第三高级中学高考数学 真题分类汇编 圆锥曲线

圆锥曲线1（江苏2004年5分）若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线离心率为【】(A)(B)(C)4(D)【答案】A。【考点】双曲线的性质，抛物线的性质。【分析】根据抛物线方程可求得抛物线的准线方程即双曲线的准线方程，从而求得c，最后根据离心率公式求得答案：由抛物线，可知p=4，∴准线方程为=－2。对于双曲线准线方程为，∴，。∴双曲线离心率。故选A。2.（江苏2005年5分）抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是【】A．B．C．D．0【答案】B。【考点】抛物线的性质。【分析】根据点M到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M到准线距离也为1，利用抛物线的方程求得准线方程，从而可求得M的纵坐标。根据抛物线的定义可知M到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1。又∵抛物线的准线为，∴M点的纵坐标为。故选B。3.（江苏2005年5分）点在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】A．B．C．D．【答案】A。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的性质。如图，过点P（－3，1）的方向，∴，则PQ的方程为，即。与联立求得Q（，－2）。由光线反射的对称性知：，∴QF1为，即。令，得F1（－1，0）。∴=1，，则。所以椭圆的离心率。故选A。4.（江苏2007年5分）在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为【】A．B．C．D．【答案】A。【考点】双曲线的性质。【分析】根据双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为能够得到，即，∴，。故选A。5.（江苏2007年5分）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则▲.【答案】。【考点】椭圆的定义，正弦定理。【分析】利用椭圆定义和正弦定理得，=2·4=8，∴。6.（江苏2008年5分）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为▲【答案】。【考点】椭圆的性质。【分析】抓住△OAP是等腰直角三角形，建立，的关系，问题即可解决：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，∴△OAP是等腰直角三角形。∴，解得。7.（江苏2009年5分）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点M恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为▲.【答案】。【考点】椭圆的基本性质。【分析】∵为椭圆的四个顶点，为其右焦点，∴直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：。又∵点M恰为线段的中点，∴。又∵点M在椭圆上，∴，即。解得：8.（江苏2010年5分）在平面直角坐标系O中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是▲【答案】4。【考点】双曲线的定义。【分析】设为点M到右准线的距离，MF为M到双曲线右焦点的距离。根据双曲线的定义，得，而，∴MF=4。9.（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为▲．【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由得。∴，即，解得。。10、（2013江苏卷3）3．双曲线的两条渐近线的方程为。答案：3．11、（2013江苏卷3）9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三角形内部与边界）。若点是区域内的任意一点，则的取值范围是。答案：9．12、（2013江苏卷12）12．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为。答案：12．二、解答题1.（江苏2004年12分）已知椭圆的中心在原点，离心率为EQ\F(1,2)，一个焦点是F（－m，0）(m是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M.若，求直线的斜率.【答案】解：（I）设所求椭圆方程是由已知，得，所以。故所求的椭圆方程是。（II）设Q（），直线。当，由定比分点坐标公式，得。于是。故直线l的斜率是0，。【考点】椭圆的标准方程，直线的斜率。【分析】（I）由椭圆的中心在原点，离心率为EQ\F(1,2)，一个焦点是F（－m，0），可用待定系数法求出求椭圆的方程。（II）分和两种情况由比分点坐标公式求解即可。2.（江苏2006年12分）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（5分）（Ⅱ）设点P、、关于直线的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。（7分）【答案】解：（Ⅰ）由题意可设所求椭圆的标准方程为(>>0)，其半焦距=6，∴。∴,。∴所求椭圆的标准方程为。（Ⅱ）点P、F1、F2关于直线的对称点分别为点(2，5)、(0，－6)、(0，6)。设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距1=6。∴，∴,。∴所求双曲线的标准方程为。【考点】圆锥曲线的综合，待定系数法。【分析】（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出，．最后写出椭圆标准方程．（Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线的对称点。设出所求双曲线标准方程，代入求解即可。3.（江苏2009年附加10分）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。【答案】解：（1）由题意，可设抛物线C的标准方程为。∵点A（2，2）在抛物线C上，∴。∴抛物线C的标准方程为。（2）由（1）可得焦点F的坐标为（，0），又直线OA的斜率为，∴与直线OA垂直的直线的斜率为－1。∴过点F，且与直线OA垂直的直线的方程为，即。（3）设点D和E的坐标分别为，直线DE的方程为。将代入，得，解得。由ME=2DM得，化简得。∴。∴。【考点】抛物线及两点间的距离公式。【分析】（1）设抛物线C的标准方程为，将点A的坐标代入即可求出，从而得到抛物线C的标准方程，（2）求出直线OA的斜率，即可得到与直线OA垂直的直线的斜率，由抛物线C的标准方程可得焦点F的坐标，从而根据点斜式方程即可得过点F，且与直线OA垂直的直线的方程。（3）由ME=2DM，根据两点间的距离公式可求。4.（江苏2010年16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【答案】解：（1）设点P（，），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）。直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）∵点T的坐标为∴直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。当时，直线MN方程为：令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过轴上的一定点D（1，0）。【考点】轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题。【分析】（1）设点P（，），由两点距离公式将变成坐标表示式，整理即得点P的轨迹方程。（2）将分别代入椭圆方程，解出点M与点N的坐标由两点式写出直线AM与直线BN的方程联立解出交点T的坐标。（3）求出直线方程的参数表达式，然后求出其与的交点的坐标，得到其横坐标为一个常数，从而说明直线过轴上的定点。还可以这样证明：根据特殊情况即直线与轴垂直时的情况求出定点，然后证明不垂直于轴时两线DM与DN斜率相等，说明直线MN过该定点。5.（江苏2011年16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为.（1）当直线PA平分线段MN时，求的值；（2）当=2时，求点P到直线AB的距离；（3）对任意>0，求证：PA⊥PB.【答案】解：（1）由题意知，，故。∴线段MN的中点的坐标为。由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，∴。（2）直线PA的方程为，代入椭圆方程得，解得，∴,于是,直线AC的斜率为。∴直线AB的方程为。∴。（3）证明：将直线PA的方程为代入，解得。记，则，于是。∴直线AB的斜率为，直线AB的方程为，代入椭圆方程得，解得，或。∴，于是直线PB的斜率为。∴，所以PA⊥PB。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断，共线问题，点在曲线上的性质。【分析】（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出的值。（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离。（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB，AB的斜率之积为－1。根据题意求出它们的斜率，即证得结果。6.（2012年江苏省14分）曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【答案】解：（1）在炮的最大射程是10，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使的方程。此时，（不考虑另一根）。∴当不超过6【考点】函数、方程和基本不等式的应用。【解析】（1）求炮的最大射程即求基本不等式求解。（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。7.（2012年江苏省16分）．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值．【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得，∴。由点在椭圆上，得∴椭圆的方程为，又∵∥，∴设、的方程分别为。∴∴。①同理，。②（i）由①②得，。解得=2。∵注意到，∴。∴直线的斜率为。（ii）证明：∵∥，∴，即。∴。由点在椭圆上知，，∴。同理。。∴由①②得，，，∴。∴是定值。【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。（2）根据已知条件，用待定系数法求解。8、（2013江苏卷16）16．本小题满分14分。如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点.求证：（1）平面平面；（2）.证明：（1）∵，∴F分别是SB的中点∵E．F分别是SA．SB的中点∴EF∥AB又∵EF平面ABC,AB平面ABC∴EF∥平面ABC同理：FG∥平面ABC又∵EFFG=F,EF．FG平面ABC∴平面平面（2）∵平面平面