平行四边形-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题25平行四边形

【知识要点】

知识点一平行四边形

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的表示：用符号“。”表示，平行四边形ABCD记作“oABCD”，读作“平行四边形ABCD”

D

平行四边形的性质：

1、平行四边形对边平行且相等；

几何描述：：四边形ABCD是平行四边形.\AB=CD,AD=BC;AB〃CD,AD〃BC

2、平行四边形对角相等、邻角互补；

几何描述：：四边形ABCD是平行四边形/2=N4,Zl+Z4=180°•••

3、平行四边形对角线互相平分；

几何描述：•••四边形ABCD是平行四边形.,.AO=OC=iAC,BO=OD=1BD

4、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中

心。

平行线的性质：

1、平行线间的距离都相等；

2、两条平行线间的任何平行线段都相等；

3、等底等高的平行四边形面积相等。

平行四边形的判定定理（基础）：

1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形的面积公式：面积=底乂高

知识点二三角形中位线

三角形中位概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

几何描述：

VDE是aABC的中位线

，DE〃BC,DE=iBC

2

【考查题型】

养25平行四边形考查题型利用平行线性质与判定证明

考查题型一利用平行线的性质求解

典例1.（2020•浙江温州市•中考真题）如图，在AABC中，ZA=40°,AB=AC,点D在AC边上，以

CB,CD为边作oBCDE,则NE的度数为（）

A

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【提示】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出NC的度数，再根据平行四边形的性质解答

即可.

【详解】解：：//=40。，AB=AC,：.ZABC=ZC=70°,

•四边形是平行四边形，.•./E=NC=70。.故选：D.

变式1-1.（2020•湖南益阳市•中考真题）如图，小BCO的对角线AC,BD交于点0,若AC=6,

BD=8,则AB的长可能是（）

A.10B.8C.7D.6

【答案】D

【提示】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取

值范围，即可求解.

【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形，

.\OA=—AC=3,BO=—BD=4,在aAOB中，4-3<AB<4+3

22

.-.1<AB<7,结合选项可得，AB的长度可能是6,

变式1-2.（2020•广西河池市•中考真题）如图，在。ABCD中，CE平分NBCD,交AB于点E,EA=3,

EB=5,ED=4.则CE的长是（）

A.572B.672C.4百D.5石

【答案】C

【提示】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD=BC=EB=5,根据勾股定理的逆定理可得

ZAED=90°,再根据平行四边形的性质可得CD=AB=8,NEDC=90°,根据勾股定理可求CE的长.

【详解】解：：CE平分/BCD,

/BCE=ZDCE,；四边形ABCD是平行四边形，

；.AB=CD,AD=BC,AB〃CD,AZBEC=ZDCE,

.*.ZBEC=ZBCE,；.BC=BE=5,，AD=5,

：EA=3,ED=4,在4AED中，32+42=52,g|JEA2+ED2=AD2,

...NAED=90°,；.CD=AB=3+5=8,ZEDC=90°,

在RtZ\EDC中，CE=JE02+0c2="2+82=4石.故选：C.

变式1-3.（2020•甘肃兰州市•中考真题）如图，将。ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC

于点F,若/ABD=48F/CFD=40°，则，£为（）

A.102°B.112°C.122°D.92°

【答案】B

【提示】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出/ADB=/BDF=/DBC,由三角形的外角性质求

出NBDF="DBC=，/DFC=2（r,再由三角形内角和定理求出/A,即可得到结果.

2

【详解】•/AD//BC•./ADB=/DBC

由折叠可得/ADB=/BDF.•./DBC=/BDF又♦.•/DFC=40°

/DBC=NBDF=/ADB=20°又/ABD=48°

.•□ABD中，=180°-20°-48°=112°,/E=NA=112°故选B

考查题型二利用平行线的性质证明

典例2.（2020・湖南邵阳市•中考真题）如图，四边形ABC。是平行四边形，点E,B,D,尸在同一条直线

上，请添加一个条件使得△ABE也下列不正确的是（）

A.AE=CFB.ZAEB=ZCFDC.NEAB=NFCDD.BE=DF

【答案】A【提示】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可.

【详解】解：；四边形ABCD是平行四边形，

；.AB=CD,AB〃CD,AZABD=ZBDC,

,/ZABE+ZABD=ZBDC+ZCDF,ZABE=ZCDF,

A.若添加AE=,则无法证明AABE^ACDF,故A错误；

B.若添加ZAEB=NCFD,运用AAS可以证明^ABE^CDF,故选项B正确；

C.若添加NEAB=NFCD,运用ASA可以证明XABEdCDF,故选项C正确；

D.若添加5E=O尸，运用SAS可以证明故选项D正确.故选：A.

变式2-1.（2020•湖北襄阳市•中考真题）已知四边形ABC。是平行四边形，AC,8。相交于点O,下列

结论错误的是（）

A.OA=OC,OB=OD

B.当A6=CO时，四边形ABC。是菱形

C.当NA8C=90。时，四边形A8CO是矩形

D.当AC=8。且AC时，四边形ABC。是正方形

【答案】B【提示】根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可.

【详解】解：•.•四边形ABC。是平行四边形，

:.OA=OC,OB=OD,故A正确，•.•四边形48co是平行四边形，AB=CD.

不能推出四边形ABC。是菱形，故B错误,

•.•四边形A5CD是平行四边形，ZABC=90°,四边形ABC。是矩形，故C正确，

•.•四边形ABCO是平行四边形，AC=BD.ACLBD.

四边形ABC。是正方形.故D正确.故选B.

变式2-2.（2020•云南中考真题）如图，平行四边形ABC。的对角线AC,8。相交于点。，E是C。的

中点，则口。EO与△BCD的面积的比等于（）

【答案】B【提示】先证明OE//BC,再根据△DEOs^DCB求解即可.

【详解】•••四边形ABCD是平行四边形，

.,.BO=DO,是的中点，...0E是4DCB的中位线，

.♦.OE//BC,OE=：BC,.".△DEO^ADCB,.'△DEO：△DCB=:.故选B.

考查题型三根据已知条件判断是否构成平行四边形

典例3.（2020•湖南衡阳市•中考真题）如图，在四边形中/C与8。相交于点。,下列条件不能判定四

边形/BCD为平行四边形的是（）

A.ABDDC^4B=DCB.AB=DC,AD=BC

C.ABDDC,AD=BCD.OA=OC,OB=OD

【答案】C【提示】根据平行四边形的判定方法逐项提示即可.

【详解】A.•••.•.四边形/8CO是平行四边形；

B.•；AB=DC,AD=BC,二四边形是平行四边形；

C.等腰梯形ABCD满足但四边形ABCD是平行四边形；

D.OA=OC,OB=OD,四边形48C。是平行四边形；故选C.

变式3-1.（2019•四川泸州市•中考真题）四边形A8CO的对角线AC与8。相交于点。，下列四组条件

中，一定能判定四边形A8CO为平行四边形的是（）

A.AD//BCB.OA=OC,OB=OD

C.ADI/BC,AB^DCD.AC1BD

【答案】B【提示】根据平行四边形的判定方法逐一进行提示判断即可.

【详解】A.只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误：

B.OA=OC,OB=OD,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确：

C.AD//BC,AB=DC,一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形,

故错误；

D,对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故错误，故选B.

变式3-2.（2018•黑龙江绥化市•中考真题）下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（

A.AD//BCDAB//CDB.AB//CDUAB=CD

C.AD//BCCAB=DCD.AB=DC□AD=BC

【答案】C【提示】根据平行四边形的判定方法逐项进行判断即可.

【详解】A、由AD//BCAB//CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；

B、由AB//CDAB=CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；

C、由AD//BCAB=DC不能判断四边形ABCD是平行四边形，有可能是等腰梯形；故本选项符合题

忌；

D、山AB=DCAD=BC可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意，

故选C

考查题型四利用平行线性质与判定求解

典例4.(2020•重庆中考真题)如图，在平行四边形Z8CZ)中，对角线NC,8。相交于点O,分别过点

A,C作AEJ.8O,CFLBD,垂足分别为E,F.NC平分ND4E.

(1)若NAOE=50。，求NACB的度数；

(2)求证：AE=CF.

【答案】(1)Z4CB=40°；(2)见解析

【提示】(1)利用三角形内角和定理求出NEA。，利用角平分线的定义求出ZDAC,再利用平行线的性

质解决问题即可.

(2)证明DAEO@DCFO(AAS)可得结论.

【详解】(1)解：.•.NAEO=90°,

Q7AOE50?,\?EAO40?,「CA平分NOAE,

\2DAC?£4。40?,•.•四边形ABC。是平行四边形，

AD//BC,ZACB=ADAC=40°,

(2)证明：•.•四边形ABC。是平行四边形，

OA=OC,•.•AELBD，CFA.BD,

\?AEO?CFO90?,

-ZAOE=ZCOF,

\DAEO@DCFO(/US),

•••AE^CF.

变式4-1.（2020•四川广元市•中考真题）已知口ABC。，O为对角线ZC的中点，过O的一条直线交

于点£,交8c于点尸.

（1）求证：△AOE四△COF；

（2）若AE:AO=1：2,△AOE的面积为2,求口A8CO的面积.

【答案】（1）见解析；（2）16.

【提示】

（1）由平行四边形的性质得出AD〃BC,得出NEAO=NFCO,由ASA即可得出结论；

（2）由于AE：A£>=1：2,O为对角线4c的中点，得出△AEOSAADC,根据"OE的面积为2,可

WAADC的面积，进而得到口A8C0的面积.

【详解】

解：（1）•.•四边形ABCD是平行四边形，

AAD//BC,

.*.ZEAO=ZFCO,

是AC的中点，

AOA=OC,

,NEAO=NFCO

在aAOE和△COF中，<04=。。,

ZAOE=NCOF

/.△AOE^ACOF（ASA）；

（2）AE：AD=1：2,O为对角线4c的中点，

/.AO:AC=1:2,

VZEAO=ZDAC,

.,.△AEO^AADC,

/\AOE的面积为2,

.♦.△ADC的面积为8,

A-BCD的面积为16.

变式4-2.(2019•辽宁沈阳市•中考真题)如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点,

AE=CF,DF=BE,且DF〃BE,过点C作CG_LAB交AB的延长线于点G.

2厂

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若tan/CAB=1,ZCBG=45°,BC=40,则口ABCD

的面积是.

【答案】(1)见解析；(2)24.

【提示】

(1)根据已知条件得到AF=CE,根据平行线的性质得到/DFA=NBEC,根据全等三角形的性质得到

AD=CB,/DAF=/BCE,于是得到结论；

(2)根据已知条件得到4BCG是等腰直角三角形，求得BG=CG=4,解直角三角形得到AG=10,根据

平行四边形的面积公式即可得到结论.

【详解】

(1)证明：♦；AE=CF,

.♦.AE+EF=CF+EF,

即AF=CE,

：DF〃BE,

/.ZDFA=ZBEC,

VDF=BE,

/.△ADF^ACBE(SAS),

；.AD=CB,/DAF=NBCE,

，AD〃CB,

四边形ABCD是平行四边形；

(2)解：VCG±AB,

/.ZG=90",

：/CBG=45°，

.•.△BCG是等腰直角三角形，

:BC=4拉，

，BG=CG=4,

2

丁tan/CAB=—，

5

AAG=10,

.♦・AB=6,

A°ABCD的面积=6X4=24,

故答案为：24.

考查题型五利用平行线性质与判定证明

典例5.（2020•浙江绍兴市•中考真题）如图，点E是口力8。的边CZ）的中点，连结/£并延长，交8c的

延长线于点F.

（1）若4。的长为2.求CF的长.

（2）若NA4尸=90°,试添加一个条件，并写出N尸的度数.

【答案】（1）2；（2）当N8=60°时，/尸=30°（答案不唯一）.

【提示】

（1）由平行四边形的性质得出则ND4E=NCFE,NADE=NFCE,由点E是。。的中点，得

HlDE^CE,由44S证得△/£>£■丝△/€1£■,即可得出结果：

（2）添加一个条件当/8=60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）.

【详解】

解：（1）•..四边形N8CZ）是平行四边形，

：.AD//CF,

：.ADAE=ZCFE,/ADE=ZFCE,

•.•点E是CO的中点，

：.DE=CE,

NDAE=4CFE

在t和△尸CE中，＜ZADE=Z.FCE,

DE=CE

：./\ADE^/\FCE（AAS）,

:.CF=AD=2；

（2）；NB4F=90°,

添加一个条件：当N8=60°时，ZF=90°-60°=30°（答案不唯一）.

变式5-1.（2020•四川广安市•中考真题）如图，在物8a＞中，点E,F是对角线AC上的两点，且

AF=CE,连接DE,BF.求证：DE〃BF.

A__________-.C

n

【答案】证明见解析

【提示】

连接BE、DF和BD,BD与AC交于点O,根据平行四边形的性质可得BO=DO,AO=CO,从而可证

OF=OE,然后根据平行四边形的判定定理即可证出四边形DEBF为平行四边形，从而证出结论.

【详解】

解：连接BE、DF和BD,BD与AC交于点O

------------------"B

・・・四边形ABCD为平行四边形

BO=DO,AO=CO

VAF=CE,

AAF-AO=CE-CO

・・・OF=OE

，四边形DEBF为平行四边形

・・・DE〃BF.

变式5・2.（2019•安徽中考真题）如图，点E在口ABCD内部，AF/7BE,DF〃CE,

(1)求证：△BCE04ADF；

S

(2)设。ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求一的值

T

S

【答案】(1)证明略：(2)-=2

T

【提示】

(1)已知AD=BC,可以通过证明N£BC=NE4Z),2£。5=/尸。4来证明口5废汽4。尸(ASA)；

(2)连接EF,易证四边形ABEF,四边形CDFE为平行四边形，则

1s

T=S四边形4EDF=SAFE+SFED=S+SCDE=—S,即可得〒=2.

【详解】

(I)证明：•.•西边形ABCD为平行四边形，

:.AD〃BC,

ZBAD+ZABC=18()\

又AF//BE,

ZBAF+ZABE=\SQ^

NBAD+NABE+NEBC=NFAD+NBAD+NABE,

NEBC=ZFAD,

同理可得：ZECB=ZFDA,

在DBCE和口4。尸中，

ZEBC=NFAD

<BC=AD

NECB=NFDA

.DBCE^JADF

(2)解：连接EF,

-.■DBCE^ADF,

:.BE=AF,CE=DF,

又・；AF〃BE,DF//CEf

・・・四边形ABEF,四边形CDFE为平行四边形,

・・0ABE~°A在，UCDE~°FED，

=SAFE+SFED=SABE+SDE

■・7=S四边形皿甲C，

设点E到AB的距离为hi,到CD的距离为h2,线段AB到CD的距离为h,

则h=hi+h2,

：.T=--ABh.+-CDh=-AB-(h+h)=--ABh=-S,

2222]222

S

即一=2.

T

考查题型六利用三角形中位线进行求解

典例6.（2020♦广东中考真题）已知A4BC的周长为16,点。，E,尸分别为AABC三条边的中点，则

△DEF的周长为（）

A.8B.2A/2C.16D.4

【答案】A

【提示】由。，E,尸分别为AABC三条边的中点，可知DE、EF、DF为A4BC的中位线，即可得到

ADE厂的周长.

【详解】解：如图，

,：D,E,尸分别为A4BC三条边的中点,

DF=-BC,OE=—AC,EF=—AB,

222

BC+AC+AB=16,

：.DF+DE+EF=^(BC+AC+AB)=^xl6=S

故选：A.

变式6-1.（2020•广东广州市•中考真题）A48C中，点分别是A48C的边AB,AC的中点，连接

DE,若NC=68°,则NAEO=（）

A.22°B.68°C.96°D.112°

【答案】B

【提示】根据点分别是A4BC的边AB,AC的中点，得到DE是AABC的中位线，根据中位线的

性质解答.

【详解】

如图，

•.•点，E分别是A4BC的边AB,AC的中点,

；.DE是AABC的中位线,

二DE〃BC,

/.ZAED=ZC=68°,

故选：B.

变式6-2.（2020•浙江宁波市•中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD为中线，延长CB至

点E,使BE=BC,连结DE,F为DE中点，连结BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为（）

A.2B.2.5C.3D.4

【答案】B

【提示】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结

合题意知线段BF是4CDE的中位线，则BF=^CD.

2

【详解】

解：：在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,

二AB=yjAC2+BC2=782+62=10-

又：CD为中线，

.*.CD=—AB=5.

2

•；F为DE中点，BE=BC,即点B是EC的中点，

；.BF是ACDE的中位线，则BF=^CD=2.5.

2

故选：B.

变式6-3.（2020・湖北荆门市•中考真题）如图，菱形ABCD中，E,尸分别是AD,8。的中点，若

E/=5,则菱形ABC。的周长为（）

A.20B.30C.40D.50

【答案】C

【提示】由题意可知EF为aABD的中位线，可求出AB的长，由于菱形四条边相等即可得到周长.

【详解】解：•••£，F分别是AO,8。的中点，

.♦.EF为4ABD的中位线，

A6=2EF=2x5=10,

•.•四边形ABC。是菱形，

AD=CD=BC=AB=}Q,

菱形ABC。的周长为/Ox4=40

故选：C.

考查题型七与三角形中位线有关的面积计算

典例7.（2020•四川内江市•中考真题）如图，在A4BC中，D、E分别是和ZC的中点,

S四边形BC£D=15,则SMBC=（）

A.30B.25C.22.5D.20

【答案】D

【提示】首先判断出△ADEsaABC,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出4ABC的

面积.

【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE〃BC且DE=《BC,故可以判断出

△ADEsaABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知5MBC=1：4,则S四边形BCED：

=3：4,题中已知S四边形始£»=15，故可待SUDEMS，5AABC=20

故本题选择D

变式7-1.（2020•四川省内江市三模）如图，点。E分别为△/8C的边Z8C1/C上的中点，则△/DE的面积

与四边形BCEC的面积的比为（）

【答案】B

【提示】

根据中位线定理得至UDE」BC,DE=-BC,从而判定□ADEID」ABC,然后利用相似三角形的性质求解.

2

【详解】

解：：口、E分别为：ABC的边AB、AC上的中点,

.♦.DE是]ABC的中位线,

1

ADEBC,DE=-BC,

2

，ADEs[ABC,

ADE的面积：ABC的面积=（万）2=1：4,

ADE的面枳：四边形BCED的面积=1：3；

故选B.

变式7-2.（2020•东明县一模）如图，DABC中，AD、BE是两条中线，则孔EDC：SAABC=（）

【答案】D

【解析】

试题提示：□□ABCAD、BE是两条中线，

匚DE是ABC的中位线，

1

DEAB,DE=-AB,

2

EDCDOABC,

,DE,1

2

SAEDC：SAABC=（-;—）=—.

AB4

故选D.

变式7-3.（2020・河南模拟）如图，。是平行四边形ABC。的对角线的交点，E是A3的中点，若

S平行四边形4BCO=20,则S/SDOE的值为（)

【答案】C

【提示】四边形ABCD为平行四边形，对角线互相平分，求出AABD的面积，在根据E为AB中点，从

而求出△DOE的面积

【详解】

•.•四边形ABCD为平行四边形，对角线互相平分；

••S/JABD-1O；

为AB中点:

••S„>=5；

•.•0为BD中点;

SAI»I：=—,故选C

2

考查题型八与三角形中位线有关的证明

典例8.（2020•四川攀枝花市•中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图

G是DABC的重心.求证：AD=3GD.

【答案】见解析

【提示】

过点D作DH〃AB交CE于H,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH,

从而得到AE=2DH,再根据4AEG和4DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得

证.

【详解】

解：过点D作DH〃AB,交CE于点H,

：AD是AABC的中线，

.•.点D是BC的中点，

...DH是ABCE的中位线,

.♦.BE=2DH,DH〃AB,

•.•CE是ABCE的中线,

，AE=BE,

AAE=2DH,

VDH//AB,

/.△AEG^ADHG,

AGAE°

——=——=2,

DGDH

；.AG=2GD,

即AD=3GD.

变式8-1.（2019・湖南娄底市•中考真题）如图，点E、F、G、，分别在矩形的边48、BC、CD、

不包括端点）上运动，且满足AE=CG,AH=CF.

（1）求证：\AEH=\CGF；

（2）试判断四边形EFG”的形状，并说明理由.

（3）请探究四边形EFG”的周长一半与矩形/BCD一条对角线长的大小关系，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFG”是平行四边形，理由见解析；（3）四边形EFGH的周长一半大于

或者等于矩形Z8CZ）一条对角线长度，理由见解析.

【解析】

【提示】

（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH=GF,同理可得FE=HG,即可得四边形EFGH是平行四边

形;

(3)由轴对称-最短路径问题得到：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度.

【详解】

解：(1)二•四边形ABCD是矩形，

NA=NC.

AE=CG

...在A4E”与ACGF中，,NA=NC,