解三角形与三角函数题型综合训练（典型例题+跟踪训练）【解答题抢分】2023年高考数学（新高考通用）解析版

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）

专题08解三角形与三角函数题型综合训练

一、梳理必备知识

1.正弦定理

，一=上一=^=2&.(其中及为A48C外接圆的半径)

sinAsinBsinC

=Q=27?sinJ,6=27?sin5,c=27?sinC;(边化角)

AC

=sin4=——，sinB二—,sinC=—;(角化边)

2R2R2R

2.余弦定理：

cosJ4-c2-a2

9

2hca2=b2+c2-2bccosA,

+c2-b2

5-Ossb2=a24-c2-2accos5,

lac

c2=a2+b2-labcosC.

a2+62-c2

2ab

3.三角形面积公式：

S*=；MinC=gbcsinA=；acsin8=j(a+b+c)r(r为三角形ABC的内切圆半径)

4.三角形内角和定理

有万一色=一^^。=乃一

在△ZBC中，N+8+C=;roC=(Z+8)020222(4+6).

5.二倍角的II三弦、余弦、正切公式

①sin2a=2sinacosa

②cos2a=cos2-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

1+cos2a=2cos%

升幕公式：v

1-cos2a=2sin2a

cos-2a=4(l+cos2a)

降易公式：■

sin2a-4(l-cos2。)

自_2tana

1-tana

6.

_____b

asinx±/)cosx=\ja2+b2sm(x±(p)，(其中tane=z)；

辅助角公式

1

求/(x)=Nsin®x+e)+8解析式

48求法Z+8=C

方法一：代数法<

,Drz7方法二：读图法8表示平衡位置；/表示

[-A+B=f(x)min

振幅

。求法

方法一：图中读出周期T,利用7==27r求解；

(1)

方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍

答案.

8求法方法一：将最高(低)点代入/(x)=/sin(s+0+8求解；

方法二：若无最高(低)点，可使用其他特殊点代入"x)=/sin3x+9)+8求解；

但需注意根据具体题意取舍答案.

7.三角形中线问题

如图在&48C中，。为C6的中点，2而=配+方，然后再两边平方，转A

化成数量关系求解！(常用)

8.角平分线

如图，在A48C中，Z0平分N8/C,角N,8,C所对的边分别为。，b,

①等面积法

~S^BD+SA140c

11A1A

—ABxACxsinA=—ABxADxsin—F—ACxADxsin—(常用)

22222

②内角平分线定理:

ABAC—ABBD

BD~DCAC~DC

③边与面积的比值：黯△ABD

“DC

9.基本不等式(最值问题优先用基本不等式)

①而学

(2)a2+Z)2>2ah

10.利用正弦定理化角(函数角度求值域问题)

利用正弦定理。=2&sinZ,b=2RsinB,代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角

的取值范围，求面积或者周长的最值。

【常用结论】

①在MBC中，Q>6=sin力>sin80力>8;

jr

②sin24=sin25,则4=B^A+B=3.

③在二%函数中，sin/>sin8=/>3不成立。但在二年形中，sin/>sinB=/>6成立

2

二、三角函数与解三角形题型综合训练

1.（2023春・福建莆田•莆田一中校考阶段练习）已知函数/（x）=/sin®x+e）/>0,。>0囿的部分图

象如图所示:

⑴求方程/（x）=2的解集:

71

(2)求函数g(x)=fX-------+的单调递增区间.

12

【答案】⑴卜+

,71.5兀，)

(2)kn--，攵兀+—，攵wZ

―1212

【分析】（1）观察图象可得周期。，根据点在函数图象上得%再根据点（0,1）在函数图象上得A,

求得解析式，进而求出解集;

(2)首先将g(x)化简为g(x)=2sin(2x-5,利用三角函数单调性可得答案.

5兀7TT)生=2,

【详解】（1）由图象可知，周期7=-------1--------7C,(O=

1212)兀

go）在函数图象上,,Zsin12x知+夕)=0,

•••点

sinl—+^91=0,

解得名+9=兀+2兀怎(p=2irk+—,keZ,

66

•・•阉芳，・•・吟

•.•点（0,1）在函数图象上，.•./sinF=l，4=2,

6

•••函数/（x）的解析式为/（x）=2sin俨+高,

3

由/(x)=2sin(2x+^J=2得sin(2x+£

=1,

6

2x+—=—+2kn,keZ,解得工=工+也,4cZ,

626

所以解集为卜1%=£+阮/£2卜

n

(2)g(x)=yx---fx+

12[^

由(1)知/(x)=2sin(2r+"

71兀

g(x)=2sin2+--2sin2x+—2sin2r-2sinI2x+

12

=2sin2x-2—sin2x+=sin2x-&os2x=2sin卜一\,

2

由一二+2欣K2x一4K二+2TI%,kGZ,^Ttk--<x<i[k-\--9

2321212

-小+看71的单调递增区间为痴吟，E+^入Z.

工函数g(x)=f

\Ia1J2141.4

2.(2023春•宁夏吴忠・青铜峡市高级中学校考阶段练习)函数/(x)=Nsin(s+e)(A,3,。为常数，且

/>0,o>0,I同)的部分图象如图所示.

⑴求函数〃X)的解析式及图中6的值：

⑵将/(X)的图象向左平移?个单位后得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在上的单调减区间.

6L

【答案】(l)/(x)=2sin(2x+g),1

6

⑵［归

4

【分析】(1)由函数的最值可求出4=2,由图可知===,再结合周期公式可求出3=2,

41234

然后再(If‘°)代入函数中可求出从而可求出函数解析式.

(2)由函数图象变换规律求出g(x)的解析式，再由2^42x4兀+2E可求出函数的减区间.

【详解】(1)由题意知，4=2,：3T=S=ir_(_Jrg)3=7rV，.•.7=兀,。=2臼7r=2,当》=5=TT时，

412347t12

所以6=/(0)=2sinT2T=l.

6

(2)g(x)=2sin[2(x+—)+-]=2cos2x,

66

由2%兀42工工兀+2A兀,kEZ9解得EKxK巴+E,keZ.

2

因此，函数g(x)在0,5的单调递减区间为og.

3.(2023春・湖北十堰•校联考阶段练习)已知函数/(x)=sinx-/COST.

⑴若xe„,且函数/(x)=g,求cos[g+x)的值；

(2)若将函数/(x)图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的;，再将所得图像向左平移：个单位长度,

得到g(x)的图像，求函数g(x)在上的最小值.

【答案】⑴一速

3

Q)g(X)min=T

【分析】(1)化简/(X)并结合题意可得sin(x_g)=；,结合X的范围可求得cos(xq)=半，然后利用

诱导公式可得cos停+x170S卜一升即可求解；

(2)先利用图象变换得到g(x)=2sin(2x+j,然后利用三角函数的性质即可求得最小值

【详解】(1)由题意可得/(x)=sinx-6cosx=2sin|2

3

5

85d+》)=为口信+矶—(刊7/13,‘普

(2)将函数/(x)图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的;，再将所得图像向左平移二个单位长

24

度，得到g(x),，g(x)=2sin21+：[=2sin(2x+3，

因为xw0。，所以2x+gw£，?，

_2J6|_66_

所以当2x+J=?时，即户弓时，g(x)min=2xf-lL-l

662v2/

4.(2023春・浙江宁波・余姚中学校考阶段练习)已知函数/(x)=sinxcosx-JJcos2x,将函数的图象向

左平移§个单位长度，可得到函数g(x)的图象.

⑴求函数g(x)的表达式及单调递增区间；

(2)当xepy时，++恒成立，求正数。的取值范围.

【答案】⑴g(x)=sin(2x+^1-^+kn,^-kJeZ).

I6；2[_36J1

⑵(0,6]

【分析】(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，然后平移变换得到函数g(x)的表达式，再利用

正弦函数的单调性得出结论即可；

(2)根据题意，将不等式进行等价转化为sin(2x-5+"w；,然后利用正弦函数的图象和性质列出不等

式求得再结合正切函数的图象和性质即可求解.

62

177

【详解】(1)由题意可知，/(x)=sinxcosx-V3cos2x=—sin2x-(cos2x+1)

116^J兀1G

=—sin2x----coszx----=sin2x--------

22213J2

g(*M/=血[2(得司浮sin(2丑目

由---F2kitK2xH—W—F2Zr7i,keZ

262

g(x)的单调递增区间为[-5+EJ+E](hZ),

36

所以函数g(x)的表达式为g(x)=sinf2x+F1-*，

6

jrIT

单调递增区间为++eZ）.

（2）不等式4/⑶+且⑺之―+,可化为asin（2x-W）+sin（2x+.）2—^^^

可化为asin(2x-g)+sinf2x-y^+y2,

可化为asin(2x-扑cos(2x一升

^■cos(9=-7==,sin0=-y==,由。>0,可得0<。<色,tan®=',

da'+lyja2+l2a

上面的不等式可化为sin(2x-]+q>1,

当xepy时，y<2x<y,0<2x--<-,(9<2x-y+(9<y+6i>

由o“<],有F<?+e<已若sinM-J+e]*恒成立，只需要6；可得上。笑,

2336k3)2%“5万62

----Fc/S-----,

136

又由。一唠有产。苫，可得tan”4ta吟，解得

由上知，实数“的取值范围为（0,6].

5.（2023春・安徽滁州•安徽省滁州中学校考阶段练习）已知a,b,。为△Z8C的内角4B,C所对的边,

且=a2+b2-ab

⑴求角C

（2）若sin8<sinC,b=4,。为BC的中点，而，求△48C的面积

【答案】（i）c=W；

（2）6y/3.

【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解；

（2）根据余弦定理可求CD值，进而可求a,根据三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）由题可得/+〃-02=外，

由余弦定理得cosC==1,

lab2

7

因为0<C<7t,

所以C=］；

(2)在三角形ADC中，AD2=AC2+CD2-2ACCDcosZACD,

即13=16+CO2-4C£)，

解得C£>=1或C£>=3,

即a=2或a=6,

因为sin8<sinC,所以由正弦定理可得b<c,故B<C,

因为c=W，

所以4>C>8,故a>c>b,

所以。=6,

所以8c=—tzAsinC=—x6x4x

7122与=66

6.(2023春・河北唐山・高三开滦第一中学校考阶段练习)在斜△NBC中，内角4B,C的对边分别是a,b,

c,sin24-26sin?/=-275,4。平分/8ZC交8c于点。，AD=\.

(1)求N的大小;

(2)若a=2指，求△/8C的面积.

【答案】⑴，=与;

⑵地.

4

【分析】(1)根据三角恒等变换结合条件可得tanZ=即得；

(2)由&，腐='')+j'8利用三角形的面积公式可得从=。+6,由余弦定理条件可求得从的值，再由三

角形的面积公式即可求解.

【详解】(1)Ssin2A-2^3sin2A=-2/3»2sincosA=-2>/3cos2A,

又A为斜^ABC的内角，cos/#0,

所以tan/=-y/3)

又0</<7T,所以4=与；

jr

(2)因为/。平分/A4c交8c于。，所以==

S

由S"BC=.BAD+S.CAD，可得;加sin牛=gc•4Qsin：+>•40sin,

8

所以历=c+b,

由余弦定理/=〃+c2-2bccosA，即20=(b+c)-be,

所以(历)2-儿一20=0,即(be—5)(历+4)=0,

可得%=5(负值舍去)，

所以S=—besinZBAC=^-bc=

244

7.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)数学试题)在春3C中，角4B,C

所对的边分别为a,b,c,l+sin24=(3tanB+2)cos24.

(1)若。=岁，求tan8的值；

4

(2)若/=8,c=2,求/8。的面积.

【答案】(l)tan8=g

喈

【分析】(1)根据三角恒等变换可得tan(4+：)=2tan8+2,结合条件可得关于tan8的方程，进而即得；

(2)根据条件可得tan4=正，进而可得a=b=2叵，然后根据三角形面积的公式即得.

33

【详解】(1)若。=学，则4+8=：,

44

因为l+sin24=(3tan8+2)cos2Z,cos24w0,

rs-.u1+sin2J(sinA+cos^)~sinA+cosAtan4+l，/兀1.c-

所以-------=------72-=------------=--------=tanAi--=3tan8+2,

cos2cosA-sinAcosA-sinA1-tanA\4J

所以tan—四］=3tan8+2n—i—=3tan8+2,

\2Jtan5

解得12!!8=；或_1,因为8e(0,：),

所以tan8=；；

(2)若A=B,由tan14+；〕=3tanB+2,可得=3tanZ+2,

V4>1-tan

0

整理可得tan?”=g，即tan4=d-

3

3

兀

所

-=以-

因为/=8£,所以tan4=36-

_C_2yf3

所以春5C是以C为顶角的等腰三角形，"=b亍，

zcos—

6

9

所以AABC的面积为S=—ahsinC=—x—=—.

223323

8.(2023•天津和平•统考一模)已知△48C的内角48,。的对边分别为。也c,且(bcosC+ccos8)taM=-豉.

(1)求A的大小：

(2)若a=币,b=1,

(i)求ABC的面积；

(ii)求cos(2C-4).

【答案】(1)，=3;

(2)(i)(ii)工

214

【分析】(1)利用正弦定理化边为角，结合两角和得正弦公式及三角形内角关系即可得出答案；

(2)利用余弦定理求得边。，根据三角形面积公式可得面积，再根据余弦定理可得cosC,再利用二倍角公

式及和差角公式即得.

【详解】(1)因为(bcosC+ccosB)tan<=

所以(sin8cosC+sinCcos8)tan/l=-6sin力,

即sin(5+C)tan4=-\/5sin4,

则sinAtanA=-6sinA，

因为4£(0,兀)，所以sinZwO,

所以tan4=-V3，

所以4号;

(2)(i)由余弦定理得Q?=/+c，2一纵,cos4,

即7=1+/+c,解得c=-3(舍去)或c=2,

所以“BC的面积为S=—fecsinJ=—xlx2x^-=^-；

2222

(ii)由上可得cosC=♦+〃一，’=上7=也,又。«0,兀)，

lab2V77

所以sinC=Jl-cos2c=,

7

所以sin2c=2sinCcosC=—,cos2C=cos?C-sin?C=：,

77

10

所以cos（2C-4）=cos2Ccos"+sin2csinA=

9.(2022•河北衡水•统考二模)在△/BC中，角/,B,C所对的边分到为a,b,c,已知

b2-2bccosA=a2-2accos5>c=2.

(1)证明：△/8C为等腰三角形；

(2)设△/BC的面积为S,若,S的值.在①7cosB=2cosC；②E•而=2S;@a2+b2=Sc2^.

个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解.

【答案】(1)证明见解析

(2)选①：s=岳;选②：S=\+y/2；选③：S=y/15

【分析】(1)由三角形的余弦定理，结合三角形的形状即可得证.

(2)分别选①②③，运用余弦定理、同角的基本关系和向量数量的定义、面积公式，可得所求值.

(1)

证明：因为〃-2bccos/=q2-2accos8

+c2-2bccosA-a2+c2-2accosB

由余弦定理可知，a2=b2,即。=人即ABC为等腰三角形.

(2)

解：由题意得：

选①：由(1)可知，A=B,所以C=%-28

所以7cos8=2cosC=2cos(〃-28)=-2cos25=2-4cos2B,

整理得：4cos28+7cos8-2=0,解得cos5=!，

4

77

所以cosC=—cos8=—,

28

所以sinC=>/l-cos2C=乂叵

8

又由COS8=L,可得"4,

a

所以S=—absinC=—x4x4x;

228

选②：因为E.诋=2S

所以42cosc=a?sinC,解得。，

4

11

所以4=2。2-24”得。2=4+2近，S=5条与(4+2今=14-X/~2；

2

选③：因为/+b2=8c，2,且。=6,c=2

所以a=b=4

。

2+6~216+16-47

故cosC=

2ab2x4x48'

因此sinC=Jl-cos?C=

8

=—absinC=—x4x4x^5"

228

10.(2022•全国•高三专题练习)在①sin4cosB+cosZsin8=@；②x=cosC是函数/(x)=2/+x-l的一个

2

零点；③已知函数〃x)=sin(；x+?),且〃C)=l.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以

解答:

已知A/8C的内角A,B,C所对的边分别是。，b,c,且NC为锐角.若,且c=2“cosB,

试判断A/8C的形状.

【答案】等边三角形

【分析】由c=2acos5,利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及两角和、差的正弦公式得到sin(Z-B)=0,

即可得到4=3,再根据所选条件求出C=2,再由三角形内角和定理计算可得；

【详解】解：因为。=2acosB,由正弦定理可得sinC=2sin4cos8,

即sin(4+8)=2sin4cos6,所以sin4cosB+cosZsin3=2sin4cos5,所以sin/cos8-cos/sinB=0,所

以sin(力-8)=0,因为A、8为三角形的内角，所以力一8=0,即4=3；

若选①sin/cos8+cos4sin5=乂^,则sin(4+6)=",BPsinC=—9因为/。为锐角，所以C=f,又

2v7223

7T

4=B,A+B+C=TT,所以4=8=C=§,故为等边三角形；

若选②x=cosC是函数/(x)=2x2+x-l的一个零点，令/(力=*+*-1=0,解得x=；或x=-l,因为/C为

锐角，所以cosC=g,所以C=(,又4=8,A+B+C=7r,所以/=8=C=g,故/8C为等边三角形；

若选③已知函数〃回=可”?)且/(C)=l,所以〃C)=sin(；C+。卜，所以

+£=，解得C=f+4%;r,4wZ，因为/C为锐角，所以C=g，又4=8,A+B+C=TT,

23233

12

所以N=8=C=；,故A/8C为等边三角形；

11.（2022・全国•高三专题练习）随着我国房地产行业迅速发展和人们生活水平的不断提高，大家对住宅区

的园林绿化设计提出了更高、更新的要求，设计制“人性化，生态化、自然化”的园林式居住区，以提高现代人

的生活质量，成为当今住宅区园林绿化的设计准则.某小区有一片绿化用地，如图所示，区域四周配植修剪

整齐的本土植物，中间区域合理配植有层次感的高、中、低植物，8。为鹅卵石健康步道，ADHBC,A=j,

AD=20m,AB=BC=\（>m.

（1）求鹅卵石健康步道8。的长（单位：m）；

（2）求绿化用地总面积（单位：nf）.

【答案】（1）4A历Im

⑵⑷鬲？

【分析】（1）在中利用余弦定理计算可得；

（2）在中，由面积公式计算邑,皿，由余弦定理求出cosN/8。，即可得到sin48。，再根据两角

差的正弦公式求出sin/CBD,即可求出右客,，即可得解；

【详解】（D解：在△“8。中由余弦定理可知

5£>2=/4£>2+z452-2^£>-cos=202+162-2x20x16x1=336,

BP50=4V21m.

（2）解：在△/即中，S=-/15/4£>-siny4=-xl6x20x—=8073m2.

**BD222

由余弦定理可得cosNABD=4B2+BD2TD2=叵,

2ABBD14

贝！JsinNABD=JT-CGS2NABD=-^—

14

因为AD//BC,4=£,所以NZ8C=也，在△BCD中，ZCBD=--ZABDf贝lj

333

13

.—•(2%”八1_615#_2#

sin^.CBD=sin---/ABD=—x——i-―x---=----,

(3)2142147

11.o

则Sz\8CD=5BC-8。•sinNC8。=；X16X4仿X=64611?

所以绿化用地总面积为S=806+64百=1446m2.

12.(2022・高三课时练习)如图，在圆内接四边形4BC。中，NS=120。，AB=2,AD=2五,"8C的面积

为G

⑴求/C;

(2)求//CD.

【答案】(1)273

(2)45°

【分析】(1)根据面积公式可得8c=2,再根据余弦定理求解可得NC=2道；

(2)根据内接四边形可得/。=60。，再根据正弦定理求解即可

【详解】(1)因为“8C的面积为百，所以g,4B.8CsinN5=VL

又因为Z8=120。，AB=2,所以8c=2.

由余弦定理得，AC2=AB2+BC-2ABBCCOSZ.B,

^C2=22+22-2X2X2COS120°=12,所以/。=2技

(2)因为ABCD为圆内接四边形，且Z8=120。，所以=60。.又4。=2五,由正弦定理可得，

———=-^—,故sinN4CZ)=""smN3=2VIsi;60°=立.因为,所以0。<48<60°,

sm/.ACDsinZ.DAC2V32

所以48=45。.

13.(2023・全国•高三专题练习)如图，在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知a=4,

c=58=30°

14

(1)求人的值；

⑵求sinC的值：

(3)若。为边BC上一点，且cosN4Z)C=-g,求8。的长.

【答案】⑴6=近

⑵答

612+指

()-8-

【分析】(1)由余弦定理即可求解.

(2)由正弦定理即可求解.

(3)作辅助线根据解直角三角形知识分别求出DO和BO即可.

【详解】(1)由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=7

•••b=41

过A作AOJ_BC于O,在RtZkABO中，AB=6，ZB=300,

/.AO=—,BO=~,在RtZ\/Z)O中，COS4OO=L

223

sinZADO=-----:.tanZ.ADO=2>/2

3

.也厂

,•DO=———=-^==—

tanZADO2c8

:.BD=BO+DO=-+—=l2+y^

288

14.(2022・高三课时练习)如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形/8CDE的观光步行道，BE为电

瓶车专用道，ABCD=ABAE=NCDE=120°,Z)E=11km,5C=CO=5km.

15

AE

CD

(1)求BE的长；

(2)若sinN/8E=也，求五边形N8C0E的周长.

14

【答案】(l)14km；

(2)37km.

【分析】(1)由题设易得50=5VLZB£>C=30°,再在直角△5Z必中应用勾股定理求BE的长；

28

(2)利用正弦定理求得力£=10小且”=国点11(60。-48助，结合差角正弦公式及同角平方关系求

即可求五边形ABCDE的周长.

【详解】(1)由Z8CD=120。，8c=8=5km,可得：BD=56,Z8OC=30。，

而NCDE=12Q。，故NBDE=90°,

在直角△BDE中=11km,则BE=^BD2+DE2=14km-

AEABBE28r,

(2)由")知：sinZABE=sin4EB=sinZBAE飞'3'E=l°km,

2Q2814

AB=-j=sinZAEB=-^sin(60°-ZABE)=14cosZABE-^inZ4BE,

由sinNABE=亚且ZABEe(0,60°),则cosZABE=匚，

1414

所以AB=6km.

所以五边形ABCDE的周长Z8+8C+CO+OE+ZE=37km.

15.(2023•全国•模拟预测)已知锐角三角形/8C的内角48,C的对边分别为a,6,c,且

(c-b)sinC=(acosC~b)sinS+acosBsinC.

⑴求角A；

(2)若"为"8C的垂心，a=2,求8c面积的最大值.

【答案】⑴。

(2)等

【分析】(1)根据两角和的正弦公式以及正弦定理边角化得儿=/+，-°2,由余弦定理即可求解,

16

(2)根据垂直关系可得=?，进而在△8HC中利用余弦定理，结合不等式即可求解最大值.

【详解】(1)由题可得，(c-b)sinC=acosCsinB-加in8+acos8sinC=asir(8-6sin8=asiM-6sim

结合正弦定理可得(c-b)c=a2-b2,^bc=b2+c2-a2,

.b2+c2-a21十/(n兀).”兀

••cosA/=-------------=—,又4e|0,二|,..A=—.

2bc2I2)3

(2)设边NC,Z8上的高分别为BE,C9则，为BE与C尸的交点，

则在四边形/我/花中，ZFAE+ZFHE+-+-=2n,

22

VZFAE=-,：.^FHE=—,故NBHC=±

333

22

在△8"C中，SBHC=-BH-HCsin—=—BH-HC,BH+HC-2BH-HCcos==4,

△BHC2343

4

则4=BH^+HC?+BH-HCN2BH-HC+BH-HC，即8〃.4§,

当且仅当BH=HC时取等号.J.S.BHC差，故A”8c面积的最大值为与.

16.（2022•安徽黄山•统考一模）如图，已知“5C外接圆的圆心。为坐标原点，且。在内

27r

部,4（1,0）,/5。。=彳.

17

(2)求力18C面积的最大值.

【答案】(1)1+近二交

4

(2)—

4

【分析】⑴由题可得外接圆半径，即|。同=|。/|=|。。=1,用向量加减法把荏写为而一次,展开代入长度和角

即可求出数量积；

(2)由圆心角，可求圆周角，即/历1C的值，由外接圆半径为1,根据正弦定理可求明根据余弦定理可求b,c之间

等式关系，根据基本不等式可求命的最大值，根据三角形面积公式,即可求出其最大值.

【详解】(1)解:由题知

故圆的半径为1,

所以|O8|=|O/|=|OC|=1,

所以=AO((JB-OA^=-OA-0B+1=1-1x1xcosZAOB=l-cos-^

,建](16■66),V6-V2

=1-cos—+—=1--x-------x——=1+----—

U4；(2222J4

(2)由(1)知，外接圆的半径为1,

因为N80C=与，所以=1

a_a

在AJBC中，由正弦定理可得:工sinZ.BAC,

Sm3

解得:a=百，

在^ABC中，由余弦定理可得：

cosNBAC=匕华寸=L化简可得:〃+=3+be,

2bc2

由基本不等式可知>2bc,^3+bc>2bc,

所以解得命43,当且仅当b=c=0时取等，所以治加=：心亩4"=立儿4地.

244

故“8C面积的最大值为迈.

4

17.(2023・高三课时练习)在A/IBC中，内角N,B,C所对的边分别为a,b,c、满足+c?=/-ac.

(1)求角5的大小；

⑵若6=2百，求"5C的面积的最大值.

18

［答案］⑴122。

(2)百

【分析】(D利用余弦定理求B即可；

(2)利用基本不等式得到"44,然后利用三角形面积公式求面积的最大值即可.

【详解】(1)因为a2+c2-b2=-ac，

由余弦定理得cos/8==」,又Be(O,力,所以4=120。.

2ac2

(2)因为b=2g\

22

由(1)^a+c=12-ac>2ac9当且仅当。=c=2时取等号，

所以acK4,

面积S-LesinB=^-ac<百

24

所以三角形面积的最大值为G.

18.(2023春•河北邢台•高三邢台市第二中学校考阶段练习)在四边形力8。中，4民C,。四点共圆，AB=5,

3

BC=3,cosZABC=——.

5

?77

(1)若sin/ACD=—^―，求AD的长；

(2)求四边形43co周长的最大值.

【答案】(1)病

(2)8+2765

3

【分析】(1)由四点共圆求出cosZADC=-cosZABC=『在“BC中，由余弦定理求出AC=2岳,在AXDC

中，由正弦定理求出49=病；

(2)在第一问的基础上，结合余弦定理和基本不等式得到+842病，从而得到周长的