江西省宜春实验中学2022年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如果一组数据6、7、X、9、5的平均数是2x,那么这组数据的方差为（）

A.4B.3C.2D.1

2

2.若代数式上有意义，则实数x的取值范围是（）

x—2

A.x=0B.x=2C.x邦D.x,2

3.如图1,等边△ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为•半径作弧AC、弧CB、＜BA,我们把

这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形.设点I为对称轴的交点，如图2,将这

个图形的顶点A与等边ADEF的顶点D重合，且AB_LDE,DE=2K,将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它

第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（）

2

4.已知：如图四边形OACB是菱形，OB在X轴的正半轴上，sinNAOB=,,.反比例函数y=_在第一象限图象经过点

A.15B.13C.12D.5

5.定义运算：a*b=2ab.若a,b是方程x2+x・m=0（m>0）的两个根，则（a+1）*a・（b+l）*b的值为（）

A.0B.2C.4mD.-4m

6.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2,

则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）

A.乃+GB.兀一如C.2万一百D.271-243

7.一相的立方根是（）

A.-8B.-4C.-2D.不存在

8.下列运算结果正确的是（）

A.（x3-x2+x）-i-x=x2-xB.（-a2）»a3=a6C.（-2x2）3=-8x6D.4a2-（2a）2=2a2

[2x-l<0

9.满足不等式组,八的整数解是（）

x+l>0

A.-2B.-1C.0D.1

10.共享单车为市民短距离出行带来了极大便利.据2017年“深圳互联网自行车发展评估报告”披露，深圳市日均使用

共享单车2590000人次，其中2590000用科学记数法表示为（）

A.259xl04B.25.9x105C.2.59xl06D.0.259xl07

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.太极揉推器是一种常见的健身器材.基本结构包括支架和转盘，数学兴趣小组的同学对某太极揉推器的部分数据

进行了测量：如图，立柱AB的长为125cm,支架CD、CE的长分别为60cm、40cm,支点C到立柱顶点B的距离为

25cm.支架CD,CE与立柱AB的夹角NBCD=NBCE=45。，转盘的直径FG=MN=60cm,D,E分别,是FG,MN的

中点，且CDJ_FG,CE±MN,则两个转盘的最低点F,N距离地面的高度差为cm.（结果保留根号）

A

12.如图，矩形A8CD中，E为8c的中点，将△ABE沿直线AE折叠时点8落在点尸处，连接尸C,若NZM尸=18。,

则NOCT=____度.

13.若一个多边形的每一个外角都等于40。，则这个多边形的内角和是.

14.如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm）,计算出这个立体图形

16.分解因式V--z2-2yz

17.因式分解：2匚；-18=.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）某商人制成了一个如图所示的转盘，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止

后，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“3”，则奖励3元；若指针指向字母“。二则奖励1元.一天,

前来寻开心的人转动转盘80次，你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大？为什么？

19.（5分）如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角

NACB=75。，支架AF的长为2.50米米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HF与支架AF所

成的角NFHE=60。，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）.

（参考数据：cos75°=0.2588,sin750=0.9659,tan75°=：3.732,百a1.732，Ji=1.414）

20.(8分)某中学为了考察九年级学生的中考体育测试成绩(满分30分)，随机抽查了40名学生的成绩(单位：分),

得到如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题:

(1)图中m的值为.

(2)求这40个样本数据的平均数、众数和中位数：

(3)根据样本数据，估计该中学九年级2000名学生中，体育测试成绩得满分的大约有多少名学生。

21.(10分)已知反比例函数——的图象过点A(3,2).

(1)试求该反比例函数的表达式;

(2)M(m,n)是反比例函数图象上的一动点，其中0V/nV3,过点"作直线轴，交y轴于点8；过点A

作直线AC〃y轴，交x轴于点C,交直线M3于点O.当四边形。4DM的面积为6时，请判断线段&W与OM的大

小关系，并说明理由.

22.(10分)直角三角形ABC中，/BAC=9O°，D是斜边BC上一点，且AB=AD,过点C作CELAD,交AD

的延长线于点E,交AB延长线于点F.

(1)求证：/ACB=/DCE；

（2）若/BAD=45,AF=2+0，过点B作BG_LFC于点G,连接DG.依题意补全图形，并求四边形ABGD的

面积.

C

23.（12分）如图，AB是。O的直径，CD与。。相切于点C,与AB的延长线交于D.

（1）求证：AADCs/iCDB；

3

（2）若AC=2,AB=-CD,求。O半径.

2

24.（14分）老师布置了一个作业，如下：已知：如图IQABCD的对角线AC的垂直平分线所交AD于点尸，交BC

于点E，交AC于点。.求证：四边形AECE是菱形.

证明：YEF站AC的垂直平分段（巳知）.

四边形AECF是菱形（对角线互用垂JI

平分的四边形是变形）.

------------------------------------

某同学写出了如图2所示的证明过程，老师说该同学的作业是错误的.请你解答下列问题:能找出该同学错误的原因吗？

请你指出来；请你给出本题的正确证明过程.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案.

详解：根据题意，得：--------------=2x

解得：x=3,

则这组数据为6、7、3、9、5,其平均数是6,

所以这组数据的方差为g[(6-6)2+(7-6)2+(3-6)2+(9-6)2+(5-6)2]=4,

故选A.

点睛：此题考查了平均数和方差的定义.平均数是所有数据的和除以数据的个数.方差是一组数据中各数据与它们的

平均数的差的平方的平均数.

2、D

【解析】

根据分式的分母不等于()即可解题.

【详解】

2

解：•.•代数式工有意义，

x一2

...X-2邦，即x#2,

故选D.

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，属于简单题，熟悉分式有意义的条件是解题关键.

3、B

【解析】

先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可.

【详解】

如图1中，

•.•等边ADEF的边长为2n，等边△ABC的边长为3,

•'•S矩形AGHF=27tX3=67T，

由题意知，ABIDE,AG_LAF,

ZBAG=120°,

360

图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S柜彩AGHF+S南彩BAG）=3（67r+3n）=27兀；

故选B.

【点睛】

本题考查轨迹，弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解题的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF

扫过的图形.

4、A

【解析】

过点A作AMJLx轴于点M,设OA=a,通过解直角三角形找出点A的坐标，再根据四边形OACB是菱形、点F在边

BC上，即可得出SAAOF=S鳏OBCA,结合菱形的面积公式即可得出a的值，进而依据点A的坐标得到k的值.

【详解】

过点A作AM_Lx轴于点M,如图所示.

在RtAOAM中，ZAMO=90°,OA=a,sinZAOB=..,

AAM=OA«sinZAOB=a,OM=a,

•・•点A的坐标为（j,「a）.

1313

V四边形OACB是菱形，SAAOF=,”

39

OBxAM=，

139

即xaxa=39,

271

解得a=土,而a>0,

Aa=,即A(,6),

135

•・,点A在反比例函数y=_的图象上，

k=_x6=l.

jr

故选A.

【解答】

解：

【点评】

本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用SAAOF=；S就OBCA.

5、A

【解析H分析】由根与系数的关系可得a+b=-l然后根据所给的新定义运算a*b=2ab对式子(a+1)*a-(b+1)*b用新定

义运算展开整理后代入进行求解即可.

【详解】..飞，b是方程x2+x-m=0(m>0)的两个根，

/.a+b=-l,

••,定义运算：a*b=2ab,

(a+1)*a-(b+1)*b

=2a(a+l)-2b(b+l)

=2a2+2a-2b2-2b

=2(a+b)(a-b)+2(a-b)

=-2(a-b)+2(a-b)=0,

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义运算等，理解并能运用新定义运算是解题的关键.

6、D

【解析】

【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面

积，分别求出即可.

【详解】过A作AD_LBC于D,

VAABC是等边三角形，

:.AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

VAD±BC,

.".BD=CD=1,AD=QBD=5

/.AABC的面积为-BC«AD=L2x6=百,

22

060)x222

S扇形BAC=--------------------7Vf

3603

2LL

:,莱洛三角形的面积s=3x§〃-2x8=2TT-2百，

故选D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的

面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键.

7、C

【解析】

分析：首先求出-府的值，然后根据立方根的计算法则得出答案.

详解：,•,—南=—8,(—2)'=—8,—痫的立方根为一2,故选C.

点睛：本题主要考查的是算术平方根与立方根，属于基础题型.理解算术平方根与立方根的含义是解决本题的关键.

8,C

【解析】

根据多项式除以单项式法则、同底数幕的乘法、积的乘方与塞的乘方及合并同类项法则计算可得.

【详解】

A、(x3-x2+x)-rx=x2-x+l,此选项计算错误；

B、(-a2)-a3=-a5,此选项计算错误；

C、(-2x2)3=_8X。，此选项计算正确；

D、4a2-(2a)2=4a2-4a2=0,此选项计算错误.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握多项式除以单项式法则、同底数幕的乘法、积的乘方与塞的乘方及合并

同类项法则.

9、C

【解析】

先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可.

【详解】

’2x-l40①

[x+l>0②

•••解不等式①得：x<0.5,

解不等式②得：x>-l,

•••不等式组的解集为-KxWO.5,

二不等式组的整数解为0,

故选C.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.

10、C

【解析】

绝对值大于1的正数可以科学计数法，axlOl即可得出答案.

【详解】

n由左边第一个不为()的数字前面的0的个数决定，所以此处n=6.

【点睛】

本题考查了科学计数法的运用，熟悉掌握是解决本题的关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、1072

【解析】

作FPJ_地面于P,CJ_LPF于J,FQ〃PA交CD于Q,QH_LCJ于H.NT_L地面于T.解直角三角形求出FP、NT

即可解决问题.

【详解】

解：作FP_L地面于P,CJJLPF于J,FQ〃PA交CD于Q,QHJLCJ于H.NTJ_地面于T.

由题意4QDF,AQCH都是等腰直角三角形，四边形FQHJ是矩形，

，DF=DQ=30cm,CQ=CD-DQ=60-30=30cm,

，FJ=QH=]5夜cm,

VAC=AB-BC=125-25=100cm,

/.PF=(150+100)cm,

同法可求：NT=(100+5/)，

二两个转盘的最低点F,N距离地面的高度差为=(1572+100)-(100+50)=10丘

故答案为:1072

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

12、1.

【解析】

由折叠的性质得：FE=BE,NFAE=/BAE,NAEB=NAEF,求出NBAE=NFAE=1。，由直角三角形的性质得出

ZAEF=ZAEB=54°,求出NCEF=72。，求出FE=CE,由等腰三角形的性质求出NECF=54。，即可得出NDCF的

度数.

【详解】

解：•.•四边形ABCD是矩形，

:.ZBAD=ZB=ZBCD=90°,

由折叠的性质得：FE=BE,NFAE=NBAE,NAEB=NAEF,

VZDAF=18O,

.,.ZBAE=ZFAE=-x(90°-18°)=1°,

2

.,.ZAEF=ZAEB=90°-1°=54°,

ZCEF=180°-2x54°=72°,

•••E为BC的中点，

.♦.BE=CE,

.".FE=CE,

AZECF=-x(180°-72°)=54°,

2

.•,ZDCF=90°-ZECF=1°.

故答案为L

【点睛】

本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，求

出NECF的度数是解题的关键.

13、1260°

【解析】

根据任何多边形的外角和都是360度，先利用360。+40。求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式(n-2)・180。

计算即可求解.

【详解】

解：多边形的边数是：360。+40。=9,

则内角和是：(9-2)•180°=1260°.

故答案为1260°.

【点睛】

本题考查正多边形的外角与边数的关系，求出多边形的边数是解题的关键.

14、100mm1

【解析】

首先根据三视图得到两个长方体的长，宽，高，在分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的

长方体的接触面积即可.

【详解】

根据三视图可得：上面的长方体长4mm,高4mm,宽1mm,

下面的长方体长8mm,宽6mm,高1mm,

.,.立体图形的表面积是：4x4xl+4xlxl+4xl+6xlxl+8xlxl+6x8xl-4xl=100(mm1).

故答案为100mm1.

【点睛】

此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的表面积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键.

1

15、-

2

【解析】

根据NA的正弦求出NA=60。，再根据30。的正弦值求解即可.

【详解】

题..._BC_G

解：•sinA4------=—9

AB2

:.ZA=60°,

/.sin—=sin30=—.

22

故答案为

2

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30。、45。、60。角的三角函数值是解题的关键.

16、(x+y+z)(x-y-z).

【解析】

当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解.本题后三项可以为一组组成完全平方式，再用平方差公

式即可.

【详解】

x2-y2-z2-2yz,

=x2-(y2+z2+2yz),

=x2-(y+z)2,

=(x+y+z)(x-y-z).

故答案为(x+y+z)(x-y-z).

【点睛】

本题考查了用分组分解法进行因式分解.难点是采用两两分组还是三一分组.本题后三项可组成完全平方公式，可把

后三项分为一组.

17、2(x+3)(x-3).

【解析】

试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即二二--18=2(x2-9)=2(x+3)(x-3).

考点：因式分解.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、商人盈利的可能性大.

【解析】

试题分析：根据几何概率的定义，面积比即概率.图中A,B,C所占的面积与总面积之比即为A,B,C各自的概率,

算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可.

试题解析：商人盈利的可能性大.

413

商人收费：80x*x2=80（元），商人奖励：80x^x3+80xgxl=60（元），因为80>60,所以商人盈利的可能性大.

888

19、3.05米.

【解析】

延长FE交CB的延长线于M,过A作AG_LFM于G,解直角三角形即可得到结论.

【详解】

延长FE交CB的延长线于M,过A作AG_LFM于G,

在RtAABC中，tanNACB=—，

BC

.•.AB=BC・tan75°=0.60x3.732=2.2392,

，GM=AB=2.2392,

FG

在RtAAGF中，VZFAG=ZFHD=60°,sinZFAG=-

AF

7?一/

.••FG=2.165,

.*.DM=FG+GM-DF=3.05米.

答：篮框D到地面的距离是3.05米.

B鼠

考点：解直角三角形的应用.

20、(1)25；(2)平均数：28.15,所以众数是28,中位数为28,(3)体育测试成绩得满分的大约有300名学生.

【解析】

(1)根据统计图中的数据可以求得m的值；

(2)根据条形统计图中的数据可以计算出平均数，得到众数和中位数；

(3)根据样本中得满分所占的百分比，可以求得该中学九年级2000名学生中，体育测试成绩得满分的大约有多少名

学生.

【详解】

解：(1)—X100%=25%,...m的值为25；

40

,、~皿-4x26+8x27+12x28+10x29+6x30…

(2)平均数：x=-------------------------------------=28.15,

40

因为在这组样本数据中，28出现了12次，出现的次数最多，所以众数是28；

因为将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是28,所以

这组样本数据的中位数为28；

(3)9x2000=300(名)

40

•••估计该中学九年级200(1名学生中，体育测试成绩得满分的大约有300名学生.

【点睛】

本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法.

21、(1).；(2)MB=MD.

——w

【解析】

⑴将4(3,2)分别代入尸_,尸ox中，得《的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；

⑵有OMB=SAOAC=.x二13,可得矩形OBDC的面积为12；即OCxOB=l2；进而可得m.n的值，故可得BM

与DM的大小；比较可得其大小关系.

【详解】

(1)将A(3,2)代入一中，得2：.k=6,

匚=二二X

...反比例函数的表达式为一4

（2）BM=DM9理由：•・•£A0M/，=SAOAC='X］：|=3,

:・S矩形OBDC=S四边形OADM+SAOMB+SA04c=3+3+6=12，

即OC05=12,

VOC=3,：・OB=4,即〃=4,，

工MB=,MD=,：.MB=MD.

i3—占

/KJ

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质等知识.熟练

掌握待定系数法是解（1）的关键，掌握反比例函数系数的几何意义是解（2）的关键.

22、（1）证明见解析；（2）补图见解析；S四边形ABGD=我.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到=等量代换得到NABD=N8E,根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的判定定理得到AD〃BG,推出四边形A8GO是平行四边形，得到平行四边形A8GO是菱形，设

AB=BG=GD=AD=x,解直角三角形得到BF=QBG=JL;，过点8作3“，AQ于“，根据平行四边形的面积

公式即可得到结论.

【详解】

解：⑴•.•AB=AD,

.•2ABD=NADB,

•.•/ADB=/CDE,

.•./ABD=/CDE,

•.•/BAC=90。，

NABD+/ACB=90，

vCE±AE,

NDCE+/CDE=90,

../ACB=^DCE；

⑵补全图形，如图所示:

•「/BAD=45°,2BAC=90°,

.♦./BAE=/CAE=45°,/F=/ACF=451

vAE±CF,BG±CF,

.-.AD//BG,

vBG±CF,/BAC=90，且NACB=/DCE,

AB=BG，

•.AB=AD,

BG=AD>

四边形ABGD是平行四边形，

•.AB=AD,

平行四边形ABGD是菱形，

设AB=BG=GD=AD=x,

/.BF=V2BG=V2x，

：.AB+BF=x+V2x=2+41，

x=V2，

过点B作BHJ_AD于H,

2

二S四边形ABGD=ADXBH=C.

故答案为