新教材2024版高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.4双曲线专项训练课后提能训练新人教A版选择性必修第一册

3．2.4双曲线专项训练一、单选题(共8小题)1．已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是 ()A．椭圆 B．双曲线C．双曲线的一支 D．圆【答案】C【解析】设炮弹爆炸点为点P，则|PA|－|PB|＝2×340＝680<800，∴点P的轨迹是双曲线的一支．故选C.2．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足条件|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是 ()A．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x≤－4) B．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≤－3)C．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x≥4) D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)【答案】D【解析】由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线右支，得c＝5，2a＝6，∴a＝3，∴b2＝16，故动点P的轨迹方程是eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3).故选D.3．“m<2”是“方程eq\f(x2,m＋1)＋eq\f(y2,m－2)＝1表示双曲线”的 ()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当eq\f(x2,m＋1)＋eq\f(y2,m－2)＝1为双曲线时，(m＋1)(m－2)<0，∴－1<m<2，由(－1，2)(－∞，2)，可知选B.4．已知P是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)左支上的一点，C的左、右焦点分别为F1，F2，且|PF2|＝18，C的实轴长为12，则|PF1|＝ ()A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】因为P在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝2a＝12，又因为|PF2|＝18，所以|PF1|＝18－12＝6.故选A.5．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线y＝2x垂直，则双曲线C的离心率为 ()A．eq\f(\r(7),2) B．2C．eq\f(\r(5),2) D．eq\f(\r(7),2)或eq\f(\r(5),2)【答案】C【解析】由双曲线的方程可得渐近线的方程为y＝±eq\f(b,a)x，因为一条渐近线与直线y＝2x垂直，所以－eq\f(b,a)＝－eq\f(1,2)，可得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，所以eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(1,4)，解得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2).故选C.6．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB＝20eq\r(10)米，上底直径CD＝20eq\r(2)米，AB与CD间的距离为80米，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为 ()A．10米 B．20米 C．10eq\r(3)米 D．10eq\r(5)米【答案】B【解析】建立如图所示的坐标系，由题意可知D(－10eq\r(2)，20)，B(10eq\r(10)，－60)，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(200,a2)－\f(400,b2)＝1，,\f(1000,a2)－\f(3600,b2)＝1，))解得a2＝100，b2＝400，|EF|＝2a＝20.故选B.7．如果双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为eq\f(\r(5)＋1,2)，那么我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线C：eq\f(x2,\r(5)－1)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，则该黄金双曲线C的虚轴长为 ()A．2 B．4 C．eq\r(2) D．2eq\r(2)【答案】D【解析】由题意可得eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,\r(5)－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)))eq\s\up12(2)，解得b2＝2，即b＝eq\r(2)，故黄金双曲线C的虚轴长为2b＝2eq\r(2).故选D.8．已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a>0)上一点P到左焦点F1的距离为6，点O为坐标原点，点M为PF1的中点，若|OM|＝5，则双曲线C的渐近线方程为 ()A．y＝±4x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(4,3)x D．y＝±eq\f(4,5)x【答案】B【解析】如图，若点P在双曲线左支上，∵点M为PF1的中点，∴OM是△F1F2P的中位线，则|PF2|＝2|OM|＝10，∵2a＝|PF2|－|PF1|＝10－6＝4，∴a＝2，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,a)x＝±2x；若点P在双曲线右支上，∵点M为PF1的中点，∴OM是△F1F2P的中位线，则|PF2|＝2|OM|＝10，2a＝|PF1|－|PF2|＝6－10＝－4不成立．故选B.二、多选题(共2小题)9．已知双曲线C：eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1，则下列说法正确的是 ()A．渐近线方程为y＝±eq\r(2)x B．焦点坐标为(±2eq\r(3)，0)C．顶点坐标为(±2eq\r(2)，0) D．实轴长为2eq\r(2)【答案】BC【解析】对于双曲线C：eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1，可知a＝2eq\r(2)，b＝2，所以c＝2eq\r(3)，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x，焦点坐标为(±2eq\r(3)，0)，顶点坐标为(±2eq\r(2)，0)，实轴长为4eq\r(2)，因此A，D错误，B，C正确．故选BC.10．已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线左支上存在一点P，使PF22＝8a·PF1成立，则此双曲线的离心率e的取值可能是 ()A．eq\r(2) B．2 C．eq\r(5) D．5【答案】ABC【解析】∵P为双曲线左支上一点，∴|PF1|－|PF2|＝－2a，∴|PF2|＝|PF1|＋2a①，又∵|PF22|＝8a·|PF1|②，∴由①②可得|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即2a＋4a≥2c，∴e＝eq\f(c,a)≤3③，又∵e>1④，由③④可得1<e≤3.故选ABC.三、填空题(共4小题)11．若焦点在x轴上的双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,m)＝1的焦距为4eq\r(7)，则m的值为________．【答案】12【解析】由题意可得c2＝(2eq\r(7))2＝16＋m，∴m＝12.12．双曲线x2－eq\f(y2,m)＝1(m>0)的离心率为2，则m＝________．【答案】3【解析】双曲线x2－eq\f(y2,m)＝1(m>0)的离心率为2，则a2＝1，b2＝m，所以可得c2＝a2＋b2＝1＋m，所以可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(1＋m),1)＝2，解得m＝3.13．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________.【答案】±1【解析】不妨设点B在第一象限，则A1(－a，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，A2(a，0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋a，\f(b2,a)))，eq\o(A2C,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a，－\f(b2,a))).因为A1B⊥A2C，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(A2C,\s\up6(→))＝0，所以c2－a2－eq\f(b4,a2)＝0，又因为c2＝a2＋b2，所以整理得eq\f(b2,a2)＝1，所以该双曲线渐近线的斜率k＝±eq\f(b,a)＝±1.14．设直线y＝x与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为2，则k1·k2＝________．【答案】3【解析】∵C的离心率为2＝eq\f(c,a)，且c2＝a2＋b2，∴c＝2a，b＝eq\r(3)a，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(6),2)a，,y＝\f(\r(6),2)a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(6),2)a，,y＝－\f(\r(6),2)a，))不妨取Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a，\f(\r(6),2)a))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)a，－\f(\r(6),2)a))，设P(m，n)，则eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1，即3m2－n2＝3a2，∴k1·k2＝eq\f(n－\f(\r(6),2)a,m－\f(\r(6),2)a)·eq\f(n＋\f(\r(6),2)a,m＋\f(\r(6),2)a)＝eq\f(n2－\f(3,2)a2,m2－\f(3,2)a2)＝eq\f(2n2－3a2,2m2－3a2)＝eq\f(2n2－(3m2－n2),2m2－(3m2－n2))＝eq\f(3(n2－m2),n2－m2)＝3.四、解答题(共2小题)15．已知点(3，1)在双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上．(1)求实数a的值；(2)求双曲线C上的动点P到定点A(8，0)的距离的最小值．解：(1)把点(3，1)代入双曲线C：x2－y2＝a2中，有9－1＝a2，解得a＝±2eq\r(2)，∵a>0，∴a＝2eq\r(2).(2)设点P的坐标为(m，n)，则m2－n2＝8，且m≤－2eq\r(2)或m≥2eq\r(2)，|PA|2＝(m－8)2＋n2＝(m－8)2＋m2－8＝2m2－16m＋56＝2(m－4)2＋24，当m＝4时，|PA|2取得最小值为24，∴|PA|的最小值为2eq\r(6).16．若直线l：y＝eq\f(\r(3)x,3)－eq\f(2\r(3),3)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．(1)求双曲线的方程；(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的M，N两点，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围．解：(1)直线l：y＝eq\f(\r(3)x,3)－eq\f(2\r(3),3)过x轴上一点(2，0)，由题意可得c＝2，即a2＋b2＝4.双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由两直线平行的条件可得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，解得a＝eq\r(3)，b＝1，所以双曲线的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)设直线y＝kx＋1(k≠0)，代入eq\f(x2,3)－y2＝1可得(1－3k2)x2－6kx－6＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝eq\f(6k,1－3k2)，x1x2＝eq\f(6,3k2－1)，MN中点为eq