辅助圆定点定长（题型专练）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型-高分突破》（人教版）

专题4.4辅助圆定点定长模型一：定点定长作圆点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。模型二：点圆最值已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r.位置关系点D在O内点D在O上点D在O外图示DE的最大值d＋r

2r

d＋r此时点E的位置连接DO并延长交O于点E

DE的最小值r－d0d－r此时点E的位置连接OD并延长交O于点E点E与点D重合连接OD交O于点E【典例1】（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝45°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案为：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，则∠BDC＝．版权所有【解答】解：以A为圆心，AB为半径画圆，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CAD＝2∠BAC，∴∠CBD＝2∠BDC，∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，∴3∠CBD+105°＝180°，∴∠CBD＝25°．故答案为：25°．【变式1-2】如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）A．68° B．88° C．90° D．112°【答案】B【解答】解：如图，∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；∵∠CBD＝2∠BDC，∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∴∠CAD＝2∠BAC，而∠BAC＝44°，∴∠CAD＝88°，故选：B．【变式1-3】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝度．【答案】38【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；∵∠CAD＝76°，∴∠CBD＝∠CAD＝×76°＝38°．【变式1-4】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，则∠BAD＝100°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴B、C、D三点在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，∵∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，∴∠BAC＝2∠BDC＝60°，∠CAD＝2∠CBD＝40°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+40°＝100°．故答案为：100°．【变式1-5】如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝70°，那么∠BDC＝35°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以点A为圆心的圆上，∵∠BAC＝70°，∴∠BDC＝∠BAC＝35°．故答案为：35°．【变式1-6】如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为a（0°＜a≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1＝CE1；（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，则旋转角为a＝135°（直接写结果）（3）连接PA，△PAB面积的最大值为4+4（直接写结果）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在△ABD1和△ACE1中∴△ABD1≌△ACE1∴BD1＝CE1；（2）BD1与AC的交点记作点G，如图（2），由（1）知△ABD1≌△ACE1，∴∠ABD1＝∠ACE1，∵∠AGB＝∠CGP，∴∠CPG＝∠BAG＝90°∴∠CPD1＝90°，∵∠CPD1＝2∠CAD1，∴∠CAD1＝∠CPD1＝45°，∴旋转角α＝90°+∠CAD1＝135°故答案为135°；（3）如图3，∵AC＝AB＝4，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝AE＝2，由旋转知，AD1＝AE1＝AD＝2作PH⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1＝2，则BD1＝＝2，∴∠ABP＝30°，∴PB＝BD1+PD1＝2+2，∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PH＝+．∴△PAB的面积最大值为AB×PH＝4+4，故答案为4+4．【典例2】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AC上的任意一点（点E不与点C重合），沿DE翻折△DCE使点C落在点F处，请画出点F的轨迹．版权所有【解答】解：∵DF＝DC，∴则点F在以点D为圆心DC为半径的圆上运动，当点E与A重合时，AD与⊙D交于Q，则即为点F的运动轨迹．∠FDE＝∠CDE＝∠CDA，则轨迹为优弧MQC，满足∠MDA＝∠CDA，此时点F的轨迹为．【变式2-1】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，将△AEB绕点B顺时针旋转，使AB与边BC重合，得到△MNB，请画出在旋转过程中点M的运动轨迹．【解答】解：如图，弧AM即为所求．【变式2-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，D是BC边上一动点，将△ABD沿AD对折，得到△AB'D，当点B'落在AC边上时，点D停止运动，若AB'＝AC，则在点D的运动过程中，点B'的运动路径长为．【答案】【解答】解：由折叠知AB'＝AB，∵AB'＝AC，∴AB＝AC，∴sinC＝，∴∠C＝30°，∴∠BAC＝60°，∴点B'的运动路径长为＝，故答案为：【变式2-3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝3，将菱形ABCD绕点B逆时针旋转，得到菱形A'BC'D'，求出当点D'在BA的延长线上时，点C'运动的路径长．【解答】解：如图，由旋转的性质可知，BC＝BC'，∴点C'在以点B为圆心，BC长为半径的圆上运动，当点D'在BA的延长线上时，∠ABC'＝∠D'BC'＝∠C'BC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠C'BC＝30°，BC＝AB＝3，∴点C'运动的路径长为＝．【典例3】如图，在矩形ABCD中，，，E是AB边的中点，F是线面BC边上的动点，将沿EF所在的直线折叠得到，连接，求的最小值。解：如图，点E为圆心，为半径作圆，当点E，，D三点共线时的值最小。，，，【变式3-1】如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边BC上一动点，点F在边CD上，BF⊥AE，则CG的最小值为．​【答案】．【解答】解：取AB的中点O，连接OC，如图，根据题意可知，点G是在以O为圆心，AB为直径的圆弧上运动，∵OC和OG的长度是定值，∴当O、G、C三点在同一条直线上时，CG取得最小值，∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，∴OA＝OB＝OG＝＝3，在Rt△BOC中，OC＝＝＝，∴CG的最小值为OC﹣OG＝．故答案为：【变式3-2】（锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．版权所有【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，∵M是AD边的中点，∴AM＝MD＝1∵将△AMN沿MN所在直线折叠，∴AM＝A'M＝1∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，∵MC＝＝∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1故答案为：﹣1【变式3-3】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是，点F到线段BC的最短距离是．【解答】解：连接CE，作EG⊥BC于G，∵AE＝EF＝2，∴点F在以E为圆心，AE为半径的圆上运动，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∴FC的最小值为CE﹣2＝2﹣2，∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，∴四边形ABGE是矩形，∴EG＝AB＝4，∴点F到线段BC的最短距离是2，故答案为：2﹣2，2．【变式3-4】（2022•武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为．【答案】5﹣2．【解答】解：如图，作△EMC的外接圆⊙O，连接AO，CO，EO，作OF⊥AB，ON⊥BC，∵BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，∴BE＝1，EC＝4，∵∠CME＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE＝OC＝2，ON＝EN＝CN＝2，∴BN＝OF＝3，AF＝6﹣2＝4，在Rt△AFO中，AO＝，当点M是OA与⊙O的交点时，AM最小，∴AM的最小值＝OA﹣OE＝5﹣2．故答案为：5﹣2．【变式3-5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是4+．【答案】4+．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，∴AC＝＝＝，如图，以点E为圆心，AE为半径作圆，连接BE，交⊙E于点D′，此时BD的长度最小，∵将△AEF沿EF对折得到△DEF，且点E是AC的中点，∴AF＝D′F，AE＝A′E＝，∵C△BD′F＝D′F+FB+BD′＝AF+FB+BD′＝AB+BD′，∴此时△BDF的周长最小，过E作EM⊥AB于点M，∴EM＝＝，由勾股定理可得AM＝＝＝，∴BM＝AB﹣AM＝，由勾股定理可得BE＝＝＝，∴BD′＝BE﹣ED′＝，∴△BDF周长的最小值是4+．故答案为：4+．【典例4】（邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为（）A．1 B．2 C． D．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上，AB为直径的圆的圆心为E点，如图，连接DE交⊙E于C′，∵A（1，0），B（3，0），∴AB＝2，AE＝1，∴DC≤DE﹣CE（当且仅当D、C、E共线时取等号）即DC≤DE﹣1，∵DE⊥直线y＝x时，DE最短，DE的最小值为OE＝，∴线段CD长的最小值为﹣1．故选：C．【变式4-1】（武江区校级期末）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为．【解答】解：连接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝5，MQ＝12，∴OM＝13，又∵MP′＝4，∴OP′＝9，∴AB＝2OP′＝18，故答案是：18．【变式4-2】（萨尔图区校级期末）如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为．【解答】解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2，∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上，如图，取OD＝OA＝4，连接OD，∵点M为线段AC的中点，