解析2021届宁夏六盘山市高级中学高三年级下册一模数学（文）试卷

绝密★启用前

2021届宁夏六盘山市高级中学高三下学

期一模数学（文）试题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2、请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.若集合A={x|y=log2（x_1）},S={X|X2-X-6<0},则AU8=（）

A.[-2,-H»）B.[1,3]C.（1,3]D.（1,-w）

答案：A

本题首先可根据对数的相关性质得出集合A={x|x>l},然后通过求解一元二次不等

式得出集合B={x|-2<x<3},最后根据并集的相关性质即可得出结果.

解：因为集合A={x|y=log2（x-1）},

所以x—l>0,x>l,集合A={x|x>l},

因为工一6<0,BP（x-3）（x+2）<0,解得—2KxW3,

所以集合3={x|—2Wx<3},AUB=[-2,+8）,

故选：A.

2.已知i为虚数单位，复数z满足z-i=l-2i,则z的共扼复数为（）

A.2—iB.1—2zC.—2-iD.-2+i

答案：D

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化筒，然后利用共聊复数的概念得答案.

解：解：因为z4=l-2i,所以2=匕&=上丝=—2—i,所以1=一2+，

z尸

故选：D

点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.

7T

3.“。>1”是“直线以一y-1=0的倾斜角大于二”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A

IT

由直线以一y-1=0的倾斜角大于2得到不等式，求出。的范围，

4

从而利用充分条件，必要条件的定义得解.

解：设直线的倾斜角为6,

直线ar-y-l=O可化为y=依-1,所以tan8=a

TT

由直线的倾斜角大于一可得：颉6>1或118<(),

4

即：a〉1或a<0,

所以a>l=>a>l或a<0,但a>l或a<0Na>1

故选A

点评：本题主要考查了充分条件，必要条件的概念，还考查了倾斜角与斜率的关系，属

于基础题

4.在等比数列｛q｝中，4+4=10，%+%=160,则％=()

A.0B.1C.2D.4

答案：C

利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出首项.

解:解:在等比数列等”｝中,

+a3=10,a5+a-j=160,

ax+a｝q=10

••v46，

axq+qq=160

解得d=4,4=2.

故选：C.

5.当时，4'<log„x,则a的取值范围是

A.(0,走)B.(叵,1)C.(1,V2)D.(0,2)

22

答案：B

分a>l和0<。<1两种情况讨论，即可得出结果.

解：当时，显然不成立.

若0<。<1时

当x=L时，此时对数log“L=2,解得。=走，根据对数的图象和性质可

24■一422

知，要使《'〈logoX在时恒成立，则有，2＜。＜1，如图选B.

22

点评：本题主要考查对数函数与指数函数的应用，熟记对数函数与指数函数的性质即可,

属于常考题型.

6.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执

行该程序框图，若输入。力分别为14,18,则输出的。=()

A.0B.2C.4D.14

答案：B

解：由a=14,b=18,a<b,

则b变为18-14=4,

由a>b,则a变为14-4=10,

Etla>b,则a变为10-4=6,

由a>b,则a变为6-4=2,

由aVb,则b变为4-2=2,

由a=b=2,

则输出的a=2.

故选B.

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何

A.6B.9C.12D.18

答案：B

解：V=-Sh,

3

=­1x—1x6/x3Cx3C,

32

=9.

选B.

点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进

行求解.

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法

等方法进行求解.

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据

条件求解.

8.已知图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图2所示,

图中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切，A,B,C,D,是其中四个圆的圆心，

贝!lA从前=()

图1

图2

A.6B.10C.24D.26

答案：A

建立以£石为一组基底的基向量，其中同=网=1且的夹角为60。，根据平面向量

的基本定理可知，向量而和丽均可以用75表示，再结合平面向量数量积运算法则

即可得解.

解：解：如图所示，建立以D为一组基底的基向量，其中向=|可=1且£花的夹角为

60°,

・••丽=2M+4b，CD=4a-2b^

：.AB-CD=(25+4^)-(4a-2^)=852-8^2+125-^=8-8+12xlxlx1=6.

故选：A.

9.已知函数/(x)=log“(x+3)-l(a>0且a,1)的图象恒过定点4,若点Z在直

12

线/n¥+〃y+4=0上，其中小〃>0,则一+一的最小值为()

mn

24…

A.-B.-C.2D.4

33

答案：C

由对数函数的图象得出A点坐标，代入直线方程得加，"的关系，从而用凑出基本不等

式形式后可求得最小值.

解：令x+3=l,x=—2,f(—2)=-1,A(—2,—1),

点A在直线〃式+盯+4=0上，则一2〃7—〃+4=0,即2:〃+〃=4,

mn>0,2机+〃=4,/.m>0,n>0,

121小、£I,n4m

—l—=—(2根+it)4+—+——

mn44Imn

n4/n

当且仅当一=—,即加=L〃=2时等号成立.

mn

故选：C.

点评：本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值.是一

道综合题，属于中档题.

10.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在X轴上，C与抛物线b二=16x的准线交于AB

两点，|AB|=4g；则C的实轴长为

A.V2B.272C.4D.8

答案：C

X2y2

解：设c：二一2T=i.

a"a"

•・•抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立I—二=1和x=—4得A(—4,716-tz2)»

aa

B(-4,-,

二・|AB=2J16-a?=46,

♦・a=2,2Q=4.

AC的实轴长为4.

11.己知圆C：x2+y2+4x=o的圆心和圆上两点A,8构成等边三角形，则AB中

点M的轨迹方程是()

A.(%+2)2+(y+l)2=lB.(x+lp+(y+l)2=3

C.(%+1)2+/=2D.(x+2p+y2=3

答案：D

根据题意得到MC=百，M的轨迹是以，为圆心，半径为由的圆，得到答案.

解：圆C：X2+^2+4X=0^(%+2)2+/=4,

所以圆心(一2,0),半径r=2，

因为AABC为等边三角形，且AC=6C=2,

巧

所以AB=2,MC=—x2=V3，

2

所以M的轨迹是以。为圆心，半径为后的圆

所以A3中点M的轨迹方程是(x+2)2+/=3

故选：D

2x-e\x<0

12.对于函数/(x)={,］,有下列命题：

')X2-2X+-,X>0

I2

2

①过该函数图象上一点(-2,/(-2))的切线的斜率为-/；

②函数/(X)的最小值为-；；

③该函数图象与X轴有4个交点；

④函数/(x)在(—，-1］上为减函数，在(0,1］上也为减函数.其中正确命题的序号是

A.①®B.®(2X3)C.①②④D.②③④

答案：C

根据导数的方法，求出xWO时的单调性与最值；根据二次函数的性质，确定尤>0时

的单调性与最值，进而逐项判断，即可得出结果.

2

解：当xWO时，f(x)=2xe，，r(x)=2(l+x)e',故/'(一2)=-7,即①正确；

由/'(x)<0得》<一1;由/'(x)>0得x>-l；

所以/(x)=2xe，在(―8,—1)上单调递减，在(—1,一)上单调递增，

2

故x<0时，/«=/(-1)=—

ine

当》>()时，f(x)=/一2x+；在((),1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

2

故x〉0时，f(x)=>2—2x+，有最小值为f(l)=l-2+!=-L；

222

i27

因为-一>一一，所以“X)的最小值为，；即②④正确；

2ee

因为x<0时，〃x)<0恒成立，且/(0)=0；尤>0时，“X)与》轴有2个交点；

故该函数图像与x轴有3个交点，故③错.

即正确命题的序号是：①②④.

故选：C.

点评：本题主要考查导数的几何意义，导数的方法求函数最值，单调性，以及函数零点

问题，属于常考题型.

二、填空题

13.曲线y=x(31nx+l)在点@』:处的切线方程为

答案：解=痴-詈

解：函数的导数为M飞噬=加,笈普口普£搦2=W富北4,所以在@圆的切线斜率为

品：

段=吗，所以切线方程为解一』=耍》:一须，即解=到需一震

x-y-2<0

14.已知实数x,>满足〈x+2y-5>0,则函数z=4、•-的最小值为

(8

y-2<0

…1

答案：77

16

画出不等式组所表示的平面区域，将目标函数化为z=2243>，令f=2x-3y,结合图

形求f的最小值，即可得出结果.

x-y—1<Q

解：画出《x+2y-520所表示的平面区域如下,

y—2Ko

2t1

所以/表示直线y=-x--在丁轴截距相反数的§,

2t

由图像可得，当直线y=过点M时，在丁轴截距最大,此时t取最小值，则z=2/

最小；

y=2[y=2（、

由•一.八得'，即ML2）,

x+2y-5=0[x=\1

所以。=2-3x2=-4,则/4个J

16

故答案为：--.

16

点评：本题主要考查根据线性规划求最值，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题

型.

15.三棱锥A—BCD中，面BCD,AB=BD=2,BC=CD=6,则三棱

锥A-BCD的外接球表面积为.

答案：8〃

根据题中条件，得到BCLQD,可将该三棱锥放在一个底面边长为0,高为2的长

方体中，该三棱锥的外接球，即是该长方体的外接球，设外接球半径为R,根据题中条

件求出半径，即可得出球的表面积.

解：因为4?_1_面8cAB=BD-2,BC-CD-A/2-

所以BC'CD'BD?,则BCLO）,

所以可将该三棱锥放在一个底面边长为0,高为2的长方体中，如图；

则该三棱锥的外接球，即是该长方体的外接球，设外接球半径为R,

又长方体的外接球直径等于体对角线的长,

则2R=AO=JAB?+BD?=2V2，

所以三棱锥A-BCD的外接球表面积为5=4兀R?=8乃.

故答案为：8).

点评：本题主要考查求几何体外接球的表面积，熟记球的表面积公式，以及儿何体的结

构特征即可，属于常考题型.

16.设函数/•(*)=(x+1)+sinx的最大值为"，最小值为〃？，则

v7x2+1

m+M=.

答案：2

解：/⑴=(x+1)-+s欣=]+2x+s血，令g(x)=2x：si,,则g(x)为奇函数,

v7x2+lx2+l『+1

所以g(x)的最大值和最小值和为0,又g(x)=/(x)-l.

有〃一1+僧一1=0,即〃z+M=2.

答案为：2.

三、解答题

17.已知函数/(x)=Gsin2x+cos2x-l.

(1)求/(x)的最小正周期及对称轴方程；

(2)在△A8C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,角A为锐角，“=后，

若/(A)=O,且AABC的面积是心，求AABC的周长.

答案：(1)万；H-----,keZ,(2)2\/54-V2-

62

(1)利用两角和的正弦公式化简/W,根据周期公式求出周期，利用正弦函数的对称

轴求出/&)的对称轴；

(2)根据/(A)=0结合角A为锐角，求出A=g,根据面积公式求出bc=6,根据

余弦定理求出尸+/=8,可得匕+c，从而可求出周长.

解：(1)/(x)=6sin2x+cos2x-l=2sin]2x+^■卜1

由7=*7~=%，故最小正周期是万，

2

由28+工=工+%万，keZ,所以％=工+红，keZ,

6262

•••/(X)的对称轴方程为x=g+红，kwZ.

62

(2)由〃A)=2si[2A+g]-l=0,得sin(2A+工)=，,

\6/62

因为0＜4＜工，所以工＜2A+色＜2,

2666

所以2A+g=豆，所以4=工，

663

3G

又q-

所以S。=-hcsinA^—bc,人48c一

24F

所以@儿=女叵，所以儿=6,

42

由余弦定理/=〃+。2—&ccosA得2=^+c2—2X6X，

2

化简得=8,所以0+c=扬+。2+2历=J8+12=2石,

△A3C的周长为a+6+c=2石+血.

点评：关键点点睛：求三角形周长的关键是求出〃+c,利用面积可求出8c,再利用余

弦定理求出〃+。2,再由加和〃+。2求出b+c,即可.

18.如图，在直三棱柱ABC-44G中，。是3c的中点，AB=AC=2,BC=2O,

M=4.

（1）求证：43〃平面49。1；

（2）求点4到平面AOG的距离.

4

答案：（1）证明见解析；（2）

3

（1）连接4c交4G于E点，连接。七，可知点后为4。的中点，利用中位线的性质

可得出DEgB,利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）取AC的中点F,连接。F,推导出。尸_L平面A4.GC,计算出三棱锥O-AAG

的体积，设点A到平面AOG的距离为力，计算出的面积，利用等体积法可求

得点4到平面AOG的距离.

解：（1）证明：连接4C交AG于E点，连接。七，

因为在直三棱柱ABC—A4G中，E是4c中点,

又因为。是BC的中点，所以。

•.•ABU平面ADG，£>Eu平面A。。「所以，48〃平面AZ)G；

(2)解：因为AB=AC=2,BC=2s/2>AB2+AC2=BC2>则AB_LAC，

。是3c的中点，所以AZ)=CD=J，，

因为M=4,所以=JCC；+CD?=3及，AC,=y/AC2+CC；=275，

22

AD+CfD~—AC,,AD±C,D,则％4G0=gADCQ==3,

取AC的中点/，连接。咒，

然_L平面ABC,。尸u平面ABC,，DF1A41,

Q£>、尸分别为BC、AC的中点，.•.D/7/A8,二。/J_AC,

•.•e04。=4,，。/1.平面/141。。，且。F=；AB=1,

1114

•■•%-A4iG=§SAA4,G尸=3*5*4、2乂1=§，

设点4到平面ADC,的距离为h,

1144

根据VVADC,=%的©，可得1/7,5少明=-x/?x3=-,解得/?=§,

4

所以点A到平面ADC,的距离是y.

点评：方法点睛：求点A到平面BCD的距离，方法如下：

(1)等体积法：先计算出四面体A3CD的体积，然后计算出△BCD的面积，利用锥

体的体积公式可计算出点A到平面8C。的距离；

(2)空间向量法：先计算出平面BCD的一个法向量G的坐标，进而可得出点A到平

lAB-n|

面8。的距离为d=.

19.某调查组利用网站进行民意调查，数据调查显示，民生问题是百姓最关心的热点，

参与调查者中关注此问题的约占80%,现从参与调查者中随机选出200人，并将这200

人按年龄分组，第1组［15,25),第2组［25,35),第3组［35,45),第4组［45,55),

第5组［55,65),得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求a；

(2)估计参与调查者的平均年龄；

(3)把年龄在第1,2,3组的居民称为青少年组，年龄在第4,5组的居民称为中老年

组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有99%的把握认为

是否关注民生与年龄有关？

附：

2

P(K>kn)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

,n(ad-bc},

K~=------——~~———-------,n=a+b+c+d

[a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

答案：(1)0.035；(2)41；(3)没有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关.

(1)利用频率直方图面积和为1，即可得到a=0.035.

(2)根据频率直方图计算平均数即可.

(3)首先根据频率分布直方图得到青少年组有120人，中老年组有80人，从而得到2x2

列联表，在计算长2=4.6875<6.635,即可得到答案.

解：⑴VO.OlOxlO+O.O15xlO+O.O3OxlO+ax10+0.010x10=1.

"=0.035

(2)

X=0.01x10x20+0.015x10x30+0.035x10x40+0.03x10x50+0.01x10x60=41.5

平均年龄是41.5.

(3)选出的200人中，各组的人数分别为:

第1组：200x0.010x10=20A,

第2组：200x0.015x10=30A,

第3组：200x0.035x10=70人,

第4组：200x0.030x10=60人,

第5组：200x0.010x10=20A,

青少年组有20+30+70=120人，中老年组有200—120=80人,

•••参与调查者中关注此问题的约占80%,即有200x（1-80%）=40人不关心民生问题,

选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人.

于是得2x2列联表:

关注民生问题不关注民生问题合计

青少年9030120

中老年701080

合计16040200

200x(90xl0-70x30)2

•••K2=4.6875<6.635,

160x40x80x120

没有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关.

x2y2

20.已知椭圆C：/十万l(a>0>0)过点A

（1）求C的方程;

（2）经过0（2,1）,且斜率为左的直线/交椭圆C于P、Q两点（均异于点B）,证明:

直线BP与BQ的斜率之和为定值.

答案：（1）工+y2=i；（2）证明见解析.

3

（1）由椭圆C过点A3（0,-1）用待定系数法求标准方程;

（2）设出直线/的方程为y=Z（x-2）+1,用“设而不求法”表示出族与3Q的斜

率，再证明斜率之和为定值.

解：（1）因为椭圆。过点3（0,—1）,得匕=1,

过点得-y+§=l,/=3,

无2

所以椭圆C的标准方程为L+y2=1.

3

(2)由题设知直线/的方程为〉=Mx-2)+l(Zwl),

y=A:（x-2）+l

与椭圆方程联立〈

----y2=\

3

整理得（342+1）%2+（6k-12/）》+12女2-12女=0,

由ANO,得0<女<4,且左

设。(须，X),。(工2，%)，X]/*°，

皿6k（2k-l）I2k（k-1]

则x,+x=——J------，x.x-----1------

93k2+1,-93攵2+1

从而直线BP与BQ的斜率之和

必+1,%+1_京1一2&+2।kx「2k+2

k+4卜—

KBP丁八BQF-

Xjx2Xj

（1

=2Z+2（1-Z）—十—=2k+2（1-4）土士迨

、X]X?J

=〃+2（i）爵*2人（1-狗=1

所以直线BP与BQ的斜率之和为定值1.

点评：(1)待定系数法可以求二次曲线的标准方程；

(2)”设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交

的问题.

21.设函数_/(x)=lnx-gx.

(1)讨论.f(x)的单调性；

(2)令g(x)=(/(x)+[xj(l-2/).当了〉。时，g(x)<ax-2,求实数”的取值

范围.

2

答案：(1)函数在(0,2)单调递增；在(2,+8)单调递减；(2)a>e+~.

e

(1)求导函数，讨论导函数符号；

(2)变量分离，转化为恒成立问题，再求最值.

解：(1)依题意函数/(X)定义域为(0,+8),

.•.xe(0,2),/,(%)>0;

xe(2,-Bx),//(%)<0.

所以函数f(x)在(0,2)单调递增；在(2,+8)单调递减

(2)由题意得：g(x)=lnx.(l-2x2)

g(x)<ax-2ax>Inx•(1-2x2)+2

lnx-(l-2x2)+2

a>-------------------------.

令函数〃(x)=lnx-(l-2x-)+2

则a>//a*”.下面我们求函数〃(x)的最大值

|--2x—4xlnxjx—(lnx-2(lnx)-x2+2)

S)

-1-2JC2-4X2Inx-lnX+2X2Inx

-(l+2x2)-(l+2x2)lnx

—(1+2x~)(1+Inx)

xG(0,—),hf(x)>0,h(x)单调递增；

xe(―,+oo),h'(x)<0,/i(x)单调递减.

l-2x

MH

2

所以aNe+-.

点评：利用导函数求原函数的单调区间，确定单调性，进而求函数的最值是研究函数的

重要方法.

是重要的考点，此题为中档题.

22.在直角坐标系x0y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

线G的极坐标方程为P(sin。—cos8)=1.

(1)M为曲线G上的动点，点P在线段0M上，且满足|OMHOP|=4,求点P的

轨迹G的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为(2,点3在曲线上，求△OA6面积的最大值.

答案：(1)(x+2)2+(y-2)2=8(x*0)；(2)4yh.

(1)设。的极坐标为(夕,(P>0),〃的极坐标为(月，3),则由已知可得

\OP\=p,\OM\^=-----!-----，而10M