新教材2024版高中数学第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程课后提能训练新人教A版选择性必修第一册

2．4.2圆的一般方程A级——基础过关练1．方程x2＋y2＋2ax－2y＋a2＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是 ()A．a≤1 B．a<1C．a>1 D．0<a<1【答案】B【解析】由D2＋E2－4F>0，得(2a)2＋(－2)2－4(a2＋a)>0，即4－4a>0，解得a<1.2．已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为 ()A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0 B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0 D．x2＋y2－2x－6y＋6＝0【答案】A【解析】MN的垂直平分线方程为x＝3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,x＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))所以圆心坐标为(3，1).又因为r＝eq\r((3－1)2＋(1－1)2)＝2，所以圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0.3．已知点E(1，0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是 ()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))【答案】A【解析】方程表示圆的条件是(－4)2＋22－4×5k>0，即k<1；点E在圆的外部的条件为12＋02－4×1＋2×0＋5k>0，解得k>eq\f(3,5)，所以k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，1)).4．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝ ()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4) C．eq\r(3) D．2【答案】A【解析】圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圆心为(1，4)，d＝eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3).5．已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是 ()A．x2＋y2＋4x－2y－5＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－5＝0C．x2＋y2＋4x－2y＝0 D．x2＋y2－4x＋2y＝0【答案】C【解析】设直径的两个端点分别A(a，0)，B(0，b)，圆心C为(－2，1)，由中点坐标公式，得eq\f(a＋0,2)＝－2，eq\f(0＋b,2)＝1，解得a＝－4，b＝2，∴半径r＝eq\r((－2＋4)2＋(1－0)2)＝eq\r(5).∴圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.6．动点P到点A(8，0)的距离是到点B(2，0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 ()A．x2＋y2－16＝0 B．x2＋y2－2x－15＝0C．x2＋y2＋2x－7＝0 D．x2＋y2－2y－7＝0【答案】A【解析】设P(x，y)，则由题意可知2eq\r((x－2)2＋y2)＝eq\r((x－8)2＋y2)，化简整理，得x2＋y2－16＝0.7．(多选)已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，则实数m可能的取值为 ()A．－1 B．0 C．eq\f(1,2) D．eq\f(7,5)【答案】BC【解析】由题意可得4(m＋3)2＋4×(1－4m2)2－4(16m4＋9)>0，所以(7m＋1)(m－1)<0，解得－eq\f(1,7)<m<1.故选BC.8．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为________．【答案】(2，－3)【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心为C(1，－1).设B(x0，y0)，由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋0＝2，,y0＋1＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝－3，))所以点B的坐标为(2，－3).9．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不含边界)，则a的取值范围是________．【答案】a<1【解析】点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不含边界)，则(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1.10．已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为圆经过点(4，2)和(－2，－6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4D＋2E＋F＋20＝0，①,2D＋6E－F－40＝0.②))设圆与x轴的交点横坐标为x1，x2，它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，得x1＋x2＝－D.设圆与y轴的交点纵坐标为y1，y2，它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，得y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.所以所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.B级——能力提升练11．过点P(－2，1)且被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦最长的直线l的方程是 ()A．3x－y＋5＝0 B．x－3y＋5＝0C．3x＋y－5＝0 D．x－3y－5＝0【答案】B【解析】根据几何意义，过点P且被圆截得弦长最长的弦的直线是过圆心的直线，圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为(1，2)，则所求直线l的斜率为k＝eq\f(1－2,－2－1)＝eq\f(1,3)，则直线l方程为y－1＝eq\f(1,3)(x＋2)，即x－3y＋5＝0.故选B.12．(多选)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为eq\r(2)的点，那么实数a的值可以是 ()A．－2 B．0 C．1 D．3【答案】ACD【解析】圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|eq\r(2)a|，半径r＝2eq\r(2)，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为eq\r(2)，得2eq\r(2)－eq\r(2)≤|eq\r(2)a|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)，所以1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.故选ACD.13．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为eq\r(2)，则圆C的一般方程为________．【答案】x2＋y2＋2x－4y＋3＝0【解析】因为圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x＋y－1＝0上，所以－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2①，又因为r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4×3)＝eq\r(2)，所以D2＋E2＝20②，联立①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.))又因为圆心在第二象限，所以－eq\f(D,2)＜0，D＞0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4.))所以所求的圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.14．在△ABC中，若顶点B，C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是________；当△ABC的面积最大时，点A的坐标为________．【答案】x2＋y2＝9(y≠0)(0，3)或(0，－3)【解析】线段BC的中点D为原点(0，0)，设A(x，y)(y≠0)，则由距离公式得eq\r(x2＋y2)＝3(y≠0)，即x2＋y2＝9(y≠0).因为点B(－2，0)，C(2，0)，所以点B，C所在的直线方程为y＝0，|BC|＝4，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|BC|×|y|＝2|y|，又因为x2＋y2＝9(y≠0)，所以当△ABC的面积最大时，x＝0，y＝±3，故此时点A的坐标为(0，3)或(0，－3).15．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4，设M(x，y)，则eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq\o(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)，由题设知eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝0，即x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，eq\r(2)为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．因为P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，