复习材料三章

1不定积分与定积分2一、不定积分、定积分的定义任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量

若F(x)

是f(x)在区间I

内的一个原函数,则f(x)在区间I

内的全体原函数称为f(x)在区间I

内的不定积分,注：不定积分求出来最终是一个函数，一定要加常数C，而定积分(上下限为常数)是一个数（即变上下限除外）3说明：4被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和积分号定积分注：定积分求出来最终是一个数，由牛顿-莱布尼兹公式知这个数就是f(x)的原函数在区间[a,b]上的增量5几何意义：6二、定积分的性质（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1(为常数)

线性性质补充：不论的相对位置如何,上式总成立.性质2积分区间具有可加性7性质3性质4如果在区间上，则有推论1：推论2：8性质5估值定理例5

证明解令由得9性质6（定积分中值定理）(经常考)函数f(x)在[a,b]上的平均值

积分中值公式10证由闭区间上连续函数的介值定理知使即11解由积分中值定理知有使例设可导，且，求.12解由积分中值定理知有使例设在内连续，求.13变上限的定积分（很重要）微积分基本定理如果在上连续，函数在上具有导数，且它的导数是一般地14三、定积分的计算3、下面提到的不定积分方法全部适用于求定积分（原理：根据牛顿-莱布尼茨公式）1516微积分基本公式，又称牛顿—莱布尼茨公式证明17微积分基本公式表明：由此可知：求不定积分、定积分都可归结为求被积函数f(x)的原函数，故求不定积分的方法如凑微分法、第二换元法以及分部积分法同样适用于定积分

18不定积分与微分(导数)的关系(很重要)结论：求不定积分的运算与微分运算是互逆的.由此根据微分公式可得积分公式.19定积分/变上限函数与微分(导数)的关系(很重要)2021例22例求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.23不定积分基本积分表(同样适用定积分)(k

是常数);2425四、不定积分的计算(同样适用定积分)1)根据常用函数基本积分公式直接积分解例.

求积分例求积分解26例求积分解例解27定理12)第一类换元法(凑微分法)注意:282930解313233343536凑微分法常见类型:373）第二类换元法（同样适用于定积分）注意:38一般规律如下：不定积分中当被积函数中含有如下形式，首先要想到把根号去掉，可采用换元法可令可令可令39例4(1)解40例2

求解41说明

当分母的阶较高时,可采用倒代换例求令解42434)分部积分法（同样适用于定积分）当被积函数是不同类型，要想到利用分部积分法，具体如下4445465)有理函数不定积分法（同样适用于定积分）（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式（一定要最简）之和的一般规律：47特殊地：分解后为48真分式化为部分分式之和的待定系数法例149例求积分50516)三角函数有理式的不定积分令（万能置换公式）52例求积分解由万能置换公式5354曲边梯形的面积曲边梯形的面积五、定积分的几何应用平面图形的面积a.直角坐标系情形55解两曲线的交点选为积分变量56xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积xyo57解两曲线的交点选为积分变量58如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积b)用参数方程表示的曲边梯形的面积59解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例求星形线围成图形的面积.60面积元素曲边扇形的面积c)极坐标系情形61解利用对称性知62xyo旋转体的体积为a)绕x轴旋转所得旋转体体积2)求旋转体体积63解64b)绕

y轴旋转所得旋转体体积65x特殊:f(x)为直线绕y轴旋转另外一类型：6667解体积元素为683)平行截面面积为已知的立体的体积

如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积69解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积70解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积714)平面曲线的弧长

1、平面曲线弧长的概念72弧长元素弧长a)直角坐标情形4)平面曲线的弧长73解74曲线弧为弧长b)参数方程情形75解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长76曲线弧为弧长c)极坐标情形77解781.函数在区间上的平均值为几何平均值公式ò-=badxxfaby)(1791）无穷限的反常积分

当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.定义1

设函数

f(x)在区间

[a,+)上连续，取

b>a，如果极限存在，则称此极限为函数

f(x)在无穷区间

[a,+)上的广义积分，记作.六、广义积分（反常积分）80和

均收敛.收敛的充要条件是

和

中,至少有一个发散,则广义积分发散.

81例计算广义积分82例计算广义积分解类似地有83证84例计算广义积分解852）无界函数的反常积分定义2

设函数在区间上连续，而在点的右邻域内无界．取，如果极限存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作.

当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.86当极