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文档简介

立体几何单元测试卷

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)

1.设勿2,几是两条不同的直线,a,4是两个不同的平面,则下列四个命题:

①若a〃夕,MUQ,则相〃夕;②若/n〃a,则相〃〃;③若,m〃a,则机_1_彼;

④若加J_a,机〃4,则a_LQ.

其中为真命题的是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

2.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为兀,则球的体积为()

A.yB.当5C.86兀D.苧

3.某个长方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积

为(

卜&|-厉|

1正视图侧视图

J2♦

俯视图

A.4B.2^2C.yD.8

4.如图所示,正四棱锥P—A8CD的底面积为3,体积为乎,E为侧棱PC的中点,则

PA与8E所成的角为()

A.TB;C.1D,2

5.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于

A.)非B.邛C.工石

22丫万4

6.如图所示是一个直径等于4的半球,现过半球底面的中心作一个与底面成80。角的截

面,则截面的面积为()

A,2B.7iC.2nD.nsin80°

7.设/,山是两条不同的直线,a是一个平面,则下列命题正确的是

人.若/nua,则/_LaB.若/J_a,1〃m,则"z_La

C.若Illa,mua,贝lj力1必D.若/Ila,mila,则l\\m

8.二面角的棱上有4、B两点,直线AC、8。分别在这个二面角的两个半平面内,且

都垂直于A8.已知AB=4,AC=6,80=8,CD=2y[n,则该二面角的大小为()

A.150°B.45°C.60°D.120°

9.如图所示,已知AABC为直角三角形,其中NACB=90。,M为AB的中点,PM垂

直于aABC所在平面,那么()

A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCc

C.PA=PB=PCD.PA#PB#PC

10.正方体ABCO-AliGG中,E是棱中点,G是中点,F是BC上一点且

FB=±BC,则GB与EF所成的角为()

A.30°B.120°C.60°D.90°

11.已知正方体488—4|5©。|棱长为1,点。在线段8。|上,当/4PC最大时,三

棱锥P-ABC的体积为()

A-24B18C9D12

12.已知正三棱锥P—ABC的高尸。为〃,点£>为侧棱PC的中点,PO与8D所成角的

余弦值为坐,则正三棱锥P-ABC的体积为()

A.^/i3C.93D.手始

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)

13.已知A、B、C、。为空间四个点,且A、B、C、。不共面,则直线A8与C£>的位

置关系是.

14.在空间四边形ABC。的边AB、BC、CD、D4上分别取点E、尸、G、H,如果EH、

FG相交于一点M,那么M一定在直线_______上.

15.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为I0ji,则11=

第15题图

16.判断下列命题的正确性,并把所有正确命题的序号都填在横线上________

①若直线a〃直线66u平面a,则直线a〃平面a

②在正方体内任意画一条线段/,则该正方体的一个面上总存在直线与线段/垂直

③若平面少1■平面a,平面y_La,则平面“〃平面y

④若直线a,平面a,直线方〃平面a,则直线方_L直线a

三、解答题(本大题共6小题,共70分

17已知正方体43CD—A/ICQI的棱长为a,M、N分别为A山和AC上的点,A,M=

AN=^a,如图.

(1)求证:MN〃面BBiCiC;

⑵求MV的长.

18.体小题满分10分)如图所示,在四棱锥P—ABC。中,底面ABCD为平行四边形,

NAOC=45。,AD=AC=l,。为AC的中点,PO_L平面ABCQ,PO=2,M为的中点.

(1)证明:PB〃平面ACM;

(2)证明:A£)J_平面PAC;

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.

19.(本小题满分12分)如图所示,在六面体ABC-OEFG中,平面ABC〃平面。EFG,

ADmDEFG,EDLDG,E尸〃。G.且AB=AO=DE=DG=2,AC=£F=1.

(1)求证:B/〃平面4CG。;

(2)求二面角。一CG-F的余弦值.

20.在直三棱柱ABC-AiBiC中,AB」BCi,AB=CC|=1,BC=2.

(1)求证:A|Ci±AB:

(2)求点B,到平面ABC>的距离.

B

21.(如图,OC_L平面ABC,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2,ZACB=120°,P,Q

分别为AE,AB的中点.

(1)证明:PQ〃平面ACC;

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.

22.(22.如图,在多面体ABCZJEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF//AB,

EFLFB,ZBFC=90°,BF=FC,,为BC的中点.

(1)求证:FH〃平面EDB;

(2)求证:AC_L平面EDB-,

(3)求四面体B—DEF的体积.

立体几何单元测试卷答案

l.C2.B3.D4.C5.D6.C7.B8.C9.C10.D11.B12.C13.异面14.BD15.+16.②④

17.解:(1)证明:作NP_LAB于尸,连接MP.NP〃BC,

.AP_AN_A}M

"AB=AC=^B':.MP//AA\//BB\,:.面MPN〃面BBCC.

MNU面MPN,:.MN〃面BBCC.

NPAN3a11?

(2)反=前=^^=1,NP=]a,同理MP=ga.又MP〃BBi,

面ABC。,MPLPN.在RtAMPN中MN=yJ苏2+/2=冬.

18.解析(1)连接B£>,MO,在平行四边形A8C。中,因为。为AC的中点,所以。为

8。的中点.又M为产力的中点,所以PB〃MO.因为PBQ平面ACM,MOU平面4CM,所

以PB〃平面ACM.

A

AB

(2)因为/AZ)C=45。,且

AD=AC=\,所以ND4c=90°,即4£>J_AC.又PO_L平面A8CO,

AQU平面ABC。,所以PO_LAD而ACnPO=O,所以A。_L平面BIC.

(3)取。。中点N,连接MN,AM因为M为P。的中点,所以MV〃PO,且MN=;PO

=1.由POJ_平面ABC。,得MN_L平面ABC。,所以NM4N是直线AM与平面ABC。所成

11A/S

的角.在RtADAO中,AD=1,AO=g,所以。0=为-.从而AN=/£)O=力-.在Rt/\ANM中,

tan/MAN=*=^=¥,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为竽.

4

19.解析方法一:(1)设。G的中点为M,连接AM,FM.

则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形.

J.MF//DE,且平面A8C〃平面DEFG,

:.AB//DE.':AB=DE,

:.MF//AB,且M尸=A8,二四边形ABFM是平行四边形.

J.BF//AM.

又BR2平面ACG。,AMU平面ACG。,

故B尸〃平面4CGD

(2)由已知AC_L平面QEFG,:.DELAD.^DE±DG,且AOClOG=。,

二DEI平面ADGC.,/MF//DE,:.M尸,平面ADGC.

在平面ADGC中,过胡作A/NLGC,垂足为N,连接NF,则NMNF为所求二面角的

平面角.

连接CM:平面ABC〃平面DEFG,;.AC〃OM,又AC=DM=\,所以四边形ACMD

为平行四边形,S.CM//AD,且CM=A£>=2.

•.,4。_1_平面。£/6,平面。EFG,:.CM1.DG.

在放/XCMG中,:CM=2,MG=1,二MN=产=太=乎.

在RtACMG中,

2^5

:MF=2,MN=乎,/.FN=yl4+7=^^..,.cosZM^F=^=y^==^.

JVJJrIY2/3U0

5

二二面角。一CG一尸的余弦值为小.

方法二:由题意可得,AD,DE,0G两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标系.

则40,0,2),8(2,0,2),C(0,l,2),£(2,0,0),G(0,2,0),

"2,1,0).

(1)BF=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2),CG=(0,2,0)—(0,1,2)=(0,1,-2),:.BF=CG.:.

BF//CG.

又8R平面ACGO,故Bf1〃平面ACGO.

(2)FG=(0,2,0)-Q,1,0)=(一2,1,0).

设平面BCG77的法向量为〃[=(x,y,z),

〃-CG=y—2z=0,

{n\'FG=—2x+y—0.

令y=2,则〃]=(121).

则平面4QGC的法向量n2=(1,0,0).

,/、nyn2____________aJ____________^6

・(小,敢)

"OS-|WIH„2|-^12+22+12X^12+02+02-6-

由于所求的二面角为锐二面角,.♦.二面角。一CG—F的余弦值为坐.

20.17.证明:(1)连结则

又,:—8_LBC、/.AB)±平面AiBCl

:.AB,1A,C,..........4分

又A,C,±BB]:.4G-L平面ABB]

/.A.C,1AB

(2)由(1)知AB,ACVAB1AC,

VAB=1BC=2

AC=V3AC,=2SAASG=1

设所求距离为d

:VB「ABCI=

**,§^AAHCi,d=3S氏•AG

=B

21.解:(1)证明:因为尸,Q分别为AE,A8的中点,

所以PQ〃EB.又。C〃EB,因此PQ〃OC,

又P0I平面ACD,

从而尸Q〃平面ACD

(2)如图,连接C。,DP,因为。为A8的中点,且AC=BC,所以CQ_LA8.

因为。C_L平面ABC,EB//DC,

所以EB_L平面ABC,因此CQL

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