宁夏银川一中2021-2022学年高一年级上册期末考试数学试题

银川一中2021/2022学年度（上）高一期末考试

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中只有一

个选项是符合题目要求的.把正确答案的代号填在答题卷上.）

1.直线x+6y+l=0的倾斜角是

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】

由方程得到斜率，然后可得其倾斜角

【详解】因为直线x+Gy+l=0斜率为—且

所以其倾斜角为15（）°

故选：D

2.在空间给出下面四个命题（其中〃？、〃为不同的两条直线），a、月为不同的两个平面）

①〃a=>mLn

②m//n、nl/anm/la

③mll〃、nL0,m//a=aip

④mcn=A,tn/la,m//B，nJ1a,nJ/B=ai10

其中正确的命题个数有

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【详解工①若则加_L〃，根据线面垂直的性质可知正确；

②若相则加||a；不正确，也可能是m在a内；错误；

③若加||〃,〃_L/?,相||a,则e_L4；据线面垂直的判定定理可知正确;

④若机c〃=Am||a,m||/7,〃||a,"||用二＞a||/7,根据线面平行判定的定理可知正确

得到①③④正确，故选C

3.圆（x—2）2+丁=4过点P（l,由）的切线方程是（）

A.x+y/3y-2=0B.x+6），-4=0

C.x-\/3y+4=0D.x-6y+2=0

【答案】D

【解析】

【分析】先求圆心与切点连线的斜率，再利用切线与连线垂直求得切线的斜率结合点斜式即可求方程.

【详解】由题意知，圆C：（x—2p+y2=4,圆心C（2,o）,P（l,6）在圆上，

所以切线的斜率为@,

3

所以在点P0,6）处的切线方程为y-6=x-1），

即x-岛+2=0.

故选：D.

4.如图所示，在正方体A8CD—中，M、N分别是85、BC的中点.则图中阴影部分在平面

DiA|

C.

DA

【答案】A

【解析】

【分析】确定三角形Q,V,N三点在平面AOD4上的正投影，从而连接起来就是答案.

【详解】点M在平面AOA4上的正投影是AA的中点，点N在平面AOOIAI上的正投影是的中点,

点Q在平面AOAAi上的正投影仍然是£>,从而连接其三点，A选项为答案，

故选：A

5.圆。一1)2+。-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是()

A.2B.1+72C.2+乎D.1+272

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆心到直线的距离加上圆的半径即为圆上点到直线距离的最大值求解出结果.

【详解】因为圆心为(1,1),半径r=1,直线的一般式方程为x-y-2=(),

卜

所以圆上点到直线的最大距离为:1-2|+1=72+1,

VT+T

故选：B

【点睛】本题考查圆上点到直线的距离的最大值，难度一般.圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距

离加上圆的半径，最小距离等于圆心到直线的距离减去半径.

6.如图所示，正方体ABCO—A4GA中，分别为棱AB,CG的中点，则在平面内与平面

2EF平行的直线

A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知可得平面AOAA与平面。也尸相交，两平面必有唯一的交线/，则在平面A。2A内与交线/平行

的直线都与平面2"平行，即可得出结论.

【详解】平面AOR4与平面尸有公共点2，

由公理3知平面ADD^与平面D.EF必有过R的交线/,

在平面40。A内与/平行的直线有无数条，

且它们都不在平面。田产内，

由线面平行的判定定理可知它们都与平面D、EF平行.

故选：D.

【点睛】本题考查平面的基本性质、线面平行的判定，熟练掌握公理、定理是解题的关键，属于基础题.

7.点尸(2,1)直线中，被圆C:Y+y2—2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为()

A.3x-y-5=OB.3x+y-7=0

C,x+3y-5=0D,x-3y+l=0

【答案】A

【解析】

【分析】要使得直线被圆。截得的弦长最长，则直线必过圆心，利用斜率公式求得斜率，结合点斜式方

程，即可求解.

【详解】由题意，圆£+/-2光+4y=0,可得圆心坐标为C(l,-2),

要使得直线被圆C截得的弦长最长，则直线必过圆心，

-2-1

可得直线的斜率为k=六=3,所以直线的方程为y-l=3(x-2),

即所求直线的方程为3x-y-5=0.

故选：A.

8.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()

A.BJTNB.是兀N

248

C.5兀KD.旦TTK

248

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可得圆锥母线长为R，底面圆的半径为四，求出圆锥高即可求出体积.

2

【详解】半径为A的半圆卷成一个圆锥，可得圆锥母线长为/?,底面圆周长为不R，

所以底面圆的半径为与，圆锥的高为JR2_（gj=半，

所以圆锥的体积为Jx万xfB]xY史=@7内

3（2J224

故选：A.

9.点P在正方形ABCD所在平面外，PDL平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为（）

A.30°B.450C.60°D.90°

【答案】C

【解析】

【详解】

分别取AC.PC中点O.E.连OE,DE;则OE//PA,

所以NOQE（或其补角）就是PA与BD所成的角;

因PDJL平面ABCD,所以PD_LDC,PDJ_AD.

设正方形ABCD边长为2,则PA=PC=BD=2&

所以OD=OE=DE=y/2,ADOE是正三角形,

/DOE=60°，

故选C

10.已知三棱锥s-ABC的所有顶点都在球0的球面上，SA_L平面ABC,AB_LBC且AB=BC=1,SA=啦,则球

。的表面积是（）

A.4zrB.—nC.3万D.—n

43

【答案】A

【解析】

【详解】如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上，

：SA_L平面ABC,SA=72>AB_LBC且AB=BC=1,

•••AC=&TT=a.-.SA±AC,SB1BC,

SC=12+2=2二球。的半径R=；SC=1...球O的表面积S=4兀R2=4m

故选A

点睛：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径是解题的关键.

11.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A'DE是仆ADE绕DE旋转

过程中的一个图形（A不与A,F重合），则下列命题中正确的是（）

①动点A，在平面ABC上的射影在线段AF上；

②BC〃平面ADE;③三棱锥A'-FED的体积有最大值.

A.①B.①②C.①②③D.②③

【答案】C

【解析】

【详解】【思路点拨】注意折叠前DELAF,折叠后其位置关系没有改变.

解:①中由已知可得平面A'FG_L平面ABC

.•.点A'在平面ABC上的射影在线段AF上.

②BC〃DE,BC<t平面ADE,DEu平面A'DE,；.BC〃平面A'DE.③当平面A'DE_L平面ABC时,三棱锥A'-FED

的体积达到最大.

12.如果直线2ax-by+\A=0（。>>0）和函数f（x）=mx+l+l（〃z>0,根r1）的图象恒过同一个定

点，且该定点始终落在圆（x—a+l）2+（y+b—2>=25的内部或圆上，那么的取值范围是（）

a

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得。+8=7,（。>0,人>0）.再由由点（一1,2）在圆。一。+1）2+（卜+人一2）2=25内部或

圆上可得4+h2<25（a>0,^>0）.由此可解得点（。1）在以A（3,4）和3（4,3）为端点的线段上运

b

动.由亍表示以A（3,4）和3（4,3）为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项.

【详解】函数"X）=+1恒过定点（-1,2）.将点（-1,2）代入直线2以一勿+14=0可得

一2a—2/7+14=（）,即a+/?=7,（a>0,8>0）.

由点（一1,2）在圆（x—a+l）~+（y+Z?—2）~=25内部或圆上可得（―1—a+1）+（2+。—2）一〈25,

/、fa+b=7[a=3fa=4/、,、

即/+/<25（”>0力>0）.,,2«=</或，..所以点（a⑼在以A（3,4）和8（z4,3）x

a~+b--25[b-4[b-3

为端点的线段上运动.

b3-03

—表示以A（3,4）和B（4,3）为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率.所以

4^04

⑶=4-0-43/74

所以一W—<一.

ULx3-03■4。3

故选：C.

b

【点睛】关键点点睛：解决本题类型的问题，关键在于由已知条件得出。功所满足的可行域，以及明确一

a

所表示的几何意义.

二、填空题（每小题5分，共计20分）

13.点P（2,7）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为.

【答案】（-8,-3）

【解析】

【分析】设点P（2,7）关于直线x+y+l=0的对称点为A（a,。），由垂直的斜率关系，

和线段Z4的中点（一，—）在直线x+y+i=o上列出方程组即可求解.

【详解】设点p（2,7）关于直线x+y+1=0的对称点为A（a,b）,

由对称性知，直线x+y+l=0与线段而垂直，所以&A=N=1，

所以。一匕=-5,又线段Q4的中点（言二早）在直线x+y+l=O上，

即2±q+工±2+1=0,所以。+匕=-11,

22

\a-b=-5Ia=-8

由〈二＞〈，

\a+b^-\\[Z?=-3

所以点P（2,7）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为：（一8,-3）.

故答案为：（-8,-3）.

14.设某几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为.

主视图左视图

【答案】4

【解析】

【分析】根据三视图确定该几何体为三棱锥，由题中数据，以及棱锥的体积公式，即可求出结果.

【详解】由三视图可得：该几何体为三棱锥，

由题中数据可得：该三棱锥的底面是以4为底边长，以3为高的三角形，三棱锥的高为2，

因此该三棱锥的体积为：V=-xix4x3x2=4.

32

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求体积的问题，熟记棱锥的结构特征，以及棱锥的体积公式即

可，属于基础题型.

15.已知直线/过点A(-2,1).若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线/的方程.

【答案】x+2y=0或x+y+l=O

【解析】

【分析】根据已知条件，分直线/过原点，直线/不过原点两种情况讨论，即可求解.

【详解】解：当直线/过原点时，斜率为-；，由点斜式求得直线/的方程是y=即x+2y=0,

当直线/不过原点时，设直线/的方程为x+y=a,把点A(—2,l)代入方程可得。=一1,

故直线/的方程是x+y+l=0,

综上所述，所求直线/的方程为x+2y=0或x+y+l=0.

故答案为：x+2y=0或x+y+l=0.

16.当曲线y=i+-4-f与直线y=&(x-2)+4有两个相异交点时,实数%的取值范围是.

幺53

【答案】受不

【解析】

【分析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过（2,4）；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界

状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围.

【详解】y=l+yj4-x2^x2+（y-l）2=4（y>l）

y=Z（x—2）+4为恒过（2,4）的直线

则曲线图象如下图所示：

由图象可知，当直线斜率攵€（匕,七］时，曲线与直线有两个相异交点

|——1+4|

y=K(x—2)+4与半圆/+(y_i)2=4(,21)相切，可得:=2

J1+好

解得：k、=—

112

,4-1353

又鼠=7一/Kke

-2-(-2)412,4

%53

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到

临界状态，易错点是忽略曲线y的范围，误认为曲线为圆.

三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.）

17.已知直线4：kx-2y-2k+4=O,直线4：k2x+4y-4k2-8-0.

（1）若〃上，求4与4的距离"；

（2）若/1_L，2，求4与4的交点尸的坐标.

【答案】（DJ=V2.

⑵尸（3,3）.

【解析】

【详解】分析：（1）先根据4/〃2求出k的值，再利用平行线间的距离公式求4与，2的距离（2）先根据

4，4求出k的值，再解方程组得4与4的交点P的坐标.

详解：（1）若/1/〃2,则由h4=—2•炉，即2^+4左=0,解得&=0或4=—2.

当人=0时，直线4：-2丁+4=0,直线4：4y—8=0,两直线重合，不符合乙/%，故舍去;

当％=—2时，直线(：x+y-4=0,直线4：x+y—6=0,所以=友.

V1+1

(2)若4_L4，则由％•K+(—2)­4=Z3—8=0,得上=2.

所以两直线方程为八

x-y=0,l2：x+y-6=0,

x-y=0fx=3/、

联立方程组_6_0,解得J「3,所以4与4的交点p的坐标为尸（3,3）.

点睛：（1）本题主要考查直线的位置关系和距离的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能

力.（2）直线以+by+c=0与直线，Zr+ey+/=0平行，则ae-bd=0且两直线不重合.直线

ac+by+c=0与直线dr+ey+/=0垂直，则ad+Z?e=0.

18.如图：PAL平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=陋，点F是PB的中点，点E在边BC上移

（I）求三棱锥E-PAD的体积；

（II）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由;

（Ill）证明：无论点E在边BC的何处，者I，有PELAF

【答案】（I）立，（］［）平行，（HI）详见解析

6

【解析】

【详解】试题分析:

(1)三棱锥E—aw的体积PA.QADAB)=@

3326

（2）当点E为BC的中点时，跖与平面PAC平行.

•.•在AP3C中，£,尸分别为8C、P3的中点，

AEFUPC,又£产仁平面24。，PCu平面P4C,

，所//平面P4C

（3）证明ABCD：•••%，平面ABC。，BEU平面ABC。，

ABE±PA，又3ELAB，ABoPA^A，48,%（=平面^45，

••BE1平面P43又AFu平面RIB，；•AFLBE.

又Q4=A6=1,点尸是尸3的中点，APBLAF,

又PBcBE=B，PB,BEU平面PBE,

...AFJ■平面P3E.

PEu平面PBE,；•AF上PE.

考点：本小题主要考查三棱锥体积的计算、线面平行、线面垂直等的证明，考查学生的空间想象能力和逻

辑推理能力.

点评：计算三棱锥体积时，注意可以根据需要让任何一个面作底面，还经常利用等体积法求三棱锥

19.已知动圆C经过点A（2,—3）和8（-2,-5）

（1）当圆C面积最小时，求圆C的方程；

（2）若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上，求圆。的方程.

【答案】(1)x2+(y+4)2=5

(2)(x+l『+(y+2『=10

【解析】

【分析】(1)以A6为直径的圆即为面积最小的圆，由此可以算出A8中点坐标和长度，

即可求出圆的方程；

(2)设出圆的标准方程，根据题意代入数值解方程组即可.

【小问1详解】

要使圆C的面积最小，则AB为圆。的直径，

圆心C(0,-4),半径r==

所以所求圆C的方程为：x2+(y+4)2=5.

【小问2详解】

设所求圆C的方程为(x—a)?+(y—bp=产,

(2-a)-+(-3-/?)2=r2。=一1

根据已知条件得\(-2-a)2+(―5-｛匕=-2,

3a+/?+5=0r=

所以所求圆C的方程为(x+iy+(y+2)2=10.

20.如图，三棱柱A8C—4月£中，ACYBC,AB±BBt,AC^BC=BBX,。为AB的中点，且

CDIDA,.

(1)求证：8cl〃平面0c4；

(2)求BG与平面所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析

（2）30°

【解析】

【分析】（1）连结AG与AC交于点K，连结QK，由中位线定理可得OK〃BG，再根据线面平行的

判定定理即可证明结果；

（2）方法一：根据线面垂直的判定定理，可证明CO_L平面取A4的中点E，易证。也上平

面所以NEBG即所求角，再根据直棱柱的有关性质求即可得到结果；

方法二：根据线面垂直的判定定理，可证明CO_L平面ABGA；取的中点尸，易证我尸，平面

ABBtAt；所以NKDF即BC{与平面ABB^所成的角，再根据直棱柱的有关性质求即可得到结果.

【小问1详解】

证明：如图一，连结AG与AC交于点K,连结QK.

在AABG中，D、K为中点，.•.OK〃8C-

又DKu平面DCA,,BQ（Z平面DCA},：.BC,//平面0cA.

图一

【小问2详解】

证明：（方法一）如图二,

图二

VAC=BC,。为A3的中点，，

又CCDA，A8c£>A=。，；♦c。，平面A8B|A1.

取4g的中点E，又。为AB的中点，.••/）£、BBI、CC1平行且相等，

四边形。CCE是平行四边形，•••C£与C。平行且相等.

又C。，平面A网4,C,£!平面A叫4,NEBCi即所求角.

由前面证明知CD_L平面ABB[4,CD±BB、,

又A6_L6g,ABflC。=D，，台4，平面ABC,.•.此三棱柱为直棱柱.

设AC==明=2

:.BC、=2叵,EC1=血，sinNEBCI=M=g,:.,ZEBC,=30°.

oCjZ

（方法二）如图三，

图三

VAC=BC,。为AB的中点，COLAB.

又ABcZM,=。，平面A

取的中点F,则K/〃C。，KF_L平面

即与平面所成的角.

AZKDFBCtABB.\

由前面证明知CD_L平面ABB[4,CD±BB、,

又AB上SB1,ABn8=D，二台与，平面ABC,.•.此三棱柱为直棱柱.

设AC=BC=BB[=2,：.KF=^，DK=O,sin/KD/=丝=，

2DK2

/KDF=30。.

21.如图，在三棱锥S—ABC中，SC,平面A8C,点尸、M分别是SC和S3的中点，设PM=AC=1,

ZACB=90°,直线AM与直线SC所成的角为60。.

（1）求证：平面AMPJ_平面SAC.

（2）求二面角M—AC—B的平面角的正切值；

【答案】（1）证明见解析

⑵逅

3

【解析】

【分析】（1）由已知可证8C_L平面SAC,又PMHBC,则p〃_1_面SAC,从而可证平面M4P_L平面

SAC；

（2）由AC,平面SBC,可得NMCB为二面角M—4C-B的平面角，过点M作MNLCB于N点，连接

AN,则NAMN=60°,由勾股定理可得4V=&，在中，可得MN=旦,从而在RtaOVM

3

中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.

【小问1详解】

证明：；SC，平面ABC,：.SCA.BC,

又♦.•/ACB=90°,：.ACLBC,又ACp|SC=C,

平面SAC,

又YP,M是SC、S3的中点，

/.PM//BC,面SAC,又PMu平面MAP,

平面MAP_L平面SAC；

【小问2详解】

解：VSCl^ffiABC,；.SC_LAC,又ACJ_8C,BCp|SC=C,

；.AC_L平面SBC,

：.AC1CM,ACLCB,从而NMCB为二面角M—AC—B的平面角,

直线4M与直线PC所成的角为60°,

过点M作于N点，连接AN,

在Rf中'==当'

逅

在RtaCNM中,tan/MCN=-四

CN13

22.已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,

(1)若过定点(-2,0)的直线/与圆C相切，求直线/的方程;

（2）若过