江苏省南京鼓楼区2022年中考数学四模试卷含解析及点睛

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）

2.如图，有5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）

5.春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行

消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍lOmin,然后打开门窗进行通风，室

内每立方米空气中含药量y（〃2g/根3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满

足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（）

A.经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10/〃g/加③

B.室内空气中的含药量不低于即咫/m'的持续时间达到了11min

C.当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有

效

D.当室内空气中的含药量低于2加g//，时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2〃吆/加3开始，需

经过59min后，学生才能进入室内

6.一、单选题

如图中的小正方形边长都相等，若AMNPWAMEQ,则点。可能是图中的（）

B.点BC.点C点0

7.下列图形中，可以看作中心对称图形的是（

8.己知"?=1+，〃=1—，贝！J代数式+/-3加〃的值为

A.±3B.3C.5D.9

9.已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，则此多边形的边数为（）

A.6B.7C.8D.9

10.已知二次函数y=o?+fex+c的图象与X轴交于点（-2,0）、（玉,0）,且1<%<2,与y轴的正半轴的交点在（0,2）

的下方.下列结论：①4a—力+c=O；@a-b+c<Ot③2a+c>0；®2a-b+l>Q.其中正确结论的个数是（）

个.

A.4个B.3个C.2个D.1个

11.某市2017年实现生产总值达280亿的目标，用科学记数法表示“280亿”为（）

A.28x109B.2.8x108C.2.8x109D.2.8x10'0

12.如图，直线小心表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选

A.1处B.2处C.3处D.4处

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D,GA=5cm,GC=4cm,GB=3cm,将AADG绕点D旋转

180。得到ABDE,△ABC的面积=cm1.

3

14.若代数式一^有意义，则x的取值范围是

x-3

15.一个正多边形的每个内角等于150°，则它的边数是一.

16.如图，在RtAAOB中，ZAOB=90°,OA=2,OB=1,将RtAAOB绕点O顺时针旋转90。后得到RtAFOE,将

线段EF绕点E逆时针旋转90。后得到线段ED,分别以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,

17.已知，如图，正方形ABCD的边长是8,M在DC上，且DM=2,N是AC边上的一动点，则DN+MN的最小

值是.

18.△A8C的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=▲

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在

窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品.按约定，“小李

同学在该天早餐得到两个油饼”是事件；（可能，必然，不可能）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早

餐刚好得到猪肉包和油饼的概率.

20.（6分）如图，已知一次函数%=丘-2的图象与反比例函数％=一（x>0）的图象交于A点，与x轴、丁轴交于

X

C,。两点，过A作AB垂直于X轴于B点.已知AB=1,BC=2.

（1）求一次函数弘=丘-2和反比例函数%=—（》>0）的表达式；

21.（6分）如图，在△ABC中，30平分/ABC,AE_LBZ）于点O,交BC于点E,AD//BC,连接C£>.

（1）求证：AO^EOt

（2）若AE是△ABC的中线，则四边形AEC。是什么特殊四边形？证明你的结论.

22.（8分）如图，AE//FD,AE=FD,B、C在直线EF上，且BE=CF,

(1)求证：AABEgZkDCF；

（2）试证明：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形.

AB

23.（8分）已知关于x的方程W+（lk-1）x+k-l=O有两个实数根xi,xi.求实数k的取值范围；若xi,xi满足

xi'+xil=16+xixi,求实数k的值.

24.（10分）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品.某公司经销一种空气净化器，每

台净化器的成本价为200元.经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y=-2x+l.

（1）该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式；

（2）若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？

（3）公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？

25.（10分）问题提出

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD,E为CD的中点，贝IJ/AEBZACB（填

问题探究

（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，NAPB最大？并说明理由；

问题解决

（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面

的距离BD=11.6米.如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效

果」最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离.

DPC.

DE

图②图③

26.（12分）已知A3是。。上一点，OC=4,NQ4c=60。.如图①，过点C作。。的切线，与84的延长线交于

点P,求NP的大小及Q4的长;

P为A8上一点，CP延长线与。。交于点

Q,若AQ=C0,求NAPC的大小及Q4的长.

27.（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线二=：二：-二+2与二轴交于点A,顶点为点B,点C与点A关于抛物

线的对称轴对称.

6

5

3

2

23453r

（1）求直线BC的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为L将抛物线在点A,D之间的部分（包含点A,D）记为图象G,若图象

G向下平移二（二＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求二的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项错误；

B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大，故本选项错误；

C、根据函数的图象可知，当xVO时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大,

故本选项错误；

D、根据函数的图象可知，当xVO时，y随x的增大而减小；故本选项正确.

故选D.

【点睛】

本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.

2、C

【解析】

试题解析：左视图如图所示：

故选C.

3、D

【解析】

根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确.

故选D.

4、D

【解析】

试题分析：由等腰三角形的两边长分别是5和6,可以分情况讨论其边长为5,5,6或者5,6,6,均满足三角形两边

之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，所以此等腰三角形的周长为5+5+6=16或5+6+6=17.

故选项D正确.

考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想

5、C

【解析】

利用图中信息一一判断即可.

【详解】

解:A、正确.不符合题意.

B、由题意x=4时，y=8,.•.室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了Umin,正确，不符合题意；

C、y=5时，x=2.5或24,24-2.5=21.5<35,故本选项错误，符合题意；

D、正确.不符合题意，

故选C.

【点睛】

本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型.

6、D

【解析】

根据全等三角形的性质和已知图形得出即可.

【详解】

解：,:AMNP与4MEQ,

.••点。应是图中的。点，如图，

AD

4C

/

个1

V\

P

故选：D.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等,

对应边相等.

7、B

【解析】

根据中心对称图形的概念求解.

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项错误;

B、是中心对称图形，故此选项正确；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

8、B

【解析】

由已知可得：m+n=2,mn=(\+y/2)(l-y/2)=-\,+/_3加〃=Q(m+〃)？一5rtm.

【详解】

由己知可得：m+n=2,mn=(1+\/2)(1-y/2)=-1>

原式=1(m+ny-5mn=百-5x(-1)=内=3

故选：B

【点睛】

考核知识点：二次根式运算.配方是关键.

9、A

【解析】

试题分析：根据多边形的外角和是310。，即可求得多边形的内角的度数为720。，依据多边形的内角和公式列方程即可

得(n-2)180°=720°,解得：n=l.

故选A.

考点：多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理

10、B

【解析】

分析：根据已知画出图象，把x=-2代入得：4a-2b+c=0,把x=T代入得：y=a-b+c>Q,根据西-x2='<一2,不等式

a

的两边都乘以a(a<0)得：c>-2a,由4a-2b+c=0得2。—。—2，而0<c<2,得到—1<一.<0即可求出2a-h+l>0.

22

详解：根据二次函数y=a=2+Z»x+c的图象与x轴交于点(-2,0)、(xi,0),且与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方，

把x=T代入得：y=a-b+c>0,如图4点，.,.②错误;

V(-2,0).(xi,O),.a1<X1,

；・取符合条件l<xi<2的任何一个孙-2・xi<-2,

...由一元二次方程根与系数的关系知x,-x=-<-2,

2a

・•・不等式的两边都乘以。(。<0)得：c>-2a9

/.2〃+c>0,③正确；

④由4〃-26+c=0得2a—〃=—£,

2

而0vc<2,：•—1<<0

2

1<2«-6<0

:.2。一5+1>0，

...④正确.

所以①③④三项正确.

故选B.

点睛：属于二次函数综合题，考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点,

属于常考题型.

11、D

【解析】

根据科学计数法的定义来表示数字，选出正确答案.

【详解】

解：把一个数表示成a(l<a<10,n为整数)与1()的塞相乘的形式，这种记数法叫做科学记数法，280亿用科学计数

法表示为2.8x101。，所以答案选D.

【点睛】

本题考查学生对科学计数法的概念的掌握和将数字用科学计数法表示的能力.

12、D

【解析】

到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点.把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角

形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求.

【详解】

满足条件的有：

(1)三角形两个内角平分线的交点，共一处；

(2)三个外角两两平分线的交点，共三处.

如图所示,

h

故选D.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，

很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、18

【解析】

三角形的重心是三条中线的交点，根据中线的性质，SAACD=SABCD；再利用勾股定理逆定理证明BGJ_CE,从而得出

△BCD的高，可求△BCD的面积.

【详解】

•.•点G是AA8C的重心，

:.DE=GD=、GC=2,CD=3GD=6,

2

■:GB=3,EG=GC=4,BE=GA=5,

,BG2+GE2=BE2,即BGLCE,

••,CO为△ABC的中线，

•C—c

••^^ACD一°&BCD，

19

***SJBC=SJCD+S&BCD=2s力8=2x5xBGxCD=1Scm,

故答案为：18.

【点睛】

考查三角形重心的性质，中线的性质，旋转的性质，勾股定理逆定理等，综合性比较强，对学生要求较高.

14、x/3

【解析】

3..

由代数式一有意义，得

x-3

x-3工0,

解得xw3,

故答案为:X#3.

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念:分式无意义：分母为零;分式有意义：分母不为零;

分式值为零：分子为零且分母不为零.

15、十二

【解析】

首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360。除以外角度数即可.

【详解】

•.•一个正多边形的每个内角为150。，

,它的外角为30。，

360°4-30°=12,

故答案为十二.

【点睛】

此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角.

【解析】

作DH±AE于H,根据勾股定理求出AB,根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形

DEF的面积，利用扇形面积公式计算即可.

【详解】

作DH_LAE于H,

22

NAOB=90",OA=2,OB=1,..AB=yjoA+OB=石，

由旋转的性质可知

OE=OB=1,DE=EF=AB=石,

可得△DHE^ABOA,

I)H=OB=1,

阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积

」x3xl+Llx2+gL3=R

223603604

10—万

故答案:

4

【点睛】

本题主要考查扇形的计算公式,正确表示出阴影部分的面积是计算的关键.

17、1

【解析】

分析：要求DN+MN的最小值,DN,MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN,MN的值，从而找出其最小值

求解.

解：如图，连接BM,

•••点B和点D关于直线AC对称，.，.NB=ND,则BM就是DN+MN的最小值，•正方形ABCD的边长是8,DM=2,

/.CM=6,；.BM=必+配=1,DN+MN的最小值是1.

故答案为L

点评：考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.

75

18、

5

【解析】

在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解.

贝！JAD=^AB2+BD2=V22+i2=V5，

BD1J5

贝n!ljsinA=---=—j==——.

AD455

故答案是：见.

5

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)不可能事件；(2)

6

【解析】

试题分析：(1)根据随机事件的概念即可得“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；(2)根据题意画出树

状图，再由概率公式求解即可.

试题解析：(1)小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；

(2)树状图法

21

即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为一=

126

考点：列表法与树状图法.

20、(1)y=g(x>0)；⑵O<x(6,y〈％；x=6,y=

【解析】

(1)由一次函数的解析式可得出D点坐标，从而得出OD长度，再由AODC与ABAC相似及AB与BC的长度得出

C、B、A的坐标，进而算出一次函数与反比例函数的解析式；

(2)以A点为分界点，直接观察函数图象的高低即可知道答案.

【详解】

解：(1)对于一次函数y=kx-2,令x=O,则y=-2,即D(0,-2),

.,.OD=2,

VAB±x轴于B,

.ABOD

••=«

BCOC

VAB=1,BC=2,

.*.OC=4,OB=6,

AC(4,0),A(6,1)

将C点坐标代入y=kx-2得4k-2=0,

・/

••K一,

2

...一次函数解析式为y=；x-2；

将A点坐标代入反比例函数解析式得m=6,

二反比例函数解析式为y=-;

x

(2)由函数图象可知：

当0VxV6时，yi<y«

当x=6时，yi=yn

当x>6时，yi>yz；

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.熟悉函数图象上点的坐标特征和待定系数法解函数解析式的方法是解

答本题的关键，同时注意对数形结合思想的认识和掌握.

21、(1)详见解析；(2)平行四边形.

【解析】

(1)由“三线合一”定理即可得到结论；

(2)由AD〃BC,BD平分NABC,得至！JNADB=NABD,由等腰三角形的判定得到AD=AB,根据垂直平分线的性

质有AB=BE,于是AD=BE,进而得到AD=EC,根据平行四边形的判定即可得到结论.

【详解】

证明：(1)YBD平分/ABC,AEJLBD,

.*.AO=EO；

(2)平行四边形，

证明：VAD/7BC,

:.ZADB=ZABD,

/.AD=AB,

VOA=OE,OB_LAE,

，AB=BE,

.*.AD=BE,

VBE=CE,

.,.AD=EC,

四边形AECD是平行四边形.

【点睛】

考查等腰直角三角形的性质以及平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

22、(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】

(D根据平行线性质求出NB=NC,等量相减求出8£=CF,根据SAS推出两三角形全等即可;

(2)借助(1)中结论△可证出AE平行且等于。尸，即可证出结论.

证明：(1)如图，•.•A8〃C。，

'：BF=CE

：.BE=CF

•.•在AABE与AOCF中，

'AB=CD

<NB=/C，

BE=CF

.,.△ABE^ADCF(SAS)；

(2)如图，连接ARDE.

由（1）知，4ABE^4DCF,

：.AE=DF,NAEB=NDFC,

：.ZAEF=ZDFE,

J.AE//DF,

.•.以A、尸、D.E为顶点的四边形是平行四边形.

5

23、(2)k<-;(2)-2.

4

【解析】

试题分析：(2)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出A=-4k+5K),解之即可得出实数k的取值范围；(2)由

根与系数的关系可得X2+X2=2-2k、X2X2=k2-2,将其代入X2?+X22=(X2+X2)2-2X2X2=26+X2X2中，解之即可得出k的

值.

试题解析：(2)•.,关于X的方程x2+(2k-2)X+k2-2=0有两个实数根X2,X2,

；.△=(2k-2)2-4(k2-2)=-4k+5>0,解得：k<-,

4

•••实数k的取值范围为K*.

4

(2),关于x的方程x2+(2k-2)x+k2-2=0有两个实数根X2,X2,

.*.X2+X2=2-2k,X2X2=k2-2.VX22+X22=(X2+X2)2-2X2X2=26+X2X2,

(2-2k)2-2x(k2-2)=26+(k2-2),即k2-4k-22=0,

解得：1<=-2或1<=6(不符合题意，舍去)....实数k的值为-2.

考点：一元二次方程根与系数的关系,根的判别式.

24、(1)w=(x-200)y=(x-200)(-2x+l)=-2x2+1400x-200000；(2)w=-2x2+1400x-200000=40000,解

得：x=300或x=400,故要使每月的利润为40000元，销售单价应定为300或400元；(3)y=-2，+1400x-200000=

-2(x-350)2+45000,当x=250时尸-2x2502+1400x250-200000=25000；故最高利润为45000元，最低利润为25000

元.

【解析】

试题分析：(1)根据销售利润=每天的销售量x(销售单价-成本价)，即可列出函数关系式；

(2)令y=40000代入解析式，求出满足条件的x的值即可；

(3)根据(1)得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值.

试题解析：

(1)由题意得：w=(x-200)y=(x-200)(-2x+l)=-2x2+1400x-200000；

(2)令w=-2x2+1400x-200000=40000,

解得：x=300或x=400,

故要使每月的利润为40000元，销售单价应定为300或400元；

(3)y=-2x2+1400x-200000=-2(x-350)2+45000,

当x=250时y=-2x2502+1400x250-200000=25000；

故最高利润为45000元，最低利润为25000元.

25、(1)>；(2)当点P位于CD的中点时，NAPB最大，理由见解析；(3)4M米.

【解析】

(1)过点后作£尸，48于点F,由矩形的性质和等腰三角形的判定得到：AAEF是等腰直角三角形，易证NAE8=90。,

而NAC5V90。，由此可以比较N4E8与NAC8的大小

(2)假设尸为的中点，作AAP3的外接圆O。，则此时Q9切。。于尸，在C£>上取任意异于尸点的点E,连接

AE,与。。交于点尸，连接BE、BF；由NA尸B是△EFB的外角，^ZAFB>ZAEB,且NA尸8与NAP5均为。O

中弧AB所对的角，则NAEB=NAP8,即可判断N4P8与NAE8的大小关系，即可得点P位于何处时，NAP8最大;

(3)过点£作CE〃。品交AO于点C,作A8的垂直平分线，垂足为点Q,并在垂直平分线上取点。，使。4=CQ,

以点。为圆心，08为半径作圆，则。。切CE于点G,连接0G,并延长交OF于点P,连接04,再利用勾股定理

以及长度关系即可得解.

【详解】

解：(1)ZAEB>ZACB,理由如下：

如图1,过点E作EF_LAB于点F,

,在矩形ABCD中，AB=2AD,E为CD中点，

四边形ADEF是正方形，

:.ZAEF=45°,

同理，NBEF=45°,

二ZAEB=90°.

而在直角△ABC中，NABC=90。，

:.ZACB<90°,

.,.ZAEB>ZACB.

故答案为：>;

(2)当点P位于CD的中点时，NAPB最大，理由如下：

假设P为CD的中点，如图2,作AAPB的外接圆。0,则此时CD切。O于点P,

图2

在CD上取任意异于P点的点E,连接AE,与。O交于点F,连接BE,BF,

VZAFB是&EFB的外角，

/.ZAFB>ZAEB,

VZAFB=ZAPB,

...NAPB>NAEB,

故点P位于CD的中点时，NAPB最大：

(3)如图3,过点E作CE〃DF交AD于点C,作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q,并在垂直平分线上取点O,

使OA=CQ,

A/~'''X

以点O为圆心，OA长为半径作圆，则。O切CE于点G,连接OG,并延长交DF于点P,此时点P即为小刚所站的

位置，

由题意知DP=OQ=、Jo人2-AQ2,

VOA=CQ=BD+QB-CD=BD+^AB-CD,

BD=U.6米，*AB=3米，CD=EF=1.6米，

.,.OA=lL6+3-1.6=13米，

DP=22

,713-3=4VT5米，

即小刚与大楼AD之间的距离为4s方米时看广告牌效果最好.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，

勾股定理等知识，难度较大，熟练掌握各知识点并正确作出辅助圆是解答本题的关键.

26、（I）NP=30。，PA=4；（II）ZAPC=45°,PA=2+2y[3

【解析】

（I）易得AOAC是等边三角形即NAOC=60。，又由PC是。O的切线故PC_LOC,即NOCP=90。可得NP的度数，

由oc=4可得PA的长度

（H）由（I）知AOAC是等边三角形，易得NAPC=45。；过点C作CD_LAB于点D,易得AD=1AO=，CO,在

22

RtADOC中易得CD的长，即可求解

【详解】

解：（I）TAB是。O的直径，.'OA是。O的半径.

VZOAC=60°,OA=OC,.,.△OAC是等边三角形.

二ZAOC=60°.

；PC是。O的切线，OC为。O的半径，

.••PC±OC,即NOCP=90°；.NP=3