新人教版数学八年级上册全部课件

人教版数学八年级上I 全部课件人教版数学八年级上册第十一章全部课件人教版数学八年级上册11.1 与三角形有关的线日 11.1.1三角形的边建3入新知

观察与思考3L你能从中找出4个不同的三角形吗？与同学交流各自找出的三角形。2.这些三角形有什么共同特点？望素养目标

3,培养学生的观察、分析、比较、操作能力，1进一步发展空间观念，提高学生的探索能力.2.理解“三角形中任意两边的和大于第三边"的含义，并能运用它解决简单的实际问题.L掌握三角形的有关概念，会用符号表示三角形，会对三角形进行分类.色探究新知

知识点1 三角形的有关概念 三角形是我们熟悉的图形，观察下列图片，你能说一说三角形是怎样的图形吗？至探究新知

三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形，叫做三角形. 所以，三角形的特征有：

（1）三条线段；（2）不在同一直线上；（3）首尾顺次连接.至探究新知

组成三角形的每条线段叫做三角形的边.顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点.内角：相邻两边组成的角. 不上人色探究新知

三角形的表示:三角形用符号“ 示.记作“△ABC读作“三角形ABCw.三边；点A、8、G\ABC的三个顶点NA、N6、NC是ZkABC的三个内角. Aq如图：线段AB、BC.CA是 的立探究新知

素养考点:匚三角形的识别

例1说出图中有多少个三角形，用符号“ 示，并指出每 一个三角形的三条边，三个顶点，三个内角. P解：图中有3个三角形，分别是 hHF,AEFG.NG、，GHE、NHEG,三个顶点是G、H、E

的三边是EkHF、FE,三内角 1/ ?是NEHF、NHFE、ZHEF,三个 Q/^ H

顶点是人H、E;

的三边是E人FG、GE,三内角是NG,NGFE、NFEG,三个顶点是G”色探究新知在查三角形的个数时，先给单个三角形编号，查单个的三角形，再查两个三角形组成的较大三角形，然后再查三个，四个三角形组成的三角形.e巩固练习

L读出图中的各个三角形.解：量探究新知

知识点2 三角形的分类我们知道，三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形 「三边都不相等的三角形A

和钝角三角形.你能按照边的关系对三角形进行分类吗？三角形1I等腰三角形.kf_-山「底边和腰不相等的等腰三角形交探究新知

按边分类后的特殊三角形之间有什么关系？它们的边和角怎样命名？至探究新知

判断三角形的形状

例2根据下列条件，判断 的身状. NA=45°,/8=65°,ZC=70°;

NC=110°; ©>/0=90°; B=BC=3,AC^解： ・24ZB,NC都小于90。，

.•.△ABC是锐角三角形

TNOllO。>90°,，

BC是钝角三角形@/ZC=90°=90。，「•△ABC是直角三角形 .NR二ATT,e巩固练习.2.下列说法正确的有（C）.等腰三角形是等边三角形；X形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；X

腰三角形至少有两边相等；vA.形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.vB. C. D.量探究新知

知识点3 三角形三边的关系 在A点的小狗，为了尽快吃到8点的香肠，它会选择哪条路线?如果小狗在G米呢？立探究新知 I想一想 在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系呢？A色探究新知

I试一试，计算三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？至探究新知

如图三角形中，假设小狗要从点B出发 沿着三角形的边跑到点C,它有几条路线 可以选择？各条路线的长一样吗？路线1：由点8到点C

路线2:由点B到点4再由点A到点C

AB+AC.两条路线长分别是BC,

由“两点之间，线段最短”可以得到A8+AC8C.由不等式的基本性质可得：AB>BC-AC,e探究新知

同理可得：AC+BOAB.AB+BC>AC(AOAB-BC,BOAC-AB)三角形的三边有这样的关系：(1)三角形两边的和大于第三边.(2)三角形两边的差小于第三边.量探究新知

利用三角形三边的美系判断三条线段能否组成三角形 例3下列长度的各组线段能否组成一个三角形？{l)15cm^10cm、7cm(3)3cm、8cm、5cm(2)4cm、5cm、10cm(4)4cm、5cm、6cm解：(1)因为10cm+7cm>15cm,所以这三条线段能组成一个三角形. (2)因为4cm+5cmvl0cm,所以这三条线段不能组成一个三角形.(3)因为3cm+5cm=8cm,所以这三条线段不能组成一个三角形.(4)因为4cm+5cm>6cm,所以这三条线段能组成一个三角形.色探究新知/ \ 只要满足较小的两条线段之和大于第三条 线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.e巩固练习3.完成下列各题：(1)任何三条线段都能组成一个三角形. (X)(2)因为a+b>c,所以a、b、c三边可以构成三角形.(X)(3)以长为3cm、5cm、7cm、10cm的四条线段中的三条线段为边，可构成2个三角形.(4)已知等腰三角形的两边长分别为8cm,3cm,则这三角形的周长为(B)A.14cm B.19cmC.14cm或19cm D.不确定立探究新知

素养,考点：4：利用三角形三边的关系解决实际问题例4用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角步.(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？解：(1)设各边的长为*厘米，则腰长为"由题意得：x+2x+2x=18

厘米,解得x=3.6,所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米.©探究新知

例4用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？为什么？解：因为长为4厘米的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况压论。M）如果4厘米长为底边，设腰长为*厘米，则4+2x=18,解得x=7.

回如果4厘米长为腰，设底边长为*厘米，则2X4+x=18, 解得x=10. 因为4+4V10,出现两边和小于第三边的情况，所以不能围成腰长为4 厘米的等腰三角形.由以上结论可知，可以围成底边长是4厘米的等腰三角形.至探究新知

I想一想 I有人说，自己步子大，一步能走3米多, 你相信吗？说说你的理由！提示：不能.如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系得，此人两腿的长大于3米多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多.e巩固练习

-I 4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm, 则这个等腰三角刑的周长=22cm .三边长4,4,9X 4,9,9V 4+9+9=225.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长= 18cm或21cm.三边长 5,5,8V5,8,8 Ve巩固练习1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ b）A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cmC.5cm,5cm,10cmD.6cm,7cm,14cm2.已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是（ C）

A.1 B,2 C.8 D.11

解析：设三角形第三边的长为x,由题意得：7-3VxV7+3,4<x<10,C课堂检测I.如图，图中直角三角形共有（ C）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是C・ B・( C)C课堂检测3.下列说法：等边三角形是等腰三角形；角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；形的两边之差大于第三边； 形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.其中正确的有（B）A.1个B.2个C3个D.4个C课堂检测一个等腰三角形的周长为24cm,只知其中一边的长为7cm,则这个等腰三角形的腰长为7或8.5 cm.量课堂检测等腰三角形的周长为20厘米.(1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长；(2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长.解：(1)设底边长为X厘米，则腰长为2M厘米.x+2x+2x=20f 解得”4・所以三边长分别为4cm,8cm,8cm.(2)如果6厘米长的边为底边，设腰长为*厘米，则6+2算=20，解得y=7；如果6厘米长的边为腰，设底边长为*厘米，则2X6+*=20,解得x=8.由以上讨论可知，其他两边的长分别为7厘米,7厘米或6厘米，8厘米.e课堂小结性质Hi三角形两边的差小于第三边.《课后作业I教材作业I从课后习题中选取I自主安排配套练习册练习人教版数学八年级上册111.1与三角形有关的线段 1LL2三角形的高、中线与角平分线©导入新知匹 复垂线定义图示当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，习线段其中一条直线叫做另一条直线的垂线3回把一条线段分成两条相等的线段的点A1——1——1B中点顾一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线e导入新知你还记得"过一点画已知直线的垂线”吗？放、靠、过、画.过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗？建承养目标A3.提高学生动手操作及解决问题的能力.2.掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法，通过观察认识到三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点.1.了解三角形的高、中线，角平分线等有关概念.e探究新知

知识点1 三角形高的概念过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗？e探究新知

三角形的高的定义从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段/叫做三角形的高线，简称三角形的高.如右图，线段AD是 上的高.B几何语言：AD_LBC于点D,读作AD垂直3c D^ADC=^ADB=90°.母探究新知画一画 你还能画出一条高来吗？一个三角形有三个顶点，应该有三条高.色探究新知

锐角三角形的三条高(1)你能画出这个三角形的三条高吗？ 如图所示；

(2)这三条高之间有怎样的位置关系？y^\锐角三角形的三条高交于同一点；角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？锐角三角形的三条高都在三角形的内部.母探究新知

直角三角形的三条高(1)画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？(2)AC边上的高是一

直角边8c边上的高是 A5; 直角以18边上的高是-BC；直角三角形的三条高交于直角顶点.色探究新知

钝角三角形的三条高你能画出钝角三角形的三条高吗？(2)AC边上的高呢？BF边上呢？ CEBC边上呢？ AD色探究新知(3)钝角三角形的三条高文于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点;(4)它们所在的直线交于一点吗？钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.堡暨究新知

三角形的三条高的特性:锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量311高之间是否相交相交相交不相交高所在的直线是否相交相交相交相交三条高所在直线的三角形直角顶点三角形交点的位置内部外部三角形的三条高所在直线交于一点.色探究新知

SB额 识别三角形的高例1作aABC的边A3上的高，下列作法中，正确的是 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：（1）过三角形的一一［个顶点：

为顶点到其对砺在直线的垂线段.巩固练五L在下图中，正确画出中边BC上高的是（C）色探究新知

利用三角形的高求值例2如图所示，在中，AB=AC=S9BC=6,AD_L8C于点0，且AD=4,若点P在边，C上移动，则BP的最小值为 3解析：当BP_LAC时，BP的值最小.••'△ABC想AD,S/\ABC=AC由P,二方C・AD=您・BP .\BC'AD=AGBP二6X4=5BP, BP=g所以BP的最小值为厂方法总结：可利用面积相等作桥梁（但不求面积）求三角形的高,此解题方法通常称为“面积法”.e巩固练习

2.如图， 写出以AE为高的三角形”）当BC=8,AE=39 AB=6时，求AB边上的高的长度.解：(1)^ABE9AABD,

A4FC,

AB边上的高为x,

A际.SAABC=^ae=

1：.BCAE^ABx98X3=6x

解得x=4.色探究新知

知识点2 三角形中线的概念 我们学习了三角形的高，我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三I角形吗？e探究新知

三角形的中线的定义在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线. 如图，点o是BC的中点,

则线段A0是 的中线，几何语言：80=DC= BC.

2色探究新知如上页图，画出的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？母探究新知

画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角 形，再分别画出这三个三角形的三条中线. 三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.母探究新知

归纳总结 :在三角形中，连接一个顶点和所对边的中点的线段叫做三角形的中线.2.三角形的重心：三角形三条中线的交点.3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形内部.4.三角形的任何一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形,如上图:AD为中线，贝 尸5AAeh

5.三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.△ABD的周长- 的周长=AB-AC.色探究新知

OS驱O利用三角形的中线求线段的值例3如图所示，45是 的中线，已知iMBD的周长为IJ25cm,AB比AC长6cm,则AflC。的周长为()AA.19cmB.22cmC・25cmD.31cm解："D是BC边上的中线y

二BD=CD,「•△ABD和周长的差=(A8+BD+AD)-(AC+CD+AD)=4B-AC〈△ABD的周长为25cm,AB比AC长6cm, 「•△■CD的周长为25-6=19(cm)・色巩固练习3.如图，AD9BE.(1]AC= 2AE.AE= CD=g? 1

af=_2\b；CF是aABC的三条中线.(2)若5&abc=12cm2,

则548广-^52(3)若AB=4,AC=3,则aAB。的周长与 的周长之美是 A母探究新知

知识点3 三角形的角平分线 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗？色探究新知用量角器画最简便，用圆规也能.在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.折痕，D即为三角形的4的平分线.e探究新知

三角形的角平分线的定义在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.几何语言：N1=N2=；NHAC“三角形的角平分线”是一条线段.e探究新知

做一做每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？(2)你能用折纸的办法得到它们吗？(3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的住置关系，母探究新知

三角形角平分线的性质三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点.e探究新知

利用三角形的角平分线求角的度数例4如图，在中，NBAC=68，，/6=36。，AD是的一条角平分线，求N4DB的度数.解：XD是的角平分线，NBAC=68。,DC二ND4C=N8A0=34°.在ZkABD中，ZB+ZADB+ZBAD=180°,.\Z4DB=180°-ZB-ZS4D=180°-36°-34°色巩固练习4.如图，A0，BE.CF是 /1=4 1

N3= ^ABC：ZACB二2 Z4的三条角平分线，则:e探究新知三角形的概念图形表示法数量及交点位置重要线段三角形从三角形的一个顶34DC.RD是的高线.3条高，锐角三角点向它的对边所在形：形内；钝角的直线作垂线，顶ZADB=ZADC=90°.三角形：形外；的高线点和垂足之间的线直角三角形：直段角顶点三角形三角形中，连结一 且/B D C丁AD^ABC^BCh2条，交点叫作三的中线.个顶点和它对边中的中线角形的重心.形内BD=CD=的线段；·Z\=Z2=-ZBAC2丁/D是 的NA4c的平分线1三角形一个内角的三角形的平分线与它的对边3条，形内,角平分线相交，这个角顶点与交点之间的线段e巩固练习L如图，在 中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是的中线，则该线段是（）BA.线段DEB.线段BEC.线段EFD.线段FG©巩固练习2.如图,A4BC中，AD是BC边上的高，AE^BF分别是NBAC、^EAD+^ACD=(A.75。 B・80')A C.85° D."NABC的平分线，NBAC=50°,Z4BC=60°,贝解析：XD是BC边上的高，NABC=60。,，NBAD=3。*,,AE^^^BAC,•••NBAE=25°,，N£ME=3(T-25°=5°,〈△ABC中，NC=18(T-Z^BC-ZB^C=70&,•••NEAD+NA8=5“+70q=75°・e课堂检测

ewee1.下列说法正确的是（B）A.三角形三条高都在三角形内B.三角形三条中线相交于一点C.三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D.三角形的角平分线是射线©课堂检测2.在 中，40为中线，8E为角平分线，则在以下等式中：®^BAD=^CAD; NABE=NCBE; B0=0C;®AE=EC.其中正确的是（ D）A. B.C. D.e课堂检测3.如图，ZkABC中NC=900,CD±AB9图中线段中可以作为的高的有（）BB.3条A.2条C.4条D.5条e课堂检测ewee的BC边上D4.下列各组图形中，哪一组图形中AD是的高（D）ABC量课堂检测5.填空： 图①，皿 BEf CF是 伊三条中线，贝1

A8=2-F.BD'= DC.AE= 5纸](2)如图②，AD,BE,]CF是 的三条角平分线，则 1/1= /3= 万4叩NACB=2 .Z4Xc D 图② kA童课堂检测 在AA8C中，8是中线，已知8C-AC=5cm,求AADC的周长.解：•「CO是 的中线， :.bd=ad9AD8c的周长为25cm, 的周长=BC+SD+CD=25cm,则BD+CD=25-BC

：.^ADC^周长=AD+CD+AC

-bd+cd+ac

=25-BC+/»C

=25-{BC7C)=25-5=2cm.望那堂检测如图，在中，40是的高，AE是8c的角平分线，已知NBAC=82°,ZC=400,求NDAE的大小.解：\*ad^Aabc^9 二NAOC=90°· /|KTN4OC+HNDAC=180°,工ND"=180°-(ZADC+ZC) Z_Jj/PT de’N. A =180°-90*MO。=50*・

XE是 的角平分线，且NBAC=82°, .^CAE=41°,二//54a=/06c_“仟=铲-410=qce课堂小结高*钝角三角形两短边上的高的画法三角形重会把原三角形面积平分要线段一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等

于原三角形其余两边的差角平分线“课后作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习人教版数学八年级上册11.1与三角形有关的线段11.1.3三角形的稳定性1导入新知

想一想

口hJ 接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？e导入新知

做呢？N

生活小常识盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常2,了解三角形的稳定性和四边形不稳定性的应用.1.了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性.至探究新知

知识点1 三角形的稳定性1.将三根木条用有子钉成一个三角形木架.2.将四根木条用钉子钉成一个四边形木架.“探究新知

请同学们着看:三角形和四边形的模型，扭一扭模 型，它们的形状会改变吗？ 工0区口承 不会 会

L三角形具有稳定性.

2.四注形没有稳定性或圈究新知

�理解“稳定性”“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性“. 【思考】你能举出一些现实生活中应用三角形稳定性的例子吗？©探究新知e探究新知。探究新知•探究新知下列图形中哪些具有稳定性？& 川 自(3)具有稳定性 不具有稳定性 不具有稳定性(4) (5) (6)具有稳定性 不具有稳定性 具有稳定性“探究新知

知识点2 四边形不稳定性的应用四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？•探究新知

四边形的不稳定性有广泛的应用。探究新知伸缩门。探究新知“探究新知

想一想,四边形没有稳定性，怎样便它稳定呢？初做一做

将四边形木架上再有一根木条，将它的一对项点

连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变

工口“探究新知

帮帮忙.1.牧民阿其木家用于圈羊的木栅门，由于年久失修已经变成如图甲，为什么会变形？2.为了恢复成原样图乙，而且栗保持砂状不变，他该怎么做呢?（甲）亚e探究新知

盖房子时，在窗框未安装好之前，工人师傅常常先 在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？三角形的稳定性e探究新知

【思考】钉子架容易转动，怎样做可以使它稳定？“探究新知三角形稳定性的应用例要使四边形木架不变形，至少要钉上一根木条，把它分成两个三角形使它保持形状，那么要使五边形，六边形木架，七边形木架保持稳定该怎么办呢？方法总结：为了使多边形具有稳定性，一般需要用木条将多边形固定成由一个一个的三角形组成的形式.里贝固练习填空：（1）有下列图形：方形；方形；直角三 .（填角形；四边形，其中具有稳定性的是序号） （2）铁栅门和多功能挂衣架能够伸缩自如，是利用四边形的不稳定性 . （3）要便五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要钉上^_根木条.电巩固练习色课堂检测L下列图中具有稳定性有（C）6。含白A.1个B.2个C.3个D.4个色课堂检测2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法正确的是（C）A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值C.稳定性和不稳定性均有利用价值D.以上说法都不对e课堂检测3.如图，工人师傅两门时，常用木条EF固定门框4BCD,使其不变形，这种做法的根据是（D）A.两点之间线段最短B.三角形两边之和大于第三边C长方形的四个角都是直角D.三角形的稳定性C课堂检测如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主栗是为了（）CA,节省材料，节约成本B.保持对称C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮©课堂检测如图，用钉子把木棒AB、BC和8分别在端点8、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的长立，（1）若AB=5,CD=3,BC=11,试求X的最大值和最小值；（2）在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出*的取值范围吗？（3）48、BC、8能围成一个三角形吗？课堂检测

*最小值=BC-AB_8=3;解：（1）x最大值=AB+BC+CD=19.（2）3<x<19;（3）不能.«课堂小建稳定，三角形独有性质性四边形具有不稳定性«课后作业I教材作业I从课后习题中选取I自主安排配套练习册练习人教版数学八年级上册11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角第一课时 I©导入新知

一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角 形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.受素养目检2.会运用三角形内角和定理进行计算.1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180。.«探究新知

知识点1 三角形的内角和我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180。.与三角形的形状、大小无关.思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验“探究新知剪拼Bg探究新知600+480+72°=1800。探究新知

三角形的内角和定理的证明在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？。探究新知

三角形三个内角的和等于1800 .已知:Aabc

求证：Z4+ZB+ZC=180证法1：过点A作〃/8C,

・N8=NL（两直线平行，内错角相等） NC=N2.（两直线平行，内错角相等）•/Z2+Z1+ZBAC=18O°,

/.ZB+ZC+ZB^C=180°.。探究新知证法2：延长BC到D,过点C作CE//6A,•.�./比/1.（两直线平行，内错角相等）N8=N2.（两直线平行，同位角相等）又＜Nl+N2+NACB=18（r,.-.Z4+Zfi+Z4CB=180°.“探究新知

证法3：过D作OEIIAC,作。FII4B.AZC=ZFDB,NB=/FOC（两直线平行LNA+NAE同学们还有其他的方法吗？ NAED+NJ

（两直线平行，n, 二NA=/EDE 一

'/Z£DB+ZFDF+ZFDC=180°,

.\Z^+ZS+ZC=180°.g探究新知试一试，同学们按照上图中的辅助线,给出证明步骤.。探究新知

�作辅助线

为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助I 线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. �思路总结

为了证明三个角的和为180。，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.g探究新知

利用三角形的内角和定理求角的度数例1如图，在中，/847=40。,/8=75。,AD是的角平分线，求2DB的度数.解：由NB4C=40。，AD是 ^BAD=^BAC=20°・在 中，/AD6=180,-ZB-^BAD=180°-75。-20°的角平分线，得“探究新知如图，CD是NACB的平分线,DEWBC,Z4=50°,ZB=70°,^EDCf N6OC的度数.解：*・*NA=50“,NB=70°,/.ZACB=180°-NA-NB=60°.TCD是/4CB的平分线，"BCD=2aCB=30q.2VDFHSC,J/EDC=/B8=30°,在 中，ZBDC=180°-/8-/88=80“•・中，ZB=40°,ZC=80°,则NA的度数为(B.40。 C,50。 D.60。2.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形468,其中NA=150。，ZB=ZD=40°•求NC的度数.解：ZC=180°X2-(40°+40°+150')=130。•*巩固练习3•如图，在中，ZB=46°,ZC=54°,4。平分NBAC,交BC于，息O,DEWAB, 于点E,则NADE的大小是（ ） CA.45° B・54° C,40。 D.50°B~ D“探究新知例2如图， 中，。在BC的筵长线上，过0作DELAB于E,粗C于F•已知/A=30°,ZFCD=80°, 求ZD.^^CFD=^AFE./•ZAFE=180°-Z™-ZA=60/.ZCFD=60°・ • A解：-DE±AB,..^FEA=9O0丁在 中，NF®=90。，NA=30°,「•在 中，/CFD=60”，/：FCD=80°,ZD=lg0o-^F[^FCD=^。探究新知

归纳总结由三角形的内角和定理易得N1+N2=N3+N4.由三角形的内角和定理易得

ZA+ZB=ZC+Zag探究新知

方程的思想与三角形内角和定理的综合应用 例3在 中，NA的度数是NB的度数的3倍，NC比NB 大15°,求NA,ZB,NC的度数.解：设N8度数为x,则NA度数为方法点拨:三形中3*,/C度数为(x+15), 从而有 求角的度数问题，当3*+*+(*+15)=180. 餐之％蠹鹫5解得X=33. 内角和为180。,列方所以3黑=99,x+15=48. 程求解，答：NA, /8,NC的度数分别为99°,33°,48：。探究新知

图^高，CE是NACB的平分线.求ND&软数. 在 中，NA=4= CD是,4b 方程思想求角度 比例关系可考虑用的解析:根据巳知条件用/4表示出NB和/ACB,利用三角形的内角和求出N4再求出/ACB,^ACD9最后根据角平分线的定义求出NACE即可求得NDCE的度数.立巩固练习

解：•z=与8=4c8,设 .\ZS=2x,NACB=3*・+ZS+ZACB=180°,C.\x+2x+3x=180Q,得x=30°,••4=30°,NACB=90°. 是 的高，・**N4DC=9(r

.\ZACD=18O0-90°-30°=60。・・・CE是4cB的平分线，

1

.\^ACE=号90°=45°,.^DCE=^ACD-^ACE=60Q-45°立贝固练习.5.完成下列各题.是,102°中，/4=35°,Z8=43°,中，Z/4:ZB:ZC=1:2:3,则直角三角形.解析：设NA=x,NB=2x,ZC=3x,由三角形的内角和定理容：x+2x+3x=180°,解得x=30“，3x=90°.N乐 中，N4=NB+10°,ZC=p02B= ,£心 . 70°+10°,则g探究新知

素养考点：3：利用三角形的内角和定理解决实际问题（方位问题）. 例4如图，C岛在A岛的北偏东500方向.B岛在A岛的北偏东80。方向，C岛在B岛的北偏西40方向.从B岛看A,C两岛的视角NABC是多少度？从C岛看A、8两岛的视角NAC6是多少度？A 东。探究新知

解：^CAB=^BAD-ZCAD=80°-50°=30°· 由AD//BE,得NBAD+N4BET80*·

所以NA8E=180*-ZBAD=180°-80。=100°, ZABC=ZABE-ZFBC=100°-40°=60°・在中，东NACB=180°-ZABC-ZCAB

=180°-60'-30。=90°,答：从8岛看A,C两岛的视角N4BC是60。，从C岛看A,8两岛的视角NAGS是90'.、6.如图，一艘渔船在8处测得灯塔4在北偏东600N84C是多少度？的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角 ，北 ”A©巩固练习*巩固练习

解：丁在8处测得灯塔A在北偏东60°的方向, ・"ABD=60。.又•「ZDB£=90

/.^ABE=9Q°-NA8D=90°-60°=30°.•・•在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向,・・NAC£=9(r-40°=50°./.^BAC=ZACE-^ABE=5Qc-30°=20°.即在灯塔A处观看6和C处时的视角N8AC是20。.©巩固练习

辑国值总 如图，在 中，CD平分/478交A8于点D,过点。作DFIIBC^CTAF.若/A=54°,Z6=48°,则NCDE的大小为（）CD.38。B洲A.44°B.40°C.39°解析：：乙=54。，ZB=480,

/.ZACB=180°-54。-48。=78°,•「CD平分NACB交AB于点D,：.£DCB--X78°=39。，2TDEIg 二NCDE=NOCB=3,.。课堂检测1.求出下列各图中的Mil.e课堂检测则NC= I。。。 •2.（2018•滨州）在3.如图，中，若NA=30°,ZB=50°,课堂检测1.如图，四边形A8co中，点E在8c上,/8=78。，NC=60。,求NEDC的度数.解：\^A^ADE=180°,4+NADE=180°,/ABWDE.・*NCED=/B=78Q.又・NC=6(r,

.\ZFDC=180°- (NCED+NC) =180°-(78°+60°)B丛E C©课堂检测2•如图，在 中，ZB=42°,ZC=78°,4。平分N8AC求/aDC的度数.解：VZB=42°,ZC=78°,•d //\ / InAZBAC=18^-ZB•••20平分NB4G

AZCAD=-ZBAC=3Q°.2

AZADC=18Q0-ZB-ZCAD=72^©课堂检测如图，在中，BP平分NABC,CP^^ACB,若N8AC=60*,求N8PC的度数. 解：•••△ABC中，ZA=60°,

，N4BC+NACB=120°.•；3P平分NABC,CP^ZACB./.ZPBC+ZPCB=j(ZABC+ZACB)=60°VZPBC+ZPCB+ZBPC=180^,

-60°=120*・。课堂检测思考：你能直接写出N8PC与NA之间的数量关系吗？解：・・・BP平分NABC,CP平分NACB,二NP3C+/PCB=(&BC+NACB)·A'/ZPBC+ZPCB+ZBPC=180°,・・/6PC=180*-(&A6C+/ACB)

=180。-|180°-N4)=90。+«课堂小结

辅助线转化为一个平角三角形的内角二：证法或同旁内角互补和等于1800应用«导入新知

&力、故事 内角三兄弟之争在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？e导入新知

老大的度数为90口，老二若是比老大的度数大，那么老二的 度数要大于900,而三角形的内角和为180。，相互矛盾，因而 是不可能的.3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.2.掌握直角三角形的判定.1.了解直角三角形两个锐角的关系.量探究新知知识点1直角三角形的两个锐角互余问题1: 如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度？30°+60°=90°45°+45°=90°色探究新知

问题2:如图，在Rt4l6C中，ZC=90°,两锐角的和 等于多少呢？ 在RtZkABC中，因为NC=90“，

由三角形内角和定理，得

Z4+ZB+ZC=180P,

即NA+/B=90°・ y由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？色探究新知归纳总结直角三角形的两个锐角互余.（直角三角形的性质定理）�应用格式：在RtAlBC中，丁 ZC=90°,A ZA+ZB=90°直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt 示,直角三角形A8c可以写成Rt^46C.堡探究新知

篇既砥质�利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数例1（1）如图①，N8=NC=90。,AD交8c于点0，NA与N。什么关系？方法一（利用平行的判定和性质）：— *：ZB=ZC=90°,

：.AB//CD9二za=zd.方法二（利用直角三角形的性质）： VZB=ZC=90°,

：,ZA+ZAOB=9^.NO+NCOD=90 ZAOB=ZCOD,

JZA=ND— 一©探究新知

（2）如图②，ZB=ZD=90°,AD交6c于点O,NA与NC有 什么关系？请说明理由.e巩固练习

L在一个直角三角形中，有一个锐角等于60。，则另一个锐角的度数是（D）A.120*B.90°C.60°D.30°2•如图，ABWCD.EF与AB,CD分别相交于点E,F,EP±EF,与NEFD的平分线FP相交于点P,且NBEP=500,则NEPF探究新知例2如图，NC=ND=90°,AD.NDBE有什么关系？为什么？解：在RtAACE中，

ZCAE=90°-NAEC 在 中，BC相交于点ENCAE与ZDBE=9Q°-ZBED.

VN4EC=NBED,二ZCAE=NDBE.©巩固练习3.如图，在中，已知NACB=67°,BE是74c上的高，上的高，F是6E和8的交点，ZDCS=450.^ABE的度数.解： 是AB上的高，

/•ZDBC=90°-ZDCB=90°-45。=45°tBE是AC上的高，

*・NEBC=90°-ZfCS=90°-67°=23°•**・NABE=NA8C-NEBC=45°-23°=22“.。探究新知

归纳总结思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图e探究新知知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如图，在中，NA+NB=90“，那么是

A直角三角形吗？中，在因为NA+NB+4=180\

又NA+NB=90“，

所以NC=90二即 是直角三角形.色探究新知

归纳总结有两个角互余的三角形是直角三角形.（直角三角形的性质定理）�应用格式：在 中，丁 +ZB=90°,.二 ZkABC是直角三角形.“探究新知

利用直角三角形的判定定理识别直角三角形例3如图，NC=90°,Z1=Z2,角形吗？为什么？解：在RtZkA8c中，

Z2+ZA=90°•

VZ1=Z2,

..Zl+ZA=90°.即 是直角三角形.是直角三曼巩固练习

4.已知NA=37。，ZB=53°,则 0A.锐角三角形C.直角三角形B.钝角三角形

D.以上都有可能5.具备下列条件的 中，不是直角三角形的是（D）A.NA+nB=NCB.4=|zfi=4C.NA：NB：ZC=1：2：3D.4=2NB=3NC立探究新知例4如图，CE±ADr垂足为E,NA二NC,是直角三角形吗？为什么？解： 是直角三角形.理由如下:"CE^AD,

/.ZCFD=90°,

/.ZC+ZD=90°,

*/ZA=ZC,

.\ZA+ZD=90°,*巩固练习

6•如图，BD^^ABC,NAD8=60°,ZBDC=80°,NC= 70。・试判断 的形状. 解：在 中，ZDBC=180°-ZBDC-ZC =180°-80°-70°〈BD平分NABC,

/.ZABD=ZDBC=30° •

在 中，

•・2ADB+nABD=60。+30°=90°,

二.△ABD是直角三角形.©巩固练习

聘圆母爵 一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边46、CE相交于点D,则NBDC= 75。.・・・NBDC=NAOE=75°

..^ADE=180°-ZCEA-ZBAE=75Q, • AM解析：\^CEA=60°,ZBAE=45°,g课堂检测l如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到r第1题图第2题图一个三角形，则图中N1+N2的度数是一900.2.如图，AB.CD相交于点O,AC±CD^^C,若3ZBOD=38°,则4=乂口CL中，若NA=43。,NB=47。,则这个三角形是直食三角形0课堂检测4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数是(B)C.60*D.70°D)A.40°B.50°5.具备下列条件的中，不是直角三角形的走(A.AA+^B=^CB.NA-/BNCC.Z4:ZB:ZC=1:2:3. D.NANB=3NC«课堂检测如图所示，ZkABC为直角三角形，NACB=900,CD±AB9 与/1互余的角有（ 0A.NB B.NAC.^BCD^zLA D.ZBCDg课堂检测如图，在直角三角形ABC中，/ACB=903,0是AB上一点，且NACD=NB.求证：ZkACD是直角三角形.证明：・NACB=9(r\^ACD^B,,是直角三角形.«课堂小结性质直角三角形的两个锐角互余直角三角形的性质与判定判定有两个角互余的三角形是直角三角形e课后作业作业I教材作业

I从课后习题中选取内容I自主安排

配套练习册练习人教版数学八年级上册|11.2与三角形有关的角 11.2.2三角形的外角。导入新知

一足球比赛中蒙学知识在绿茵场上，足球员在e处受到阻挡需要传球，请帮助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射门不易射偏？（不考虑其他因素）g导入新知」想一想在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度(N1,n2,Z3),那么回到原来住置时(方向与出发时相同)，一共转了多少度?素养目标3,会利用三角形的外角性质解决问题.2.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和. L理解并掌握三角形的外角的概念，能够在「一复杂图形中找出外角.“探究新知

知识点1 三角形的外角的概念

发现懒羊羊独自在0处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先 从4前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红 太狼则直接在4处拦截懒羊羊，已知NSC=40',NA8C=70。.灰太 狼从C处要转多少度角才能直达B处？8PA“探究新知

利用我三角形的内角和为180.”来求nBCD,你会吗？BOA由三角形内角和易得NBCA=180*-ZA-ZCBA=70°,所以/68=180°-NBCTmtr.思考：像NBCD这样的角有什么特征吗？试猜想它的性质.“探究新知

�定义如图，把的一边6c延长，得到4CD,像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的NACD是 的一个外角.•探究新知

/酶宜销险为遒赚到1乡正蜉是 的一个外角？NDCE是不是 8c的一个外角？ AN3CE是 的一个外角，

NOCE不是 的一个外角, 月问题2：如图，N4CD与NBCE有什么关系？在三角形的每 个顶点处有多少个外角？在三角形每个顶点处都有两个外角.“探究新知画出 8c的所有外角，共有几个呢？“探究新知三角形的外角应具备的条件:角的顶点是三角形的顶点；角的一边是三角形的一边；另一边是三角形中一边的延长线.“探究新知如图，N3EC是哪个三角形的外角？NAEC是哪个三角形的外角？NEFo是哪个三角形的外角？N8EC是 的外角；4EC是 的外角；4FD是 和 的外角.“探究新知

知识点2 三角形的外角的性质

如图，ZkABC的外角N8CD与其相邻的内角NACB有什 么关系？色探究新知

如图,ZkABC的外角N8CD与其不相邻的两内角(NA,/3)有什么关系？•■•N4+NE+NACB=18(r,-ZBCD^ZACB=18QO,二N4+N3二NBCD.“探究新知

已知：如图，AABC.求证：ZACD=Z4+ZB. 证明：过C作CE平行于AB,

二N1二NB,

（两直线平行，同位角相等） N2=4,

（两直线平行，内错角相等） .^ACD=Z1+Z2=NA+Zfi.：C探究新知

�三角形内角和定理的推论

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.�应用格式：

•.ZCD是 的一个夕卜角./■ZACD=NA+NB・量巩固练习L说出下列图形中N1和N2的度数:Zl=40°,N2=140°Zl=18°,Z2=130d探究新知

）利用三角形外角的性质求角的度数

例1如图，Z4=42°,NABD=28°,Z4CF=18°,求NBFC 的度数. y\ A 解：・・・二NBEC=NA+AACE, N6EC是ZkAEC的一个外角，

/\ ..4=42”，ZACF=180,

就^^ NBFC是^BEF的一个外角，B - C ZABD=28°,N8£C=60，, /.NBFC=ZABD+乙BEF,©巩固练习2.如图，直线AB,CD被6c所截，若ABIICD,Zl=450,/2=35。，贝寸/3=度50A1~wB分析：根据平行线的性质求出NC,再根据三角形外角性质即可求出/3.解：\ABWCD,/1=45“,/.ZC=Z1=45°·又••22=35',・N3=N2+/C=35。+45*=80*·“探究新知

借助辅助线求角的度数例2如图，P为内一点，N3PC=150。，NABPC=20°,NACP=30°,求NA的度数. 分析：延长8P如C于以连接4P /A并延长，构造三角形的外角，再利用上二^^外角的性质即可求出NA的度数. 8“探究新知

解：延长BP交4c于点E,则NBPC,NPEC分别为的外角,*・/BPC=/PEC+/PCE*

ZPEC=^ABE+^A,

.^PEC=^BPC—^PCE =150°—30°=120°·

.\^A=^PEC-^ABE=120°-20°=100*B

.方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决.“探究新知

图目图如图，41=51°,ZB=20°,ZC=30°,求 NBDC的度数. 从探究新知解法一：连接AD并延长于点E在 中，/1+NABD=N3,在aACD中，N2+/4CD=/4・因为NBDC=N3+N4,ZB4C=Z1+Z2,所以NBDJBAC+N4BD+NACD=51°+20°+30°=101°·探究新知

解法二：延长8D交AC于点E.

在AABE中，N1NABE+NBAE,在 中，ZBDC=Z1+ZFCD.所以NBDCNBAC+NABO+NACD

=51°+20*+30°=101°•

解法三:连接延长8交4B于点F（解题过程同解法二）.博》解题的关键是正确地构造三角形，利用三角形外角的性质及转i化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.色巩固练习

3.如图，求证：NBOC=NA+NB+NC证明：延长BO交AC于点D,

因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.所以nboc=/a+nb,nboc=/boc+nc,所以nboc=na+nb+nc・©探究新知

如图①，试比较/2、如图②，试比较N3,i>解：*/Z2=Zl+ZB,解：・・22=N1+N8, N3=N2+/D.7N3%l2，UL《巩固练习4.如图，NA,Z1N2的大小关系是（B A.4>N1>N2

B.N2>N1>NA

C・D・ NA>N2>/1 N2>NA>N1e探究新知知识点3三角形的外角和定理例3如图，^BAE9NCBF,N/4CD是 的三个外角，占赢赢£■它们的和是多少？解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

NBAE=N2+N3,

NCBF=N1+N3,

ZACD=Z1+Z2.又知/1+N2+/3=180*,

所以NBAE+NCBF+ZACD色探究新知解法二：如图，/BAE+/1=18O。E/C6F+N2=180口^ACD+Z3=180°

又知N1+/2+N3=180',

+

/ME+/CBF+ZACD+(Z1+/2+/3)=540°才所以N8AE+/C6F+/ACD=540°-180°=360°e探究新知所以N1+N2+N3=N1+N4+N班/W=360"思考你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？结论：三角形的外角和等于360。.心巩固练习

4 5.下列对三角形的外角和叙述正确的是（C） A.三角形的外角和等于1800

B.三角形的外角和就是所有外角的和

C.三角形的外角和等于所有外角和的一半 D.以上都不对©巩固练习

辑国值总L如图，448是AABC的外角，CE平分NACD,若nA=60。,/6=40°,则NECD等于（ ）A.40° B.45° C.50°解析：•••NXUSO。,ZB=40°,

••・48=NA+NB=100°,••�NECD=；NACD=50°•*巩固练习2.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30。角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则Na的度数是（ C）A.45° B.60* C.75。解析：如图，「"8=90。、ZF=45°,/.ZCGF=ZDGB=45°,则/a=/O+NOGB=30。+45。=75。·立那堂检测L判断下列命题的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（X）（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （5（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （X）（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（M）（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （又（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（6©课堂检测2,如图,点。在边的延长线上，DEWBC.若/4=350,/C=24。A.24°色课堂检测1.(1)如图，N3DC是 ADC的夕卜角.也是」A皎的外角；lI (2)若NB=45°,NBAE=36°,NBCE=20°,试求/AEC的度数.解：根据三角形外角的性质有^ADC=ZB+NBCE,^AEC=^ADC+/BAE所以/AEC=N8+/BCE+/BAE=45*+20'+36*=101'・©课堂检测2图，在RtZ\ABC中，NACB=90“,NA=40。，的外角NCBD的平分线BEMC的延长线于点已(1)求NCBE的度数；(2)过点D作DFH8E,交47的延长线于点F,求NF的度数.解：(1)••在RtZk46C中.4cB=90。，4=40。，-\Z4BC=90° -Z4=50°,・・./CBD=130*・「BE是NC6D的平分线，/.ZCB£=ZCBD=65°(2)\^ACB=90a,ZCBf=65°,「.NCEB=90。-65°=25°・©课堂检测L如图，ZB+ZC+ZD+NE的度数.:·.2是 的外角，12=/8+/&同理nZ=nA+/D・在^056中，ZC+Z1+Z2=18OS,cA+NB+/C+ZD+/E

80S.©课堂检测2 图，试求出NA+N8+NC+ND+/E+NF=360°上课堂小结e课后作业I教材作业I从课后习题中选取I自主安排配套练习册练习人教版数学八年级上册11.3多边形及其内角和11.3.1多边形。导入新知

在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？导入新知色导入新知I中国某一村远景图 五角大楼0素养目标

3,掌握多边形对角线的定义及公式，并能运 用公式解决相关问题.2.了解什么是凸多边形和正多边形.1.理解并掌握多边形、正多边形的概念及相关定义.色探究新知

知识点1 多边形的定义及相关概念问题1:什么是三角形？由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.在平面内，由一些线段首尾 O 组成的图形叫做三角形.问题2：观察画某多边形的过程, 类比三角形的概念，你 能说出什么是多边形吗？色探究新知

【思考】比较多边形的定义与三角形的定义，为什 么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？ 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内. 多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.安探究新知

问题3：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多 边形的边、顶点、内角，外角.内角：多边形相邻两边组成的角.门边形有几个顶点,

门条边，几个内角,

2"个外角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三立参究新知

问题4： 请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条宜线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.立彝究新知

魏O多边形的截角问题例1凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边・..新多边形的边数为7、5、6三种情况，解：「六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不交三种情况，,如图所示. 000©探究新知

归纳总结 一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.从所截角的两边截，边数增加L

截角的相邻两角的顶点截，边数减少L 所截角的一边及相邻角的顶点截，边数不变.色网圆练习

1.下列图形包含了哪些多边形？六边形 五边形和六边形e探究新知

知识点2 多边形的对角线�定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.重要提醒线段AC是五边形A8CDE的一条对角线,多边形的对角线通常用虚线表示.立探究新知

请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数:三角形四边形五边形六边形八边形多边形三角形四边形五边形六边形八边形心边形01235n-2从同一顶点引出的对角线的条数分割出的三角形31246的个数色探究新知

归纳总结 从门（哈3）边形的一个顶点可以作出什3）条对角线.将多边形分成（力2）个三角形.。（哈3）边形共有对角线以宁条.色探究新知

O利用多边形的对角线相关公式求边数例2过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数.解：设这个多边形为门边形，则有m-3）条对角线，所分得的三角形个数为42,/.n-3+n-2=219解得M13.答：该多边形的边数有13条. -*巩固练习

. 2.画一画:画出下列多边形的全部对角线.色巩固练习

3.观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，解答下列问题：1角形的对四边形的对五边形的对六边形的对角线有0条角线有2条角线彳「5条角线有9条十边形有多少条对角线？门边形呢？立巩固练习

解：•.•四边形的对角线条数为4*(4-3)X异2.五边形的对角线条数为5X(5-3)X；=5.六边形的对角线条数为6X(6-3)X(=9.・•.十边形的对角线条数为10X(10-3)X935.门边形的对角线条数为5m—3).e探究新知

知识点3 正多边形的概念 �定义像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形.正三角形正方形正五边形正六边形量探究新缸

想一想.下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？（四条边都相等）（四个角都相等）答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图营符合各边都相等.号判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角周相等，_两个条件很缅同时具爸. —立巩固练习.| 4.下列属于正多边形的特征的有（B）相等；个内角相等；个外角相等；条对角线都相等；个项点引出的对角线将门边形分片面积相等的（0一2）个三角形.A.2个B.3个C.4个D.5个会巩固练习

聘命

通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化 为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是540度.解析：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,则将多边形分割为3个三角形.所以该多边形的内角和是3X180。=5400.色课堂检测L下列多边形中，不是凸多边形的是（B）ABCD2.九边形的对角线有（C）A・25条 B.31条C27条 D・30条*课堂检测3.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（A）

A.六边形 B.五边形

C.四边形 D.三角形色课堂检测L若从一个多边形的一个项点由发，最多可以引10条对角线，则这是十三边形.2.过八边形的一个面点画对角线，把这个八边形分割成上_个三角形.色课堂检测过m边形的一个顶点有7条对角线，门边形没有对角线，k边形共有k条对角线，贝mm-A严为多少？解：丁机=10,/1=3,人=5.A(/m—左产=(10-5)3=53=125.«课堂小结

定义］f 前提条件是在一个平面内定义 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边 形的对角线多边形I对角用途它是多边形的一条重要线段，在今后通常作对:线把多边形的问题转化为三角形和四边形的问」线 从一个顶点出发的对角线的总条数（机3）条, 公式 边形对角线的总条数第

正多

一边形 质“课后作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习人教版数学八年级上册11-3 多边形及其内角和11.3.2多边形的内角和e导入新知

【思考】你知道正六边形的内角和是多少吗？量探究新知知识点1 多边形的内角和问题L 三角形内角和是多少度?三角形内角和是180。.问题2:你知道长方形和正方形的内角和是多少度?都是360。·问题3: 猜想任意四边形的内角和是多少度？立舞究新知

猜想与证明猜想：四边形A8CD的内角和是3600.问题4:你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？“探究新知解法二：如图，在8边上任取一点E,连接 DE9 所以该四边形被分成三个三角形,所以四边形ABCD的内角和为 180°X3-(AAEB+^AED+^CED)=180°X3-180°=360°.e探究新知

解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点& 连接AE,BE,CE9 DE,

把四边形分成四个三角形：

AADE9ACDE,ACBE

所以四边形ABCD内角和为：

180°X4-(ZAEB+ZA£D+ZCFD+ZCEB)

=180°X4-360°=360°•立舞究新知

解法四：如图，在四边形外任取一点P,连接图、PB、 PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形A8CD内角和为180°X3-1800=360°.量探究新知

运用四边形内角和定理进行证明或计算例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角 A

有什么关系？试说明理由.解：如图，四边形4BCD中，

ZA+ZC=180° . 因为NA+/B+NC+ND=（展2）X180。=360°,

所以NB+/D=360°-QA+/C）

=360。-180。=180°·

当果一个吧边形的二组对角互9，电4另一组干史也型望巩固练冯

1.如图，求na+nb+nc+no+ne+nf的度数.解：连接8E・TNDOB=/C+/D,

ZDOS=ZCBf+ZDfB>

/•ZC+zD=ZCSf+zDEB,

二na+nabc+nc+nd+ndef+nf

=na+nabc+ncbe+ndeb+ndef+nf=Z^+Z^BE+ZBfF+zF.：在四边形ABEF中，

+^ABE+ZBEF+ZF=(4-2)X180°=36(3°,/.Z4+ZABC+zC+ZD+ZDfF+ZF=360°e探究新知

问题5：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五 边形和六边形内角和吗？©探究新知

由特殊到一般边数图形从多边形的一顶点分割出三角多边形内角和引出的对角线条数形的个数三角形011X18O°=18O°四边形122X180o=360°五边形含六边形O233X180°=540°344X180°=720°«边形H-3H-2(n-2)，1800“探究新知多边形分割

;——>三角形转化思想分割点与多边

形的位置关系顶点边上内部外部其内角和加加180。注意： n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边形电内角和是180。些倍数... 多边形的内角和公式量探究新知

利用多边形内角和公式求角度或边数

例2一个多边形的内角和比四边形的内角和多720。， 并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内 角是多少度？解：设这个多边形边数为小则

(n-2)•180=360+720,

•.，这个多边形的每个内角都相等，解得n=8,

(8-2)X180a=1080°,

.：它每一个内角的度数为1080。4-8=135° .整斗固练习2.根据多边形的内角和完成下列题目.(1)一个多边形的内角和是720。，这个多边形的边数是( C)A.4条 B.5条 C.6条 D.7条(2)若一个多边形的边数为8条，则这个多边彩的内角和是(C)A.900。 B.540" C.1080° D.360°(3)若一个多边形增加一条边，那么它的内角和( A)A・增加180cl B.增加360 C.减少360。 D.不变口量探究新知

例3已知口边形的内角和％(n-2)X1800. (1)甲同学说，i?能取360°;而乙同学说，？也能取

6300.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数山若不对，说明理由；

解：•••360°+180°=2,

90°,630°+180°=3

・•・甲的说法对，乙的说法不对，

360°+180°+2=4.故甲同学说的边数，是4；量探究新知

(2)若门边形变为(a+x)边形，发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.解：依题意有

(n+x-2)X180°-(n-2)X180°=360°,解^x=2.故x的值是2.SL固练冯

3.如图，在五边形ABCDE中，ZC=1000,ND=75°,NE=135°,AP^^ZEAB,BP平分N4BC,求NP的度数.分析：根据五边形的内角和等于540。，由NC,ND,NE的度数可求44B+NABC的度数，再根据角平分线的定义可得/%B与NP84的角度和,进一步求得NP的度数.堡巩固练冯

解：・「/EAB+NA6C+NC+ND+/E=54(r,ZC=100°,ZD=75°,ZF=135°,・NE46+/A6C=54(T-/C-NANE=23(T.*”P平分NEAB,

1

/.ZMB=专日'6，

同理可得N48P=^ABC,

\ZP+ZRAB+ZPSA=180°,/.ZP=180a-4PAB-乙PBA

=180°-j(ZFAB+ZABq=180o-X^0°=65°・量探究新知用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？量探究新知

知识点2 多边形的外角和如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和.�任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 互补

�五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？5X180°=900°“探究新知

这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？五边形外角和

=5个平角-五边形内角和

=5X180°-(5-2)X180。=360°

结论：五边形的外角和等于360。.色探究新知

在s边形的每个顶点处各取一个外角, 这些外角的和叫做门边形的外角和.思考：〃边形的外角和又是多少呢？ 门边形外角和

5个平角T边形内角和

=nX1800-(w-2)X1800

=360°门边形的外角和等于360：。•与边数无关e探究新知

回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是一aa注人..皿N