菱形的判定 省赛一等奖

第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定第2课时

菱形的判定一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形平行四边形边对角线角菱形的定义菱形的性质菱形菱形的两条对角线互相平分菱形的两组对边平行菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分。

定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分，从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个两条对角线的长分别为4cm和6cm的菱形吗？OBDAC

过点O画两条互相垂直的线段AC，BD，使得OA=OC=3，OB=OD=2，

连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，菱形的判定定理1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形.分析:要证明□ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可.证明:∴AO=CO.∵AC⊥BD,∴BD是AC的垂直平分线∴BA=BC∵四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义）.DBCAO菱形的判别方法:定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ABCD∵四边形ABCD是平行四边形BD⊥AC∴四边形ABCD是菱形O先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？根据画图，你能得到还有什么方法能判定一个四边形是菱形吗？有四条边相等的四边形是菱形。ABCDO菱形的判定定理2:四条边都相等的四边形是菱形.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形..求证:四边形ABCD是菱形.∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.CBDA菱形的判别方法:定理2:四条边都相等的四边形是菱形.ABCDAB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形∵在四边形ABCD中,

他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？

如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？例2.如图ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=，OA=2，OB=1求证：□ABCD是菱形ABCDO∴□ABCD是菱形.∵AB=，OA=2,OB=1.证明：∴∴AC⊥BD∴△AOB为直角三角形∠AOB是直角在△AOB中菱形的判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形定理1:四条边都相等的四边形是菱形.定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.在四边形ABCD中,∵AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD.∴四边形ABCD是菱形.CBDADBCAO

练习.判断下列说法是否正确？为什么？(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．√

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1．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵DE＝BF，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴▱AECF是菱形．2．如图1－1－21，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠FAC＝120°.又∵AD平分∠FAC，∴∠DAC＝60°.同理可证：∠DCA＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝AC＝DC，∴AB＝BC＝AD＝DC，∴四边形ABCD是菱形．3.如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC，DF//AB,AE=5.（1）判断四边形AEDF的形状？（2）它的周长为多少？