\f(x\o\al(2,1),2p)，则切线AN的方程为yAN＝eq\f(x1,p)x－eq\f(x\o\al(2,1),2p).同理切线BN的方程为yBN＝eq\f(x2,p)x－eq\f(x\o\al(2,2),2p).又因为N在yAN和yBN上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,p)x－\f(x\o\al(2,1),2p)，,y＝\f(x2,p)x－\f(x\o\al(2,2),2p)，))解得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1x2,2p)))，所以N(pk，－1)．|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(1＋k2)eq\r(4p2k2＋8p)，点N到直线AB的距离d＝eq\f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq\f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，S△ABN＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\r(ppk2＋23)≥2eq\r(2p)，所以2eq\r(2p)＝4，所以p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．(2020·合肥模拟)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16 B．14C．12 D．10A解析：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－eq\f(1,k)，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－eq\f(1,k)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1，))消去y得k2x2－(2k2＋4)·x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2).由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq\f(4,k2).同理得|DE|＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋eq\f(4,k2)≥8＋2eq\r(16)＝16，当且仅当eq\f(1,k2)＝k2，即k＝±1时取等号．故|AB|＋|DE|的最小值为16.过抛物线x2＝2y的焦点F作直线交抛物线于A，B两点．若|AB|＝eq\f(25,12)，且|AF|<|BF|，则|AF|＝________.[四字程序]读想算思直线AB与焦点为F的抛物线x2＝2y交于A，B两点1.直线过抛物线的焦点要应用抛物线的什么性质？2．如何用点A的坐标表示AF的长？1.应用三角形相似；2．设出直线的方程，联立直线和抛物线，用抛物线的焦半径公式表示线段|AB|，|AF|，|BF|转化与化归，数形结合求|AF|的长1.当直线过抛物线的焦点时，要想到应用抛物线的定义，即抛物线上任意一点到焦点的距离和准线的距离相等；2．对于焦点在y轴上的抛物线来说，设点A的坐标为(x1，y1)，则|AF|＝y1＋eq\f(p,2)|AF|＝y1＋eq\f(p,2)，|BF|＝y2＋eq\f(p,2)，|AB|＝y1＋y2＋p1.把线段的长度问题转化为抛物线的定义问题；2．把线段的长度问题转化为三角形相似问题思路参考：利用抛物线定义及三角形相似关系求解．eq\f(5,6)解析：如图，过A，B分别作准线的垂线．设|AF|＝m，|BF|＝n，则m＋n＝eq\f(25,12)(m<n)．由抛物线的定义得|AF|＝|AD|＝m，|BF|＝|BC|＝n，|FH|＝1.在△BEC中，因为eq\f(|AD|,|BC|)＝eq\f(|EA|,|EB|)，所以eq\f(m,n)＝eq\f(|EA|,|EA|＋m＋n)，解得|EA|＝eq\f(m2＋mn,n－m)，|EB|＝|EA|＋m＋n＝eq\f(n2＋mn,n－m)，|EF|＝|EA|＋m＝eq\f(2mn,n－m).因为eq\f(|EF|,|EB|)＝eq\f(|FH|,|BC|)，所以eq\f(2mn,n2＋mn)＝eq\f(2m,n＋m)＝eq\f(1,n)，解得mn＝