理论力学课件

第二章拉格朗日运动方程

§2.1约束广义坐标§2.2达郎贝尔原理§2.3完整约束拉格朗日方程§2.4非完整约束的拉格朗日方程§2.5对称性和守恒定律§2.1约束广义坐标一、约束与分类1、约束：限制各质点自由运动的条件。2、分类(1)几何约束和运动约束(微分约束)几何约束:fi(r1,r2,

…rn

,t)=0运动约束:fi(r1,r2,

…rn

,v1,v2,

…vn

,t)=0(i=1,2,…k)式中k为约束个数,独立约束的个数≤3n。(2)稳定约束和非稳定约束稳定约束:

约束方程不显含t的约束。非稳定约束:

约束方程显含t的约束。例：稳定的几何约束：fi(r1,r2,

…rn)=0

稳定的运动约束:fi(r1,r2,

…rn,v1,v2,

…vn)=0(i=1,2,…k)(3)可解约束和不可解约束不可解约束：约束方程为等式。可解约束：约束方程可在一个方向偏离等式。例：不可解几何约束：fi(r1,r2,

…rn,t)=0

可解几何约束：fi(r1,r2,

…rn,t)≥0或≤0。(4)完整约束和非完整约束非完整约束:

有两种情况

(a)可解约束;(b)微分约束中若约束方程不能单独积分

(必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的同时才能积分).

完整约束:

除上述两种情况外的约束.

今后主要研究受完整约束的力学体系,即研究完整系的力学问题.例1：一球面摆，O点固定；OM为轻刚性杆，杆长为l

；M点系一质点，其质量为m。设O点为直角坐标原点，则质点M的约束方程为：x2+y2+

z2-

l2=0它是稳定、不可解、几何、完整约束。

若O点不固定，在x方向有一恒定速率c，t=0时O点处于坐标原点，则约束方程为:(x–ct)2+y2+

z2-

l2=0它是非稳定、不可解、几何、完整约束。OMl例1：一球面摆，O点固定；OM为轻刚性杆，杆长为l

；M点系一质点，其质量为m。

若OM为不可伸长的柔软绳，则约束方程为：O点固定：x2+y2+

z2-

l2≤0O点不固定：(x–ct)2+y2+

z2-

l2≤0它是可解约束。约束空间为以O为球心、l为半径的球体。OMl例2：线性三原子分子组成的体系只能在该连线上运动。体系在无外力作用。分析：体系的质心速度为常数，即约束方程为：

vC=C（微分约束）积分得：xC=Ct+xCo

x1m2m3m1x2x3§2.2达郎贝尔原理一、虚位移假想的、符合约束条件的、无限小的、即时的位置变更，δr.注意:(1)某一固定时刻,

即:dt=0.(2)与实位移dr

无关.理解:dr

=δr

+

vo

dt

当v→∞,dt→0,dr→δr.BB’B”Adrδrvvodt’vodt”voAOxyD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x1,y1)P1P2βαAOxyD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x1,y1)P1P2βα§2.3完整约束拉格朗日方程AOyxD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x1,y1)P1P2βα对于非理想约束的处理：

理想约束的条件是从实际约束的主要因素中抽象出来的，在理想约束不满足的情况下，可增加主动力和约束力而视为理想约束。具体处理方法是：

把非光滑约束中起限制作用的法向分量视为约束力，而将起限制作用的切向分量——摩擦力视为待求的主动力。例:轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝，以匀角速ω绕轴转动，一质量为m的小环，套在此金属丝上，并可沿着丝滑动。求小环在x方向的运动微分方程。已知抛物线方程为x2=4ay，式中a为常数。ωmgvrxxoy§2.4非完整约束的拉格朗日方程§2.4

非完整约束的拉格朗日方程mlθmlθ§2.5对称性和守恒定律§2.6

拉格朗日方程的应用

拉格朗日方程是运动微分方程的一种表述形式，其优点有：对约束的处理使方程数减少；表述形式统一；适用范围普遍；用标量能量函数描述运动易于处理;

处理方法可归纳为一种固定格式，易于掌握。第三章两体问题§3.1两体问题化为单粒子问题这样，两体问题分解为两个单粒子问题。§3.2有心力场中单粒子的运动运动方程运动定性讨论讨论粒子在吸引势U=-a/r3中的运动情况解：粒子的有效势能：Ueff=L2/2mr2-a/r3曲线渐近行为

r→∞，Ueff→0；

r→0，Ueff→-∞。(2)曲线零点：Ueff=0→r=ro=2ma/L2(3)曲线极值：dUeff/

dr=0→r=rm=3ma/L2(Ueff)max=L6/54m3a2-a/r3L2/2mr2OE(Ueff)maxrUeffrmror1r2§3.3与距离成反比的有心力场

吸引势：U(r)=-a/r有效势能：Ueff=L2/2mr2-a/rr→0，Ueff→+∞；

r→∞，Ueff→0。(2)曲线极值：dUeff/

dr=0→r=rm=L2/ma(Ueff)min=m

a2/2L2(3)曲线零点：Ueff=0→r=ro=L2/2ma-a/rL2/2mr2OE(Ueff)maxrUeffrmror1r2比耐公式——轨道方程比耐公式——轨道方程例：已知引力作用F(r)=-GMm/r2

ro

，求运行轨迹。解：比耐公式

h2u2(d2u/dθ2+u)=GM/r2=GMu2→

d2u/dθ2+u=μ/h2(μ=GM)轨迹方程:u=1/r=C1cosθ+C2sinθ+μ/h2

齐次解非齐次解取近日点(r极小值)的θ为零.r极小值条件:dr/dθ=0,d2r/dθ2>0.∵d(1/u)/dθ=-(1/u2)du/dθ│θ=0

=(1/u2)(C1sinθ-C2cosθ)│θ=0=0→C2=0∴r=(C1cosθ+μ/h2)-1=p/(1+ecosθ)r=p/(1+ecosθ)其中p=h2/μ(正焦弦长度一半),

e=C1h2/μ(偏心率)。这是一原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上。e<1椭圆

e=1抛物线

e>1双曲线抛物线双曲线椭圆补充作业:求e

与能量E

的关系，即证明：并讨论E

与圆锥曲线型的关系.§3.4有心力场中粒子运动轨道的稳定性轨道闭合与轨道稳定轨道稳定的含义:

由于初始条件的微小变化或势场本身的扰动，使粒子偏离原轨道ro变为r。若r始终保持在ro附近作小振动，则称此种轨道是稳定的；反之，若随着时间增加，r偏离ro越来越大，则称此种轨道是不稳定的。§3.4有心力场中粒子运动轨道的稳定性设粒子在势场U(Z)中的轨道为u=uo，轨道偏离：u=uo+

（为小量）§3.4有心力场中粒子运动轨道的稳定性若A=0，随(从而随t)线性增加；若A<0，随t线性增加。轨道不稳定若A>0，作简谐振动，轨道稳定。轨道稳定条件：讨论U=a/r，A=1>0，轨道稳定。U=-a/r3，

A=1–6ma/rL2=1-3rm/r

轨道稳定条件A>0变为

r

>3rm

(3)U=kr2，A=1+6mkr4/L2>0

轨道永远稳定条件。圆形轨道稳定性条件为：(Ueff=L2/2mr2+U)dUeff/dr=0，dUeff/dr>03dU/dr+d2U/dr2>0或-3F-dF/dr>0OAρφoψ§3.6粒子散射问题设有心力场的力心在O点，由于有心力场对力心是中心对称的，所以轨道对OA是轴对称的。设无穷远处质点速率为v∞，瞄准距离为ρ。OAρφoψ

散射要考虑一束速度相同的全同粒子群。假设粒子束在其截面内密度均匀，而各个粒子有不同的瞄准距离，相应有不同的散射角ψ。dρρ

假定n

为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角ψ到ψ+dψ内的粒子数为dN，则定义散射的有效截面为dσ=

dN/n，dN个粒子可能来自ρ(ψ)到ρ(ψ)+dρ(ψ)区间内的粒子。

假定n

为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角ψ到ψ+dψ内的粒子数为dN，则定义散射的有效截面为

dσ=

dN/n，dN个粒子可能来自ρ(ψ)到ρ(ψ)+dρ(ψ)区间内的粒子，即dN=2πnρdρ，所以

dσ=2πρdρ=2πρ│dρ/dψ│dψφ到φ+dφ对应的立体角为

dΩ=2πsinψdψ因而

dσ=(ρ/sinψ)│dρ/dψ│dΩdρρ试求粒子在半径为a的刚性上散射的有效截面φρψ例：卢瑟福公式的推导，即带电粒子在

U(r)=a/r场中散射的有效截面。第四章刚体§4.1刚体运动的自由度和广义坐标刚体运动的自由度:6刚体运动分类:平动定轴转动平面平行运动定点转动一般运动xyzy”NO§4.2刚体的角速度角位移为

n

位移为

r=n

r角速度定义：

ω

=

dn

/dtrrr+r

xyzy”NO§4.3刚体上任一点的线速度和加速度1、无平动的转动线位移:

dr=dn

r线速度:

v=

dr

/dt

=(dn/dt)

r

=ω

r加速度：a=

dv

/dt

=d(ω

r)/dt

=(dω/dt)

r+ω

(ω

r)任一常模矢量

A对时间的微商为:dA

/dt=

ω

A§4.3刚体上任一点的线速度和加速度2、平动+转动固定基点法(

C为刚体上固定基点)线速度:

v=vC

+ω

r加速度：a=aC

+(dω/dt)

r+ω

(ω

r)运算公式：A×B×C=B(A·C)–(A·B)

Cω×(ω×r

)=

ω(ω·r

)-ω2

r

a=aC

+(dω/dt)

r+ω(ω·r

)-ω2

r

对平面平行运动ω⊥r,

a=aC

+(dω/dt)

r-ω2

r

证明：刚体角速度与参考点无关。证:

以A’为参考点,角速度ω’

;

以A’’为参考点,角速度ω’’

。

vP=

vA’

+

ω’×A’P

=

vA’’

+

ω’’

×A’’P

∵vA’’=

vA’

+

ω’

×A’A’’

∴vA’

+ω’×A’P

=

vA’

+ω’×A’A’’

+ω’’

×A’’P

→

ω’

×(A’P

-A’A’’

)=ω’’×A’’P

→

ω’

×A’’P

=ω’’×A’’P

→

ω’

=ω’’

O参考原点A’’A’P(2)瞬时转轴法①平面平行运动已知刚体的角速度ω和刚体上某一点P的线速度vP，总可过P点作一条和vP垂直的直线PQ，并使Q点的位置满足条件：

vP=ω

rPQ取Q点为基点。基点Q的特点：

Q点是转动轴线和运动平面的交点，速度为零，Q点的位置不固定，所以Q点称为瞬时转动中心或瞬时转心。确定瞬时转心的方法(1)

刚体上瞬时速度为零的点必为瞬时转心；(2)已知刚体上A点和B点的速度方向，分别过A点和B点作vA和vB的垂线，其交点Q必为瞬时转心。②一般运动

也可用瞬时转轴法。如果在某一瞬时能在刚体上找到两个速度为零的点，则此两点的连线就是刚体的瞬时转轴。找到了瞬时转轴，刚体上任一点的速度就可直接用纯转动的公式。ABQvAvB例1：半径为R的轮子在直线轨道上无滑滚动，质心C的速度为常数vo求轮子边缘上任一点P的速度和加速度。解：1、固定基点法

OyoxoCQP

vovCvPω

rCPOyoxoCQP

vovCvPω

rCP2、瞬时转心法轮子和轨道接触点Q为瞬时转心，所以OyoxoCQP

vovCvPω

rCP例：半径为r的圆盘垂直于地面作纯滚动，圆盘中心C以速率vC=

1R沿着半径为R的圆周运动，求圆盘边缘上任一点P的速度。解：圆盘运动可视为绕点O的定点转动，OQ为其瞬时转动轴线。RQO

1

2C

Pijk

2

1

CO圆盘角速度用欧拉角来表示。§4.4刚体运动的动力学方程ABPO’O3、惯量主轴的求法利用惯量椭球方程惯量椭球有三条相互垂直的主轴，以此三主轴为坐标轴，则椭球方程中的交叉项统统为零，即惯量积为零。所以，惯量主轴即为惯量椭球的三条主轴，采用坐标转动变换来实现。(2)根据质量对称分布可以证明三条相互垂直的质量对称轴即为惯量主轴。h=axyzm1a/2m2m3oa§4.5刚体的平面平行运动动力学方程分别为：质心定理：F外

=mdvc/dt质心转动定律：M外C=IC

=ICd/dt刚体总能量：E=EK+EP

=mvC

2/2+ICω2/2+EP

角动量：LZ=IZ

垂直轴定理：IZ=IX+IY平行轴定理：IZ=IC+md2

例：均匀圆柱体沿固定斜面无滑动滚下，求圆柱体的加速度和约束反作用力。解：质心C：xC=R

，yC=0。体系广义坐标选为xC体系动能：AONmgxyF

y’C

AONmgxyF

y’C

例：半径为R的偏心圆盘在水平面上作平面平行运动，圆盘的质量为m，质心C离几何中心的距离为d，写出圆盘的运动方程。设圆盘只滚不滑。OCRr

dFNF§4.6欧拉动力学方程BωAPQO讨论：可解情况欧勒——潘索情况重力的合力通过定点(一般说重心或质心).因而对O点,外力矩为0,刚体作惯性转动，如回转仪，地球自转等情况。(2)拉格朗日——泊松情况对定点O的惯量椭球是旋转椭球(Ix=Iy≠Iz)，而刚体的重心在椭球的旋转轴上，如重力陀螺仪。(3)柯凡律夫斯卡雅情况对定点O的惯量椭球也是旋转椭球，而且有(Ix=Iy=2Iz)，刚体的重心在惯量椭球的赤道平面上。xyzoαω§4.8刚体的自由转动1、潘索的几何法：

取刚体的质心为定点O，取O点的惯量主轴为Oxyz的三个坐标轴，则惯量椭球方程为

Ixx2+Iyy2+Izz2=1

角动量L的方向和大小不变，取为Ox’轴方向。

在L

方向的投影

L是常数

L=

·L/L=2E/L(2)设

惯量椭球的交点为N，ON的长度为，则

rON=

/

，所以N点的坐标为

x=

x

/

，y=

y

/

，z=

z

/

。→2(Ix

x2+Iy

y2+Iz

z2)

/

2=1→22E/

2=1→=/(2E)1/2N(x,y,z)Q(x’,y’,z’)Oen求过点和惯量椭球相切的平面方程刚体自由转动的描述作刚体的中心惯量椭球，过质心O作角动量

L，并取一点O’，令OO’=(2E)1/2/L.

过O’点作一和L垂直的平面，这个平面就是上述的不变平面，它必与中心惯量椭球相切与N点，rON的方向即为角速度

的方向，也即瞬时转轴的方向。L

O’ON

刚体运动时，点位置将不断改变，但由于点在瞬时转轴上，它的瞬时速度必为零，因此中心惯量椭球(即刚体)只能在

平面上作纯滚动。2、欧拉法(对称陀螺Ix=Iy)(2)对称陀螺的欧拉角描述zoz

例：一回转仪Ix=Iy=2Iz依惯性绕重心转动并作规则进动(即恒速进动)。已知此回转仪的自转角速度为ω1，并知其转轴与进动轴间的夹角θ=60o，求进动角速度ω2。§4.9

拉格朗日陀螺

(定点转动,Ix=Iy,重心在对称轴上)OxyzXYZCmgθE’θ1θ2πUeffcab§4.10快速陀螺(回转仪)的近似理论§4.10刚体转动的稳定性1、刚体转动的稳定性是讨论在什么条件下刚体的角速度

不随时间变化。首要条件是外力矩为零；在外力矩为零时的欧拉动力学方程为：2、在满足稳定转动的条件下，若刚体受到小的冲量矩的干扰，使转动轴稍微偏离原来的转动轴(惯量主轴)，这种偏离是否不会变得越来越大。第五章非惯性参考系§5.1不同参考系之间速度和加速度的变换固定坐标——惯性系动坐标系——非惯性系动坐标系：

A=Ax

i

+

Ayj

+Az

k

固定坐标：

dA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k

动坐标

+

Axdi/dt

+Aydj

/dt

+Azdk

/dt

动相对固定动坐标系：A=Ax

i

+

Ayj

+Az

k

固定坐标：dA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k

+

Axdi/dt

+Aydj

/dt

+Azdk

/dt讨论(1)仅有转动(角速度ω相对固定坐标系）∵dr/dt=ω×

r

∴di

/dt

=ω×

i

,

dj

/dt

=ω×

j

,

dk

/dt

=ω×

k

.记δA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k则有:

dA/dt=δA

/δt+ω×A

转动参考系算符变换：d/dt=δ/δt+ω×

例:质点的位置矢量r

，求v

，a

。解：v=dr/dt=δr/δt+ω×r=v相+v牵

a=d2r/dt2=d(δr/δt+ω×r)/dt=δ(δr/δt+ω×r)/δt+ω×(δr/δt+ω×r)

=δ2r/δt2+δ(ω×r)/δt+ω×(δr/δt)+

ω×(ω×r

)=δ2r/δt2+(δω/δt)×r+ω×(ω×r

)

+

2ω×(δr/δt)=a相+a牵+a科

a相=δ2r/δt2a牵=(δω/δt)×r+ω×(ω×r

)a科=2ω×(δr/δt)dA/dt=δA/δt+ω×A

运算公式：A×B×C=B(A·C)–(A·B)

Cω×(ω×r

)=

ω(ω·r

)-ω2

r

=ω2

(OB-OP)=-ω2

R对于角速度ω，角加速度为β

β

=dω/dt=δω/δt+ω×ω

=δω/δt说明角加速度与坐标系无关。RrωBPO例：一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速ω绕O转动。P点以匀相对速度沿AB边运动，当三角形转一周时，P点走过AB，如AB=b，试求P点在A时的绝对速度与绝对加速度。PAByzxOω(2)平动+转动固定坐标系中位矢rI

与动坐标系r

之间关系:

rI

=

R

+

rd2rI/dt2=d2R/dt2+

d2r/dt2=d2R/dt2+

δ2r/δt2+(δω/δt)×r

+ω×(ω×r

)+2ω×(δr/δt)或a=a平

+a相+β×r-ω2

R+2ω×v相若等角加速度转动β=0，无平动加速度a平

=0，则：a=a’-ω2

R+2ω×v’§5.2非惯性系中的动力学方程惯性力惯性系中：md2rI

/dt2=F非惯性系：m

2r/

t2=F

-m[d2R/dt2+β

r+ω

(ω

r)+2ω

v’]=Feff

1、平移力

-md2R/dt2←动系平动加速2、方位力

-mβ

r←动系转动加速3、惯性离心力

-m[ω

(ω

r

)←动系相对固定系转动4、科里奥利力

-2mω

v’

←质点相对动系运动例：在光滑水平直管中有一质量为m的小球。此管以匀角速ω绕通过其一端的竖直轴转动。开始时，球距转动轴的距离为a,球相对管的速率为零，而的总长为2a。oxyzmgNzNyFcmω2xvvzvxω求：(1)球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；

(2)球从开始运动到离开管口时所需时间。(1)球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；(2)球从开始运动到离开管口时所需时间可证明，引入非惯性力

，质点动量定理、角动量定理和动能定理的形式都保持不变。例：角动量定理：

L’/

t=

(r’

mv’)

/

t=

(r’)/

tmv’+r’

mv’/

t=r’

(F+F惯性)动能定理:∵mv’/

t=

F+F惯性→

mv’

·

r/

t=(F+F惯性)·

r→mv’

·

v’=(F+F惯性)·

r→(mv’2/2)=(F+F惯性)·

r即:

T=(F+F惯性)·

r拉格朗日方程导出惯性力§5.3拉格朗日函数的不确定性

非惯性系中的拉格朗日函数1、若两个拉格朗日函数L1和L2只相差一函数f(q,t)的全微商df/dt，则L1和L2是等价的。证明：设L2=L1+df(q,t)/dt，只要证明由L1和L2所得出的运动方程相同即可。考虑体系只有一个广义坐标。2、非惯性系中的拉格朗日函数

设有三个参考系：S为惯性系，S1为相对S以vo(t)作平动，S’与S1有共同原点，但相对S1以

o(t)转动。设粒子在S系速度为v，在S1系速度为v1，则v=v1+vo(t)，所以S系中单粒子的拉格朗日函数为：例：在非惯性系中由拉格朗日方程导出单粒子的牛顿运动方程。解：第六章多自由度体系的微振动§6.1振动的分类和线性振动的概念按能量分类自由振动、阻尼振动、强迫振动(2)按自由度或(非)线性分类线性振动非线性振动单自由度ⅠⅣ有限多自由度ⅡⅤ无限多自由度ⅢⅥ(3)按平衡位置分类稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡稳定平衡：如果在某一位置，保守体系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳定平衡位置。（勒襄·狄里赫里定理）不稳定平衡：如果势能在平衡位置取极大值，则是不稳定平衡。随遇平衡：如果势能是常数，则是随遇平衡。mgmglly1y2kθ1θ2kKKmm§6.2两个自由度保守体

系的谐振子系统§6.3多自由度保守体系的谐振子系统mgmglly1y2kθ1θ2§6.4简正坐标和简正振动§6.5寻找简正坐标的一般方法§6.6一维晶格的纵振动(声子模型)一维晶格(假设循环边界条件:

un=uN+n)第n个原子，位移为

un左边作用：K(un-un-1)右边作