2024版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第8节函数与方程学案含解析新人教B版202305182145

2024版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第8节函数与方程学案含解析新人教B版202305182145第8节函数与方程一、教材概念·结论·性质重现1．函数的零点(1)函数零点的概念一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．(2)三者之间的关系函数f(x)有零点⇔函数f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．2．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实数解．(2)由函数y＝f(x)(图像是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示．所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．3．二分法条件(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像连续不断；(2)所在区间端点的函数值满足f(a)f(b)＜0方法不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值4．有关函数零点的结论(1)图像连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(2)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．(√)(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(×)(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(×)2．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()A解析：根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．3．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是()A．(1,2) B．(2,3)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))和(3,4) D．(4，＋∞)B解析：因为f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－eq\f(2,3)>0，且函数f(x)的图像连续不断，f(x)为增函数，所以f(x)的零点在区间(2,3)内．4．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3B解析：由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上单调递增．又f(－1)＝eq\f(1,e)－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．5．已知2是函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋m，x≥2，,2x，x<2))的一个零点，则f(f(4))的值是________．3解析：由题意知log2(2＋m)＝0，所以m＝－1，所以f(f(4))＝f(log23)＝2log23＝3.6．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．(－8,1]解析：由题意知m＝－x2＋2x在(0,4)上有解．又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，所以－8<m≤1.考点1判断函数零点所在区间——基础性1．(多选题)已知函数f(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,2)x2－2，利用零点存在定理确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是()A．(－3，－2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(2,3) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))ABD解析：经计算f(－3)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(9,2)－2＝eq\f(13,6)>0，f(－2)＝－eq\f(1,2)＋2－2＝－eq\f(1,2)<0，f(－1)＝－1＋eq\f(1,2)－2＝－eq\f(5,2)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2＋eq\f(1,8)－2＝eq\f(1,8)>0，f(1)＝1＋eq\f(1,2)－2＝－eq\f(1,2)<0，f(2)＝eq\f(1,2)＋2－2＝eq\f(1,2)>0，f(3)＝eq\f(1,3)＋eq\f(9,2)－2＝eq\f(17,6)>0.根据零点判定定理可得区间(－3，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))上存在零点．2．设函数f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx，则函数y＝f(x)()A．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均有零点B．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均无零点C．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点D解析：当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))时，函数图像连续不断，且f′(x)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,x)＝eq\f(x－3,3x)<0，所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上单调递减．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,3e)＋1>0，f(1)＝eq\f(1,3)>0，f(e)＝eq\f(1,3)e－1<0，所以函数f(x)有唯一的零点在区间(1，e)内．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断．考点2确定函数零点的个数——综合性(1)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))的零点个数为()A．3 B．2C．7 D．0B解析：(方法一：直接法)由f(x)＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．(方法二：图像法)函数f(x)的图像如图所示．由图像知函数f(x)共有2个零点．(2)设m，n∈Z，已知函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，值域是[0,3]．当m取最小值时，函数g(x)＝2|x－1|＋m＋1的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3C解析：因为函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的值域是[0,3]，所以1≤－|x|＋8≤8，即－7≤x≤7.因为函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，所以m的最小值为－7，此时g(x)＝2|x－1|－6.令g(x)＝2|x－1|－6＝0，解得x＝2＋log23或x＝－log23，即有两个零点．函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．(2)函数零点存在定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，再结合函数的图像与性质确定函数零点个数．(3)利用图像交点个数，作出两个函数图像，观察其交点个数即得零点个数．1．(2020·武邑中学调研)若函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.2解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln2<0，f(3)＝2＋ln3>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________．3解析：如图，作出g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与h(x)＝cosx的图像，可知g(x)与h(x)的图像在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3.考点3函数零点的应用——应用性考向1根据函数零点所在的区间求参数(1)已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－2))解析：设f(x)＝x2＋ax＋1，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0，,f1<0，,f2>0，))解得－eq\f(5,2)<a<－2.(2)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))解析：由题意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解．设t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).根据函数零点所在区间求参数的步骤考向2根据函数零点的个数求参数已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤0，,ex，x>0，))则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是()A．[0,1)B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞)D．(－∞，0]∪(1，＋∞)D解析：函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根．画出h(x)＝f(x)＋x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤0，,ex＋x，x>0))的大致图像(图略)．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．利用函数零点个数求参数的方法由函数零点个数求参数问题，可采用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图像，然后数形结合求解．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x<1，,4x－ax－2a，x≥1.))(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．(1)－1(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪[2，＋∞)解析：(1)若a＝1，则f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x<1，,4x－1x－2，x≥1，))作出函数f(x)的图像如图所示，由图可得f(x)的最小值为－1.(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1≤2a，,21－a>0，))解得eq\f(1,2)≤a<1.综上，实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪[2，＋∞)．第9节函数的应用一、教材概念·结论·性质重现1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)．(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；指数增长先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．(4)对于函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)，当x>0时，在x＝eq\r(a)处取得最小值2eq\r(a)；当x<0时，在x＝－eq\r(a)处取得最大值－2eq\r(a).2．指数、对数、幂函数性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)幂函数增长比直线增长更快．(×)(2)不存在x0，使ax0<xeq\o\al(n,0)<logax0.(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．(√)(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×)2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B.3．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2xB．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2xD解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.4．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本．某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)，一万件商品的售价是20万元．为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．36万件 B．18万件C．22万件 D．9万件B解析：设利润为L(x)，则L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142.当x＝18时，L(x)有最大值．5．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是()A．减少7.84%B．增加7.84%C．减少9.5%D．不增不减A解析：设该商品原来价格为a.依题意得，a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，所以(0.9216－1)a＝－0.0784a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.考点1利用函数图像刻画实际问题——基础性1．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()B解析：由函数图像可判断出该容器的形状不规则，又函数图像的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故选B.2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()D解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，排除B.故选D.3．(多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5kmB．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗8L汽油D．某城市机动车最高限速80km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油CD解析：由题图可知，当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km，A错；由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，B错；甲车以80km/h的速度行驶时，燃油效率为10km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，C正确；速度在80km/h以下时，丙车比乙车燃油率更高，所以更省油，D正确．判断实际问题中两变量变化的过程的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点2已知函数模型解决实际问题——基础性某市家庭煤气的使用量x(单位：m3)和煤气费f(x)(单位：元)满足关系f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C，0<x≤A，,C＋Bx－A，x>A.))已知某家庭2020年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元A解析：根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq\f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，0<x≤5，,4＋\f(1,2)x－5，x>5，))所以f(20)＝4＋eq\f(1,2)×(20－5)＝11.5.已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知条件利用待定系数法，确定函数模型中的待定系数．(3)利用函数模型求解实际问题．1．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元D解析：设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．当p∈(0,30)时，L′(p)>0；当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0.故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23000.2．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)．如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．3.75解析：根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式．联立得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(15,2)t＋\f(225,16)))＋eq\f(45,16)－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16).所以，当t＝eq\f(15,4)＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．考点3构造函数模型解决实际问题——应用性考向1二次函数、分段函数模型(2020·唐山一中模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式．(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？求出最大值．解：(1)由题意得，当0<x≤4时，v＝2.当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2).故函数v＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20.))(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20.))当0<x≤4时，f(x)单调递增，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；当4<x≤20时，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以，当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．解决分段函数模型问题的注意点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数模型时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.考向2指数(对数)函数模型(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2022年 B．2023年C．2024年 D．2025年C解析：设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n－1＞200，则lg[130(1＋12%)n－1]＞lg200，所以lg130＋(n－1)lg1.12＞lg2＋2，所以2＋lg1.3＋(n－1)lg1.12＞lg2＋2，所以0.11＋(n－1)×0.05＞0.30，解得n＞eq\f(24,5).又因为n∈N*，所以n≥5，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2024年．故选C.(2)(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天B解析：因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝eq\f(3.28－1,6)＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln2，所以t1＝eq\f(ln2,0.38)≈eq\f(0.69,0.38)≈1.8(天)．故