人教版 八年级下册数学18.1平行四边形

18.1平行四边形

一、选择题

1.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O,E是BC的中

点，以下说法错误的是（）

A.0E=1DCB.0A=0C

C.ZB0E=Z0BAD.Z0BE=Z0CE

2.如图，在平行四边形ABC。中，AO=5,AB=3,他平分交8c边于点E,

则线段BE,EC的长度分别为（）

A.2和3B.3和2C.4和1D.1和4如图

3.如图，将口ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B，处.若N1=N2=44。,

则28为（）

A.66°B.104°C.114°D.124°

4.如图，在ABCD中，将AADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线

上的点E处.若NB=60。，AB=3,则aADE的周长为

5.如图，QABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则

△ABO的周长是（）

A.10B.14C.20D.22

D

0

------------乂C

6.点A、B、C、。在同一平面内，从①AB〃C£>,②AB=CD,@BC//AD,

@BC=AD.这四个条件中任选两个，能使四边形ABC。是平行四边形的选法有

（）种

A.3B.4C.5D.6

7.在平行四边形ABCO中，点儿、&、4、4和G、C2、C3、C4分别为钻和C。的

五等分点，点4、为和。、。2分别是BC和D4的三等分点，已知四边形A/2G2的

面积为1,则平行四边形ABC。面积为（）

35

A.2B.-C.-D.15

53

8.如图，D是4ABC内一点，BD±CD,AD=7,BD=4,CD=3,E、F、G、H

分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为

9.已知四边形的四条边长分别是a",c,d,其中a"为对边，并且满足

cr+kr+c2+d'=2ab+led

则这个四边形是（）

A.任意四边形B.平行四边形

C.对角线相等的四边形D.对角线垂直的四边形

10.

（2020.临沂）如图，P是面积为S的A8CO内任意一点，的面积为号

,APBC的面积为§2,则（）

D

AB

qq

A.S,+S2>-B.S,+S2<-

C.S,+S2=^-D.S1+S2的大小与p点位置有关

二、填空题

11.如图，在平行四边A8CO中，乙4=120。，则/£）=

图1

12.如图，在平行四边形ABC。中，DB=DC,NA=65。，CE工BD于E,则NfiCE=

13.如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O,若AB〃CD,请添加一个条

件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形.

14.（2020.凉山州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,

OE〃AB交AD于点E.若OA=1,aAOE的周长等于5,则平行四边形ABCD

的周长等于.

A.ED

15.如图，已知等边三角形的边长为10,尸是AABC内一点，PD//AC,

PE//AB,PF//BC,点。，E,尸分另U在A8,8C,AC上，则/Y）+PE+PF=

4

D.

16.如图，在QABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△ADE处,

AD'与CE交于点F,若/B=52。，NDAE=20°,则NFED，的大小为.

三、解答题

17.如图，矩形ABC。中，E是AD的中点，延长CE,BA交于点F连接AC,

DF.

(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;

(2)当CT平分N8CO时，写出与C。的数量关系，并说明理由.

18.(2020・淮安)如图，在nABCD中，点E、F分别在BC、AD±,AC与EF

相交于点O,且AO=CO.(1)求证：△AOF^^COE；

(2)连接AE、CF,则四边形AECF(填"是"或"不是")平行

四边形.

19.如图，在等腰AABC中，延长边AB到点。，延长边。到点E,连接£>E,恰

有AD=BC=CE=DE.求证：ZfiAC=100°.

E

20.如图，在AA8C中，A3=AC,A0_L5C于。，点P在8C上，PE上BC交BA

的延长线于E,交AC于Fo求证：2AD=PE^-PF；

21.如图所示，在平行四边形A8C。中，^ijEAC24-BD2=AB2+BC2+CD24-DA2.

人教版八年级数学18.1平行四边形培优训

练•答案

一、选择题

1.【答案】D【解析】A、B、C均正确，因为08不一定等于0C,所以NQBE

不一定等于N0CE.

2.【答案】B

3.【答案】C【解析】设/AC。=x,ZB=y,则根据题意可列方程组

x+y+44°=180°

\'/、，解得y=U4。.

[180。一)一(44°-x)=44°'

4.【答案】C

【解析】由折叠可得，NACD=NACE=90。，.•.NBAC=90。，

又•.•NB=60。，.•.NACB=30。，；.BC=2AB=6,，AD=6,

由折叠可得，NE=ND=NB=60。，

.,.ZDAE=60°,.'.△ADE是等边三角形，

AADE的周长为6x3=18,

故选C.

5.【答案】B【解析】•.,四边形ABCO是平行四边形，.•.QA=OC,OB=OD.

由AC+B£)=16可得OA+OB=8,又,.泡8=。。=6,.'.△ABO的周长为QA+

03+43=8+6=14.

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

【解析】VBD±CD,BD=4,CD=3,

：•BC=4+于=5，

VE.F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，

.\EH=FG=-BC,EF=GH=-AD,

22

/.四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC,

又；AD=7,

...四边形EFGH的周长=7+5=12.故选A.

9.【答案】B

10.【答案】c

【解析】可以利用割补法对平行四边形进行分割，然后使分割后的图形与APAO

的面积APBC的面积邑发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P

作AD的平行线，分别交ABCD的边于点M、N：

AMND

S1+S2=—=5(S+SMI>CN)=万.

二、填空题

11.【答案】60°

12.［答案］25。

【解析】•••四边形ABCD是平行四边形

ZA=NDCB=65°

又,/DB=DC

：.NDBC=NDCB=65°,NCDB=50°

又•/CE1BD,：.ZECD=40°

ZBCE=65°-40°=25°.

13.【答案】AO45c(答案不唯一)【解析】根据平行四边形的判定，在已有

AB〃DC的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加

“AD〃BC”.

14.【答案】16

【解析】•.,四边形ABC。是平行四边形，，OA=OC,AB=CD,AD=BC.V

OE//AB,是△ACO的中位线.：.AE=-AD,OE=-CD.\"OA=1,△

22

AOE的周长等于5,：.AE+OE=4.：.AD+CD=S.二平行四边形ABC。的周

长=16.故答案为16.

15.【答案】10

16.【答案】360【解析】•.•在口ABCD中，ZD=ZB=52°,.*.ZAEF=ZDAE

+ZD=200+52°=72°,AZAED=180°-ZAEF=108°,由折叠的性质得，Z

AEDZ=ZAED=108°,AZFED7=ZAED(-ZAEF=108°-72°=36°.

三、解答题

17.【答案】

解:⑴证明:•••四边形ABCD是矩形,

：.AB//CD,：.ZFAE=ZCDE,

TE是AO的中点，：.AE=DE,

又,?NFEA=ZCED,.*.△FAE^△CDE,：.CD=FA,

y.'：CD//AF,

...四边形ACDF是平行四边形.

(2)BC=2CD理由：

,：CF^ZBCD,：.ZDCE=45°,

,/NCDE=90。,

/.△CDE是等腰直角三角形，

:.CD=DE,

E是AO的中点，：.AD=2CD,

•：AD=BC,：.BC=2CD.

18.【答案】

(1)•.•四边形ABCD是平行四边形，

:.AD〃BC,

/.ZFAO=ZECO,

^△AOF和△COE中

NFAO=NECO

<AO=CO

ZAOF=4cOE

/.△AOFflACOE(ASA).

(2)由(1)AAOF^OACOE,

/.OF=OE,

XVOA=OC,

四边形AEOF为平行四边形.

19.【答案】

由4)=班，知4庄是等腰三角形，其底角ZE4D必为钝角，所以等腰

AA8C中，N8AC必为钝角，因此必为等腰AA8C的顶角，则AB、AC是

腰，即AB=4C.

过C作AD收平行线CF,与过。所作8c的平行线交于点F,则四边形

BCFO为平行四边形，故。B=CF,DF=BC,NFDB=NBCF.

从而，Z£AD=Z.ACB+NABC=NACB+NFDB=NACB+ZBCF=NECF.

连斯，在MDE和XCEF中，

AD=CE,NEAD=NECF,

AE=CE-AC=AD-AB=DB=CF,

则&4OE/ACEF,于是ED=EF.

而。=8C=OF,即知AD£F是等边三角形，从而

NEDF=60°.

设ABAC=a,则

ZADF=ZABC=1（180°-tz）,

ZDAE=180°-a,

ZA£>E=180°-2ZZM£=180o-2（180o-a）=2a-180°.

由ZADF+ZADE=4EDF=60°,得

^（180o-a）+（2a-180°）=60°.解得a=100°,即N8AC=100°.

20.【答案］

分析：加倍中线构造平行四边形，然后再通过等量线段证明原式成立。

证明：延长AQ,使得AD=DH,连接延长FP交C”于点K。

AB=AC,ADYBC=>BD=CD

"：AD=DH

：.ABC4为平行四边形

AB//CH,NBCH=ZABC=ZACB

'：FP±BC,CP为公共边

\FCP学SKCP

:.FP=PK

'：AD±BC,PFLBCnAH〃EK

ABCH

•••4旌为平行四边形

:.AH=EK

，2AD=AH=EK=PE+PK=PE+PF

说明：倍长中线构造平行四边形是竞赛中常用的技巧之一，竞赛班的学生一定要

掌握。

而运用其性质的一个典型例题。

21.【答案】

本题实质是证明AC2+BD2=2（AB2+AD2）.

如图所示，过点C作CE〃QB交A8的延长线于点£,

因为CE〃/58,DC//BE,

故8ECD是平行四边形，从而CE=OB,BE=DC.

作CH_LAE,〃是垂足，则：

AC2=AH2+CH2=(AB+BH)2+CH2=AB2+2ABxBH+BH2+CH2,

DB2=CE2=EH2+CH2=(BE-BHY+CH2+CH2-2ABx

BH+BH2+CH2,

故AC2+BD2=2AB2+2cH2+2BH°=2AB2+2BC2=2(A8?+AD2).

18.2特殊的平行四边形

选择题（共10小题）

1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对边相等B.对角相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

选D

2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE/7BD,DE〃AC,若

AC=4,则四边形OCED的周长为（）

解：•.•四边形ABCD为矩形，

.•.OA=OC,OB=OD,且AC=BD,

.•.OA=OB=OC=OD=2,

•.•CE〃BD,DE〃AC,

四边形DECO为平行四边形，

VOD=OC,

四边形DECO为菱形，

，OD=DE=EC=OC=2,

则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8,

故选B

3.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S2,则SI：S2等

解：设大正方形的边长为X,根据图形可得:

••EF.1

•-------..-，

AC3

._i

SADAC9

.Si_i

••'---,

S正方形ABCD18

/.S|=-^-S正方J6ABCD，

18

Si=-^-x2,

18

S

•-2=1

2AABC4

•S2_1

••1-,

S正方形ABCD8

.•.s2=ls正方形ABCD，

8

/.S?=—x2,

8

/.Si：S7=-^-x2：—X2=4：9；

188

4.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3,4）,

D是OA的中点，点E在AB上,当4CDE的周长最小时，点E的坐标为（）

M.

A.(3,1)B.(3,A)C.(3,1)D.(3,2)

33

解：如图，作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时

△CDE的周长最小.

VD泣，0),A(3,0),

2

AH(X0),

2

直线CH解析式为y=-卷x+4,

，x=3时，y=❷，

3

二点E坐标(3,-1)

3

故选:B.

5.如图，在矩形ABCD中（AD>AB）,点E是BC上一点，且DE=DA,AF

_LDE,垂足为点F,在下列结论中，不一定正确的是（）

A.AAFD^ADCEB.AF=1ADC.AB=AFD.BE=AD-DF

2

解：(A)由矩形ABCD,AF_LDE可得NC=NAFD=90。，AD〃BC,

:.ZADF=ZDEC.

又YDE=AD,

/.△AFD^ADCE（AAS）,故（A）正确；

（B）YNADF不一定等于30。，

二直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误;

(C)由4AFD丝Z\DCE,可得AF=CD,

由矩形ABCD,可得AB=CD,

，AB=AF,故(C)正确;

(D)由△AFDg/XDCE,可得CE=DF,

由矩形ABCD,可得BC=AD,

XVBE=BC-EC,

/.BE=AD-DF,故(D)正确;

故选B.

6.如图，正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的

EC=2：1,则线段CH的长是()

A.3B.4C.5D.6

解：设CH=x,则DH=EH=9-x,

VBE：EC=2：1,BC=9,

.*.CE=1BC=3,

3

...在RCECH中，EH2=EC2+CH2,

即(9-x)2=32+X2,

解得:x=4,

即CH=4.

故选(B).

D

7.下列语句正确的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等

C.矩形的对角线相等

D.平行四边形是轴对称图形

解：•••对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,

，选项A错误；

•••有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，

，选项B错误；

•••矩形的对角线相等，

选项C正确；

•••平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，

•••选项D错误；

故选：C.

8.如图，正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH

的周长为（）

解：•.•正方形ABCD的面积为1,

.•.BC=CD=VT=1,ZBCD=90°,

VE.F分别是BC、CD的中点,

/.CE=1BC=1,CF=1JCD=1,

2222

，CE=CF,

...△CEF是等腰直角三角形，

.,.EF=V2CE=^.,

正方形EFGH的周长=4EF=4义喙=2&；

故选:B.

9.如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG,其中E点在AD上.若/

解：•..四边形CEFG是正方形,

/.ZCEF=90°,

ZCED=180°-ZAEF-ZCEF=180°-15°-90°=75°,

ZD=180°-ZCED-ZECD=180°-75°-35°=70°,

•.•四边形ABCD为平行四边形，

.•.NB=ND=70。（平行四边形对角相等）.

故选C.

10.如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它

分成面积相等的两部分，则x的值是（）

A.1或9B.3或5C.4或6D.3或6

解：如图，

•.•若直线AB将它分成面积相等的两部分,

222

：.LX(6+9+x)X9-x*(9-x)=lx(6+9+X)-1X6X3,

222

解得x=3,或x=6.

二.填空题（共5小题）

11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=10,则菱形ABCD的面积为

解：;在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=10,

，菱形ABCD的面积为：1AC*BD=3O.

2

故答案为：30.

12.如图，在矩形ABCD中，AD=4,点P是直线AD上一动点，若满足4PBC

是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4或2亚.

AD

B--------------------'C

解：①如图，当AB=AD时

A曲）勺?俘2）

BC

满足4PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，

△PiBC,^PaBC是等腰直角三角形，APsBC是等腰直角三角形（P3B=P3C）,

则AB=AD=4.

②当AB<AD,且满足aPBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，

•.•P2是AD的中点，

•>,BP2=*7I^=标标，

易证得BP尸BP2，

又•；BP]=BC,

AV4+AB2=4

.,.AB=2«.

③当AB>AD时，直线AD上只有一个点P满足4PBC是等腰三角形.

故答案为：4或2我.

13.有一面积为5愿的等腰三角形，它的一个内角是30。，则以它的腰长为边的

正方形的面积为20亚和20.

解：如图1中，当NA=30。，AB=AC时，设AB=AC=a,

作BD_LAC于D,VZA=30°,

，BD」AB=Xa,

22

22

.方=20代，

...△ABC的腰长为边的正方形的面积为2aM.

如图2中，当NABC=30。，AB=AC时，作BD_LCA交CA的延长线于D,设

AB=AC=a,

VAB=AC,

/.ZABC=ZC=30o,

，ZBAC=120°,ZBAD=60°,

在RTaABD中，：/口;乡。。，ZBAD=60°,

，BD=&,

2

•亚a=5愿，

22

.\a2=20,

/.△ABC的腰长为边的正方形的面积为20.

故答案为20行或20.

14.如图，正方形ABCD边长为3,连接AC,AE平分NCAD,交BC的延长

线于点E,FA1AE,交CB延长线于点F,则EF的长为6&.

，AC=3&,

VAE平分NCAD,

:.ZCAE=ZDAE,

VAD^CE,

/.ZDAE=ZE,

.*.ZCAE=ZE,

，CE=CA=3&，

VFA±AE,

/.ZFAC+ZCAE=90o,ZF+ZE=90°,

，NFAC=NF,

.,.CF=AC=3&，

EF=CF+CE=3近

故答案为：6^2.

15.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAIBIG的两边在坐标轴

上，以它的对角线OBi为边作正方形OBiB2c2，再以正方形OB|B2c2的对角线

OB2为边作正方形OB2B3c3,以此类推…、则正方形OB2015B2016c2016的顶点B2OI6

的坐标是.（2M8,。.

解：•.•正方形OAIBCI边长为1,

•.•正方形OB|B2c2是正方形OA|B|C|的对角线OB1为边，

，OB2=2,

.•.B2点坐标为（0,2）,

同理可知OB3=2我，

，B3点坐标为（-2,2）,

同理可知OB4=4,B4点坐标为（-4,0）,

B5点坐标为（-4,-4）,B6点坐标为（0,-8）,

B7（8,-8）,B8（16,0）

B9（16,16）,B10（0,32）,

由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每

次正方形的边长变为原来的血（花

,.,20164-8=252

.••B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0,

.♦.B2016的坐标为（21008,0）.

故答案为：(2间8,0).

三.解答题(共5小题)

16.如图，在^ABC中，ZACB=90°,D,E分别为AC,AB的中点，BF〃CE

交DE的延长线于点F.

(1)求证：四边形ECBF是平行四边形；

(2)当NA=30。时，求证：四边形ECBF是菱形.

证明：(1)VD,E分别为边AC,AB的中点,

；.DE〃BC,即EF〃BC.

又,；BF〃CE,

二四边形ECBF是平行四边形.

(2)VZACB=90°,ZA=30°,E为AB的中点，

.,.CB=1AB,CE=1AB.

22

，CB=CE.

又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形，

二四边形ECBF是菱形.

17.如图，矩形ABCD中，延长AB至E,延长CD至F,BE=DF,连接EF,

与BC、AD分别相交于P、Q两点.

(1)求证：CP=AQ；

(2)若BP=1,PQ=2&,ZAEF=45°,求矩形ABCD的面积.

(1)证明：•.•四边形ABCD是矩形,

/.ZA=ZABC=ZC=ZADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB〃CD,AD〃BC,

.,.ZE=ZF,

VBE=DF,

/.AE=CF,

'/C=/A

在4CFP和AAEQ中，＜CF=AE，

,ZF=ZE

/.△CFP^AAEQ(ASA),

，CP=AQ；

(2)解：VAD^BC,

/.ZPBE=ZA=90o,

,/ZAEF=45°,

...△BEP、AAEQ是等腰直角三角形，

/.BE=BP=1,AQ=AE,

，PE=V^BP=&,

/.EQ=PE+PQ=V^2后3加,

，AQ=AE=3,

.*.AB=AE-BE=2,

VCP=AQ,AD=BC,

.,.DQ=BP=1,

:.AD=AQ+DQ=3+1=4,

二矩形ABCD的面积=AB・AD=2X4=8.

18.如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，4EBF是等腰

直角三角形，其中NEBF=90。，连接CE、CF.

(1)求证：△ABFgACBE；

(2)判断4CEF的形状，并说明理由.

AB

(1)证明：•.•四边形ABCD是正方形，

，AB=CB,ZABC=90°,

•..△EBF是等腰直角三角形，其中NEBF=90。,

；.BE=BF,

:.ZABC-ZCBF=ZEBF-ZCBF,

/.ZABF=ZCBE.

'ABXB

在AABF和4CBE中，有1/ABF=/CBE，

,BF=BE

.".△ABF^ACBE(SAS).

(2)解：4CEF是直角三角形.理由如下：

VAEBF是等腰直角三角形，

，NBFE=NFEB=45。，

.,.ZAFB=180°-ZBFE=135°,

XVAABF^ACBE,

.,.ZCEB=ZAFB=135°,

ZCEF=ZCEB-ZFEB=135°-45°=90°,

.•.△CEF是直角三角形.

19.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且NA=ND.

(1)求证：四边形ABCD为矩形；

(2)点E是AB边的中点，F为AD边上一点，Z1=2Z2,若CE=4,CF=5,

求DF的长.

(1)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形,

，AB〃CD,

ZA+ZD=180°,

又NA=ND,

/.ZA=ZD=90o,

.••平行四边形ABCD为矩形；

(2)解:延长DA,